Формирование и взаимодействие автоимпульсов в колебательно-неравновесном газе с источником энергии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6

ФОРМИРОВАНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АВТОИМПУЛЬСОВ В КОЛЕБАТЕЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ С ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ1

© 2010 В.Г. Макарян2

На основе численного решения уравнений газодинамики неравновесной среды с источником энергии показана возможность формирования в таких средах автоимпульсов с ударным передним фронтом и близким к экспоненциальному задним фронтом, обнаружено их солитоноподобное поведение: полное восстановление формы импульсов при взаимных столкновениях.

Ключевые слова: автоволна, неравновесный, релаксация, взаимодействие.

Введение

В неравновесных средах (неизотермическая плазма, химически активные смеси с необратимыми реакциями, газы с неравновесным возбуждением колебательных состояний молекул) экспериментально наблюдаются усиление акустических волн и модификация структуры ударных волн, в том числе ослабление или усиление ударной волны, ускорение ударной волны, уширение фронта, появление предвестников [1—10]. Полномасштабного объяснения этих явлений пока нет.

Как показано в [11—13], в средах со стационарно поддерживаемой неравновесностью изменение структуры слабой ударной волны может быть вызвано существенно новыми акустическими свойствами подобных сред, обусловленных знако-переменностью коэффициентов второй вязкости, дисперсии и газодинамической нелинейности.

В работе [14] структура слабой ударной волны, распространяющейся в слабо неравновесном колебательно-возбужденном газе, исследовалась с помощью нелинейного акустического уравнения, полученного в [15] с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде для экспоненциальной модели релаксации. Была проведена полная классификация стационарных структур, описываемых этим уравнением. В частности, было найдено стационарное решение в виде автоимпульса с ударным передним и экспоненциальным задним фронтом. Показано, что ударная волна малой амплитуды и локализованное возмущение в процессе

1 Работа частично поддержана аналитической целевой программой Министерства образования и науки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг)", проект 2.1.1/309, Федеральной целевой программой "Научные и научно-педагогические кадры инновационной Рос-сии"на 2009-2013 гг. (проекты НК-410П/38 и НК-422П/59).

2Макарян Владимир Георгиевич (vmak@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 32.

эволюции распадаются на серию таких импульсов и пилообразную периодическую автоволну с экспоненциальными задними фронтами.

В настоящей работе найдены численные решения полной системы уравнений газодинамики колебательно-неравновесного газа с источником энергии. Показана возможность формирования в таких средах автоимпульсов с ударным передним фронтом и близким к экспоненциальному задним фронтом; обнаружено их соли-тоноподобное поведение, заключающееся в полном восстановлении формы импульсов при их взаимном столкновении.

1. Постановка задачи

Рассмотрим исходную систему уравнений газодинамики, включающую уравнения непрерывности, Навье — Стокса, состояния газа и переноса тепла [16]:

¿У

¿р ду о

¿Ь Р дх ' дР 4 д

ду

р ¿Ь дх +3 дх дх Р = рТ/т,

с ¿т + ¿Ек _ Т^р = д _ I + д (хдТ

¿Ь ¿Ь р ¿Ь дх у дх

4-цт 3Р "

ду дх

(1)

(2)

(3)

(4)

где ¿/¿Ь = д/дЬ + у д/дх; т — средняя молекулярная масса; у —скорость газа; Т, р, Р — температура (в энергетических единицах), плотность и давление среды; Суж — замороженная теплоемкость при постоянном объеме, п, X — коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводности газа. Эту систему дополним уравнением релаксации внутренних степеней свободы. Для неравновесного возбуждения колебательных состояний молекул можно применить следующую модель релаксации:

¿Ек Еке _ Ек , „

—¡г = —ГГр N + Q, (5)

¿Ь тк (Т,р)

где Ек — колебательная энергия в расчете на одну молекулу, Еке ее равновесное значение (то есть ее значение при равенстве стационарных колебательной и поступательной температур Ту = То); тк (Т,р) — время колебательной релаксации; д — мощность внешнего источника накачки (на одну молекулу), необходимая для поддержания неравновесности Ек > Еке; I — мощность теплоотвода в расчете на одну молекулу.

