Научная статья на тему 'Классификация газодинамических структур, описываемых нелинейным уравнением акустики релаксирующей среды'

Классификация газодинамических структур, описываемых нелинейным уравнением акустики релаксирующей среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
112
36
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Макарян Владимир Георгиевич, Молевич Нонна Евгеньевна, Порфирьев Денис Петрович

В работе рассматриваются аналитические и численные решения нелинейного уравнения акустики релаксирующей среды. Проведена полная классификация стационарных структур, описываемых этим уравнением

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Макарян Владимир Георгиевич, Молевич Нонна Евгеньевна, Порфирьев Денис Петрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Классификация газодинамических структур, описываемых нелинейным уравнением акустики релаксирующей среды»

УДК 533.6

КЛАССИФИКАЦИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ АКУСТИКИ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ

© 2009 В.Г. Макарян,1 Н.Е. Молевич^ Д.П. Порфирьев3

В работе рассматриваются аналитические и численные решения нелинейного уравнения акустики релаксирующей среды. Проведена полная классификация стационарных структур, описываемых этим уравнением.

Ключевые слова: ударная волна, стационарная структура, автоволна, устойчивость, неравновесная среда, релаксация, усиление звука, отрицательная дисперсия, отрицательная вязкость.

1. Предварительные сведения

В неравновесных средах (неизотермическая плазма, химически активные смеси с необратимыми реакциями, газы с неравновесным возбуждением колебательных состояний молекул) экспериментально наблюдается усиление акустических волн и модификация структуры ударных волн, в том числе ослабление или усиление ударной волны, ускорение ударной волны, уширение фронта, появление предвестников [1—10]. Полномасштабного объяснения этих явлений пока нет.

Как показано в [11—13], в средах со стационарно поддерживаемой нерав-новесностью изменение структуры слабой ударной волны может быть вызвано существенно новыми акустическими свойствами подобных сред, обусловленных знакопеременностью коэффициентов второй вязкости, дисперсии и газодинамической нелинейности. Структура слабой ударной волны,

хМакарян Владимир Георгиевич (vmak@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34.

2Молевич Нонна Евгеньевна (molevich@fian.smr.ru), Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

3Порфирьев Денис Петрович (dporfirev@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.

распространяющейся в слабо неравновесном колебательно-возбужденном газе, исследовалась с помощью нелинейного акустического уравнения, полученного с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде

Суст0 (ptt C^oPxx ССсФсp2xx Р pxxt^ t +

+СуQ (ptt — cQpxx — С0Ф0p2xx — pxx^ = 0-

(l.l)

Оно было получено в работе [14] для экспоненциальной модели релаксации

(Е _ Ее(Т) — Е (И

+ Q,

т (T, р)

где E — колебательная энергия, Ee(T) — ее значение в состоянии равновесия и в отсутствие источника, т(T, р) — время VT релаксации, Q = const — мощность источника накачки (например, электрическая накачка в разряде или оптическая накачка), поддерживающего стационарное неравновесное состояние, которое характеризуется степенью неравновесности

S=

E0 — Ee0 Qt(Т0, pQ)

Tq

Tq

При этом использовалась простейшая модель теплоотвода, осуществляющегося с поступательных степеней свободы и мощность которого полагается равной мощности источника накачки.

В уравнении (1.1)

_ ' ер*

т^То

м ’ + 1 2 :

Со

Ф

о =

7оТо

~М’

St' (1 + S) CP 0Су о

+

0 :

Су с

1 + 2Су о 2Су о

СР о

Су о

St'' (1 + S)2 2Cp оСу

у о

Су о = Су с + Ск + St' , Сро = Срс + Ск + S (т' + 1)

E0 — Ee0 Qtq ,

S — , т

Tq

Tq ’

