УДК 533.6
КЛАССИФИКАЦИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУР, ОПИСЫВАЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЕМ АКУСТИКИ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ
© 2009 В.Г. Макарян,1 Н.Е. Молевич^ Д.П. Порфирьев3
В работе рассматриваются аналитические и численные решения нелинейного уравнения акустики релаксирующей среды. Проведена полная классификация стационарных структур, описываемых этим уравнением.
Ключевые слова: ударная волна, стационарная структура, автоволна, устойчивость, неравновесная среда, релаксация, усиление звука, отрицательная дисперсия, отрицательная вязкость.
1. Предварительные сведения
В неравновесных средах (неизотермическая плазма, химически активные смеси с необратимыми реакциями, газы с неравновесным возбуждением колебательных состояний молекул) экспериментально наблюдается усиление акустических волн и модификация структуры ударных волн, в том числе ослабление или усиление ударной волны, ускорение ударной волны, уширение фронта, появление предвестников [1—10]. Полномасштабного объяснения этих явлений пока нет.
Как показано в [11—13], в средах со стационарно поддерживаемой нерав-новесностью изменение структуры слабой ударной волны может быть вызвано существенно новыми акустическими свойствами подобных сред, обусловленных знакопеременностью коэффициентов второй вязкости, дисперсии и газодинамической нелинейности. Структура слабой ударной волны,
хМакарян Владимир Георгиевич (vmak@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34.
2Молевич Нонна Евгеньевна (molevich@fian.smr.ru), Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.
3Порфирьев Денис Петрович (dporfirev@rambler.ru), кафедра физики Самарского государственного аэрокосмического университета, Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН.
распространяющейся в слабо неравновесном колебательно-возбужденном газе, исследовалась с помощью нелинейного акустического уравнения, полученного с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде
Суст0 (ptt C^oPxx ССсФсp2xx Р pxxt^ t +
+СуQ (ptt — cQpxx — С0Ф0p2xx — pxx^ = 0-
(l.l)
Оно было получено в работе [14] для экспоненциальной модели релаксации
(Е _ Ее(Т) — Е (И
+ Q,
т (T, р)
где E — колебательная энергия, Ee(T) — ее значение в состоянии равновесия и в отсутствие источника, т(T, р) — время VT релаксации, Q = const — мощность источника накачки (например, электрическая накачка в разряде или оптическая накачка), поддерживающего стационарное неравновесное состояние, которое характеризуется степенью неравновесности
S=
E0 — Ee0 Qt(Т0, pQ)
Tq
Tq
При этом использовалась простейшая модель теплоотвода, осуществляющегося с поступательных степеней свободы и мощность которого полагается равной мощности источника накачки.
В уравнении (1.1)
_ ' ер*
т^То
м ’ + 1 2 :
Со
Ф
о =
7оТо
~М’
St' (1 + S) CP 0Су о
7с
+
0 :
Су с
1 + 2Су о 2Су о
7о
СР о
Су о
St'' (1 + S)2 2Cp оСу
у о
Су о = Су с + Ск + St' , Сро = Срс + Ск + S (т' + 1)
E0 — Ee0 Qtq ,
S — , т
Tq
Tq ’
То дт_ то дТ
Т 2 г)2 Т // _ Т0 ° т
T=To
То
дТ 2
4п „ , / 1
= -з + Xм С
3 \Суж СРоо
T=To
1
1 \ 4^ /1
> № = -з + Xм (С С
3 \Су0 Сро
Здесь р _ р — ро — возмущение плотности; р — плотность газа; Сж, Со — высоко- и низкочастотная скорость звука; 7ж, 70 — высоко- и низкочастотный показатели адиабаты; Су о, Ср о, Су оо, Ср ж — низко- и высокочастотные теплоемкости в колебательно-возбужденном газе при постоянном объеме и давлении; То, ро, то — невозмущенные значения температуры, плотности и времени релаксации; Ео, Еео — стационарные значения величин Е, Ее; С к — равновесная колебательная теплоемкость; цж, р,о — высоко- и низкочастотный вязкостно-теплопроводностные коэффициенты; П, X — коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводности; Фж, Фо — высоко- и
C
DO
низкочастотный коэффициенты квадратичной нелинейности. Следует подчеркнуть, что коэффициент нелинейности Фо зависит от степени неравно-весности 5 и может быть даже отрицательным. Впервые на это было обращено внимание в [15].
