CC BY
70
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519.216
А. И.Заико
ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
Приведены известные и оригинальные определения характеристик случайных процессов, а также алгоритмы и вероятностные характеристики погрешностей их измерений. Эргодические случайные процессы; определения; алгоритмы измерения; характеристики погрешностей
ВВЕДЕНИЕ
Эргодическое свойство стационарных случайных процессов позволяет находить их вероятностные характеристики по одной реализации х(ґ) осреднением по времени ґ, что существенно упрощает эксперимент [1, 2]. Однако практически это свойство используется только для нахождения математического ожидания тх, дисперсии Вх и автокорреляционных Дх(т) или взаимных корреляционных ДДт) функций, где т — сдвиг во времени между, соответственно, двумя сечениями х(ґ) и х(ґ + т) реализации процесса, а также реализациями х(ґ) и у(ґ + т) совместно эргодических процессов. Распределения вероятностей, плотностей вероятностей и их характеристические функции по реализациям процессов до настоящего времени не находили.
В статье обобщаются известные и введенные автором определения этих характеристик, приводятся алгоритмы для их измерения и даются математические ожидания и корреляционные функции погрешностей алгоритмов измерения с применением комплексного подхода к их определению [2, 3].
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
Одномерное распределение вероятности ^Х1 выражается через одномерную плотность распределения вероятности ^і[Х], и определено выражением [2, 4]
X 1 Т
Щ[Х]= | ^[2\й2 = Шп— Гі[Х — х(ф, (1)
т 2Т
—Т
г , у. Го, X < х(ґ);] где 1[Х — х(ґ)] = < , , > — единичная функ-
[1, X > х(ґ) I
ция [5]; 2Т - длительность реализации х(ґ).
Аналогично определяется двумерное распределение вероятности Ж2[Х1; Х2, т] через соответствующую плотность распределения вероятности ^2[Х,; Х2, т] в виде [2, 4]
X, Х2
Ж2[Х{; Х2, т]= Ц w2[Zl; 22, т^ВД =
у2\.£Л^2
Т
Т®¥ 2Т
1 Т
=Тіп^‘2Т 1 і[хі— х(ґ)1[х2—х(ґ+т)]аґ
(2)
—Т
Наконец «-мерное распределение вероятности Ж„[Х,; Х2, т^;...; Х„, т,„] определяется следующим образом [2, 4]
Ги [Х,; Х 2,тк;...; Х«, т1и ] =
Х, Х«
= 1 [21; 2 2, ^12;---; 2п, ^ \і2і-<І2п =
1 т
= І™ ^ 11[Х1 — х(‘)1[Х 2 — х(‘ + Х12 )] Л[Х» — х(ґ + Х1» )]Й, Т2Т -1
—Т
(3)
где т, = (7 - — временной сдвиг между первым
и 7-м сечениями процесса, 7 = 2, 3,...,«.
Двумерное взаимное распределение вероятности W2[X^; У, т] совместно эргодических процессов с реализациями х(() и у(( + т) выражается через двумерную взаимную плотность распределения вероятности ^ [Х;У, т] и введена следующим образом [2, 4]
Х У
Ж2[Х;У,т]= | |^2[2;И,т]<2Н =
“ т (4)
1
Ит 11[Х — х(()]1[У — + т)]<*.
—Т
Аналогично определяются взаимные распределения вероятности и большей размерности.
Одномерная плотность вероятности w1[X] находится из определения (1) и равна [2, 4]
Контактная информация: 8(347)272-11-62
W,
[X ]= dWXX^ = 5[x — x(t)dt, (З)
dX т2т
г , ч-. Г^, X = хк);] где 5[Х - х()] = < . . > - дельта-функция
[0, X Ф х()
Дирака, которая связана с единичной функцией 1[Х - х(0] следующими соотношениями [5]
5[Х - х(г)]= СП[Х - х()], сX
X
1[Х - х(^ )]= 18[У - х(^ )](У.
Двумерная плотность распределения вероятности W2[X1; X2, т] находится из выражения (2) и равна [2, 4]
W2 [X1;X2 ,t] =
d W2 [X1;X2, t]
dX ,dX 2
і т Hm — Id[x 1 — x(t)] 5[x 2 — x(t + t)]dt, т 2т J
—т
а «-мерная плотность распределения вероятности wn[X1; Х2, т12;...; Хп, т1п] из выражения (3) [2, 4]
wn [Х 1;Х2,Т12;---;Хп’Т1п ] =
_ ^[Хі;X2,Т12;...;Хп,тіп]_
(X х.жп
= 11т _1 Г 5[Xl - х('2 - х^ + Т12)]. т1т 2Т -ГТ. .5[xn - х(? + т1п)(
Двумерная взаимная плотность распределения вероятности w2[X; У, т] совместно эргодиче-ских процессов согласно (4) равна [2, 4]
W
[X ;Y, t] =
d 2W2 [X ;Y, t] dXdY
, т
llni ^ Id[x—x(t)] d[Y—у(t+t)]dt.
т 2т J
(б)
—т
Одномерная характеристическая функция 0^] согласно (5) равна [2, 4]
¥ 1 Т
01 [/V]_ |щ[х]еJvXdX _ Ііт — |еМ(]Ж.
•> т ®¥ 2Т
Аналогично определяется n-мерная характеристическая функция 0njVi; jV2, т,2;^; jVn, Tin] [2, 4]
0 n [/v,; jV 2, ті2;...;jV n, T,n ]=
= I.. I Wn[x,;x 2, Ti2;..; xn, T,n]
X e/(vA+V2X2 +^+V»X») dx,...dxn =
x
= llm — I
т2т J
1 т
_ Г^j[v1x(t)+V2x(t+T12 )+^ + Vnx(t+T'.
)]dt.
Двумерная взаимная характеристическая функция 02[^; уп, т] совместно эргодических процессов вводится аналогично и с учетом (6) равна
02[jV;jn,т]= I IW2[x;Y,т]еj(vX+nY]dXdY =
= llm — I
т2т ■>
dt.
Введенные определения распределений и характеристических функций позволяют получить с их помощью известные определения вероятностных характеристик случайных процессов [6, 7]. Так, математическое ожидание
¥ 1 Т
тх _ I Х^[Х]йХ _ Ііт — | х(ґ^
—т
дисперсия
¥ , т
Dx = I (X — mx )2 W1[X ]dX = lim — I [x(t)— mx Ydt
J т®¥ 2т j
—т
корреляционная функция
К(т)_ 11(Х1 - тх)(Х2 - тх)W2[Х1;Х2, т^Х2 1 Т
_ Ііт ^ I[х({) - тх М + т) - тх К
Т ®¥ 2Т -Т
ковариационная функция
Вх (т)_ | {Х^ [Х1; Х2, Т^йХ 2 _
1 Т
Ііт — | х(ґ )х(ґ + т)Л, т ®¥ 2Т
—т
взаимная корреляционная функция двух совместно эргодических процессов
R
xy
(т) = I J(X - тх)(У - ту )^2[X;У, т^СУ =
= ]1т ^ I[х(?) - тх + т) - ту] ^
Т 2Т -Т
где ту - математическое ожидание второго процесса, реализация которого у(^, взаимная ковариационная функция двух совместно эргодиче-ских процессов
—т
т
¥ 1 Т
Бу (т) = 11 ХУм>2 [X; У, т^ЙЛУ = Ііт — | х(і)у(і + т )Лі.
