Эволюционно устойчивые газодинамические структуры в неравновесных акустически активных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.011/8

ЭВОЛЮЦИОННО УСТОЙЧИВЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В НЕРАВНОВЕСНЫХ АКУСТИЧЕСКИ АКТИВНЫХ СРЕДАХ

© 2005 В.Г. Макарян 1, Н.Е. Молевич2

1 Самарский государственный аэрокосмический университет 2 Самарский филиал Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

Проведено численное моделирование эволюции газодинамических возмущений типа "ступенька" и "колокол" в неравновесной среде с отрицательной полной вязкостью. Получены эволюционно устойчивые стационарные структуры, в том числе доказана эволюционная устойчивость автоволнового сильно асимметричного импульса с экспоненциальным задним и разрывным передним фронтами.

В термодинамически равновесном газе структура слабых ударных волн хорошо известна. Эволюция газодинамических возмущений малой амплитуды описывается уравнением Бюргерса

Vy ^ . (1)

Уравнение (1) имеет стационарное решение в виде ступеньки с шириной фронта ~ тт. Локализованное возмущение эволюционирует в треугольную ударную волну конечной площади и бесконечно малой амплитуды. Периодическое возмущение сначала трансформируется в пилообразную волну, а затем быстро затухает, становится синусоидальным и далее диссипирует по законам линейной акустики [1].

Акустика термодинамически неравновесных сред существенно отличается от акустики равновесных сред [2]. Прежде всего, это отличие связано с возможной инверсией коэффициента второй вязкости. Примерами подобных сред являются молекулярные лазерные среды, неизотермическая плазма, химически активные смеси. Среды с отрицательной вязкостью являются акустически активными, причём в ограниченном спектральном диапазоне. Например, для типичной лазерной смеси С02-№2-Не= 1:2:3 (нормальные условия) при неравновесном возбуждении колебательных степеней свободы до эффективных колебательных температур ^ ~700 К (степень

неравновесности S « 0,1) зависимость акустического инкремента от частоты имеет вид,

-а, ст ОД

0,01 0

104 105 106 со, Гц

Рис. 1. Частотная зависимость акустического инкремента

показанный на рис. 1.

Кроме того, если в равновесной среде

высокочастотная скорость звука всегда больше низкочастотной м0, то в неравновесной среде ( S Ф 0 ) может меняться не только знак диссипации, но и знак дисперсии (рис. 2), как это впервые показано в [3].

При S > Sth происходит инверсия коэф-

I II ш IV

1 \ __^—-—

3й1 йу

Рис. 2. Влияние неравновесности среды на дисперсию скорости звука

фициента второй вязкости. При £ = Sv ,

S = £р низкочастотные теплоёмкости

Су о = 0, Сро = 0, соответственно. В области I дисперсия и вязкость положительны. В других областях вторая вязкость отрицательна и среда может быть акустически активной. В области II дисперсия отрицательна и равновесная скорость звука может существенно превышать замороженную. В остальных областях дисперсия положительная, причём в области III низкочастотный звук не может распространяться, а в области IV возможна тепловая неустойчивость.

Новые вязкостно-дисперсионные свойства неравновесных сред должны учитываться не только в задачах линейной акустики. В подобных средах возможно существование стационарных структур, существенно отличных от ударно-волновых структур типа ступеньки с монотонным фронтом. Ранее исследование этих структур проводилось на основе нелинейных уравнений, полученных во втором или третьем газодинамическом приближении отдельно для низкочастотных и высокочастотных возмущений. Примерами таких уравнений являются уравнение с нелинейной вязкостью [4]

Ро^ + + + К2~ + Кз~2 + К4~ , (2)

получаемое в низкочастотном приближении, или уравнение Бюргерса с источником и интегральной дисперсией [5]

Уу + ¥ю= ^ - аю~ - ^ (3)

получаемое в высокочастотном приближении.

Стационарные структуры уравнений (2) и (3) в акустически активной среде (в условиях, когда полная низкочастотная вязкость

< 0, коэффициент нелинейной вязкости К > 0, коэффициент усиления высокочастотного звука аю < 0 ) при отрицательных коэффициентах низкочастотной и высокочастотной дисперсии Р0, Рю представлены на рис.

3 и 4, соответственно.

Недостатком этих уравнений является то, что на их основе нельзя описать нестацио-

нарную эволюцию возмущений с произвольным спектром. Спектр стационарных структур, ими описываемых, оказывается шире области применимости этих уравнений. Кроме того, стационарные решения высокочастотного уравнения (3) оказываются эволюци-онно неустойчивыми по отношению к возмущениям большего периода.