Для волн, бегущих в одном направлении, уравнение (1.1) при помощи замены координат у _ вЬ/то, ( _ (х — СжЬ) /сжто преобразуется к безразмерному виду
/ т \
(ру + фжРРс — ЛжРсс— и \Ру + + ФоРРС — ПоР(() _ 0, (1.2)
где Р_(р — ро) /ро — безразмерное возмущение плотности; По_^о/2тосЖро, Пж _ Цж/2тоС2жро, Фо _ Фо7о/7ж.
Исследованию решений, описываемых уравнением (1.2), посвящены работы [11—13]. В них получены как численно, так и аналитически решения для ряда значений параметров уравнения. В настоящей работе проведена полная классификация стационарных решений уравнения (1.2) и всех типов эволюции различных начальных возмущений.
2. Стационарные структуры, описываемые акустическим уравнением
Путем масштабных преобразований переменных
— \т\ , (' _ 2 ,
Р_2Фжр ’ ( _ М ’ У \и\\т\У’
уравнение (1.2) сводится к следующему виду:
( рУ' + рр'а — пЖр,('(')с — у' (рУ' + тр'а + Фр,р'е — п'ор'с'с^ _ 0 (2.1)
где V = вдп(и), т' = вдп(т), Ф = Фо/Ф™, пЖ = 2^ПГ, По = . Данное
уравнение содержит меньшее количество независимых параметров по сравнению с (1.2) и, соответственно, допускает более простую классификацию решений.
Преобразуем уравнение (2.1) к стационарной форме, используя автомодельную замену г = (' — иу', с последующим интегрированием по пространственной координате г:
П'ооР'гг + Р'г (и — »'п0 — р') + »' — (и — т') р' + Фр'2/2) = —"'0, (2.2)
где и — скорость стационарной волны, а —V'0 — константа интегрирования. Из (2.1) и (2.2) следует, что она пропорциональна потоку 0 величины / р'Г(' через сечение, движущееся со скоростью стационарной волны:
Г Г™
0 = ъ р'йС’ (2.3)
Мі с і
где СО — координата сечения.
При пЖ _ 0 уравнение (2.2) не имеет аналитических решений. Однако в типичных газовых средах коэффициенты Поо, По имеют значения порядка 10_5, и их учет практически не сказывается на виде решений уравнения (2.2).
При пЖ _ 0 уравнение (2.2) сводится к виду
где
П_ = (р'— р'і) (р'— р2)
Гг а (р' — р'т) '
а = 2/и'Ф, р'т = и — и'пО,
а р1 и р2 удовлетворяют соотношениям:
(2.4)
(2.5)
р1 + р2 =
2и — т'
'1 '2 =
2с
Ф Г1Г2 Фу'
Решение уравнения (2.4) можно записать в неявном виде
(2.6)
г = го + а
р'з
'1
р \п\р/ — р21 + р—рт 1п\р' — р11 2 1 — 2
В случае, когда р1 = р2,
(2.7)
г = го + а
р р2 + \и\р' — р2\
(2.8)
. р — р2
где го — произвольная постоянная.