-¥ -Т
Вытекающие из них спектральные характеристики случайного процесса определяются следующим образом: спектральная плотность мощности
Ъх (ю) = | Бх (т) е-}ю% Лт = | Ях (т) е-}ю% Лт + т22л:5(ю),
взаимная спектральная плотность мощности двух процессов
Ъху (ю)= |Бху (т) Є^Ю Лт =
= | Яху (т) е-]ю Лт + тхту 2п5(ю) .
АЛГОРИТМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК И ИХ ПОГРЕШНОСТИ
Реальные алгоритмы измерения отличаются от рассмотренных выше определений характеристик случайных процессов конечной длительностью 2Т и погрешностью измерения реализации х(і). Поэтому результатами измерений являются оценки характеристик <•>, неточность которых характеризуется математическими ожиданиями т5.(^) и ковариационными функциями ^8»(^) их погрешностей. Они по-разному учитываются при аналоговых и цифровых измерениях. Так, при аналоговых измерениях погрешность 5(0 = <х(і)> - х(і), где <х(і)> -получаемая в результате измерения оценка реализации х(і). При цифровых измерениях длительность измерения дискретна 2пГ0, где Т0 -шаг равномерной дискретизации, а 2я - количество таких шагов. Погрешность цифровых измерений 5(іі) = хи - х(і), где хи - цифровой отсчет, і - номер измерения (і = -«,...,-1,0,1,...,п); I - уровень квантования (I = 1, 2,...£,...,к,... Ч,..., г,.) [2, 3].
Оценка одномерного распределения вероятности
хи ))! Лі =
1 п—1 іі +Т0
г Е .К[хк; х-«к ^ х«г К
2«Т
^Ц-0 і =-« і
а математическое ожидание т5п{Х) и корреляционная функция Я5№(Х1, Х2) ее погрешности:
тт (X) = X т5„ (г)Ж = 2_ |{^1 [х|(х(і))]- ^ [X]}* =
1 п -1 *1 +Т0 г
— Е I{^х[XI/;Х-«£,...,х«г]- ^[х]}Лі;
^ (Xl, X 2 )=| ^ (21,22 )Л2^2 =
1 ТТ[^21X1, X2|( х(*1 )),(х(*2))]- 1 =
-х(*1 ))№2|(х(і2)}]( Л =
=4^1
1 п—1 п—1 п—1 п-1
-2^2 Е Е \ 1Ж Х1, Х2| Ч, 12; Х—п.,•••, Хпг ] —
п ^0 1=—п м=—п,=—пм=—п
—Ж к к; х— »* ,•••, хпг к[х 2 к2;х—п^ хпг ^
где щ[х\•] и Ж,[к!,X21•] — одномерное и двумерное распределения вероятностей при известной оценке реализации, которая при аналоговых измерениях получается непосредственно, а при цифровых измерениях находится после восстановления ее по дискретным отсчетам х-
п^ — ,хпг.
Оценка двумерного распределения вероятности
X1 X 2
(Ж2[Х1;х2,т ] = | К^2[^;г2,т^С22 =
4п2Т2
1 Т-|т Г і /
-х |^2 К X2|( х(і )),( х(і
2Т - х
х(і )),( х(і + т )) І Лі =
1 «-Ц-1і) + Т0 г 1
^^ Е 1^2[хl,х2і + |т |;х-«І,...,х«г] ,
(2« - ц )Т0 ,■=-« і
где ц - целая часть частного |т|/Г0; ц = 1, 2, — ,2п.
Математическое ожидание ШъЖХй Х2, т ) и корреляционная функция К&ш(Хи; Х21, т1; Х12; Х22, т2) ее погрешности:
Х1 Х 2
тт (Х1;Х2, т) = / /(^1;%2,т)С21С2'2 =
2Т - т
—ГГ I { ж2 к X^х(/))^х(/ + |тр)]-Ж2 [х1; X2, т]}л/ =
1 «-Ц-1 іі +Т0
(2« - ц)Т0 іЕ« !
X1, X 2 і, і + | т|;
х-пк ,■, х«г _
- Г2 [х 1; X 2, т]
Лі;
^5Ш (х 11;X21,т1;X12 ;X22,т2 ) =
= I I і" |"^5» (211;221,т1;212;222,т2 )Л211Л221Л212Л222 =
— ¥ —¥ —¥ —¥
г
Т
Т-|х 1 Т-|х 2| 12У -Т -Т
к
Х11,Х 21, X12,Х 22
(2Т -|ха |)(2Т-|Х21)
(х(?1)) ^ х(/, +| т1 р),
{х{^2 ))^х(/2 +|Т2 Р)
- К2 [Х 11, Х211(х(/1 )), (х(/1 + |Т1 Р)]Х
X К2 [х12, Х2^( х(/2 ^ ,(х(/2 + |т2 Р)]
п-Д1-1 «-^2-1 ^ +Т° ^ +Т°
2 2 2 I I х
° г=-п и—-п г г
к
Х11,Х 21, X12,Х 22
^1, ^1 + т,, ^2, ^2 + Т2;
Х-„к ,..., Хп
- к9
х К,
X11,X 21 /1, /1 +1Т11;
- Х-пк ,..., Хпг
X12,X 22 г 2, г2 11 х 21; Х-пк V-Хпг _
где
Ж4 [Х„, X 21, Х12, X 221.]
четырехмерное рас-
пределение вероятностей при известном оценке реализации.
Оценка п-мерного распределения вероятности
К [Х1; X 2,Х12;.; Хп ,Хщ ] —
Х1 Хп
— I. К™п [г1'; г2,т12;.; 4 ,т1п ]) ^.^п—
1
2Т - к
I К
(х(г)),
Xl, X 2,..., Xn (Х(г + Х12 )),..,
(Х(г + | Х1п|)) _
йг —
п -Д1п -1 +Т°
х 2 I к
1—-п г
Хх, X 2,..., Хп
(2п - Д1п )Т°
А/,
где Жп[X1,X2,...,Xп|*] - п-мерное условное распределение вероятностей.
