CC BY
44
УДК 621.317.2
А. И. Заико
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
A. I. Zaiko
DEFINITION OF ERGODIC RANDOM PROCESSES CHARACTERISTICS
Аннотация. Приведены известные и оригинальные способы определения характеристик случайных процессов.
Abstract. Well known and new definition of random processes characteristics will be found here.
Ключевые слова: эргодические случайные процессы, определения. Key words: ergodic random processes, definitions.
Введение
Эргодическое свойство стационарных случайных процессов позволяет находить их вероятностные характеристики по одной реализации x(t) осреднением по времени t, что существенно упрощает эксперимент [1, 2]. Однако практически это свойство используется только для определения математического ожидания mx , дисперсии Dx и автокорреляционных Rx (т)
или взаимных корреляционных Rxy (т) функций по формулам
1 Т 1 Т 2 mx = lim— Г x(t)dt; Dx = lim— j[x(t)- mx 1 dt; x t2T J v ' x T2T J [ w x J
-T -T
1 T
Rx (т) = J™ — j [x(t)- mx][x(t + т)- mx~\dt; T 2T -J
1T
Rxy (т)=jm 2T j[ x (t)-mx ][ y(t+T)-my1 dt,
-T
где т - сдвиг во времени между соответственно двумя сечениями x(t) и x(t + т) процесса, а
также реализациями x(t) и y(t + т) совместно эргодических процессов: my - математическое
ожидание второго процесса, реализация которого y (t). Распределения вероятностей, плотностей вероятностей и их характеристические функции с применением эргодического свойства до настоящего времени не находили.
В статье обобщаются известные и введенные автором определения этих характеристик, приводятся рекомендации по выбору и точности алгоритмов для их измерения с применением комплексного подхода к их определению [2, 3].
2012, № 2
31
Определение характеристик
Одномерное распределение вероятности W1 [X ] выражается через одномерную плотность распределения вероятности w1 [X] и определено выражением [2, 4]
X , T
W [X ] = J w [Z ]dz = Tm 2TT i1 [ X - x {t )d, (1)
[ü, X < x{t)]
где 1[ X - x{t)] = < > - единичная функция [5]; 2T - длительность реализации x{t).
L1, X >x {t )j
Аналогично определяется двумерное распределение вероятности W2 [X1; X2, т] через соответствующую плотность распределения вероятности w2 [X1; X2, т] в виде [2, 4]
X1 X2 1 T
W2 [[1; X2, т]= J J W2 [Z1; Z2, T]dZ1dZ2 = lim — J 1 [X - x{t)]1 [X2 - x{t + т)]dt. (2)
T n— 2T
- 1
Наконец, «-мерное распределение вероятности Wn
[ X1; X 2, т12;..; Xn, T1n ] определяется
следующим образом [2, 4]:
X1 Xn
Wn [[1;X 2, т12;...; Xn, T1n ]= J... J wn [; z2, т12;...;Z«, T1« ]...dZn =
T ~ (3)
1 t
= Tlini2t J 11X1 -x{tЙ1 [X2 - x{t + T12)]...1[X« - x{t + T1n )]dt,
21 -T
где т1г- = ti -11 - временной сдвиг между первым и i-м сечениями процесса, i = 2,3,..., n.
Двумерное взаимное распределение вероятности W2 [X; Y, т] совместно эргодических процессов с реализациями x{t)иy{t + т) выражается через двумерную взаимную плотность распределения вероятности w2 [X; Y, т] и равно [2, 4]
X Y 1 T
W2 [X; Y, т]= J J w2 [Z; H, x]dZdH = lim — J 1 [X - x{t)]1 [Y - y{t + т)]dt. (4)
t n- 21 -T
Точно так же определяются взаимные распределения вероятности и большей размерности. Одномерная плотность вероятности м'1 [X] находится из определения (1) и равна [2, 4]
r п dW [X] 1 1 г . W [X] =—^ = lim — J 8[X - x{t)>t, (5)
dX t n- 21 -T
г \п К X = х ^) где 81 X — х)] = < > - дельта-функция Дирака, которая связана с единичной
I 0, X Ф х (?) I
функцией 1[ X — х )] следующими соотношениями [5]:
8 [X — х^)] = ^X~XX^)] и 1 [X — х^)] = | 8 [7 — х^)] ёУ.