На рис. 2.1 представлены интегральные кривые уравнения (2.4) при различных соотношениях между р1, р2, р'3 и условии а > 0. При а < 0 интегральные кривые отличаются лишь направлением (получаются из интегральных кривых рис. 2.1 заменой г на — г ). Положим в дальнейшем везде р1 ^ р2. Отсюда и из (2.6) следует условие на скорость волны:
и — т'/2
Ф
(2.9)
Рис. 2.1. Вид интегральных кривых уравнения (2.4) при различных
соотношениях параметров р2 и р'а\
а - р'а < р2 < р'\; б - р'а _ р2 < р'ъ в - р2 < ра < г
р2 < р'а = р'ъ
р2 < рі < р'а; е - р2 = рі < р.
ра < р2 = рі
д
Уравнение (2.4) допускает существование интегральных кривых восьми типов (с точностью до замены знака г), три из которых реализуются в конечном диапазоне значений параметров р1 , р2 , р'3 (рис. 2.1, а, в и д), а остальные являются вырожденными.
Как видно из уравнений (2.4) и (1.1), параметр р'3 не является независимым, он связан с р1 и р2 соотношением
р'в _ Ф (р1 + р2) /2 + т'/2-
Таким образом, вид решения уравнения (2.4) определяется значениями р1, р2 и Ф и знаками величин V и т.
Найдем решения уравнения (2.2), имеющие своими асимптотами р1 и р2 ( р'(±ж) _ р1, р2 ). Такие решения могут состоять из асимптот, отрезков интегральных кривых и разрывов. При этом, ввиду положительности Фж, разрывы могут быть только с переходом от большего значения р' к меньшему (при переходе через разрыв слева направо) [16]. Величина разрыва связана со скоростью волны и следующим соотношением:
р'ь + р'я _2 (и — VЧ) _ 2р'з> (2.10)
где р'ь, р'я — значения р' слева и справа от разрыва.
Из соотношения (2.10) следует, что решения с разрывами могут существовать только при выполнении следующего условия:
р'ь > р'в > р'я-
С учетом этого условия возможно существование только 10 решений с разрывами: по пять при а > 0 (рис. 2.2, а—д) и а < 0 (рис. 2.2, е-и и в).
Рассмотрим решения с разрывами при а > 0 .
1. Волна с плавным повышением плотности за фронтом (рис. 2.2, б), с разрывом на средней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, в. В этом случае р'я _ р2, величина разрыва определяется соотношением р'ь _ Фр1 + + (Ф — 1) р2 + т' — v'n0, а скорость равна и _ (Ф(р1 + р'2) + т')/2. Данное решение существует при условии р'ь < р1, что сразу дает условие р1<р'сг1 = (т' — V'По)/(1 — Ф) — р2 при Ф — 1 > 0 и р1 > р'сг1 при Ф — 1 < 0.
2. При условии р1 _ р'сг1 предыдущая стационарная волна превращается в ступеньку с р'ь _ р'\ и р'я _ р2 (рис. 2.2, в).
3. При условии р'1 > р'сг1 при Ф — 1 > 0 и р\ < р'сг1 при Ф — 1 < 0 становится возможным существование волны с плавным уменьшением плотности за фронтом, показанной на рис. 2.2, г, она включает в себя верхнюю ветвь интегральной кривой на рис. 2.1, в и разрыв до асимптоты р\. Величина разрыва определяется тем же соотношением, что и в случае 2.
4. При р'3 _ р'1 существует стационарная волна в виде ударного импульса (рис. 2.2, д), соответствующая разрыву на верхней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, г. Амплитуда импульса равна р[ = р'ь — р'я _ 2(р\ —
— р2) _2(т' — 2р2)/(2 — Ф), а его скорость иц _ (Ф р2 + т' — Ф^п'о)/(2 — Ф).
Рассмотрим теперь решения с разрывами при а < 0 .