Математическое ожидание т^К^!; X2, Х12; —; Xn; т1п) и корреляционная функция ^5^X11; X21,
т12-1; — ; Xn1, т1п-1; Х12; X22, Х12-2; - • • ; Х^ т1п-2) ее погрешности:
т
(Xl; X 2, Х12;...; Xn, Хщ) —
5К Vх 1>^ 2
Xl X,
Л1 -Л п 1
— I ... I т8» (%1; %2, Х12;...; %п, Х1п ^^...^п — ^
2Т -х,
Т - Т1п
х I
-Т
т, 1
(Х(г + Х12 Р),.
Кп X,, X „..., X,, -
(Х(г + | Х1п \}
- Жп [X,; X 2, Х12;. .; Xn, х1« ]
Аг —
(2п - Д1п )Т°
-1 г, +Т°
2 I
Кп г ч г, г +1 х12|,...,
г + х1п;Х- пкХпГ _
- Жп [X!; X 2, Х12;. 1п п
йг;
•^5К (X11;21,х121;.;Xn1,Х1п1;X12;X22,х12 2;.;Xn2,Х1n■2 ) — Xll XnlXl2 Xп2К | %11;721,Х12 1;.;^п■1; |
— I . I I . I V%12;%22,х12 2;.;%п2,х1п ■ 2) —
— ¥ —¥ -¥ -¥ 7лу 7лу 7лу
й^11.й^п1й^12.й^п2
—__________1___________
— (2Т -I Хщ 1 )(2Т -| Тщ 2)Х
Т-| х1п ■ 1 Т-|х 1п ■ 2!
X I I{К2п 1X11,X21,.,Xnl,Xl2,X22,.,Xп21
-Т -Т
(х(/1 ^ ,( х(/1 + |Х 12 ■ 1 Р) ,.,( х(/1 +1 Х1п 11))'
х(/2 ]) ,( х(/2 + |Х 12 ■ 2 Р) ,.,( х(/2 + | Х1п ■ 2) 1}
X К
Xll, X 21,.., ^1 х
-^12,^2,-,-^п2 х
х|( х(/2 ^ ,( х(/2 + | Х12 ■ 2) ^ ,.,( х(/2 + | Х1п ■ 21)) 1
(2п Д1п ■ 1)(2п М-1п ■ 2 )Т°
Д1п 1 -1 п-^1п ■ 2 -1 *1 +Т° ?и +Т°
2 2 I I х
к,,
^1, X 21,., Xnl, Xl2, X 22,., Xn2
Х- пк,., Хпг/1, /1 + Х12 ■ 1 ,.,/1 + Х1п ■ 1
Кп [^"ц,X 21,., ^11/1,/1 + | Х12 ■ 1,/1 + | Х1п ■ 1;Х- пк,., Хпг ]х х Кп [X12,X22,.,Xn21/2,/2 + |Х12 ■ 21,/2 + |Х1п ■ 2^ Х-пк,., Хпг ]}й/1й/2
где
К2п [X П, X 21,..., Xn1, X12, X „,..., Xn
- 2п-
2^ К 1 п2|
мерное условное распределение вероятностей;
|х121 ^ |х1з| <—< |х1п|; Д12 — Д13 — — — Д1п.
Оценка двумерного взаимного распределения вероятности совместно эргодических процессов
1
х
х
х
1=-п /
1
х
х
х
х К ХЬ Л Х/1 + Х12 ■ 1
Х/1 + х1п ■ 1
х
Т-1х
1
х
х
-Т
/2,/2 + Х12 ■ 2 ,.,/2 + Х1п ■ 2
х
г, г + х12,...,/ + х1п
х ....х
х
X Y
W [X ;Y, т] — j Кw2 [Z; H, т]dZdH
1 т-т\ г
31 I W1-
2T “И
-1 11+T0
2 X, пы
t + т
dt —
-т
n-ц-, о г
с£ |^2[x,n|t,t
(2« - ц )т0
- Ущ ] dt,
'21/1 , У |г,г + |Х|; Х-пк,.,Хпг, у-п^^^п^ J г—-п г
где <^2(2; Н, х)> - оценка двумерной плотности вероятности; Кг!, У | •] - двумерное условное взаимное распределение вероятностей.
Математическое ожидание msW(X; У, х) и корреляционная функция R5W(X1; У2, Х1; X2; У2, х2) ее погрешности:
mXi
(X;Y,т)= j jmw(Z;H,x)dZdH —
1
I
H J W.[X,Y|(x(tl(y(l + |т|))-
2T - M -T [- W2 [X;Y, т] = 1 x (2n - ц)т0
0
^ [x ,Y|t, t + |т|; x- *,..., x^, y-„g,..., ynq ]| ^
x У j
i=-n t [-W[X;Y,т]
R6W (X1;Y1, т1; X2;Y2, т2 ) = X, Y, X 2 Y2
= 1111 R6w (Z,; H,, т,; Z 2; H 2, т2 )dZ,dH,dZ 2dH 2 =
- ¥ —¥ —¥ —¥
(2T-|t,| )(2T-|T2|)>
I I Ь
X,, Y,, X 2, Y2
(x(t,)) ^ y(t, + |t P),
(x(t2 У),(y(t2 +|X2 P)
-W
(x(t,)), (x(t2 )),
X,,Y, (y(t, +1^, 1^ W2 X 2 , Y2 (y(t2 +|X2, P)
>dt,d%2 —
,
(2n - Ц,)(2n - ц2 )т02
n-ц, -, n-ц2-, t, +T0 ^ +T0 I
< 2; у j j W
i—-n U —-n tj
X,, Y,
X,,Y,, X 2,Y2
- W
xW,
X-nk ^ Xnr, y-ng ,., yn
X-nk ^ Xnr, y-ng ^ yn
X-nk ^ Xnr , y-ng,., yn<
где W2[X, У | •] и W4[X1, У1, X,, У2| •] - двумерное и четырехмерное условные распределения вероятностей.
Оценка одномерной плотности вероятности
2T
1 n- tJ +T0
, Х""' Г
2nTn
У jw,[x|t;x-nk,...,xnrR
0 i—-n t
математическое ожидание msWX) и корреляционная функция RsWX,; X2) ее погрешности:
m5w(X) — mX^ = ^ j{w, [x|(x(t))]- w, [X]}dt —
2nTr.
У j{w,[xlt;x-nkxnr]-w,[x]}dt;
0 i—-n t
RSw (X,, X 2) —
d R8W (X,,X2 ) .
dX ,dX 2
4T2
^ j j{w2 [x 1,X^x(t, Ыx(t2 Й-
T -T -T
- w, [x, Кx(t, ^ [x 2 |( x(t2 ))\dt,dt2 =
, n-, n-, ti +T0 tu +T0
У У j j {w2 \X^ X 2 It1, t2; x-nk - xnr ]
4n 2T2 ^
~lt 0 J—-nu—-n t t
li Lu
- [x1 |г1; Х-пк,..., Хпг К [x2 |г2; Х-пк,..., Хпг ]НЙг2.
