CC BY
41
УДК 621.317.2
А. И. Заико
АЛГОРИТМЫ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЭРГО ДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ALGORITHMS AND UNCERTAINTIES IN MEASUREMENTS OF DISTRIBUTIONS CHARACTERISTIC FUNCTIONS
Аннотация. Приведены алгоритмы и погрешности измерений распределений и характеристических функций эргодических случайных процессов аналоговым и цифровым методами. Они получены на основе комплексного подхода к определению погрешностей.
Abstract. Algorithms and uncertainties in measurements of distributions and characteristic functions of ergodic random processes obtained by analog and digital methods are presented. they are obtained on the basis of the complex approach to uncertainties definition.
Ключевые слова: эргодические случайные процессы, распределения и характеристические функции, алгоритмы измерения, погрешности.
Key words: ergodic random processes, distributions and characteristic functions, algorithms of measurement, uncertainties.
Введение
В статье [1] приведены известные и даны новые определения характеристик эргодиче-ских случайных процессов. Реальные алгоритмы измерения отличаются от этих определений конечной длительностью 2T и погрешностью измерения реализации x(t). Поэтому результатами измерений являются оценки этих характеристик , неточность которых характеризуется математическими ожиданиями m5. (•) и ковариационными функциями R5. (•) их погрешностей. Они по-разному учитываются при аналоговых и цифровых измерениях. Так, при аналоговых измерениях погрешность 8(t) = ^x(t)^- x(t), где (^x(t)- получаемая в результате
измерения оценка реализации x(t). При цифровых измерениях длительность измерения дискретна 2nT0, где T0 — шаг равномерной дискретизации; 2n — количество таких шагов. Погрешность цифровых измерений 8(ti ) = xa — x(tj), где xa — цифровой отсчет; i — номер измерения (i = -n,..., -1, 0,1,..., n ); l — уровень квантования (l = 1, 2,..., g, ..., к, ..., q, ..., r, ...) [2, 3].
В данной статье приводятся алгоритмы аналоговых и цифровых измерений распределений и характеристических функций, получены математические ожидания и корреляционные функции погрешностей этих алгоритмов с применением комплексного подхода к их определению [2-5].
A. I. Zaiko
OF ERGODIC RANDOM PROCESSES
Распределения и характеристические функции
Оценка одномерного распределения вероятности
Щ [X ])= { ^ ^ ]) й2 =-!{ щ [ х|(х {к))] Я = -Т. £ '|° Щ \_X\t; х_пкх^ ] Л.
21 -Т т0 I=-п (.
Математическое ожидание т5щ {X) и корреляционная функция Л5Щ (Х;,X2) ее погрешности:
X 1 Т
2Т
-1I Г Щ № х-пк,..., ХпГ ] - Щ [X ]}ЯГ;
X , Т
шш (X )= | ш&№ (2 )<2 = — і{ [х|(х (і))] - Щ [X]}*
—Т
2пТ0
X, X,
4Т
О і=—п г
Яш {Х„X2)={ {Д5№(2,= і, і і { [X,, { 2 К X ) ,( X (^ )) ]-Ж, [^К X (^ ) ] Щ [ X X (^ )) ]} йі-
т т
-т-т
п—1 п—1 п —1 п —1
I I іі {Щ [ X1, X 2 |і1,12; X—п,,..., ХпГ ]-
4п2Т2
-і О і=—п м=—пі=—пи=—п
- Щ [ X1 |Г; ; х-пк ,..., Хпг ] Щ1 [X 2 к-; Х-пк ,..., Хпг ]} Я,
где Щ [X |»] и Щ [XX21»] - одномерное и двумерное распределения вероятностей при известной оценке реализации, которая при аналоговых измерениях получается непосредственно, а при цифровых измерениях находится после восстановления ее по дискретным отсчетам
Х-пк,..., Хпг .