_ А
\ а
2
а б в г д
V 1 ^— Ґ 4 ^
^ ) |г z
е СИС 3 и к л
Рис. 2.2. Стационарные решения уравнения
5. Волна с плавным повышением плотности перед фронтом (рис. 2.2, ж), с разрывом на средней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, в (с учетом инверсии оси г). В этом случае р'ь = р\, величина разрыва определяется соотношением р'к = Фр2 + (Ф — 1) р\ + т' — и'ц'0, а скорость равна и> = (Ф(р[ + р2) + т')/2. Данное решение существует при условии р'и > р'2, что сразу дает условие р'1 > р'сг2 = (т' — у’П0)/(1 — Ф) — р'2 при Ф — 1 > 0 и р\ < р'сг2 при Ф — 1 < 0.
6. При условии р^ = р'сг2 предыдущая стационарная волна превращается в ступеньку с р'ь = р^ и р'к = р2 (рис. 2.2, в).
7. При условии р\ < р'сг2 при Ф — 1 > 0 и р\ > р'сг2 при Ф — 1 < 0 становится возможным существование волны с плавным уменьшением плотности перед фронтом, показанной на рис. 2.2, з, она включает в себя нижнюю ветвь интегральной кривой на рис. 2.1, в и разрыв до асимптоты р^. Величина разрыва определяется тем же соотношением, что и в случае 5.
8. При р'3 = р2 существует стационарная волна в виде ударного импульса разрежения (рис. 2.2, и), соответствующая разрыву на нижней ветви интегральной кривой на рис. 2.1, б. Амплитуда импульса равна —р', а его скорость —Wi.
Решения без разрывов в виде волн перепада, показанные на рис. 2.2, а, е, к и л, реализуются в следующих случаях.
9. При положительном коэффициенте а существует волна с плавным повышением плотности за фронтом (рис. 2.2, а), соответствующая слабому разрыву на нижней ветви интегральной кривой при р'3 = р2 (рис. 2.1, б). В этом случае р'ь = р'я = р'2, и скорость волны равна w = р2 + ^'п0. Данное
/ (2-Ф)р'.2-т/+2и/ц/
решение существует при условии р\ = ------- 2 ф------—.
10. При отрицательном коэффициенте а существует волна с плавным повышением амплитуды перед фронтом (рис. 2.2, е), соответствующая
слабому разрыву на верхней ветви интегральной кривой при р'3 = р\ (рис. 2.1, г при инверсии оси г). В этом случае р'ь = р'к = р1, и скорость
волны равна w = р\ + v'n0. Данное решение существует при условии р2> = = (2-Ф)р'1-т/+2и/п'0 = ф .
11. Решение в виде волны перепада с плавным нарастанием амплитуды (рис. 2.2, к) реализуется как средняя ветвь интегральной кривой при условии р'3 < р'2, если а > 0 и р\ < р'3, если а < 0.
12. Решение в виде волны перепада с плавным убыванием амплитуды (рис. 2.2, л) реализуется как средняя ветвь интегральной кривой при условии р'3 < р'2, если а < 0 и р\ < р'3, если а > 0.
3. Нестационарная эволюция волн
Для удобства численного моделирования исходное уравнение (2.1), которое содержит частные производные до третьего порядка включительно, было представлено в виде системы двух уравнений второго порядка:
/с — и'1' = V,
р'у/ + р' р'^/ —
где введено обозначение
V = V
т
—р'^/ — (1 — Ф) рр'^/ + (яЖ — ^о) р'с/с/
2
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Первое из этих уравнений для заданной функции v(C', У') интегрируется в явном виде:
ГЖ
/ = — ¥(х)е-и'(х-‘"'')йх.
к/
Соответственно для сеточной функции /I = / ((' = Нг, у' = т]) имеем
/3± 1 =е
±и/Н
Н
(3.4)
где VI = V (С' = Нг, у' = т]) с учетом соотношения (3.3) было представлено в виде
з\ рт— ^-1 + п — по) р^+1 — 2р + р—
2Н
Н2
(3.5)
здесь
р3 = р (С = Нг, у' = т] ■
Для устойчивости вычислений по формуле (3.4) необходимо, чтобы в процессе счета ошибки округления убывали. Это возможно при условии, что множитель е±не превосходит единицы. Поэтому при V' > 0 счет по
формуле (3.4) производился справа налево, т. е. в (3.4) выбирался нижний знак, а при Vі < 0 — наоборот.