где Wl[X | •] и ^т^х, X2 | •] - одномерное и двумерное условные плотности распределения вероятностей.
Оценка двумерной плотности распределения вероятности
, T-г . .
— It j w2 [хL X2\{x(t))^x(t +
2T - k
, n-ц-, ti +T0 г -1
■й--------У j w2 [X1, X2k.t + H; x-nk ..... xnr ] dt.
(2n - цjT0 ,—-„ t
Математическое ожидание m5w(X1; X2, т) и корреляционная функция R5WXn; X2,, т,; X,2; X22, т2) ее погрешности:
m,
5w
(X,; X „ t) —-
d m5W (X, ;X2 , x)
dX,dX 2
T - т
w,
2T -t
X,, X x(t ^,( x(t + |t
- w2 [ X,; X2 , t]
>dt —
n ц-1 tJ +T0 I w.
(2n - ц )T0 i—-
У i
n t,
[хl, X 2 ^t + |т|;x- nk,., xnr ]-l
- w2 [X,; X 2, т] J
dt;
T
,
x
T-Iт,| T-Iт
x
T -T
-T
t,,t, + t,,t2,t2 + X2;
x
t2, t2 + X2
X 2,^2
j
T
^5щ (Х11;Х21, Т1;Х12;Х22, Т2 ) —
_ Ш ^5Ш (Х 11;Х21, Т1; Х12;Х22, Т2 ) .
ШХ 11ШХ 21йХ 12ШХ 22
1 Г-х^| Т-\т2
_(2Т -|Х1|)(2Т -|Т21) - ^
^2|/ -Т -Т
(х(А ^ ,( х(^1 +К Р)
(Х(12 )) ^ Х(/ 2-
[Х11, Х2^ х(А ^,( х(А + |Т1 Р)]Х
Х11,Х 21,Х12 ,Х 22
2
Х Щ2 [х 12, Х221(х($2 ]}, (х($2 + |Т2 Р)|(
-^-1 И-^2 -1 ^ +Т0 ^ +Т0
^1^2 —
X I - - х
У" У" V У 11 21 12 22
$1, $1 + Х1 , ^2, $2 + Х2 •
Х_,,..., Хи.
$1, $1 + |Т11; $2, $2 + |Х2 |;
Х11, X 21 щ2 Х12,Х 22
Х-пк ,..., Хпг _ Х-пк ,..., Хпг _
где ™4[Хц, Х21, Х12, Х22 | •] - четырехмерная условная плотность распределения вероятностей.
Оценка «-мерной плотности распределения вероятности, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
{Щп [Х1;Х2,^12;...;Хп,Т1п] _
_ Шп{И,[Х,;X2,Т12;...;Х«,Тщ| _ 1 х
Т - Тщ|
Х I Щ
-Т
йХг.Жп 2Т-\т1п\
(х( )),
'(х(? + |Т12 [))х($ + |Тш Р)
Х„ X 2,., Х«
1
(2п - М1п )Т0
П-^!п -1 ?г +Т0
Х X I Щ
1 —-п
Х
Х„ X 2,., Х„
t, { + |Т12 ^., $ + |Т1п |;
Х-пк,., Хпг
Ж;
т
(Х1; X 2, Х12;...; Хп, Тт )_
Ш т5И (Х1;Х2, Т12;...; Хп, Т1п ) .
ШХ1...ШХп
X1, X 2,., Хп
2Т -к,
(х({ )),
(х(/ +|Т12 „( х(/ +|Т1п ^
Щп [Х1;Х 2, Т12;.; Хп, Т1п ]
п-^1п -1 ^ +Т0
Х I- I
1 — -п £
М? п Х1,X2,., Хп t, $ + |т12 ^., $ + т1п |;
Х-пк ,., Хпг
„ Щп [Х1; Х2, Т12 ;.; Хп, Тт]
Ж;
^5щ(Х11; Х21, т121;."Хп1, т1п1; Х12; Х22, т12 2;...;Хп2, т1» 2 ) —
— Ш ^5И (Х11; Х21, т121;.;Хп1, т1п1; Х12; Х22, т12 2;.;Хп2, т1п2 ) .
$Х11.<Шп1<£Х12-ЙХп2
(2Т-| тт! )(2Т-| хщ. 21)Х Т- т1,1Т- т1,р|
Х I IК[Х11,Х21,.,Хп1,Х12,Х22,.,Хп -Т -Т
(х(?1^^х(?1 + |Т121 |)),.,(х(?1 + |т1п.1 ^
(Х(?2 ^ ,^ х(/2 + |Т12 211) ,.,( х(/2 + |Т1п- 211)
х[Х11, Х21,., Хп\^\ х(/1^ ,( х(1 + |Т121 ,.,( х(1 + |Т1
Хп [Х12,Х22,.,Хп2^х(/2^,(х(/2 + |Т12 21)),.^х(/2 + |Т1п 2])|)Й/1Й/2 " 1 п-^1и. 1-1 п-М1й. 2-1 ^1 +Т0 ги+Т0
1 —С X I IX
-п м—-п / /
$1, $1 + |Т121р.,/1 + |т1п1|, ?2,$2 + Т12 2 ,.,$2 + т1п2 ;
х- ,.,х
(2п Ц1п1 )(2п т1п 2 )Т0 1—-п м—-1
х|щ2п[ХП, Х21,., Хщ, Х12, Х22,., Хп
- щп[х11, Х21,., Хп11$1, $1 + |Т1211, $1 + |т1п 11 ; Х-пк,., Хпг ]х Хщп [х12,Х22,.,Хп21$2, $2 + |Т122|, $2 + |Т1п2^ Х-пк,.,ХпгБ^^,
где Щп [Х1, X 2,..., Хп |*| и Щ2п[ХП, Х21,_, Хп1, Х12, Х22,. _, Хп2 | •] - п-мерная и 2«-мерная условные плотности распределения вероятности; |т12| < < |Т1з| <...<|Т1п|; Ц12 < Ц13 <.<Ц1п.
Оценка двумерной взаимной плотности распределения вероятности совместно эргодиче-ских процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
2 [X ;Г, т^ — Й 2 №;у,т|
1 Т-|т| г
Г-^ I Щ2 [х,¥\(х())^А1
2Т - т
-1 11 +Т0
(2п - Ц)ТС
11
ж
0 г—-п I.