То дт_ то дТ

Т 2 г)2 Т // _ Т0 ° т

T=To

То

дТ 2

4п „ , / 1

= -з + Xм С

3 \Суж СРоо

T=To

1

1 \ 4^ /1

> № = -з + Xм (С С

3 \Су0 Сро

Здесь р _ р — ро — возмущение плотности; р — плотность газа; Сж, Со — высоко- и низкочастотная скорость звука; 7ж, 70 — высоко- и низкочастотный показатели адиабаты; Су о, Ср о, Су оо, Ср ж — низко- и высокочастотные теплоемкости в колебательно-возбужденном газе при постоянном объеме и давлении; То, ро, то — невозмущенные значения температуры, плотности и времени релаксации; Ео, Еео — стационарные значения величин Е, Ее; С к — равновесная колебательная теплоемкость; цж, р,о — высоко- и низкочастотный вязкостно-теплопроводностные коэффициенты; П, X — коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводности; Фж, Фо — высоко- и

C

DO

низкочастотный коэффициенты квадратичной нелинейности. Следует подчеркнуть, что коэффициент нелинейности Фо зависит от степени неравно-весности 5 и может быть даже отрицательным. Впервые на это было обращено внимание в [15].

Для волн, бегущих в одном направлении, уравнение (1.1) при помощи замены координат у _ вЬ/то, ( _ (х — СжЬ) /сжто преобразуется к безразмерному виду

/ т \

(ру + фжРРс — ЛжРсс— и \Ру + + ФоРРС — ПоР(() _ 0, (1.2)

где Р_(р — ро) /ро — безразмерное возмущение плотности; По_^о/2тосЖро, Пж _ Цж/2тоС2жро, Фо _ Фо7о/7ж.

Исследованию решений, описываемых уравнением (1.2), посвящены работы [11—13]. В них получены как численно, так и аналитически решения для ряда значений параметров уравнения. В настоящей работе проведена полная классификация стационарных решений уравнения (1.2) и всех типов эволюции различных начальных возмущений.

2. Стационарные структуры, описываемые акустическим уравнением

Путем масштабных преобразований переменных

— \т\ , (' _ 2 ,

Р_2Фжр ’ ( _ М ’ У \и\\т\У’

уравнение (1.2) сводится к следующему виду:

( рУ' + рр'а — пЖр,('(')с — у' (рУ' + тр'а + Фр,р'е — п'ор'с'с^ _ 0 (2.1)

где V = вдп(и), т' = вдп(т), Ф = Фо/Ф™, пЖ = 2^ПГ, По = . Данное

уравнение содержит меньшее количество независимых параметров по сравнению с (1.2) и, соответственно, допускает более простую классификацию решений.

Преобразуем уравнение (2.1) к стационарной форме, используя автомодельную замену г = (' — иу', с последующим интегрированием по пространственной координате г:

П'ооР'гг + Р'г (и — »'п0 — р') + »' — (и — т') р' + Фр'2/2) = —"'0, (2.2)

где и — скорость стационарной волны, а —V'0 — константа интегрирования. Из (2.1) и (2.2) следует, что она пропорциональна потоку 0 величины / р'Г(' через сечение, движущееся со скоростью стационарной волны:

Г Г™

0 = ъ р'йС’ (2.3)

Мі с і

где СО — координата сечения.

При пЖ _ 0 уравнение (2.2) не имеет аналитических решений. Однако в типичных газовых средах коэффициенты Поо, По имеют значения порядка 10_5, и их учет практически не сказывается на виде решений уравнения (2.2).

При пЖ _ 0 уравнение (2.2) сводится к виду

где

П_ = (р'— р'і) (р'— р2)

Гг а (р' — р'т) '

а = 2/и'Ф, р'т = и — и'пО,

а р1 и р2 удовлетворяют соотношениям:

(2.4)

(2.5)

р1 + р2 =

2и — т'

'1 '2 =

Ф Г1Г2 Фу'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Решение уравнения (2.4) можно записать в неявном виде

(2.6)

г = го + а

р'з

'1

р \п\р/ — р21 + р—рт 1п\р' — р11 2 1 — 2

В случае, когда р1 = р2,

(2.7)

г = го + а

р р2 + \и\р' — р2\

(2.8)

. р — р2

где го — произвольная постоянная.