Оценка двумерного распределения вероятности:
X X7
Щ [1;X2,т])= і і ^2 [;22,х)^
1
Т -ІхІ
2Т — х
і Щ Xl,xJ(x(і)),(X( + |х|)
—Т
1 п—Ц—1 +Т0
( _ ЧТ I і Щ2 [^ X 2 ^ Ґ + |х|; X— пк,..., ^г ] ^
(2п ц)о і=—п
—п і,
где ц - целая часть частного |х|/Т0 .
Математическое ожидание т5щ (Х;;X2, х) и корреляционная функция
(X11; X21, Х1; X12; X22, Х2 ) ее погрешности:
X, X7
т■
8Щ
(Х1;X2,х) = і і тЪ-м (1;22,х)й21й22
Т—х
2Т — х
—Т
п—ц—1і, +Т0
і { {,(X(і),(X(і + |х|)) — Щ [[1;X2,х}
і п—ц—^і1 -‘•О
( _ ) Т I і { [ {, Х 2 {, і + {| ; X—пк,..., Xnr ] — Щ [[1; X2, Х]}
(2п Ц)0 і=—п
—п і,
1
X11 Х21 X12 X22
ЯЪШ (X11; X21, Х1; X12; X 22, Х2 )={ { { { Я5» {1; Х21, Х1; Х12; Х22, Х2 )й^11^21а^12а^22
т -Х Т Нх2|
(2Т-|Х,| )(^т-|Х21)
1 I {Щ4
Т -Т
X11, Х21, X12, Х22|( Х {к1 )) ,( Х {к1 +К1 )),( Х (к2 ^,( Х (к2 + |Х2 Х)
-Щ
X11, Х211\Х {к1 ^ ,\ Х (1 + |Х1
п-ц1 -1 п-ц2 -1 к1 +Т0 км +ТС
Щ2
X12,X 22 \ Х {к2 )/,\ Х (к2 + Х2
’ Я^1 Як 2 —
X ) 2 ^ ^ I I {Щ4 [X11, X21, X12,X 22 |к1, к1+|Х1|, к2, к2 + |Х2|; Х-пк,..., Хпг ]
^2п-ц1 Д2п-ц2 )Т0 I—-п м—-п ^ 1и
-Щ2 [ X11,X 21 |к1, к1 + |Х1|; Х-пк,..., Хпг ] Щ2 [ X12,X 22 |к2, к2 + |Х21; Х-пк,..., Хпг ]} Як1Як2,
где Щ [X11,X21,X12,X221«] - четырехмерное распределение вероятностей при известной
оценке реализации.
Оценка п-мерного распределения вероятности:
X! Xn
(Щп [Х1; Х2, Х12;...; Xn , Х1п )— ] ... 1 (Wn [1; Х2, Х12;...; ^п, Х1п ])<^1..-<^п =
1 Т НХ1п| .
I Щ [Xl,X2,...,Х„|(х(к),(Х(к + |Х12|)),...,(Х(к+ +))
2Т - Х
1 п | -т
п-Ц1п -1 +Т0
1 "“Мщ-11* у-0
= Т2-!---------------------------------------------------------------------------) ^ 1 Щ [X1, ^..^ Хп^ к + |Х12І,..., к + |Х1п|; Х-пк,..., Хпг ]
\2п ц1п ^0 ;—-п
где Щп [X1,X2,...,Xn |»] - п-мерное условное распределение вероятностей.