Для решения уравнения (3.2) использовалась неявная трехточечная схема с порядком аппроксимации
3 + 1 і 3
РІ +РІ + 1
3+1 3+1 3 3
З Рі+1 -Рі-і + 3+1 Рі+і-Рі-і рі 2Н "Г" рі 2Н
т ' 2
3+1 23+1 + 3+1 3 23 +3
рі+і -2рі +рі-і і рі+і-2рі +рі-і
Ь2 + Ь2
(3.6)
= я.
Для численного решения системы (3.1), (3.2) использовался следующий алгоритм. По формуле (3.5) находились значения правой части уравнения
(3.1). Затем по формуле (3.4) находились значения /3 и подставлялись в правую часть уравнений (3.6). Наконец, неизвестные значения плотности на верхнем временном слое р3+1 находились путем решения системы (3.6) методом прогонки.
В работе исследована эволюция начального возмущения в форме ступеньки с амплитудой р\ (при условии р2> =0) в неравновесном газе при различных знаках дисперсии т и низкочастотного коэффициента нелинейности Фо. При этом в зависимости от величины р1 имеют место следующие типы эволюции начального возмущения.
При выполнении условия р1 > р'сг1 начальное возмущение в виде ступеньки в процессе эволюции стремилось к стационарной структуре с плавным нарастанием амплитуды за скачком уплотнения (рис. 2.2, б). Скорость и амплитуда и форма получаемой структуры полностью совпадают с ранее полученными из аналитического решения стационарного уравнения акустики релаксирующей среды.
При выполнении условий р[/2 < р[ < р'сг1 начальное возмущение эволюционировало в стационарную структуру детонационного типа с плавным убыванием амплитуды за скачком уплотнения (рис. 2.2, в).
При р1 < ^/2 ’’ступенька” становилась неустойчивой и распадалась на последовательность стационарных импульсов (рис. 3.1, а). Амплитуда стационарного импульса рi совпадает с ранее полученным соотношением. Импульс имеет экспоненциальный задний фронт, описываемый зависимостью:
р'((О = А ехР [(С' — Со)/а] >
где Со — координата переднего фронта. Ширина его переднего фронта ~ ПЖ. Полученный импульс является автоволной, т. к. его амплитуда, скорость и форма определяются только параметрами неравновесной среды.
Как показано на рис. 3.1, б, тот же автоволновой импульс возникает и при эволюции возмущения типа локализованного импульса с профилем близким к р'((') = а ехр(—С'2). При этом получен еще один класс стационарных автоволновых решений — периодическая волна с ненулевым средним, амплитуда и период которой также не зависят от амплитуды или площа-
ди начального возмущения. Более подробно структура периодических автоволн будет рассмотрена в следующей части работы.
При отрицательном значении параметра а эволюция локализованного импульса приводила к образованию структуры, показанной на рис. 3.1, в, состоящей из распространяющейся впереди периодической автоволны и следующей за ней серии автоволновых импульсов разрежения (рис. 2.2, и). Как легко заметить, такая структура отличается от структуры, полученной при а > 0, только одновременной заменой знака у (' и р'.
Рис. 3.1. Одна из стадий распада ударной волны малой амплитуды (а) и локализованного импульса (б, в) на автоволновые импульсы и периодическую автоволну: а, б — а > 0, т' = 1; в — а < 0, т' = —1
При Ф < 0 возможно три новых режима эволюции начального возмущения типа ’’ступенька” с амплитудой
При выполнении условия р1 > р'сг начальное возмущение в процессе эволюции превращалось в следующую нестационарную структуру: впереди распространяется стационарная автоволна в форме ступеньки с амплитудой р'сг1. За ней распространяется постепенно расширяющаяся волна сжатия.