На рис. 2.1 представлены интегральные кривые уравнения (2.4) при различных соотношениях между р1, р2, р'3 и условии а > 0. При а < 0 интегральные кривые отличаются лишь направлением (получаются из интегральных кривых рис. 2.1 заменой г на — г ). Положим в дальнейшем везде р1 ^ р2. Отсюда и из (2.6) следует условие на скорость волны:

и — т'/2

Ф

(2.9)

Рис. 2.1. Вид интегральных кривых уравнения (2.4) при различных

соотношениях параметров р2 и р'а\

а - р'а < р2 < р'\; б - р'а _ р2 < р'ъ в - р2 < ра < г

р2 < р'а = р'ъ

р2 < рі < р'а; е - р2 = рі < р.

ра < р2 = рі

д

Уравнение (2.4) допускает существование интегральных кривых восьми типов (с точностью до замены знака г), три из которых реализуются в конечном диапазоне значений параметров р1 , р2 , р'3 (рис. 2.1, а, в и д), а остальные являются вырожденными.

Как видно из уравнений (2.4) и (1.1), параметр р'3 не является независимым, он связан с р1 и р2 соотношением

р'в _ Ф (р1 + р2) /2 + т'/2-

Таким образом, вид решения уравнения (2.4) определяется значениями р1, р2 и Ф и знаками величин V и т.

Найдем решения уравнения (2.2), имеющие своими асимптотами р1 и р2 ( р'(±ж) _ р1, р2 ). Такие решения могут состоять из асимптот, отрезков интегральных кривых и разрывов. При этом, ввиду положительности Фж, разрывы могут быть только с переходом от большего значения р' к меньшему (при переходе через разрыв слева направо) [16]. Величина разрыва связана со скоростью волны и следующим соотношением:

р'ь + р'я _2 (и — VЧ) _ 2р'з> (2.10)

где р'ь, р'я — значения р' слева и справа от разрыва.

Из соотношения (2.10) следует, что решения с разрывами могут существовать только при выполнении следующего условия:

р'ь > р'в > р'я-

С учетом этого условия возможно существование только 10 решений с разрывами: по пять при а > 0 (рис. 2.2, а—д) и а < 0 (рис. 2.2, е-и и в).

Рассмотрим решения с разрывами при а > 0 .

1. Волна с плавным повышением плотности за фронтом (рис. 2.2, б), с разрывом на средней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, в. В этом случае р'я _ р2, величина разрыва определяется соотношением р'ь _ Фр1 + + (Ф — 1) р2 + т' — v'n0, а скорость равна и _ (Ф(р1 + р'2) + т')/2. Данное решение существует при условии р'ь < р1, что сразу дает условие р1<р'сг1 = (т' — V'По)/(1 — Ф) — р2 при Ф — 1 > 0 и р1 > р'сг1 при Ф — 1 < 0.

2. При условии р1 _ р'сг1 предыдущая стационарная волна превращается в ступеньку с р'ь _ р'\ и р'я _ р2 (рис. 2.2, в).

3. При условии р'1 > р'сг1 при Ф — 1 > 0 и р\ < р'сг1 при Ф — 1 < 0 становится возможным существование волны с плавным уменьшением плотности за фронтом, показанной на рис. 2.2, г, она включает в себя верхнюю ветвь интегральной кривой на рис. 2.1, в и разрыв до асимптоты р\. Величина разрыва определяется тем же соотношением, что и в случае 2.

4. При р'3 _ р'1 существует стационарная волна в виде ударного импульса (рис. 2.2, д), соответствующая разрыву на верхней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, г. Амплитуда импульса равна р[ = р'ь — р'я _ 2(р\ —

— р2) _2(т' — 2р2)/(2 — Ф), а его скорость иц _ (Ф р2 + т' — Ф^п'о)/(2 — Ф).