Математическое ожидание т5щ (Х^Х2,х12;...;Xn, Х1п ) и корреляционная функция
ЯЪШ (X11; (21, Х12-1; ...; ~^^п1, Х1п-1; X12; X22, Х12-2; ...; Хп2, Х1п-2 ) ее погрешности:
X X,
т-
5Щ
(X1; X2, Х12 ;...; Xn, Х1п ) — { ... 1 mSw (1; Х2, Х12;...; Хп , Х1п )ЯХ1...^Хп —
2Т - х
Т-К
11
1п | -т
Ж
ХьX2,...,Хп|(Х(к)^Х( + |Х12Х( + |Х1п I) - Щп [X1;Х2,Х12;...;Xn ,Х1п ]
1 п-^-1 к +Т° Щ [ Xl, X Xn\t, к+|хl2І,..., к + |Х1п |; Х-пк,..., Хпг]-
(2п-ц1п)Т0 I—-п 1 '1 -ЩX;Х2,Хl2;...;Xn,Хщ]
Х„ Хп1 Х12 Хп 2
ЯЪШ (Х11; Х21, Х12-1;...; Хп1, Х1п-1; Х12; Х22, Х12-2;...; Хп2, Х1п-2 )— { ” | I ... I Х
—^ ^ ^ —«>
XR8w ( Х11; Х21, Х12-1;..; Хп1, Х1п-1;Х12;Х22, Х12-2;..; Хп2, Х1п-2 )ЯХ11.. ЯХп1ЯХ12 .. ЯХп2 —
1 Т —Х1п-11Т |Х1 п-21
— (2Т-Ы)2Т-|х1п-2|-Т ^п[Х1
111,Х 21,..., Хп1, Х12,Х 22,..., Х>
п 2
(Х(к1 ^^Х(к1 + |Х12-1 ^),..^Х(к1 + |Х1п-1 Х(к2 ^,(Х(к2 + |Х12-2^),..^Х(к2 + |Х1и-21))] '
-Щ
Х11,Х21,..,Хп1 |(Х(к1,(Х(к1 + |Х12-1)),",(Х(к1 + |Х1п-1 ^
X
ХЩ„
Х12,Х 22,.., Хп2
(Х(к2 )^Х(к2 + |Х12-21), ^(Х(
к2 + Х1п-2
1 “І —1 г‘ +Г0 ги +Т0
— ц )(2„ — ц )Г2 I ї I / К [^11,^21..... Хл,Хі2,Х22,.., X.
уы1 \\1„1)у±п \^1„.2)10 ,——„ и——„ г- г
„ 2
, и
г1. г1 + Г12-1’...’ г1 + Т1„4 , г2. г2 + Г12-2 ..... г2 + х1„-2 . Х— „к,
хпг ] -
-Жп \^Хп, Х21,.., Хи11^1, ^1 + |Х12-1, Ч + hln.ll; Х-пк,..., Хпг ]х ХЖИ |^Х12, Х22,.., Хп2 |^2, ^2 + |Х12-21, ^2 + |Т1п-2 |; Х- пк>."> Хпг ]} <^]2>
где ^2п [X и,X21,...,Хп1,X12,X22,...,Хп2| •] - 2п-мерное условное распределение вероятностей;
|Т12| -|Х1з| - ...-|Т1п|; М12 -^13 - ... -^1п
Оценка двумерного взаимного распределения вероятности совместно эргодических процессов:
XV 1 т-М
Ж |Х.7.х]) — | | <»2 [2. Н, х)й2ЛН 1
2Т — х
W2
—Т
Х. Чх (г) . у (г + х
„—Ц—1г, +Т0
( — ) ї | Ж2 [Х. 7|г.г + М.Х— „к..... Х„г. У—Щ..... у
(2„ ц)о ,——„ г.
где ^2 (2;Н,х))- оценка двумерной плотности вероятности; ^2 [X,У ] - двумерное условное взаимное распределение вероятностей.
Математическое ожидание ш§ш (X;У,х) и корреляционная функция
((;У2, х1;X2; У2, х2) ее погрешности:
X 7
—Т
і „—ц—1г +Т0
1цтї И
'Ш (X.7,х)= | | ^ (г.Н,х)2(іН —
1 ‘ |Хг Г I 1 1
—х I { | [х.^(х(г|,(у(г + ІХ)] — Щ [Х.7.х]| &г—
Т-|х|
2Т — х
Х .7|г.г + |х|.Х—„к..... Х„г. у—„?..... у„9
[X.7.х]| Л.
„ г,.
