CC BY
56
УДК 533.6.011.8
ПРОФИЛИ УДАРНЫХ ВОЛН В РЕЛАКСИРУЮЩЕМ ГАЗЕ С ВНЕШНИМ ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ
© 2012 Д. А. Анчиков1, Р. Н. Галимов1, Д. И. Завершинский1, В. Г. Макарян1,
Н. Е. Молевич2
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
2Самарский филиал Учреждения Российской академии наук Физического института имени
П.Н. Лебедева
В работе получены решения дифференциальных уравнений, описывающих стационарные профили ударноволновых структур в неравновесном релаксирующем газе с внешним источником энергии. Исследованы одномерные и двумерные (плоская и цилиндрическая) ударноволновые структуры.
Ударные волны, неравновесный газ, устойчивость газодинамических структур, ударноволновые профили.
Введение
В последнее время большое количество экспериментальных работ свидетельствуют об аномальном поведении ударных волн в неравновесных средах. Например, в слабо-ионизированном газе наблюдается усиление ударной волны, распад фронта ударной волны и появление предвестника перед фронтом ударной волны [1-3]. Усиление и модификация слабых ударных волн могут быть вызваны новыми дисперсионно-вязкостными свойствами неравновесных сред. В [2-4] подробно рассмотрены принципиальные различия между акустикой равновесных сред и акустикой таких неравновесных сред как колебательно-возбужденный газ, неизотермическая плазма, химически активная смесь, среды с неравновесным фазовым составом и др. В таких средах коэффициент второй (объёмной) вязкости £ и дисперсия звука могут быть отрицательными: £ < 0 и
Здесь с0, - равновесная (низко-
частотная) и замороженная (высокочастотная) скорости звука, соответственно. Среды, имеющие отрицательную вязкость, могут быть акустически активными. Кроме того, низкочастотный коэффициент газодинамической нелинейности 4*0 является сложной функцией от степени неравновесности. Только замороженный коэффициент газодинамической нелинейности имеет обычную
форму = (ух +1) / 2. Существуют области
степени неравновесности, в которых 4*0 < 0.
В работе исследуется влияние новых акустических свойств стационарно неравновесных сред с релаксационным процессом и источником энергии на структуру ударных волн в таких средах. Рассмотрены одномерные и двумерные (плоская и цилиндрическая) ударно-волновые структуры.
Структура ударных волн в неравновесной среде. Бифуркационная диаграмма
Исходная система газодинамических уравнений для исследуемой модели среды имеет следующий вид:
Ф ду
—+р— = 0,
(к дх
с^__дР_
(к дх ’ с1Т с1Еу Тёр ш ш р ш
— = ^—^ + 5- (1)
Л ту(Т,р)
Здесь 1\, - энергия колебательных степеней свободы молекул; Ее - её равновесное значение; ту - время колебательной релаксации; (7 - мощность внешнего источника колебательной энергии (в частности, электрическая накачка в разряде, химическая или оптическая накачка), который поддерживает
степень неравновесности
$ = (ЕМ-Ее0)/Т0=()ту/Т0; V, Т, р, Р соответственно скорость, температура, плотность и давление, 1 = 0, - теплоотвод и с1 / Ж = д / д( + уд / дх.
Газ со стационарной неравновесностью и Ландау-Теллеровской зависимостью времени релаксации имеет пять областей степени неравновесности 5 с качественно различными свойствами.
Область 1. £ < 8Лг = Су !(СУх -тТ), где Су=ёЕе0/ёТ0, тт = д\пт1д\пТ0. В этой области вторая вязкость положительна £ > 0, дисперсия положительна с0 <сх и коэффициент нелинейности положительный: ¥0 «{у0+1)12 подобно равновесным средам.
Область 2\ £йг< Л' Л'„. В этой области дисперсия и вторая вязкость отрицательные (£ <0,с0 >сш ). Низкочастотный коэффициент нелинейности положительный: Т0>0-Здесь является степенью неравновесности, при которой происходит смена знака низкочастотного коэффициента нелинейности, то есть определяется из уравнения 'Р„(5и) = 0, где
Область 4. 5^ <5,<5Р, где
8,, = -(С,,., + (\,)/(тТ + 1). Здесь вторая вязкость отрицательная: £<0, Ч/0<0, низкочастотные теплоёмкости имеют разные зна-
ки: Суо <0.
СРо >0.
Область 5: 8 > 8 „. В этой области
>0
cVo < о,
СР0 < о.