Рассмотрим теперь решения с разрывами при а < 0 .

_ А

\ а

2

а б в г д

V 1 ^— Ґ 4 ^

^ ) |г z

е СИС 3 и к л

Рис. 2.2. Стационарные решения уравнения

5. Волна с плавным повышением плотности перед фронтом (рис. 2.2, ж), с разрывом на средней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, в (с учетом инверсии оси г). В этом случае р'ь = р\, величина разрыва определяется соотношением р'к = Фр2 + (Ф — 1) р\ + т' — и'ц'0, а скорость равна и> = (Ф(р[ + р2) + т')/2. Данное решение существует при условии р'и > р'2, что сразу дает условие р'1 > р'сг2 = (т' — у’П0)/(1 — Ф) — р'2 при Ф — 1 > 0 и р\ < р'сг2 при Ф — 1 < 0.

6. При условии р^ = р'сг2 предыдущая стационарная волна превращается в ступеньку с р'ь = р^ и р'к = р2 (рис. 2.2, в).

7. При условии р\ < р'сг2 при Ф — 1 > 0 и р\ > р'сг2 при Ф — 1 < 0 становится возможным существование волны с плавным уменьшением плотности перед фронтом, показанной на рис. 2.2, з, она включает в себя нижнюю ветвь интегральной кривой на рис. 2.1, в и разрыв до асимптоты р^. Величина разрыва определяется тем же соотношением, что и в случае 5.

8. При р'3 = р2 существует стационарная волна в виде ударного импульса разрежения (рис. 2.2, и), соответствующая разрыву на нижней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, б. Амплитуда импульса равна —р', а его скорость —Wi.

Решения без разрывов в виде волн перепада, показанные на рис. 2.2, а, е, к и л, реализуются в следующих случаях.

9. При положительном коэффициенте а существует волна с плавным повышением плотности за фронтом (рис. 2.2, а), соответствующая слабому разрыву на нижней ветви интегральной кривой при р'3 = р2 (рис. 2.1, б). В этом случае р'ь = р'я = р'2, и скорость волны равна w = р2 + ^'п0. Данное

/ (2-Ф)р'.2-т/+2и/ц/

решение существует при условии р\ = ------- 2 ф------—.

10. При отрицательном коэффициенте а существует волна с плавным повышением амплитуды перед фронтом (рис. 2.2, е), соответствующая

слабому разрыву на верхней ветви интегральной кривой при р'3 = р\ (рис. 2.1, г при инверсии оси г). В этом случае р'ь = р'к = р1, и скорость

волны равна w = р\ + v'n0. Данное решение существует при условии р2> = = (2-Ф)р'1-т/+2и/п'0 = ф .

11. Решение в виде волны перепада с плавным нарастанием амплитуды (рис. 2.2, к) реализуется как средняя ветвь интегральной кривой при условии р'3 < р'2, если а > 0 и р\ < р'3, если а < 0.

12. Решение в виде волны перепада с плавным убыванием амплитуды (рис. 2.2, л) реализуется как средняя ветвь интегральной кривой при условии р'3 < р'2, если а < 0 и р\ < р'3, если а > 0.

3. Нестационарная эволюция волн

Для удобства численного моделирования исходное уравнение (2.1), которое содержит частные производные до третьего порядка включительно, было представлено в виде системы двух уравнений второго порядка:

/с — и'1' = V,

р'у/ + р' р'^/ —

где введено обозначение

V = V

т

—р'^/ — (1 — Ф) рр'^/ + (яЖ — ^о) р'с/с/

2

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Первое из этих уравнений для заданной функции v(C', У') интегрируется в явном виде:

ГЖ

/ = — ¥(х)е-и'(х-‘"'')йх.