X 71 X 2 72
Л
(.71. Х1.X2.72. Х2 ) = (21. Н1. х1.2г. Н 2. х2) <І2^Н^22 ёН2
—о —о —о —о
Т -КІТ—х2|
(2Т — |х1 |)(^Т — |х2І) ——
1 | |Ж4 X1,71’ X2 ’ 72 |{Х (г1 Т ,(у (г1 + К| )Т{Х (г2 )) .{У (2 + |х2 ^
Т —Т
—Ж,
X!
1,71|(Х(г1 Т,(У (г1 + К1Т Ж2 X2, 72|(Х(г2 Т ,(у (г2 +|х2
, „—ц1 —1 „—ц2 —1г, +То ги +То
______________1______________ ї ї Г Г
(2„ — Ц1 )(^и — Ц2 )То2 ,——„ и——„ І ! 4
Xl, 71, X 2,72
г1, г1 + Іх1І. г2, г2 + |х21.
X1,71 X 2.72
Х—„к..... Х„г.у—^ ..... у„д Х—„к..... Х„г.у—„^ ..... У„^
г1, г1 + хП,г2, г2 + х2 .
Х—„к..... Х„т.у—„^ ..... у„д
ёг1ёг2,
—
где ^2 [X, У |»] и W4 [X 1; У1; X2, У21»] - двумерное и четырехмерное условные распределения вероятностей.
Оценка одномерной плотности вероятности:
г 1 и-1 ti +_T0
f w1 ГXl/xft)Idt =--------
2T
(w [X5 = ] = 2t 1W1 [XKx(t№=2nF =2 1 W1 Mt;x-”^Xnrd
-T
0 i=-n t■
Математическое ожидание m5w (X) и корреляционная функция R5w (X1,X2) ее погрешности:
m&wfx)=dmwXx )="2T -1 {Г X{ (t ® ]- wi [X d=
T 2 1 {wiГ{;x-nk-v]-wi [X]}dt;
2nT0
0 i=-n ti
2
Rs"' (X1’X2 ) = d2RdXfdX2X2 ) = ^ Ц{w2 [X1. X2 |(xftl ).<x(t2 )]
-T-T
-w.
X1 |( x (t1 )) ] w1 Г X 2 |( x (t2 ) ]} dtldt2
ti +To t„ +To
1 п- 1 п-1 *■/ ' 0 1и 1 •‘•о
=7172X X I | {^2[^X2 1*1,ч;Х-пк,...,Хпг]-
-^о /=- п и=-п * *
{/ 1и
-^1 [ Xl |*1; Х-пк ^.. Хпг ] ^1 [X2 1*2; Х-пк,..., Хпг ]} ^1^
где w1 [X!• ] и ^2 [X1,X2] -одномерное и двумерное условные плотности распределения вероятностей.
Оценка двумерной плотности распределения вероятности:
(W2 [X1;X2,x]
d2 W [X1;X2,х]
1
т-1 X
dX1dX 2
2T - х
J W2 X1, X^(x (t) ^x (t +
T
1 n - ц - 1ti +T0
( _ ,T 2 J w2 rX1x X 2 |tx t + |X|; x-nk xnr ] dt•
\2n ^jT0 i=-n ti
Математическое ожидание m5w (X1; X 2, х) и корреляционная функция
RSw (X11;X21, X1;X12;X22, X2 ) ее погрешности:
mw (X1.X2,х) = d m‘:X(Xf2XX) = F-d 1 '{w2 rX1,X^(x(t){x(t + |x|)]- W2 [XX2,x] =
12 II -T
1 n-ц-1 +T0
= ( _ w 2 J {W2 X 2 { t + Ix|; X-nkxnr ] - W2 XX 2, X]dt;
(2n Ц)0 i=-n
-n t,.