При выполнении условия рСг1 > р1 > р'ъ/2 начальное возмущение эволюционировало в структуру, состоящую из двух стационарных волн: ав-товолновой ступеньки с амплитудой р'сг1 и стационарной ударной волны разрежения с плавным убыванием амплитуды от р'СГ1 до р2>. Волна разрежения движется со скоростью иг = рСГ1/2 + Фр1/2, автоволновая ступенька со скоростью и = рСГ1 /2. Так как Ф < 0, то иг < и:, и ударная волна разрежения постепенно отстает от ступеньки.
4. Периодические автоволны
Как уже было отмечено выше, в большинстве газовых неравновесных сред коэффициенты Пж, По малы и слабо влияют на вид решения. Положим в уравнении (2.1) = По = 0, V = +1 , т' = +1, при этом оно примет
вид
{р'у> + р'р'с) — (ру' + р'с + ФрЧ') = 0
зависящий только от одного параметра Ф. Таким образом, периодическую автоволну (рис. 3.1, б) можно в первом приближении считать зависящей только от одного параметра Ф.
Профиль периодической волны описывается выражением
р' = р1 + (р'к — р1) ехр (Ф (С — (о) /2) ,
где Со — координата скачка уплотнения. Значения ’плотности” на разрыве р'ь и р'и связаны со скоростью волны и соотношением (2.10), а между собой выражением ( ) ( )
р'ь = р1 + {р'к — р!) ехР (фА'/^ , (4.1)
следующим из выражения для профиля автоволны. Здесь X' — длина одного периода.
В ходе численного моделирования эволюции периодической автоволны установлено, что в процессе эволюции хвост автоволны периодически восстанавливает свою форму с периодом Т (рис. 4.1):
р' (С', у') = р' (С' + и'Т, у' + Т) .
При этом он сдвигается назад на расстояние и'Т , а скачки уплотнения сдвигаются на иТ вперед, и возникает новый экспоненциальный участок. В соответствии с (2.3) поток ”массы” через скачок равен 0 . В силу сохранения полной ”массы” суммарный поток ”массы” через скачок за период Т равен площади под одним периодом кривой р'(('):
Г У
—0Т = р'(С')%'. (4.2)
о
Рис. 4.1. Периодическое во времени воосстановление формы ”хвоста” автоволны
Численное решение уравнения (2.2) при различных начальных локализованных условиях и при различных значениях Ф показало, что величины и1 и Т не зависят от величины Ф. Для них получены следующие значения: и' ~ 1, Т ~ 3,17 (при численном моделировании невозможно поло-
жить вязкостно-теплопроводностный коэффициент Пж равным нулю. Полученные значения периода Т зависели от величины пж: при пж = 0,01, Т = 3, 21; при Пж = 0, 001, Т = 3,17).
Решая совместно систему алгебраических уравнений (2.5), (2.6), (2.10),
(4.1) и (4.2) с полученными при моделировании числовыми значениями и' и Т, получим зависимость скорости и (рис. 4.2) от параметра Ф.
Рис. 4.2. Зависимость скорости автоволны и> от параметра нелинейности Ф
Заключение
С помощью исследования интегральных кривых нелинейного акустического уравнения, записанного в автомодельной форме, проведена класси-
фикация его решений. Найдено семь типов разрывных решений и четыре решения с плавным фронтом (волны перепада). Численным моделированием неавтомодельной формы акустического уравнения подтверждена эволюционная устойчивость всех полученных структур. Наиболее интересными для физических приложений являются автоволновые решения исследуемого уравнения: импульсы сжатия и разрежения, форма которых описывается аналитической зависимостью, а также периодическая автоволна.
Эта работа частично поддержана НИР ГР 01200805605, аналитической целевой программой Министерства образования и науки РФ ’’Развитие научного потенциала высшей школы” (2009-2010 гг.), проект 2.1.1/309 и НК-410П(10) Федеральной целевой программы ’Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы.