к/

Соответственно для сеточной функции /I = / ((' = Нг, у' = т]) имеем

/3± 1 =е

±и/Н

Н

(3.4)

где VI = V (С' = Нг, у' = т]) с учетом соотношения (3.3) было представлено в виде

з\ рт— ^-1 + п — по) р^+1 — 2р + р—

Н2

(3.5)

здесь

р3 = р (С = Нг, у' = т] ■

Для устойчивости вычислений по формуле (3.4) необходимо, чтобы в процессе счета ошибки округления убывали. Это возможно при условии, что множитель е±не превосходит единицы. Поэтому при V' > 0 счет по

формуле (3.4) производился справа налево, т. е. в (3.4) выбирался нижний знак, а при Vі < 0 — наоборот.

Для решения уравнения (3.2) использовалась неявная трехточечная схема с порядком аппроксимации

3 + 1 і 3

РІ +РІ + 1

3+1 3+1 3 3

З Рі+1 -Рі-і + 3+1 Рі+і-Рі-і рі 2Н "Г" рі 2Н

т ' 2

3+1 23+1 + 3+1 3 23 +3

рі+і -2рі +рі-і і рі+і-2рі +рі-і

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ь2 + Ь2

(3.6)

= я.

Для численного решения системы (3.1), (3.2) использовался следующий алгоритм. По формуле (3.5) находились значения правой части уравнения

(3.1). Затем по формуле (3.4) находились значения /3 и подставлялись в правую часть уравнений (3.6). Наконец, неизвестные значения плотности на верхнем временном слое р3+1 находились путем решения системы (3.6) методом прогонки.

В работе исследована эволюция начального возмущения в форме ступеньки с амплитудой р\ (при условии р2> =0) в неравновесном газе при различных знаках дисперсии т и низкочастотного коэффициента нелинейности Фо. При этом в зависимости от величины р1 имеют место следующие типы эволюции начального возмущения.

При выполнении условия р1 > р'сг1 начальное возмущение в виде ступеньки в процессе эволюции стремилось к стационарной структуре с плавным нарастанием амплитуды за скачком уплотнения (рис. 2.2, б). Скорость и амплитуда и форма получаемой структуры полностью совпадают с ранее полученными из аналитического решения стационарного уравнения акустики релаксирующей среды.

При выполнении условий р[/2 < р[ < р'сг1 начальное возмущение эволюционировало в стационарную структуру детонационного типа с плавным убыванием амплитуды за скачком уплотнения (рис. 2.2, в).

При р1 < ^/2 ’’ступенька” становилась неустойчивой и распадалась на последовательность стационарных импульсов (рис. 3.1, а). Амплитуда стационарного импульса рi совпадает с ранее полученным соотношением. Импульс имеет экспоненциальный задний фронт, описываемый зависимостью:

р'((О = А ехР [(С' — Со)/а] >

где Со — координата переднего фронта. Ширина его переднего фронта ~ ПЖ. Полученный импульс является автоволной, т. к. его амплитуда, скорость и форма определяются только параметрами неравновесной среды.

Как показано на рис. 3.1, б, тот же автоволновой импульс возникает и при эволюции возмущения типа локализованного импульса с профилем близким к р'((') = а ехр(—С'2). При этом получен еще один класс стационарных автоволновых решений — периодическая волна с ненулевым средним, амплитуда и период которой также не зависят от амплитуды или площа-

ди начального возмущения. Более подробно структура периодических автоволн будет рассмотрена в следующей части работы.

При отрицательном значении параметра а эволюция локализованного импульса приводила к образованию структуры, показанной на рис. 3.1, в, состоящей из распространяющейся впереди периодической автоволны и следующей за ней серии автоволновых импульсов разрежения (рис. 2.2, и). Как легко заметить, такая структура отличается от структуры, полученной при а > 0, только одновременной заменой знака у (' и р'.