X ,У
$ + т ) Ш —
*, *+1т |; х-пкхп< У-пе ,..., Апа
щ (х ;7, т) —-Т ^
2Т - т •!„
— Ш 2тш (X; У, т) —
ШХёУ
,[х , y(x(t)) ^ у(
- щ2 [X ;У,
—
1
2
- щ
2
1
X
-Т
1
I
X
-Т
т
1
X
Л-Ц-1 Іі +Т0
х2 |
і =—П І
^2 X ,7 І, І + 1Т|; х-пк ,., хпг,
1 п
- ,2 [X ;7, т]
0і;
Я, (хі; 7-,т-; X 2; У1,х1 ) = 1
й4 Яш (Xі; 7-,т-; X 2; 72, т 2).
^Х1^71^Х 2 072
(2Т - т1 |)(2Г - т
X1,71, X 2, 72
(х(?1)) ^у(?1 + |Т1^, (х(?2 )}^У(?2 + |Т2 ®
,2 [X1,7-|( Х(1 )) ^ + |Т1 Р)]Х
х ,2 [х2, 72
?2 + |Т 2
йі1йі2 =
(2и - ц )(2и - ц 2 )То
л-Ц,-1 л-Ц,-1+То +То
-1: 2: I |х
і=-п и=-п І І
‘і ‘и
х і,
X1,71, X 2,7
І1 І + Т , І 2 , І 2 + ы;
' X , ,.,х ,у ,.,у
-пк ’ ’ пг ’ •/ - ng ’ ’ •/ пд
- ,
х Ж,
І-,?- + т-;
X1,7- х
х , ,.,х , у ,., у - пк ’ ’ пг ^ ^ -ng ^ пд
X 2,72
І2 , І2 + |Т2 |;
X , ,.,х ,у ,.,у
- пк ’ ’ пг ’ У - ng ’ ’ •/ під
0і10і2,
где w2[X У І •] и ,^1X1, 7і, X2, 72 | •] - условные плотности распределений вероятностей.
Оценка одномерной характеристической функции и характеристики ее погрешности соответственно:
(0-Ы) = І ]е0/х(і^ =
-¥ - Т
1 п-1 ^і + Т
2лТ ^
^п±о і=-п І
2 101 [/VI?;х-пк,...,хпг]йІ;
Іі
т, (X )е pXdX =
50 (/) 1=2ТI {01 [-Н( х(і Й- 0- Ы!**
-Т
1
2пТ
п—1 і 0
2 I {01 ^і;х-пк ,.. хпг]- 01 Ы}ш ;
0 і=-п і
Я50 /, /V2 ) = I |Я 5, (X, X2 )е)dXldX2 =
1 гТ[02 [/V1, /^х(І1 )) >(х(І2 ^]- 1
=---71 Н Г I, / Г и , =
4Т -ТI - 01 [/'V- ( х(І1 )) ]01 [/V 2 ( х(І2 М
4п2Тп2 ■
I 110 2 Ь-, / V 2 |*1, І2; х-пкV, хпг ] -J J '-0/ х-пкV, хш 2 \І2
\йґ1йґ.
2
—Т “Ш л—пк,-,лпг РШ у 2|*2, —пк ^^ пг ]
где 01[/у|«] и 02 [/'у1, /V21»] — одномерная и двумерная условные характеристические функции.
Оценка п-мерной характеристической функции, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(“п [м; p2, т12;.; Рп, тш ]) =
с Л™:[хl;х2,Т12;.;хn,т-л_
I. I 0X1 .dXn =
^ х eJ (V^■X1 +V2X2 +'+VnXn )
— <¥ <¥ ^
2Т - т
I 0п
1^ -Т
jVl, Jv2^ Jvn х
(х(і^^х(і + | Т12 |)), х(І + ІТ,
х
0і =
1
п—ц1п -1 Іі +Т0
)Т 2 10.
(2п - Ц1п )Т0 і=-п І
jV1, jv2,., jvn х
І, І + | Т121,
..,І + ІТ- '
х
1п
х-пк,., хпг
0і;
т5 0(Рй p2, Т12;.; ]^п, Тт
)=
II
т
5,
(X1;X 2, Т12;.; Xn, Т1п )х
х е
] ( vlхl + v2х2 +'+vnXn )
dX1 .dXn =
Т- т„
2Т - т-
1 п -Т
х
(2п - Цщ )Т0
-Ц1п -1 Іі +„Т0
зі: I
jvl, jV2,.,./Vп х
0п х (х(і^^х(і + Т-2 )), -
..^х(І + Т1л ))
- 0п [/Vl; jv2, т-2;.; Рп, т-п],
Ръ Р 2^ JVn х
І,І + | Т-21,
0п х .., І + т-п;
х-пк,., хпг
- 0л [/Vl; Рv2, т-2; 1п Т1 п
0і;
1
х
1
1
1
1
1
п
х
і = п І
Я*
л
/уц;/V 21, тш;...;
/Пи1 , Х1и-1 ; /у12; /П22, Х12-2;..
V/П п2 , Х1и-2
Х11; Х21, т121;.; ^
— ¥ —¥ —¥ —¥
х е
Хп1, т1и- 1; Х12;Х 2:
V Т12 -2;.;Х п2 , Т1и-2 У
/'(у11Х11+ У21Х21 + -+уп^-Хп1+у12Х12 +^-Х22 + -+уп2Хп2 )
ш ххлхпХах !2.ах„2 =
(2Т — |т1и -1 )(2Т — |х1„- 21)
Т I т1п -1 Т IТ1 п - 2 I
I |х
■2\> —Т —Т
— 0.
/^1^ У 21,., у
/У12, У 22,., п2
(х(?1 ^ ^ Х(?1 + |т 12-11}х(11 + |Т1И-1^, (х(?2 ^^х(?2 + |Т12- 2 0}-(х(?2 + |Т1И- - 2 ^
Х0,
J■Vll,/V21,., /VИ1 х Х|( х(11 ^ ^ х(?1 + |Т12-11 ^-( х(?1 + |Т1И- 1 0) /У12, /П 22,., /П п2 Х
Х^Х(?2 ^)^Х{12 +|Х12-2 0) ,.,(х(2 + |Х1и-2 1
>№11№12 =
(2п — 1)(2п—Ц1И- 2 )То2
п—Ц1п 1—1 п—Ц1п .2 —1?' +Т0 ^+Т0
I I I |х
11,11 + |Х12-11, , 11 +|Х 1п - 11,
0 2и J'V11, У 21,. , /V И1, 12,12 + |Х12-2 | ., 12 + 1
х Х1п-2 |;
/У12, 22, ,/V п2
. Х—пк ,., Хпг
А "JV11, /П 21,. ., /V п1 х "
. х
х 11,11 +|х12 1,..., 11 + |Х1п-1 р Х—пк ,., Хпг _
х 0,
/'^12 ,/V 22 ,...,/Vп
Г2 + |Х1и-2 р Х—пк ,., Хпг
где 0п[/V11, >21,...,/У^ | •] и 02И[/УП, /У21,...,/УпЬ /'У12, /'У22,..., /'Уп2| •] - п-мерные и 2п-мерные условные характеристические функции.