n /v • X X • X • X X d4R5W (X11;X21,X1;X12;X22, X2 ) =
R8w vX11;X 21, X1; X12;X 22, X2 )= dX dX dX dX ~
11 21 12 22
T -Ы T -X
1 1 {W4
-T -T
(T-|X1 |)(2T-|X2|)
X11, X211(x (t1 )) ,(x (t1 + |X10}
- Wn
X11, X21, X12, X22 |( x (t1 ^,( x (t1 + Kl)),( X (t2 )},(X (t2 + |X2
dt1dt2 —
X12, X22 \x (t2 H ,\x (2 + X2
„—ц1 —1 „ —ц2 —1 гі +Т0 ги +Т0
( 2 Е Е 1 1 { W4 [ X11, X21, X12, ^2 1*1, *1+|Х1|, *2, *2 + |Х2|; Х-пк ,.", Хпг ]
(п ^1 )2п ^2/Т0 /=-п и=-п *. *и
- W2 [ X11,X 21 |*1, *1 + Iх!; Х-пк,..., Хпг ] W2 [ X12, ^2 |*2, *2 + |Х2 |; Х-пк,..., Хпг ]} (*1(*2,
где w4 [X11, X21, X12, X22 !• ] - четырехмерная условная плотность распределения вероятностей.
Оценка п-мерной плотности распределения вероятности, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
и х ■ х х ■ • X х п=^ lXl■X2-х12; ..;X.• хш&=
^п Iх 1;X 2, Х12;...; Xn, Х1п ]/= ^ (IX ~
Т-1хь
I »„ X1, X 2..... X„{Х (г ) .( Х (г + |х121)....^ Х (г + \х„ I)
1„ | — т
„—ц1„ —1г, +То
йг —
1 " ^1„ 1.о
(—--------) ї 1 »„ lX1,X2,...,X„\г, г + |х12|.....г + |х1„|. Х— „к..... Х„г_—.
\2„ Ц1„ )То і——„ .
й т§ж ((.Х2,х12.....X„,х1„) _
(Х1. X2, х12..... X„, х1„ ) —
Т -їх,
2Т — х
Г
1 „ | — т
Х„ X 2,..., X,
йХ1...йХ„
|(Х(г).(Х(г + |х12|)).....(Х(г + |х1„ |) — »„ [X1.Х 2, х12..... X„, х1„]
<іг —
1 „ ї ^ |То \»„ [Х1.Х 2..... Х„|г.г + |х12|.....г + |х1„ |. Х—„к..... Х„г —
(2„ — Ц1„ )То ,—-„ 1 I — »п X.Х2,х12.....Х„,хщ]
-
(Х11.Х21,х12*1.....Х„1,х1„-1.Х12.Х22,х12-2.....Х„2, х1„-2 ) — й (Х11.Х21,х12*1.....Х„1,х1„-1.Х12.Х22, х12-2.....Х„2, х1„-2 )
йХ11 ...йХ„1йХ12.. .йХ„2
1 Т |х1„-11Т |х1„-2І (2Т — |хщ.1|)(2Т — М) ) —Т ^2„ [Х
11,Х 21,..., Х„1, Х12,Х22,...,Х)
(Х(г1 ).(Х(г1 +|х124|)).....(Х(г1 +|х1„1|)).(Х(г2 ).(Х(г2 +|х12-21)....^Х(г: Х11,Х 21,..., Х„1 |(Х (г1 ) .( Х (г1 +|х1211)....^ Х (г1 +|х1„41))
„2
2 + х1„2
X
Х12,Х22,....Х„2 |(Х(г2 )),(Х(г2 + |х12-2 |)),.,(Х(*
2 + Г1„-2
'йг^ —
1 „—Ц1„1—1 „—Ц1„.2 —1 Ґі +То Ґи +То
(2„ — Цщ, ) — Цщ,) ї иї„ I I ^ [Х11,Х21,...,Х„1,Х12,Х22,...Х
„2
і и
1*1, *1 + |Х12-1,..., *1 + |Х1п-1, *2, *2 + |Х12-21, • •*2 + |Х1п*21; Х- пк,..., Хпг ] -Wn [X11, -^Ь", Xn1 |*1, *1 + |Х12-11, *1 + |Х1п-11; Х-пк,..., Хпг ]х ХWn [X12, X22,.., Xn 2 1*2, *2 + |Х12-21, *2 + |Х1п-21; Х-пк,..., Хпг ]} (*]2,
где Wn [X1,X2,...,Xn |-] и w2n [X„,X21,...,Xn1,X12,X22,...,Xn2|^] - п-мерная и 2п-мерная условные плотности распределения вероятности; х12 - х13 -... - х1п ; ц12 <Ц13 - ...-Ц1п.