Рис. 3.1. Одна из стадий распада ударной волны малой амплитуды (а) и локализованного импульса (б, в) на автоволновые импульсы и периодическую автоволну: а, б — а > 0, т' = 1; в — а < 0, т' = —1

При Ф < 0 возможно три новых режима эволюции начального возмущения типа ’’ступенька” с амплитудой

При выполнении условия р1 > р'сг начальное возмущение в процессе эволюции превращалось в следующую нестационарную структуру: впереди распространяется стационарная автоволна в форме ступеньки с амплитудой р'сг1. За ней распространяется постепенно расширяющаяся волна сжатия.

При выполнении условия рСг1 > р1 > р'ъ/2 начальное возмущение эволюционировало в структуру, состоящую из двух стационарных волн: ав-товолновой ступеньки с амплитудой р'сг1 и стационарной ударной волны разрежения с плавным убыванием амплитуды от р'СГ1 до р2>. Волна разрежения движется со скоростью иг = рСГ1/2 + Фр1/2, автоволновая ступенька со скоростью и = рСГ1 /2. Так как Ф < 0, то иг < и:, и ударная волна разрежения постепенно отстает от ступеньки.

4. Периодические автоволны

Как уже было отмечено выше, в большинстве газовых неравновесных сред коэффициенты Пж, По малы и слабо влияют на вид решения. Положим в уравнении (2.1) = По = 0, V = +1 , т' = +1, при этом оно примет

вид

{р'у> + р'р'с) — (ру' + р'с + ФрЧ') = 0

зависящий только от одного параметра Ф. Таким образом, периодическую автоволну (рис. 3.1, б) можно в первом приближении считать зависящей только от одного параметра Ф.

Профиль периодической волны описывается выражением

р' = р1 + (р'к — р1) ехр (Ф (С — (о) /2) ,

где Со — координата скачка уплотнения. Значения ’плотности” на разрыве р'ь и р'и связаны со скоростью волны и соотношением (2.10), а между собой выражением ( ) ( )

р'ь = р1 + {р'к — р!) ехР (фА'/^ , (4.1)

следующим из выражения для профиля автоволны. Здесь X' — длина одного периода.

В ходе численного моделирования эволюции периодической автоволны установлено, что в процессе эволюции хвост автоволны периодически восстанавливает свою форму с периодом Т (рис. 4.1):

р' (С', у') = р' (С' + и'Т, у' + Т) .

При этом он сдвигается назад на расстояние и'Т , а скачки уплотнения сдвигаются на иТ вперед, и возникает новый экспоненциальный участок. В соответствии с (2.3) поток ”массы” через скачок равен 0 . В силу сохранения полной ”массы” суммарный поток ”массы” через скачок за период Т равен площади под одним периодом кривой р'(('):

Г У

—0Т = р'(С')%'. (4.2)

о

Рис. 4.1. Периодическое во времени воосстановление формы ”хвоста” автоволны

Численное решение уравнения (2.2) при различных начальных локализованных условиях и при различных значениях Ф показало, что величины и1 и Т не зависят от величины Ф. Для них получены следующие значения: и' ~ 1, Т ~ 3,17 (при численном моделировании невозможно поло-

жить вязкостно-теплопроводностный коэффициент Пж равным нулю. Полученные значения периода Т зависели от величины пж: при пж = 0,01, Т = 3, 21; при Пж = 0, 001, Т = 3,17).

Решая совместно систему алгебраических уравнений (2.5), (2.6), (2.10),

(4.1) и (4.2) с полученными при моделировании числовыми значениями и' и Т, получим зависимость скорости и (рис. 4.2) от параметра Ф.

Рис. 4.2. Зависимость скорости автоволны и> от параметра нелинейности Ф

Заключение

С помощью исследования интегральных кривых нелинейного акустического уравнения, записанного в автомодельной форме, проведена класси-

фикация его решений. Найдено семь типов разрывных решений и четыре решения с плавным фронтом (волны перепада). Численным моделированием неавтомодельной формы акустического уравнения подтверждена эволюционная устойчивость всех полученных структур. Наиболее интересными для физических приложений являются автоволновые решения исследуемого уравнения: импульсы сжатия и разрежения, форма которых описывается аналитической зависимостью, а также периодическая автоволна.