Оценка двумерной взаимной характеристической функции совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(02 [/V; /п, т] = ] ](w2 [Х.Т.ф^+^ХУ =
= 11 102 1% /п|(х()), (у(+н =
2Т — |х| — т
1 п— ц—1 11 +То г л
= ^-----^ I 102[Jv,М1,1+М'^—к’-^пг’У—п^-’Уп,М;
(2п — ц)То 1=—п
™Ау;/пт)= ¥ ¥™5» (х;У,т)е/("х+п7><ЙУ7 =
>№11№12
= ,} 1 {0 2 ^ /П|(Х(£ ^ (У(£ + Н ^]— 0 2 [/% /'П,Т]}^£ =
2Т — |х| —т
= 1 "I-1111 |То I0 2 ^ /п|1, 1 + М ; Х—„к - Хпг - У — пВ Ущ ]—1 л.
(2п — ц)То 1=—п 1 1 — 0 2 [/V,/П,т]{
Я80 (.М;/Ъ^/V2^.^^n2,^2 ) =
Я5К (X1;У1, Т1; X 2;72, х2 )х
¥ ¥ ¥ ¥ ПИ
— ¥ -¥ -¥ -¥
/'КХ1 +%?1 + ^2X2 +^2^2 )
3Х13У13Х2 3У2 =
1 11111 (2Т — |Х1 \\2Т — |х2|) —^ —
х ^0,
JVl, JЛl,/V 2, /П2
(х(11 )) \ у(11 +К \)), (х(12 ))^У(12 +|^2 Р)
— 02 [/У1, /п^ х(11 )),( у(£1 +1^1 ^1х
х 02[/У 2,/п^х(2^^У(12 + 1^21
(2п — Ц1 )(2п — ц 2 )то
п-ц 1 -1 п-ц2 -11 +То £и +То
■и 2: I Iх
о 1 =—п и=—п £ £
— 0-
х 02
>1, ЛЬ /^2,/Л2
£1,£1 + ^1 ,£2,£2 + Г2 ’
Х-пк,., Хпг, У-пе ,., Уп
J'Vl, /П1
/'^2, /П2
£1, £1 + ^1 ;
Х-пк^ Хпг, У-пе ,., Уп
£2, £2 + р2|;
Х-пк,., Хпг,у-п^ ,.,упд
Оценка математического ожидания, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
¥ 1 Т
(тх) = I Х(^1 [х]3Х = — I [(х(1)) - т8 ¥ =
-¥ -Т
1 п-1 +То
I Iт(1;х-пк,...,хпг)31;
2пТ
о г=-п 1
т8т =
¥ 1 Т
I Хт8'м (Х )3Х = 2Т I КХ(1 ^ - ^8 - тх =
2пТп
1 п-1 +То
— I Х-пк,...,Хпг)-тх№
Я8т = Ат = I {Х1Х2Я 8„ (Х1, Х2 ;3Х13Х2 =
1 Т Т
= 4т2 I IЯ8 (11, )311312 =
1 п—1 п—1 £1 +То £и +То
"2Т2 I I I IЯ8(11,£2;Х— пкХпг)31,
4п2Т2 ■="
± о 1=—п и=—п 1 1
где т8 - математическое значение погрешности измерения реализации х(1) процесса; т(1; х-пк,., хпг) - математическое ожидание реализации
I —1т I Т — 1т
х
1
2
п и=—п 1 1
11 ‘и
х
12,12 + Х12-2
процесса в момент времени 1, восстановленной по отсчетам х-пк,., хпг.
Оценка дисперсии, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(Я) = ][(Х — тх )2( ^[Х ] ёХ =
= 2Т .I{ Кх(1 ^ — т8 — тх ]2 + ВМ =
1 11 ^ [т(1’ Х-пк ’.’ ^ ) — тх ]2 + }ё1-
2пТо 1=-п 1
В8 (1; Х-пк,., Хпг )
т
8В
= I(х — тх )2т8*(Х)3Х =
= I{ [( х(1 )) — т8 — тх ]2 + В8 — Вх I31 =
-Т
I ^ ] [т(1; Х-пк,..., Хпг) — тх }
2пТо 1=-п 1, [ + В8(1; Х-пк,..., Хпг ) Вх
Я8В = В8В =
= II (Х — тх )2 (Х 2 — тх )2 Х Х2 =
[т2х2 К х(11 ) ,< х(12 )>]—
ТТ ^ 11
4Т2 -Т -Т (— Кх(11 ^ — т8 Г Кх(12 )) — т8 Г
т2х2 (^, 12
>ё11ё12 =
1 п-1 п-1 1 +То ^и +То
4п2Т2 ^ ^=-1 | |
“*■ -* о 1 =-пи=—п 1 1
1 2; Х-пк,., Хп
— т2 (11; Х-пк,., Хпг)х х т2(12; Х-пк... Хпг )
311312,
где В - дисперсия погрешности измерения реализации процесса; В 8(1; х-пк,..., хпг) - дисперсия погрешности измерения реализации процесса в момент времени 1, восстановленной по отсчетам х-пк,..., хпг; т2х2[<х(11)>, <х(12)>] и т2х2[11, 12; х-пк,..., хпг] - начальные моменты четвертого порядка от произведения квадратов реализаций процесса, восстановленных в моменты времени 11 и 12 соответственно по оценкам <х(1)> и отсчетам Х_nk, . ., Хпг.
Оценка корреляционной функции, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
, ()=¥¥(Х1 — тх )(Х 2 — тх )х =
1 Х(Т _-У¥х(^[Х1;Х2,т]ёХ^Х, ~
1 Т-|т
2Т — т1 -1
[[(х(1 ))— т8 — тх ]х
[х [( х(1 + |т|))— т8 — тх ]+ Я8 (т)
(2п — ц )То
п-д-11 +То 11
о ,=—п 1
[т(1;Х—пк - Хпг)—тх]х
х[т(1 + |х |;Х— пк,., ХпГ)—тх ]+
+ Я8 11 + Н; Х— пк >.> Хпг )
ё1;
/ \ ¥ ¥ (х1 — тХ )(Х2 — тХ )х
т» {т)\цх;. (Х,л,т)' ^х 2 ■
2Т — т
^Лл 2 тх >
‘■2, т — тг
[ х(1 )— т8 — тх ]Х
х[ х(1 + Н )) — т8 — тх ] +
+ Я8 (т) — Ях (т)
ё1 =
(Х11 — тх )(Х21 — тх )х
¥ ¥ ¥ ¥
{ ) Г Г Г Гх(Х12 — тх)(Х 22 — тх)х
Я8Я (т1, Т2 )= \ I \ I (х .