£<0,
Структура ударной волны за скачком фронта ра = (угл +1)£>2Ро /[(г» -1)^>2 + 2сш2 ] была получена с помощью численного решения уравнения [5]:
Ее(Р)~Еу(Р)
dp
dz
Р
%(Р)
+Q
К(р)=Ем +м\сРх—+
р0ф
dp
я Оь
А(р)
ЧрУ
(2)
Ц+рр(1-Q-) Р _
2 р
Ч* = 10
S0rT(l + S0) С с
PO V0
1 + 2CV0 S0(l + S0f 2 Cvn
2 ZTT
т: д\
v0
tv0 дт20
2 С С
с = с +с +
V—^ ТЭгг. 1 v—1
Суо — Сух + Су + 80тт,
+£0 (тт +1) - низкочастотные теплоёмкости при постоянном объёме и давлении в коле-бательно-возбужденном газе, соответственно.
Область 3.
£и = -(СУаэ +Су)/тТ. Здесь
вторая вязкость отрицательная: £<0, дисперсия также отрицательная: с0>сх, низкочастотный коэффициент нелинейности отрицательный: Т0<0.
Ро ^ Р
где z = X — Dt - автомодельная координата, D - скорость ударной волны.
Интегральные кривые и возможные стационарные волновые решения уравнения (2) были получены в [6]. Все результаты могут быть представлены на бифуркационной диаграмме (рис. 1).
Граница раздела областей 3 и 2 Dcri(S) бифуркационной диаграммы определяется после исключения плотностей из условий А(р, DCri, S) = 0 и В(р, Д,,) = 0, D,(S) -
после исключения плотности из условий А(р, Dt, S) = 0 и дА(р, Dt, Sydp = 0, а граница раздела областей 1 и 2 Dcr2(S) - из условия
А (pLi (Dcri), Dcri, S) = 0.
В области 1 бифуркационной диаграммы ударные волны имеют профиль с медленным сжатием к конечному состоянию после ударного скачка уплотнения (рис. 1). В ударных волнах в области 2 за скачком уплотнения следует медленное разряжение к конечному состоянию. Стационарные ударные волны, параметры D и S которых соответствуют границе раздела Dcr2(S), имеют профиль ступени. В третьей области решений в виде стационарных волн не существует.
='
”
II
С
01----------------------------------------------------»
1 Ч|»ег<1 ®
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма [6]
Как известно, ударная волна становится неустойчивой, если скорость распространения звука за фронтом волны меньше, чем скорость самой ударной волны. Для исследуемой модели среды это условие соответствует области 3 на бифуркационной диаграмме. Скорость Д. является аналогом скорости Жуге в теории детонации. Для В = ВсЛ (£) или В = В1 стационарная волна имеет форму импульса с амплитудой или волны с ненулевой асимптотой. Для малой степени не-равновесности этот автоволновый импульс имеет ударноволновый фронт и экспоненциальный «хвост» [5]:
, л (х
р(у) = ра «Ф .
- ГГ I- 1ГП~ С-- ГГ 1
Для исследования эволюции ударных волн в стационарно неравновесной среде с релаксационным процессом и источником энергии численно промоделирована эволюция возмущения в виде ступеньки. Ударные волны в областях 1 и 2 бифуркационной диаграммы эволюционно устойчивы. В области 3 5-/) - диаграммы результатом эволюции ударных волн являлись автоволновые структуры двух типов: импульс или волна с ненулевой асимптотой. Их форма, амплитуда и скорость не зависят от амплитуды начального возмущения, а определяются только параметрами среды.
Для $1]%г < Л’ < Sn нестабильные волны при В < ВсЛ распадаются на последовательность автоволновых импульсов одинаковой амплитуды, распространяющихся со скоростью В = ВсЛ(8). Для < £ < Бе нестабильные волны распадаются на последовательность автоволн с ненулевой асимптотой и подобной скоростью В = ВсЛ(8) (рис. 2). Формирование последовательности автоволн при Л’,/ц, < Л’ < Л’е связано с акустической активностью, сохраняющейся за фронтом волны. Напротив, при £ > Бе нестабильные волны трансформируются в одну автоволну, распространяющуюся со скоростью В = В( (£).
Также была исследована поперечная (гофрировочная) устойчивость автоволновых структур. На рис. 2 показана зависимость плотности газа в неустойчивой ударной волне от пространственных координат в различные моменты времени. Фронт начального возмущения, имеющего форму ступеньки, был синусоидально деформирован в направлении распространения волны (рис.2, 1). На начальном этапе эвелюции ( рис. 2, 3) поперечное искажение фронта переходило в поперечное искажение амплитуды на фронте волны. В дальнейшем это искажение быстро затухало, и оторвавшаяся от основной ударной волны автоволновая структура имела неискажённый плоский передний фронт (рис. 2).