Двумерная плотность распределения вероятности [XI; X2, т] находится из выражения (2) и равна [2, 4]
, d2W2 [X,; X2, x] 1 T г / чп г / х-,
= [[,; X2,x]=-= Tlim J 8[Xi " *(t)] 8[X2 - x(t + x)]dt,
w-,
...... dX1dX2 t2T -T
а «-мерная плотность распределения вероятности wn [X,; X2, x12;...; Xn, x1n ] - из (3) [2, 4]:
dnW, [ X,; X 2, x,2;...; X«, x,„ ]
w.
[X1; X 2, X12;...; Xn, X1n ]-"
dX1...dXn
1 t
= Tim.2T J 8[X1 - x(t)] 8[X2 - x(t + X12)]...8[Xn - x(t + X1n)]dt.
iL2 -t
Двумерная взаимная плотность распределения вероятности w2 [ X; Y, x] совместно эрго-дических процессов согласно (4) равна [2, 4]
d2W [X' Y xl 1 T
W2 [[;Y, x] = 2J^dy = Ti.1? T5 [X - x (t)] 8 [Y - ^ (t+ x)] dt. (6)
Одномерная характеристическая функция 61 [jv] согласно (5) равна [2, 4]
~ 1 T
01 [jv] = J W1 [X]e/vXdX = THm J e/vx(t)dt. -L TiL 2T -?
Аналогично определяется n-мерная характеристическая функция 0n [ jv1; jv 2, x12;...; jv n, T1n ] [2, 4]:
0,
[/v^ jv2,x12;...; jv„,x1«]= J... J wn[[1;X2,x12;...;x«,x1„]x
xej(v1X1 +vA + "' + vnXn)dX1 dX = lim — J ej[v1x(t) + Mi + xn) + ''' + vnx(i + x-)]dt
^ n t 2T
Двумерная взаимная характеристическая функция 02 [ jv; jr\, x] совместно эргодических процессов вводится аналогично и с учетом (6) равна
l L л T
02 [v; /л, x]= J J W2 [; Y, x](vX ))XdY = limJ e^4* + x)]dt.
Введенные определения распределений позволили получить с их помощью известные и приведенные во введении статьи определения вероятностных характеристик случайных процессов [6, 7]. Так, математическое ожидание
^ 1 T
mx = J XW1 [X]dX = lim — J x(t)dt; -L T iL 2? -?
дисперсия
L 1 T
1
Dx =
1
J (X - mx )2 W1 [X]dX = TlimL — J [x(t) - mx]2,
корреляционная функция
Rx (x) = J J (X1 - mx )(X2 - mx ) [X,;X2,x]dXldX2
1 t
lim 2? J [x (t)- mx][x (t+x)- mx] dt;
T iL 2T -T
2012, № 2
33
взаимная корреляционная функция двух совместно эргодических процессов
~ 1 т Кху (т) = Ц (X — Шх )( — шу ) [X;У,т\ёШ = тНт — {[х(х) — шх][у (х+ т) — ту ] ёх.
2Т — т
Вытекающие из них спектральные характеристики случайного процесса определяются следующим образом:
- спектральная плотность мощности:
^х (»)= ] Вх (т) е—<шёт = ]Ч (т) е—^тёт + т>8(»);
- взаимная спектральная плотность мощности двух процессов:
^ (») = | Вху (т) е—;ют ё т = | Яху (т) е—■/ют ё т + тхт^ 2я8(ш).
Алгоритмы измерения характеристик и их погрешности
Реальные алгоритмы измерения отличаются от рассмотренных выше определений характеристик случайных процессов конечной длительностью 2т и погрешностью измерения реализации х (х). Поэтому результатами измерений являются оценки характеристик, неточность которых характеризуется математическими ожиданиями и ковариационными функциями их погрешностей. Они получены для аналоговых и цифровых измерений с помощью комплексного подхода к определению погрешностей, который рассматривает погрешность измерения как единое и неделимое целое, не требует суммирования элементарных погрешностей, учитывающих порознь все влияющие на неточность измерения факторы [8]. Так, при аналоговых измерениях погрешность учитывает конечную длительность реализации и погрешность ее измерения. При цифровых измерениях длительность измерения дискретна и кратна количеству шагов равномерной дискретизации. Кроме них, на неточность цифровых измерений характеристик влияют погрешности квантования по уровню и алгоритмы восстановления сигнала между отсчетами. Оценки измеряемых характеристик и характеристики погрешностей аналоговых и цифровых измерений при комплексном подходе к их определению подробно рассмотрены в [2, 3].