В (5) равновесное значение колебательной энергии

Тк

Ее =

ехр (ТО _ 1'

(6)

где Тк — энергия колебательного кванта, а зависимость времени релаксации от температуры и плотности запишется, согласно модели Ландау — Теллера, в следующем виде [17]:

' ь . 3/Т;

Т (Т,р) = В-

ехр

р^Т

(7)

где В и Ь — постоянные коэффициенты. Модель релаксации с одним релаксационным процессом (7) во многих случаях применима для систем с несколькими

2

уровнями энергии. Для примера рассмотрим колебательный энергообмен в смеси азота и углекислого газа. Добавление к смеси СО2 : N2 гелия в различных концентрациях позволяет дополнительно управлять временем релаксации. Путем разделения быстрых и медленных процессов релаксации в данной смеси можно ограничиться одним уравнением релаксации вида (5) [18, 19]. Время релаксации т для смеси СО2 : N2 : Не (1:2:3) задается согласно [19] в виде

т-1 = 10-6МА/р[1, 31 • 10-105со2 ехр(—62, 75/Т V3) + + 2, 97 • 10-1°^2 ехр(—75, 46/Т1/3) + 1,1 • 10-126н^у/Техр(—58, 82/Т 1/3)]/М, здесь ма — число Авогадро, М — молярная масса смеси, §со2 = 1/6, 5и2 = 2/6, §не = 3/6 — относительные молярные концентрации углекислого газа, азота и гелия. При нормальных условиях (Р° = 105 Па, Т° = 300 К) время релаксации т° = 0, 91 • 10-5 с.

Средняя колебательная энергия, приходящаяся на одну молекулу рассматриваемой смеси, определяется выражением: Е° = Ею + E^^o,

где Ею — равновесная энергия быстро релаксирующих колебательных степеней свободы, которая слабо зависит от температуры, а Ец° равновесная энергия медленно релаксирующих колебательных степеней свободы: Ец° = 63 + _ 6

~ = С02 ехр (63/Т) — 1 + Щ ехр (в/Т) — 1. Здесь 61 = 1999 К, 62 = 960 К, 63 = 3383 К и 6 = 3357 К — характеристические колебательные температуры трех колебательных мод молекулы СО2 и одной колебательной моды молекулы N2, соответственно [18] (6 = Ьи/к, где НV — колебательный квант, к — постоянная Больцмана). Для указанной смеси Суж = 2,16, Срж = 3,16 в единицах к, = 1,46, еж = 442 м/с [20].

Для упрощения системы уравнений (1)-(5) введем безразмерные переменные

Т = р/р°, V = у/еж, Р = Р/Р°, Т = Т/Т°, Б = Ят°/Т°, Ек = Ек/Т°, Еке =

= Еке/Т°, т = т/т°, р= Ь/т°, X = х/(сжт°),

где р°, Р°, Т° — невозмущенные значения плотности, давления и температуры (температура в энергетических единицах); т° = тк(Т°, р°), еж = \/7жР°/р° — высокочастотная скорость звука, — высокочастотный показатель адиабаты; Б — степень неравновесности среды. В этих переменных система уравнений (1)-(5) примет вид

dp tдV 0

dt Р дХ '

(8)

tdv =1 dP 4n d2v Р dt Yo дХ 3pqtqc^ dX2 '

C dT + dEK dt dt

P = pT,

T d p p dt dEK = dt =

X

д 2T

tqcO дХ2

EKe — EK

+

4n7o

p, T

3 pp qtqo;

+ S.

д v дХ

(9) (10) (11)

(12)

Здесь коэффициенты n и x считаются не зависящими от координаты x. После исключения плотности из уравнения (9) с помощью уравнения (10) и производных dEK/dt и dp/dt из уравнения (11) с учетом выражений (8) и (12) система уравнений (8)-(12) примет следующий вид:

2

д р „д р „д\ —~ = —V—~ — р—~ , др дх дх

д V „д\ 1 —- = —V---

дЬ дх

дТ Т др дх р дх

+

4п д2V 3ррогос^ дх2'

(14)

дТ д

дТ

1

дх С

У то

Еке — ЕК + ^ + р ЗУ__Х

р, Т^ дх Т0 С1о дх2

дЕк _ дЕк , Еке — Ек , „

= —^^^ +--7-ч--+ Я.

д2Т 4

дЬ

дх

р, Т

3 рРоТоС

дх

(15)

(16)

Таким образом полученная математическая модель включает в себя обезразме-ренные уравнения неразрывности, Навье — Стокса, переноса тепла, релаксации, а также уравнения (6) и (7).