Оценка двумерной взаимной плотности распределения вероятности совместно эргоди-ческих процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(*2 [X .У, х)
ё2 [.У, х)
1
т -|х|
ёХёУ
2Т - х
*
-т
1
п-ц-1*,' +Т0
( Ч ^ Ё | * [Х * + Н ;Х- пк ,•••, Хпг, У-щ ,•••, У
(2п ^т0 ,—-п х.
пд
Щ*(X.У,х) — ё2(Х;У■ х>
Т-X
ёХёУ
і п-и-1 ^ +Т0
-гтЁ Я
| {*2 [Х,У|(*(0),(у(Х + М))
-Т
*
2Т -|х|
Х ,у|х, * + |х| . Х-пк,..., *пГ, У-щ ,•••, Упд
п х,
(2п -ц))о ,_-
, ё4(Х,;К,х,.Х2.У2,х2) Я* (Х1.У1, х,. X 2.У2, х2)_-Е ь 1а 1а 2’ 2’ 2) _
- *
- *2 [X.У, х) [X.У,х]} ёх.
ёХ1ёУ1ёХ 2 ёУ2 (2Т -|х1 |)(2Т -|х2|)
Г Г {
" -Т
X1,У1|(Х(х1)),(У (х1 +|х1 \)) *2 X2,У2 |(Х(Х2 )),(У (2 +|х2
X
Т -х^ Т -х X | |
-Т -Т - *
-^! -1 П-^2 -1 Х +Т0 *и +Т0
( 2п ^1 ) ( 2п ^2 ) Т0 ,'—-
1111
*
ад, X 2,У2
х1,*1 + |х1|,х2, *2 + |х21.
Х-пк ,•••, Хпг, у-^ ,•••, Упд
-*
*1, *1 + Іх1І. t2, *2 + |х21.
^1, У1 *2 ^ 2,У2
Х-пк ,•••, Хпг, У-п^ , • I п Х-пк,•••, Хпг, У-п^ ,•••, Упд
2
где *2 [X,У |»] и *4 [X1,У1,X2,У2|»] - условные плотности вероятностей
Оценка одномерной характеристической функции и характеристики ее погрешности соответственно:
(01 1М) — 1 («-1 [X ) |01
/V К Х (*
1
-Т
2пТ0
Ё | 01 [^ I*.Х-пк,•••, Хпг ]ёх.
0 ,—-п *.
^ 1 Т
Щ50 (/^) _ | Щ5* X _ — | {01 [{Х (* Т]-01
-те -Т
1 п-1 *, +Т0
_ 2“^ Ё | {01 [ { {. Х-пк ,•••, Хпг ]-01 [М)ё .
2пТ0 ,—-п *
‘і
(А,^2) — | | Я5* (X2)е/(1+^2—
Я
50
1 Т
— 4^ I I {02 [ { {( Х (*1 ) {Х (*2 )]-01 [ М\{ Х (*1 ) ] 01 [ 7^|( Х (*2 ) ]}ё*1ё*2 —
1 Т
ЬII {0 2 [М, Р2 Iі^ *2. Х-пк ,•••, Хпг ] - 01 [Р1 |*1. Х-пк ,•••, Хпг ] 01 [Р2 |*2.Х-пк ,•••, Хпг ]} ё*1ё*2 •
0 -Т
где 01 [/VI»] и 02 [/v1, /V21»] - условные характеристические функции
1
Оценка «-мерной характеристической функции, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(0„ М;М2,т12;...;/Vп,х1и])= ) ... { {м>п М;^,х^;...;Хп,т1и])Х ^ + -+у»х»)ЙХ1...ЙХИ =
1
Т -|х,
2т -|х1п| -т
п-,1п -1 +тс
7у1, /V 2,..., /V,
(х(г))^X( + |Ті21)^...^X( + |ті„
1 «Т^п-1 ч ус
(—--------Х Е 1 Єп [^Ь 2,..., /^п^ ґ 2 |Х121,..., ґ 2|х1п |; х-пк,..., Хпг ]Сг;
\2П М'1и ХС і=-п г.