Апробация и внедрение
Приведенные результаты исследований апробировались на всемирных, международных и всероссийских форумах. Они вошли в учебную литературу, сопровождаются комплексом учебно-исследовательских лабораторных работ и используются при обучении студентов и аспирантов, а также проведении научных и практических исследований [2, 9—13].
Выводы
Введенные определения распределений вероятностей и плотностей распределений вероятностей существенно расширяют возможности описания эргодических случайных процессов. Они позволяют не только получить с их помощью известные моментные характеристики случайных процессов, но и ввести характеристические функции, которые для описания эргодиче-ских процессов практически не применялись. Полученные на основе комплексного подхода математические ожидания и корреляционные функции погрешностей результатов измерений позволяют адекватно учесть влияние конечной длительности реализации и погрешностей отсчетов для аналоговых и цифровых измерений. Они исключают суммирование элементарных погрешностей, учитывающих порознь конечную длительность реализации, погрешность отсчетов и влияние дискретизации во времени.
Список литературы
1. ГОСТ 21878-76. Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения. - М. : Изд-во стандартов, 1976.- 30 с.
2. Заико, А. И. Случайные процессы. Модели и измерения : учеб. пособие / А. И. Заико. -М. : МАИ, 2006. - 297 с.
3. 72200700005 Случайный процесс с равномерным законом распределения. Математическая модель / А. И. Заико. - Зарег. 28.02.07 г.
4. Заико, А. И. Определения и алгоритмы измерения характеристик эргодических случайных процессов / А. И. Заико // Метрология. - 2003. - № 4.- С. 3-5.
5. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин. - М. : Сов. радио, 1974. - Кн. 1. - 552 с.
6. Грибанов, Ю. И. Погрешности и параметры цифрового спектрально-корреляционного анализа / Ю. И. Грибанов, В. Л. Мальков. - М. : Радио и связь, 1984. - 160 с.
7. Ланге, Ф. Г. Статистические аспекты построения измерительных систем / Ф. Г. Ланге. -М. : Радио и связь, 1981. - 168 с.
8. Заико, А. И. Комплексный подход к определению погрешностей / А. И. Заико // Датчики и системы (ИКА). - 2007. - № 8 (99). - С. 52-59.
9. Заико, А. И. Виртуальные учебно-исследовательские лабораторные работы / А. И. Заико // Современные технологии обучения : материалы VI Междунар. конф. - СПб. : Санкт-Петербург. гос. электротехн. ун-т, 2000. - Ч. 1. - С. 136-138.
10. Электрические сигналы : метод. указания к выполнению виртуальных учебно-исследовательских лабораторных работ / сост. А. И. Заико. - Уфа : Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2001. - 35 с.
11. Zaiko, A. I. Accuracy of statistic and spectral Measurement / A. I. Zaiko, N. A. Zaiko // XVII IMEKO World Congress 2003: Proc. - Dubrovnik : HMD Croatian Metrology Society, IMEKO, 2003.- P. 1275-1279.
12. Zaiko, A. Complex Approach to the Definition of Measurement Errors / А. Zaiko, T. Zaiko // Proc. 10th IMEKO TC7 Int. Symp. on «Advances of Measurement Science». - Saint-Petersburg, 2004. - V. 1. - P. 149-152.
13. Заико, А. И. Эргодические случайные процессы. Определения и алгоритмы измерения характеристик / А. И. Заико // Вестник УГАТУ. - 2012. - Т. 16, № 2 (47). -С. 67-70.
Заико Александр Иванович
доктор технических наук, профессор, кафедра теоретических основ электротехники, Уфимский государственный авиационный технический университет E-mail: zaiko@ugatu.ac.ru
Zaiko Aleksandr Ivanovich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of theoretical fundamentals of electrical engineering, Ufa State Aviation Technical University
УДК 621.317.2 Заико, А. И.
Определения характеристик эргодических случайных процессов / А. И. Заико // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 2. - С. 30-34.