2

2. Численное моделирование

Для численного решения полученной системы уравнений (13)—(16) пространственные производные аппроксимировались пятиточечными разностными функциями четвертого порядка точности:

др = —р+2 + 8р»+1 — 8р-1 + р-2 дх = 12к

и аналогично для дУ/дх, дТ/дх и дЕк/дх, и

д2V = + 16^+1 — + 16У— — У— | о

дх2 = 12к2

+ О (к4

+ О (к4

и аналогично для д2Т/дх2. Здесь к — величина шага сетки по пространственной координате. Интегрирование по времени полученной таким образом системы обыкновенных дифференциальных уравнений велось по методу Рунге — Кутты 4-го порядка [21].

Численное моделирование велось при следующих параметрах сетки: шаг сетки к = 0,01, величина шага по времени Др = 0, 0025. Для устойчивости численного счета вблизи скачков уплотнения применялись следующие значения коэффициентов сдвиговой вязкости и теплопроводности: п = х = 0,005. Моделирование проводилось для двух типов начальных условий. В первом случае бралась ударная волна, параметры которой были рассчитаны без учета неравновесности среды, сама же среда перед фронтом ударной волны была стационарно неравновесной. Во втором случае начальное состояние газа задавалось в виде локализованной области с повышенной температурой до 2,0То в максимуме, остальные параметы среды (кроме давления) соответствовали стационарно неравновесному невозмущенному состоянию при Т = То. Такое условие физически соответствует тепловому взрыву, когда происходит мгновенный разогрев некоторой области газа, и газ еще не начал расширяться.

В ходе эволюции в первом случае начальная ударная волна с малой амлитудой становилась неустойчивой и трансформировалась на серию импульсов с ударным

передним и спадающим задним фронтом и пилообразную периодическую волну, распространяющуюся с меньшей скоростью (рис. 1). Во втором случае (при тепловом взрыве) наблюдался распад начального возмущения на тепловую волну и два одинаковых нестационарных импульса, распространяющихся в противоположных направлениях (рис. 2, а). Каждый из этих импульсов в процессе эволюции трансформировался в нестационарную структуру, состоящую из серии стационарных импульсов, идущих впереди, периодической пилообразной волны, распространяющейся сзади и нестационарной области, в которой происходит постепенное превращение отдельных периодов этой волны в стационарные импульсы (рис. 2, б). Как было показано в [14], такие импульсы являются автоволновыми, поскольку их форма и скорость полностью определяются параметрами неравновесной среды.

При малых степенях неравновесности (Б < 0,1) структуры, полученные при решении системы (13)—(16), хорошо согласуются с численными и аналитическими решениями нелинейного акустического уравнения, найденными в [14]. При больших Б наблюдается хорошее качественное соответствие.

Рис. 1. Структуры, образующиеся при распаде слабой ударной волны в колебательно-неравновесном газе с источником энергии за время 1500 (Я = 0, 2)

Рис. 2. Структуры, образующиеся при тепловом взрыве в колебательно-неравновесном газе с источником энергии (при Я = 0,2; начала отсчета на графиках не совпадают): а — два нестационарных импульса и тепловая волна (в центре) (Ь ~ 130); б — серия стационарных импульсов впереди, периодическая пилообразная волна сзади (£ ~ 1000)

Было исследовано столкновение полученных стационарных импульсов. Для этого вначале производилось формирование первого импульса в течение достаточно длительного времени (р « 200) для того, чтобы он успел достаточно сильно уйти вперед от остальных импульсов, и его "хвост" не был бы сильно искажен. Затем на его основе формировался второй (зеркальный) импульс, распространяющийся ему навстречу. Результаты столкновений импульсов при степени неравновесности газа Я = 0, 2 представлены на рис. 3.

р 1,6

10 -15

Рис. 3. Процесс столкновения двух автоимпульсов в колебательно-неравновесном газе с источником энергии при степени неравновесности 6 = 0,2

Непосредственно во время столкновения импульсов профили газодинамических величин в зоне столкновения существенно отличаются от суммы профилей сталкивающихся импульсов (особенно для случая с большей степенью неравновесности). Но с течением времени форма импульсов очень быстро восстанавливается (время восстановления порядка нескольких то). Полученная картина не претерпевает качественных изменений при других зависимостях времени релаксации от температуры (например, при Т = 1/(рТ2)).