В [6] получено уравнение

2 2 Ц ю

СУют0(уй - июухх - ию¥юухх ~ vxxt)t +

Р0

+ CV0(vtt - и2ухх - ию¥0УХх - — ухх0 = 0, (4)

Р0

описывающее с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде нелинейную эволюцию акустического возмущения произвольного спектрального состава в колебательно-возбуждённом газе с релаксационным процессом вида

ЛЛЕ -Ее -Е ,, — =-+ Q,

Л т

(5)

где Е - энергия колебательных степеней свободы молекул, Ее - её равновесное значение, й - время релаксации; Q - источник энергии, поддерживающий термодинамическую неравновесность в системе;

ию =7УюТ)/т, и0 = л/у0Г)/т - скорости высокочастотного

(ю >> Ю0 = Т0"1л/Ср0^0/Срю^ю) и низкочастотного (ww<<ww0) звуков;

Ую= СРю/, У0 = СР0/^0- высокочастотный и низкочастотный показатели адиабаты; С^ = С^ + Ск + ,

Ср0 = Срю + Ск + S(тт +1) - низкочастотные теплоемкости в колебательно-возбужден-

Рис. 3. Стационарные низкочастотные структуры

?

ном газе при постоянном объёме и давлении; Т),Р0,Т0 - невозмущенные значения температуры, плотности и времени релаксации; т - молекулярная масса;

S = (Е0 -Ее0)/Т = Qто /Т - степень неравновесности среды; Т0 = т(Т0,Р0); Ск = (dE е^Т)Т=Т0 - равновесная колебательная теплоёмкость; тт = д1пТ ; ц ® = 4 л /3 + хт(1/С у ® - 1/С р ® ) ,

10 = 4л/3 + %т(1/Су0 -1/Ср0)- высокочастотный и низкочастотный вязкостно-телопроводностный коэффициент;

¥® = (у® +1) / 2 - высокочастотный коэффициент квадратичной нелинейности; ¥0 - низкочастотный коэффициент квадратичной нелинейности, который зависит от степени неравновесности £ и может быть даже отрицательным. При £ = 0 этот коэффициент имеет простой вид ¥0 = (у0 + 1) / 2 . Уравнение (4) получено в предположении слабой дисперсии, то есть малости параметра

т = (и° - и°)/и2 ~ 0« 1.

совпадает с известным релаксационным уравнением [7], но в последнем не учитывалось

отличие |0 от Ц ® и ¥0 от ¥®.

В низкочастотном приближении (д~ /ду ~ 0V) уравнение (6) сводится с точностью до величин ~ 03 к модифицированному уравнению Курамото-Сивашинского

(7)

Уравнение (7) использовалось ранее для описания волновых процессов в плёнках жидкости, стекающих по наклонной плоскости, возмущений концентраций реагирующих веществ при химических реакциях и горении, волн электростатического потенциала в тороидальных системах и т.д. [8] Здесь оно получено применительно к колебательно-возбуждённому газу (или к любой среде с релаксационным процессом типа (5)). В (7)

к Г\

= ^/2р0Т0и2 , где коэффициент второй вязкости

^ 0 = р0т0СУ®(и® - и0)/СУ0 = Р0Т0[(ТТ - Су®)8 + СК]/СУ0.

(8)

Если пренебречь малыми слагаемыми

тт г- ~ и,° , то остальные коэффициенты в (7)

Для волн, бегущих в одном направлении ^^ у '

( V = у/и® , 5 = (х - и®^u®Tо,у = 0t/Т0 ) уравнение (4) преобразуется к виду

~ ¥ ~2 ~ ~ (уу + v2 -1®v-

Су0 т к ¥0 ~2__ч _

(V у +-V 5+^-К 2 -~0~ 55 ) = 0,

С

(6)

у®

22

55

где ~ = | / 2ти°р 0. При £ = 0 уравнение (6)

~ = Су®~0/Су0 = СУ® ^0 . При Су0 > 0 все эти коэффициенты отрицательны, если отрицателен коэффициент второй вязкости

(8), т е. при (тт - Су®)8 + Ск <0.

В высокочастотном приближении

( д у/д у~0-1 V ) уравнение (6) сводится (с точностью до величин к 02 ) к уравнению

Рис. 5. Стационарные структуры, образующиеся при эволюции возмущения типа "ступенька"

Бюргерса с источником и интегральной дисперсией (3).

Эволюцию возмущения произвольного спектра необходимо исследовать с помощью полного уравнения (6). Для численного решения уравнения (6) в настоящей работе использовался метод расщепления [9]. Рассматривалась среда с отрицательным коэффициентом суммарной вязкости = ^ + ~0 < 0, т.е. Cvюm/2Cvо - ~0 > 0. Кроме того, полагалось С^ > 0, ¥о > 0, ¥ю > ¥о .

В зависимости от начальной амплитуды VI возмущения типа "ступенька" наблюдались следующие режимы его эволюции. При VI > Укр фронт ступеньки в ходе эволюции закруглялся (рис. 5а). При ~о = ~ю = 0 величина укр = т/(¥ю - ¥о ).