Эта работа частично поддержана НИР ГР 01200805605, аналитической целевой программой Министерства образования и науки РФ ’’Развитие научного потенциала высшей школы” (2009-2010 гг.), проект 2.1.1/309 и НК-410П(10) Федеральной целевой программы ’Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы.

Литература

[1] Распространение ударных волн в нестационарном тлеющем разряде / А.И. Климов [и др.] // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 20. С. 31-36.

[2] Басаргин И.В., Мишин Г.И. Предвестник ударной волны в плазме тлеющего разряда // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 8. С. 55-60.

[3] Быстров С.А., Иванов В.И., Шугаев Ф.В. Распространение плоской ударной волны в слабоионизованной плазме // Физика плазмы. 1989. Т. 15. № 5. С. 558-562.

[4] Гридин А.Ю., Климов А.И., Молевич Н.Е. Распространение ударных волн в плазме тлеющего разряда // ЖТФ. 1993. Т. 63. № 3. С. 157-162.

[5] Гридин А.Ю., Климов А.И. Структура ударной волны в неравновесной плазме (выделение энергии, запасенной в разрядной плазме за ударной волной) / А.Ю. Гридин // Хим. физика. 1993. Т. 12. № 3. С. 363-365.

[6] Ganguly B.N., Bletzinger P., Garscadden A. Shock wave damping and dispersion in nonequilibrium low pressure argon plasmas // Phys. Lett. A. 1997. V. 230. № 3. P. 218-222.

[7] Macheret S.O. Shock wave propagation and dispersion in glow discharge plasmas // Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 2693-2705.

[8] Klimov A.I., Bityurin V., Serov Yu. Nonthermal approach in plasma aerodynamics // AIAA Paper. 2001. № 0348.

[9] Molevich N.E., Klimov A. I., Makaryan V. G. Influence of thermodynamical non-equilibrium on acoustical properties of gases // Intern. J. Aeroacoustics. 2005. V. 4. № 3-4. P. 345-355.

[10] Bletzinger P. Plasmas in high speed aerodynamics // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. № 4. P. R33-R57.

[11] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 181-191.

[12] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т. 29. № 18. С. 11-15.

[13] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Слабые ударные волны в неравновесных средах с отрицательной дисперсией // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 6. С. 13-18.

[14] Молевич Н.Е. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью // Сибирский физико-технический журнал. 1991. № 1. С. 133-136.

[15] Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Ударные волны разрежения в неравновесном колебательно-возбужденном газе // Акустический журнал. 1993. Т. 39. № 5. С. 951-954.

[16] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

Поступила в редакцию 29/У/2009; в окончательном варианте — 29/У/2009.

THE CLASSIFICATION OF GAS-DYNAMIC STRUCTURES DESCRIBED BY THE NONLINEAR ACOUSTICAL EQUATION OF A RELAXING MEDIUM

© 2009 V.G. Makaryanf N.E. Molevichf D.P. Porfiriev6

Analytical and numerical solutions of a nonlinear acoustical equation of a relaxing medium are considired. The full classification of the stationary structures described by this equation is given.

Key words: shock wave, stationary structure, self-sustained wave, stability, nonequilibrium medium, relaxation, sound amplification, negative dispersion, negative viscosity.

Paper received 29/У/2009. Paper accepted 29/У/2009.

4Makaryan Vladimir Georgievich (vmak@rambler.ru), Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russia.

5Molevich Nonna Evgenievna (molevich@fian.smr.ru), Samara Branch of the Russian Academy of Sciences of the Physical Intitute P.N. Lebedev by name, Russian Academy of Sciences.

6Porfiriev Denis Petrovich (dporfiriev@rambler.ru), Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara Branch of the Russian Academy of Sciences of the Physical Intitute P.N. Lebedev by name, Russian Academy of Sciences.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.