— ¥ —¥ —¥ — ¥ 5^ V 1 1 ’
;Х21, Т1; Х12;Х22, Т2 )
йХ11йХ 11йХ11йХ 22
(2Т — |т, 1К2Т - |Т21) ’
I I
—Т —Т
(х(11 ))^х(11 + |Т1|)) Д х(12 )},
(х(12 + |Т2 0)
— [ х(11 ) — т8 ][ х(11 + Ы ) — т8 ]х X К х(12 ^ — т8 ][( х(12 + |Т2|)) — т8 ]
п—ц —1 и—ц 2 —11 +То 1и +То
2 I I I I х
(2п — ц1)(2п — ц2 )То2 1=
тЛ (1^ 11 + |Т11,12, 12 + |Т2|;Х— пк,..., Хпг ) —
— т2 (1ъ 11 + |т1; х— пк,..., ХпГ)
п и=—п 1 1
11 1и
Х„
Хпг)х
хт2 (12, 12 + |Т2|;Х— пк ,..., Хпг )
где Я8(т) - корреляционная функция погрешности измерения реализации процесса; Я8(11, 12; х-пк,., хпг) - корреляционная функция погрешности измерения реализации процесса, восста-
новленной
А
по
отсчетам
x-нk,.,
т
1, ^1 + |т1, 1 2,12 + |Т2 |; Х—пк ■
..., Х,
•)
начальные
моменты четвертого порядка от произведения реализаций процесса, восстановленных в моменты времени ^ + |т1|, 12, 12 + |т2| соответственно по оценкам <х( ^)>, <х( ^ + |т1|)>, <х( 12)>, <х( 12 + |т1 |)> и отсчетам х-пк,., хпг.
Оценка ковариационной функции, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
1
—Т
х
1
Х
и
-Т
(Бх(х))= | |ХХ2(w2X,X2, т]АЭД =
1 Т - т
гпт | [(х(^ - т8 ][(х(+N^ - т ]+^8(т)] А=
2Т - т
(2и - Ц )Т0
п-Ц-1 ?г +Т0
е I
о г=-п ?
т(?; х-пк - хпг)х
х т( + |т|; х-пкхпГ)+
+ Я8 Ь ? + |т|; х-пк,., хпг )
т8
,(т)= / | Х1х2 т ы (Х1; X 2, т)АХ1АХ 2 >- т8]х
, Т-|т|
-- Т *>
2Т - т
х [(х( + N)) - т8 ]+ Я8(т)- Бх(т)
А =
(2п - Ц )то
п-ц-1 ?г +То
о г=-п
¥ ¥ ¥ ¥
т(?;х- пк,., хпг)х х т( + |т|; х-пк,., хпг)+ + Я8 Ь ? + |т|; х-пк,..., хпг
- Бх(т)
)-
А;
Я8Б (т1, т2 )з III I Х11Х21Х12 ^^22 х — ¥ —¥ —¥ —¥
х (Х11; X 21, т1; Х12; X 22, т 2 )АХ11 АХ 21АХ12АХ 22 =
= 1____________________
= (2Т - |т1 )(2Т - |т 2|)Х
(х(?1)) ^ х(?1 + Ы ^,
(х(?2 ^ ^ х(?2 + |т 2| ^ _
- [х(?1 )) - т8 ][(х(?1 + |т11 ^ - т8 ]х] х [х(?2 )) - т81(х(?2 + |т2| ^ - т8 ]
х I I
-Т -Т
(а1а2 =
1
(2п - Ц Х2п - Ц 2 )Т0
п —Ц -1 и —Ц 2 -1 11 +Т0 ?и +Т0
X
е е II
г=—п и=-п ? ?
т
-т
?1, ?1 + т
1Л
т
?2, ?2 + т2
х-пк,..., хп
• М
А?1А?2.
Оценка взаимной корреляционной функции совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
{Кху М) = I }(Х - тх )(7 — ту ^2 [Х ;¥, =
= 1 ТIТ| [[(х(?)) - т8х - тх ][(У( + |т|)) - т8у - ту ]+К =
2Т - Н -Т [+ Я&8у (т) }
1 п-Ц-1 + Т0
= (2п-Ц)То ,£ /Х
М*;х-пк- хпг)- тх]х
х[( т(^+Н; у-пе ,■, ущ )- ту ]+
+ Я8х8у (?, ? + Н; х- пк ,■, хпг , у-пе ,■, уп» )
А?;
т ЫЬу (т) = II (Х - тх )(^ - ту )mЪw (Х; 7, т)АХА7 : Ех(?)- т8х - тх ]х
-^-ТТ I
2Т - ^ ^
хЕу( + Н)- т8у - ту ] + + К8х8у (т)-Яху (т)
А? =
А?;
1 п-т-1 ?г +Т0
= 7^-----------Е Iх
(2п - Ц)Т0 г=-п I
\т(Г; х-пк,., хпг)-тх]х
х[т(?+Н; у-пе,., уп»)- ту ]+
+ Я8х8у (^, ? + |т|; х-пк,., х„г, у-пе ,., у«« )-
,- Яху (т)
Я8Дху (х1, Х2 ) =
(Х1 - тх )(71 - ту )х
с*о с*о с*о с*о •-
= I I I IХ(X 2 - тх )(72 - ту )х =
х R8w (X1;71, т1; X 2;72, т 2 )АХ хй1хАХ 2А12
_ 1 ' Г' Г1 4 (х(?1 ^^у(?1 + Ы)),
= (2Т-|т1 )(2Т-|т2|) -у -Т \т
- [ х(?1 ^ - т8х ][( х(?1 + |т1 ® - т8х ]х =
х[у(?2 ))- т8у ^[(у(?2 + |т21)- т8у ]\ 1 2
— ¥ — ¥ — ¥ —¥
{х(1:2 ))^у(?2 + |т2 Р)
х
(2п - Ц1)(2п - Ц 2 )т02
п—Ц1 -1 и-Ц2 -1 +Т0 ?и +Т0
Е Е I I
г=—п и=—п ? ?
х
; т
?1, ?1 + т1 , ?2, ?2 + т2 ;
х-пк,., хпг, у-пе ,., упд
-т
хт
?1 ?1 + т^;
х
х пк ,., хпг, у-пе, , уп» _
?2 , ?2 + т2;
х— пк ., хпг,у- щ, 1 п
А?1А?2,
Т
1
х
Т
1
х
2
1
V —пк ^ пг У
V — пк ^ пг У
где Я 8х8у и Я 8х8у (^, ? + |т|; x-nk, — ,хпr, y-ng, — ,уп»)
взаимные корреляционные функции погрешностей аналоговых и цифровых измерений х(?) и у(? + |т|).