Подобный закругленный фронт ударной волны типичен для релаксирующих сред при

¡¡^>0 и преобладании нелинейных эффектов [1,7].

При УкР<У!<ув

укр = 2|м-х|Суо/Суоо(2х1,оо ~ ная структура имела вид типи ны детонации (рис. 56). Устано рость фронта во вс<

\У = (^о^! + да) / 2 , величина

нения ур =

т^-г^суо/с.

При VI < V кр ступенька становилась неустойчивой и распадалась на периодическую последовательность стационарных импульсов (рис. 6) с амплитудой = 2У^ .

Все описанные выше стационарные структуры могут быть получены также при решении автомодельной (2 = ^ - Wy ) формы уравнения (6):

+ - ^Ф) - V] +

Цю CVю Ц

ю

ю Ц ю

+ + + ¥о~2] = 0. (9)

ЦюCVю 2 2

Эти структуры могут существовать только

при <о и W > w]Kр = о.5(тт + ¥оVкр) [9,10].

Для примера на рис. 7 представлены фазовый портрет (а) и вид уединенного импульса (б), соответствующего движению по сепаратрисе. Он точно соответствует стационарному импульсу эволюционной задачи. Полу-

V,,

V,

¥

-1- гг

Рис. 6. Эволюция возмущения малой амплитуды типа "ступенька" с образованием стационарных импульсов

/////// >-///////

щ\

ss/f iill V///////

Рис. 7. Стационарный автоволновой импульс (а) и соответствующая ему сепаратриса на фазовой плоскости (б)

ченныи уединенным импульс при >> 1 сильно асимметричен, так как инкремент нарастания переднего фронта « 2¥(2¥- ¥о )Суда~да много

больше ~ Суо^^2Суда ¥ да - инкремента экпоненциального нарастания заднего фронта.

Этот уединённыИ импульс является автоволной, поскольку его амплитуда и скорость определяется параметрами неравновесной среды, а не граничными условиями. В подтверждение этому на рис. 8 показана нестационарная эволюция возмущения типа "колокол" в той же самой среде с отрицательным коэффициентом суммарной вязкости в разные

моменты времени у < у2 < Уз . В результате

У\

v„

У2

У з

Рис. 8. Эволюция возмущения типа "колокол" с образованием автоволнового импульса

образуется один или несколько автоволновых уединённых импульсов и нестационарный осциллирующий "хвост". Площадь возмущения при этом сохраняется.

Таким образом, проведённое в настоящей работе численное моделирование распространения возмущений типа "ступенька" и "колокол" демонстрируют существенное отличие эволюции газодинамических возмущений в неравновесных средах с отрицательной вязкостью по сравнению с эволюцией в равновесных средах. Полученные стационарные структуры (рис. 5-8) имеют широкий спектр и не могут быть описаны с помощью используемых ранее уравнений низкочастотного или высокочастотного приближений.

Работа выполнена в рамках российско-американской программы "Фундаментальные исследования и высшее образование" ("BRHE"), при финансовой поддержке Министерства образования РФ, Администрации Самарской области, Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

2. Molevich N.E. Acoustical properties of nonequilibrium media // AIAA Paper. 2004. № 1020.

3. Коган Е.Я., Молевкч H.li. Звуковые волны в неравновесном молекулярном газе // Известия Вузов СССР. Физика. 1986. Т. 29. №7.

4. Коган Е.Я., Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Структура нелинейных акустических волн в неравновесном колебательно-возбуждённом газе// Письма ЖТФ. 1987. Т.13. №14.

5. Makarian V.G., Molevich N.E. Stationary high-frequency structures in vibrationally excited gas// V Int.school - seminar nonequilibrium process and their applications: Contrib. Papers. Minsk. Belarus, 2000.

6. Молевич Н.Е. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью// Сиб. Физико-технический жур-

нал.1991.№1.

7. Остроумов Г.А. Основы нелинейной акустики. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1967.

8. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997.

9. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью // Известия РАН. МЖГ. 2004. № 5.

10. Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т.29. №18.

EVOLUTIONARY STABLE GAS DYNAMICAL STRUCTURES IN NONEQUILIBRIUM ACOUSTICAL ACTIVE MEDIA

© 2005 V.G. Makaryan1, N.E.Molevich2

1 Samara State Aerospace University 2 Samara Branch of Physics Institute named for P.N. Lebedev of Russian Academy of Sciences

Numerical investigation of gas dynamical disturbances of a step like and a "bell" like forms are carried out in nonequilibrium medium with the negative total viscosity. The evolutionary stable stationary structures are obtained including the strongly asymmetric self wave pulse with a power-law trailing front and a shock leading front.