«5е(.М; 2, х12;...; ^ и, х1п )= )... | (;(2, ^іг;-.-; Хп, х1п)(^Х1+^Х2+...'+^Хп} СХ1...СХп =
2Т - х,
Т -Кп| Г . Єп Р2,..., /Vп (Х(гХ^Х(г 2 х12|Х, ..^(Х(г 2 х1п Х -
|Х1^ -Т 1 п > ; ;2 н4 2 > ; п е -
1 п-,1п -1 Іі+Тс
72 -----------Х Е 1 {Єп [^ /V2,..., Ґ 2 |Х121,..., Ґ + Іх1п |; Х-пк,..., Хпг [
[2п Ц1п jтс і=-п г.
-еп [/^; 2, х12;...; Рп, х1п ]} ];
^5Є 0^11; •Х21, Х12-1;...; .7^ п1, Х1п-1; 7^12; І^22, Х12-2;...; п 2, Х1п-2 Х =
те тете те
= I ... I I ... I (Х11; Х21, Х12-1;...; Хп1, Х1п-1; Х12; Х22, Х12-2;...; Хп 2, Х1п-2 )х
—те —те —те —те
ХеІ(',11Х11 +^1Х21 +---+^1Хп1 +У12Х'12 +^2Х22 +"'^п2Хп2)^Хц СІХ уСКу! СХ 2 =
. Т-їх,, ,|Т-X '
1 п-1И 1п-2
= Т2Т7і---------|Хт-|---------ІХ I I {Є2 п [ 7^11, І'V21,..., ^пЪ 7^12, ІV22,..., І^п2І
\2Т |Х1п-1 |/\ |Х1п-2 Iх -т -Т
|(Х(Ґ1 Х^Х( 2 IХ12-11-,...^Х( +|Х1п-1 Х(Х({2 Х^Х({2 +1Х12-2|Х,...(х({2 +Іх1«--2І)
хЄп
7^11. 7^21,..., ^п\{Х(Ґ1 Х ^Х( 2 |Х12-11)-...^Х( +|Х1п-11)
7^2, №22,..., п2 |(Х(ґ2 Х,(Х(2 2 IХ12-2 |)),.",(Х(2 2 |Х1п-21 —
X
12
1 п-,1п-1 -1 п-,1п-2 -1 ґі 2ТС Ґи +Т0
Хп Х 2 Е Е I I {Є2п [ 7^11. /'’21-.. Ап1. Л2.7^22... А
^/,/7 ^п-1 М1п-2 / С і=-п м=-п ґ. г,
п 2
і
1^1, ^1 2 |Х12а I,.., ^1 2 |Х1па|, ^2, ^2 2 |Х12-21,-., ^2 2 |Х1п*21; Х-пк,.", Хпг ] _
_0п [ ^11, ^21,..., ^п1 |^1, Ч 2 |Х12*1,..., ^1 2 |Х1п-1; Х- пк,..., Хпг ]>^
Х0п [^12, ^ 22,..., п2 ^2, ^2 2 |Х12-21,-., t2 2 |Х1п-21; Х-пк,..., Хпг ^1^2, где 0п [УV11, 21,..., ./^ п1 I*] и 02п [ 7V11, 21,..., ./^ ^, 7V12, ./^ 22,..., ./^ п2 Ь ] - п-мерНЫе И 2п-мерНЫе
условные характеристические функции.