Таким образом, полученные импульсы демонстрируют поведение, аналогичное поведению солитонов, описываемых уравнением Кортевега-де-Вриза: восстановление формы при столкновениях друг с другом. Вместе с тем необходимо особо отметить, что эти импульсы в строгом смысле солитонами не являются, поскольку их амплитуда полностью определяется параметрами среды, тогда как у "настоящих" солитонов амплитуда и эволюция зависят еще и от начальных условий.

Заключение

В настоящей работе найдены численные решения полной системы уравнений газодинамики колебательно-неравновесного газа с источником энергии. Показана возможность формирования в таких средах автоимпульсов с ударным передним и задним фронтом, близким к экспоненциальному. Показано, что ударная волна малой амплитуды и локализованное возмущение в процессе эволюции распадаются на серию таких импульсов и пилообразную периодическую автоволну с экспоненциальными задними фронтами. Впервые обнаружено солитоноподобное поведение

автоимпульсов, заключающееся в полном восстановлении формы импульсов при их взаимном столкновении.

Литература

1] Распространение ударных волн в нестационарном тлеющем разряде / А.И. Климов [и др.] // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 20. С. 31-36.

2] Басаргин И.В., Мишин Г.И. Предвестник ударной волны в плазме тлеющего разряда // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 8. С. 55-60.

3] Быстров С.А., Иванов В.И., Шугаев Ф.В. Распространение плоской ударной волны в слабоионизованной плазме // Физика плазмы. 1989. Т. 15. № 5. С. 558-562.

4] Гридин А.Ю., Климов А.И., Молевич Н.Е. Распространение ударных волн в плазме тлеющего разряда // ЖТФ. 1993. Т. 63. № 3. С. 157-162.

5] Гридин А.Ю., Климов А.И. Структура ударной волны в неравновесной плазме (выделение энергии, запасенной в разрядной плазме за ударной волной) // Хим. физика 1993. Т. 12. № 3. С. 363-365.

6] Ganguly B.N., Bletzinger P., Garscadden A. Shock wave damping and dispersion in nonequilibrium low pressure argon plasmas //Phys. Lett. A. 1997. V. 230. № 3. P. 218-222.

7] Shock wave propagation and dispersion in glow discharge plasmas / S.O. Macheret [et al.] //Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 2693-2705.

8] Klimov A.I., Bityurin V., Serov Yu. Nonthermal approach in plasma aerodynamics // AIAA Paper. 2001. № 0348.

9] Molevich N.E., Klimov A.I., Makaryan V.G. Influence of thermodynamical non-equilibrium on acoustical properties of gases // Intern. J. Aeroacoustics. 2005. V. 4. № 3-4. P. 345-355.

10] Plasmas in high speed aerodynamics / P. Bletzinger [et al.] //J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. № 4. P. R33-R57.

11] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 181-191.

12] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т. 29. № 18. С. 11-15.

13] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Слабые ударные волны в неравновесных средах с отрицательной дисперсией //ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 6. С. 13-18.

14] Макарян В.Г., Молевич Н.Е., Порфирьев Д.П. Классификация газодинамических структур, описываемых нелинейным уравнением акустики релаксиру-ющей среды // Вестник СамГУ. 2009. № 6. С. 92-104.

15] Молевич Н.Е. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью // Сибирский физико-технический журнал. 1991. № 1. С. 133-136.

16] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

17] Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1963. 632 с.

18] Андерсон Дж. Газодинамические лазеры: введение. М.: Мир, 1979. 249 с.

19] Колебательная релаксация в газах и молекулярные лазеры / Б.Ф. Гордиец [и др.] // УФН. 1972. Т. 108. № 4. С. 655-699.

[20] Макарян В.Г. Структура газодинамических возмущений в стационарно неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Самара, 2006.

[21] Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 272 с.

Поступила в редакцию 19/III/2010;

в окончательном варианте — 19/III/2010.

GENERATION AND INTERACTION OF AUTOPULSES IN VIBRATIONALLY-EXCITED GAS WITH POWER

SOURCE

© 2010 V.G. Makaryan3

Basing on numerical solution of gas dynamics equations, the possibility of generation of autopulses with the sharp leading front and near exponential tail front is shown in nonequilibrium media. Similar to the soliton collision, the full pulse regeneration after mutual collisions of these autopulses is found.

Key words: autowave, nonequilibrium, relaxation, interaction.

Paper received 19/III/2010. Paper accepted 19/III/2010.

3Makaryan Vladimir Georgievich (vmakSrambler.ru), the Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russia.