Оценка взаимной ковариационной функции совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
By (т))= J JXY(w2 [X;Y, x])dXd¥ =
2T - т
i T-1 т
ш I
(2« - Ц)T0 ,=-
Кx(t))- rn5x]x x[( y(t+N }- msy]
+ R&Sy (т ) n-m-1 ti +T0
I Jx
+
dt =
nt
i
m(t;x- nixnr)m(t + |т1; У- ngynq)+
+ RSxSy (t,t + N; x-Л - xnr , У-ng - ynq )[ ’
x
dt;
m
5Bxy(т)= J JXYm5w(X; Y,x)dXdY-\(x(t))- m& ]x
ПЙ J
-- T "
2T - т
x[(y(t + lTl)- m5y ] +
+ RSxSy (t)- Bxy (т)
dt =
n-m-i ti +To
x
(2n - ц)To £ J1
m(t+1т1; У- nk v, Упг )x x m(t + |т|; y-ng,., ynq)+
+ RSxSy (i
- Bxy (т)
RSBxy (t1, X2 ) =
(t,t +т;x- nk,., xnr, y.
nr ’./ - ngf> J nq
., ynq )-
dt;
¥ ¥ ¥ ¥ J J J J
-¥ -¥ -¥ -¥
X1Y1X 2Y2
Rw (X1YI, т1; X 2;Y2, т 2).
dX 1dY1dX 2 dY2 =
(2T-| т1 )(2T-| т 2I)'
T-| т1 T-| т2
xJ J
-T -T
(x(t1)),{y(t1 + |т1 |J>,
(x(t2 )),(y(t2 + |т2 \))
\x(t1 ^- m5x ]\(y(t1 + |т11)- mSy ]x
x[x(t2 )- mSx ][(y(t2 + |т2\))- mSy ]J 1 2
1
n—Ц—1 u-Ц2 -1 ^ +TT t'u +T0
2 2; I J J x
(2n - Ц )(2n - Ц2 )T02 i=-n ^-n t, t,
t^1, ^1 + т, ^2, ^2 + т 2 ;
x
x-nk ’...’ xnr ’ y-ng ’...’ ynq
^1, ^1 + K11;
x ,,., x , y ,., y
nk nr ng nq
x ,., x , y ,., y
- nk > ? nr^s-ng^^snq
Оценка спектральной плотности мощности, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
& Ы)= J( Bx(т)) е~ ■л” *;
mSS (®)= JmSB (тУ^ * = J\(Bx (т))-Bx (т)] е-'>Ш^;
RSS К W2 )= J J RSB ^ *2 ) е-"(“1т1 + “2т 2 )dt1dt2.
Оценка взаимной спектральной плотности мощности совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
Sxy (ш))= КBxy (т)) e~]m%dV;
mSSxy (®) = J mSBxy (t) е-Зт%^ =
= JIB (т^-Bxy (т)] е-■/щт dт;
RSSxy (w1, W2 )= J J RSBxy (t1, X2 ) e J ^ 1 1 2 2 ^dt1dt2.
АПРОБАЦИЯ И ПРИЗНАНИЕ
Приведенные результаты исследований апробировались на всемирных, международных и всероссийских форумах. Они вошли в учебную литературу, сопровождаются комплексом учебно-исследовательских лабораторных работ и используются при обучении студентов и аспирантов. Эти доклады и труды неоднократно отмечалась наградами на различных смотрах и конкурсах [2, 8-11].
ВЫВОДЫ
Введенные определения распределений вероятностей и плотностей распределений вероятностей существенно расширяют возможности
2
-m
T
1
-T
описания эргодических случайных процессов. Они позволяют не только получить с их помощью известные моментные характеристики случайных процессов, но и ввести характеристические функции, которые для описания эргодиче-ских процессов практически не применялись. Полученные на основе комплексного подхода математические ожидания и корреляционные функции погрешностей результатов измерений позволяют адекватно во взаимодействии между собой учесть влияние конечной длительности реализации и погрешностей отсчетов для аналоговых и цифровых измерений. Они исключают суммирование элементарных погрешностей, учитывающих порознь конечную длительность реализации, погрешность отсчетов и влияние дискретизации во времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ГОСТ 21878-76 Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения. Введ.
1.07.77 г. М.: Изд-во стандартов, 1976. 30 с.
2. Заико А. И. Случайные процессы. Модели и измерения: учеб. пособие. М.: МАИ, 2006. 297 с.
3. Заико А. И. 72200700005. Случайный процесс Заико А. И. с равномерным законом распределения. Математическая модель. Зарег. 28.02.07 г.; Информационный фонд ФГУП «ВНТИЦ». 10 с.
4. Заико А. И. Определения и алгоритмы измерения характеристик эргодических случайных процессов // Метрология. 2003. № 4. С. 3—5.
5. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. М.: Сов. радио. 1974. 552 с.
6. Грибанов Ю. И., Мальков В. Л. Погрешности и параметры цифрового спектральнокорреляционного анализа. М.: Радио и связь, 1984. 160 с.
7. Ланге Ф. Г. Статистические аспекты построения измерительных систем. М.: Радио и связь, 1981. 168 с.
8. Заико А. И. Виртуальные учебноисследовательские лабораторные работы // Современные технологии обучения: матер. V1 междунар. конф. Ч. 1. СПб.: Санкт-Петербург. гос. электротехн. ун-т, 2000. С. 136-138.
9. Электрические сигналы: метод. указания к выполнению виртуальных учебно-исследовательских лабораторных работ / сост. Заико А. И. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2001. 35 с.
10. Zaiko A. I., Zaiko N. A. Accuracy of statistic and spectral Measurement // XVII IMEKO World Congress 2003: Proc. Dubrovnik: HMD Croatian Metrology Society, IMEKO, 2003. P. 1275-1279.
11. Zaiko A., Zaiko T. Complex Approach to the Definition of Measurement Errors // Proc. 10th IMEKO TC7 Int. Symp. on «Advances of Measurement Science». Saint-Petersburg: Russia, 2004. V. 1. P. 149152.
ОБ АВТОРЕ
Заико Александр Иванович, проф. каф. теоретич. основ электротехники. Дипл. инженер электронной техники (УАИ, 1970). Д-р техн. наук по информац.-измерит. системам (ЛЭТИ, 1990). Заслуж. изобретатель РБ и РФ. Дейст. член Международ. инж. акад. Иссл. в области метрологическ. обеспечения, анализа и синтеза инф.-измерит. систем и измерения случайных процессов.