Оценка двумерной взаимной характеристической функции совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
1
(e2 [j'v; Jr,т]= | | (w2 [X;Y,T])jX+rY^dXdY -
T-IT
2T - т
-T
I e2 j■v,Jr(x(0)\y(t+M))
dt =
(2n -=)) г=-
n-U-l *i +T0
ї I
n t,
yv jr\t, t+|Т; x-nk ,•••, xnr, У-ng ,•••, ynq
mm{Jv; Jr т) =
, T-Т
I I maw (X;Y,T)ej(vX+rY)dXdY = 2T- I le2 JV j'r|(x(t){y(t + |т|)) -e2 jv, Jrт}
-U-l *i +T0
-T
1 n-U-l*’i ' •‘•0 ,
1=) ї I
(2n -=))0 “
e2 [ Jv 2 T]}dt;
n t,
jv, jr\t, t + |т|; x-nk ,•••, xnr, У-ng ,•••, Уп
Rselt; (r^ ti; j'v2; J^ т2 ) = j j j j Raw {Xl-Jl, Ті; X2Y2, Т2 )VlXl +rlYl +V2X2 +rY )dXldYldX2dY2 =
T -NT НТ1І
17 I I {e4 JVL j'ru JV2, j'r^(x(t1 ) ^У (t1 +|Т1I))X(t2 )^У (2 +|Т21)
V -T -T '
(2T-|ti| )(2T-|
JVL 7Гі|( x (t1 ) ^У (t1 +Іт11) e2 Jv2, j'r^( x (t2 ) ^У (t2 +|Т2І)
‘1“‘2
-=.1 -1 n-=2 -11i +T0 tu +T0
(n =1 )(2n =2 )T0 i=-
JVl УГъ jv2, УГ2
t1, t1 + |Tl|, t2, t2 + |Т2І;
X-nk,•••, Xnr, y-ng ,•••,ynq
tl, tl+Iti|; t2, t2 + |Т2І;
JVL 7Гі X-nk ,•••, Xnr, y-ng , • 1 q n ,У e2 jV2, УГ2 X-nk ,•••, Xnr , y-ng ,•••, ynq
nM‘2-
Выводы
Полученные на основе комплексного подхода математические ожидания и корреляционные функции погрешностей результатов измерений позволяют адекватно, во взаимодействии между собой, учесть влияние конечной длительности и погрешностей реализации для аналоговых и цифровых измерений распределений и характеристических функций случайных процессов^ Они исключают некорректное суммирование этих элементарных погрешностей
Список литературы
1 Заико, А^ И Определения характеристик эргодических случайных процессов I А^ И Заико II Измерение^ Мониторинг Управление^ Контроль - 2012^ - № 2^ -С 30-34^
2^ Заико, А^ И Случайные процессы^ Модели и измерения : учеб^ пособие I А^ И Заико^ -М^ : Изд-во МАИ, 2006^ - 297 с 3^ Заико, А^ И Эргодические случайные процессы^ Определения и алгоритмы измерения характеристик I А^ И Заико II Вестник УГАТУ^ - 2012^ - Т 16, № 6 (51) - С 74-85^
4^ Заико, А^ И Комплексный подход к определению погрешностей I А^ И Заико II Датчики и системы (ИКА) - 2007^ - № 8 (99) - С 52-59^
5^ Zaiko, A^ I Accuracy of statistic and spectral Measurements I A^ I Zaiko, N A^ Zaiko II Proceedings XVII IMEKO World Congress «Metrology in the 3rd Millenium>K - Dubrovnik : Croatia, 2003^ - P^ 1275-1279^
1
n u=-n t t
i, iu
Заико Александр Иванович
доктор технических наук, профессор, кафедра теоретических основ электротехники, Уфимский государственный авиационный технический университет E-mail: zaiko@ugatu.ac.ru
Zaiko Aleksandr Ivanovich
doctor of technical science, professor, sub-department of theoretical fundamentals of electrical engineering,
Ufa State Aviation Technical University
УДК 621.317.2 Заико, А. И.
Алгоритмы и погрешности измерений распределений и характеристических функций эр-годических случайных процессов / А. И. Заико // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. -2014. - № 1 (7). - С. 25-34.