Рис. 2. Устойчивость плоского фронта автоволновой структуры для двухмерной геометрии. Начальное поперечное синусоидальное возмущение на меняет самоподдерживающуюся структуру
Работа частично поддержана Минобрнауки РФ, государственное задание на выполнение работ на 2012-2014 годы, шифр 2.560.2011 и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.», ГК №
14.740.11.0999, 14.740.11.1140, 14.В37.21.0767, №14.132.21.1423, 14.132.21.1440 контракты, НИР №ГР 01201156352 и фондом «Династия».
Библиографический список
1. Климов, А.И. Неизотермическое приближение в плазменной аэродинамике [Текст] / А.И. Климов, В. Битюрин, Ю. Серов // Paper ALAA- 0348,- 2001.
2. Молевич, Н.Е. Акустические свойства неравновесных сред [Текст] / Н.Е. Молевич, // Paper АІА,- 020,- 2004.
3. Молевич, Н.Е. Влияние термодинамической неравновесности на акустические свойства газов [Текст] / Н.Е. Молевич, А.И.
Климов, В.Г. Макарян // Международный журнал аэроакустики.- 2005. - Вып. 4. -№3&4. - С. 345-355.
4. Макарян, В.Г. Стационарные ударные волны в неравновесной среде [Текст] / В.Г. Макарян, Н.Е. Молевич // Plasma Sources Sei. Thechnol- 2007. - Т. 16,- C. 124-131.
5. Макарян, В.Г. Структура газодинамических возмущений в термодинамически неравновесной среде со степенной зависимостью времени релаксации [Текст] / В.Г. Макарян, Н.Е. Молевич // Механика жидкости и газа,- 2004,- Т. 39,- №5,- С. 836-845.
6. Галимов, Р.Н. Структура и бифуркации плоских ударных волн в колебательновозбужденном газе с внешним источником энергии [Текст] / Р.Н. Галимов, Н.Е. Молевич // Механика жидкости и газа. - 2009,- Т. 44. -№1.-С. 158-169.
SHOCKWAVE PROFILES IN RELAXING GAS WITH EXTERNAL ENERGY SOURCE
© 2012 D. A. Anchikov1, R. N. Galimov1, V. G. Makaryan1, N. E. Molevich2
Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov
(National Research University)
2Lebedev Physical institute RAS, Samara branch
In this paper the shock wave profiles in nonequilibrium relaxing gas with the external energy source are investigated theoretically.
Shockwaves, nonequilibrium gas, stability of gas dynamic structures, shockwave profiles.
Информация об авторах
Анчиков Дмитрий Александрович, аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: swadimaz@mail.ru. Область научных интересов: нелинейная динамика.
Галимов Ринат Насихович, аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: renrk@mail.ru. Область научных интересов: механика жидкости, газа и плазмы, акустика.
Завершинский Дмитрий Игоревич, аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: dimanzav@mail.ru. Область научных интересов: акустика.
Макарян Владимир Георгиевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: vmak@rambler.ru. Область научных интересов: механика жидкости, газа и плазмы, акустика.
Молевич Нонна Евгеньевна, профессор, доктор физико-математических наук, профессор, заведующая теоретическим сектором, Самарский филиал физического института имени П.Н. Лебедева РАН. E-mail: molevich@fian.smr.ru. Область научных интересов: механика жидкости, газа и плазмы, акустика.
Anchikov Dmitrii Aleksandrovich, post-graduate student, Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: swadi-maz@mail.ru. Area of research: nonlinear dynamics.
Galimov Rinat Nasikhovich, post-graduate student, Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: renrk@mail.ru. Area of research: mechanics of liquid, gas and plasma, acoustics.
Zavershinskii Dmitrii Igorevich, post-graduate student, Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: diman-
zav@mail.ru. Area of research: acoustics.
Makaryan Vladimir Georgievich, associate professor, Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: vmak@rambler.ru. Area of research: mechanics of liquid, gas and plasma, acoustics.
Molevich Nonna Evgenievna, doctor of sciences (phycics), professor, head of theoretical sector, P.N. Lebedev Physical Institute RAS (Samara branch). E-mail: molevich@fian.smr.ru. Area of research: mechanics of liquid, gas and plasma, acoustics.