Литература
[1] Распространение ударных волн в нестационарном тлеющем разряде / А.И. Климов [и др.] // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 20. С. 31-36.
[2] Басаргин И.В., Мишин Г.И. Предвестник ударной волны в плазме тлеющего разряда // Письма ЖТФ. 1989. Т. 15. № 8. С. 55-60.
[3] Быстров С.А., Иванов В.И., Шугаев Ф.В. Распространение плоской ударной волны в слабоионизованной плазме // Физика плазмы. 1989. Т. 15. № 5. С. 558-562.
[4] Гридин А.Ю., Климов А.И., Молевич Н.Е. Распространение ударных волн в плазме тлеющего разряда // ЖТФ. 1993. Т. 63. № 3. С. 157-162.
[5] Гридин А.Ю., Климов А.И. Структура ударной волны в неравновесной плазме (выделение энергии, запасенной в разрядной плазме за ударной волной) / А.Ю. Гридин // Хим. физика. 1993. Т. 12. № 3. С. 363-365.
[6] Ganguly B.N., Bletzinger P., Garscadden A. Shock wave damping and dispersion in nonequilibrium low pressure argon plasmas // Phys. Lett. A. 1997. V. 230. № 3. P. 218-222.
[7] Macheret S.O. Shock wave propagation and dispersion in glow discharge plasmas // Phys. Fluids. 2001. V. 13. P. 2693-2705.
[8] Klimov A.I., Bityurin V., Serov Yu. Nonthermal approach in plasma aerodynamics // AIAA Paper. 2001. № 0348.
[9] Molevich N.E., Klimov A. I., Makaryan V. G. Influence of thermodynamical non-equilibrium on acoustical properties of gases // Intern. J. Aeroacoustics. 2005. V. 4. № 3-4. P. 345-355.
[10] Bletzinger P. Plasmas in high speed aerodynamics // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. № 4. P. R33-R57.
[11] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 181-191.
[12] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Новые стационарные структуры в акустически активной среде // Письма ЖТФ. 2003. Т. 29. № 18. С. 11-15.
[13] Макарян В.Г., Молевич Н.Е. Слабые ударные волны в неравновесных средах с отрицательной дисперсией // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 6. С. 13-18.
[14] Молевич Н.Е. Нелинейные уравнения в теории сред с отрицательной второй вязкостью // Сибирский физико-технический журнал. 1991. № 1. С. 133-136.
[15] Коган Е.Я., Молевич Н.Е. Ударные волны разрежения в неравновесном колебательно-возбужденном газе // Акустический журнал. 1993. Т. 39. № 5. С. 951-954.
[16] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
Поступила в редакцию 29/У/2009; в окончательном варианте — 29/У/2009.
THE CLASSIFICATION OF GAS-DYNAMIC STRUCTURES DESCRIBED BY THE NONLINEAR ACOUSTICAL EQUATION OF A RELAXING MEDIUM
© 2009 V.G. Makaryanf N.E. Molevichf D.P. Porfiriev6
Analytical and numerical solutions of a nonlinear acoustical equation of a relaxing medium are considired. The full classification of the stationary structures described by this equation is given.
Key words: shock wave, stationary structure, self-sustained wave, stability, nonequilibrium medium, relaxation, sound amplification, negative dispersion, negative viscosity.
Paper received 29/У/2009. Paper accepted 29/У/2009.
4Makaryan Vladimir Georgievich (vmak@rambler.ru), Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russia.
5Molevich Nonna Evgenievna (molevich@fian.smr.ru), Samara Branch of the Russian Academy of Sciences of the Physical Intitute P.N. Lebedev by name, Russian Academy of Sciences.
6Porfiriev Denis Petrovich (dporfiriev@rambler.ru), Dept. of Physics, Samara State Aerospace University, Samara Branch of the Russian Academy of Sciences of the Physical Intitute P.N. Lebedev by name, Russian Academy of Sciences.