CC BY
60
УДК 656.225.073:519.876.5
О. И. ХАРЧЕНКО (ДИИТ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ДИРЕКЦИИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ПЕРЕВОЗОК
Приведен пример построения линейных математических моделей работы дирекции железнодорожных перевозок.
Наведено приклад побудови лшшних математичних моделей роботи дирекци залiзничних перевезень. There is an example of the linear mathematical models construction of the railway traffic management.
В работе [5] на основе структурного моделирования получена математическая модель работы железной дороги. Структурное моделирование выполнено с использованием неориентированного графа локальных взаимосвязей. В данной работе моделирование выполняется с использованием ориентированного графа.
Были рассмотрены 28 показателей работы одной из дирекций Приднепровской ж.д. за период 2001-2005 гг., которые приведены в табл. 1.
Таблица 1 Показатели работы дирекции
X1 общая погрузка (вагонов)
Х2 общая погрузка(тонн)
Х3 статнагрузка на вагон (тонн)
Х4 выгрузка (вагонов)
Х5 работа (вагонов)
Х6 рабочий парк вагонов всего
Х7 рабочий парк порожних вагонов
Х8 рабочий парк вагонов с транзитным грузом
Х9 рабочий парк вагонов с местным грузом
Х10 груженый рейс вагона
Х11 порожний пробег к общему (%)
Х12 производительность вагона (т\км нетто)
Х13 эксплуатационные т\км нетто (млн)
Х14 прием вагонов всего
Х15 прием груженых вагонов
X16 прием порожних вагонов
X17 сдача вагонов всего
X18 сдача груженых вагонов
X19 сдача порожних вагонов
X20 оборот грузового вагона (суток)
X21 оборот местного вагона (суток)
X22 простой под одной грузовой операцией (часов)
X23 простой на одной технической станции (часов)
X24 средний вес грузового поезда (тонн)
X25 техническая скорость (км\ч)
X26 участковая скорость(км\ч)
X27 среднесуточный пробег локомотива (км)
X28 производительность локомотива (тыс. ткм брутто)
На рис. 1 показана динамика погрузки дирекции по месяцам за период 2001-2005 гг., которая была построена на основе фактических данных с помощью пакета «8ТАТКТ1СА 6.0» [1]. Из графика видно, что за рассматриваемый период общая погрузка имеет тенденцию роста. Это является положительным фактом, так как одной из основных задач железнодорожного транспорта является максимально полное обеспечение грузоотправителей, при этом система управления эксплуатационной работой должны обеспечить высокий уровень использования технической вооруженности транспорта и особенно подвижного состава [2]. Также была построена динамика для всех 28-ми показателей. Анализ динамики показывает значительное улучшение работы дирекции железнодорожных перевозок.
На рис. 2 представлены рабочий парк вагонов с транзитными грузами, порожний пробег к общему, участковая скорость. Это перечень показателей, которые за рассматриваемый период не имеют тенденции к улучшению и требуют более детального рассмотрения.
Из рис. 2 наблюдается тенденция падения участковой скорости, но при этом динамика технической скорости показывает тенденцию роста, это видно из рис. 3.
Рис. 1. Динамика погрузки дирекции
Рис. 2. Динамика показателей работы дирекции, не имеющие тенденцию к улучшению.
Известно, что при отсутствии остановок поездов на промежуточных станциях средняя участковая скорость равна технической. Тогда с учетом анализа рис.2 и рис.3 можно сделать вывод, что основная причина падения участковой скорости является «перепростои» на промежуточных станциях. Этот факт также имеет отношение и к росту рабочего парка с транзитным грузом. Очевидно, что набор показателей работы дирекции 0, = [Х 1,X2,...Хп }, имеют между собой определенные связи.
Естественно возникает задача выбора управляющих воздействий и определения показателей эффективности работы дирекции.
Для решения поставленных задач необходимо на основании статистических данных построить граф локальных взаимосвязей между наблюдаемыми показателями и построить математическую модель работы дирекции.
1. Корреляционный анализ данных о работе дирекции
За рассматриваемый период с 2001 по 2005 годы фиксировались среднемесячные показатели, на основании которых для показателей вычислялись коэффициенты корреляции с доверительной вероятностью у = 0,95 . Для доверительной вероятности у = 0,95 и числа наблюдений 60 (число месяцев) критическое значение коэффициента корреляции будет равным 0,25 [3].
Проанализировав корреляционную матрицу можно отметить, что коэффициент корреляции для Х1 (общая погрузка в вагонах) и Х 2 (общая погрузка в тоннах) равен 1, это означает, что между ними существует линейная связь.
В подтверждение этому приведена формула определения количества вагонов:
N =
ч
(1)
где Q - количество груза в тоннах;
Ч - норма загрузки вагона.
Линейная зависимость позволяет исключить из дальнейших расчетов Х1 (общая погрузка в вагонах). По таким же соображениям в дальнейших расчетах не будет участвовать (работа), так как этот показатель имеет линейную зависимость с ^18 (сдача груженых вагонов).
Прежде чем строить граф локальных взаимосвязей проведем анализ показателей с точки зрения «входящих» показателей и «выходящих» или результат работы. В дальнейшем «входящие» показатели будем называть источниками, а «выходящие» - стоками для графа локальных взаимосвязей.
К показателям, характеризующим выполнение цикла работ относятся: Х 2 (общая погрузка груза в тоннах), Х14 (прием вагонов всего), Х15 (прием груженых вагонов), Х16 (прием порожних вагонов), Х4 (выгрузка вагонов), Х17 (сдача вагонов всего), Х18 (сдача груженых вагонов), Х19 (сдача порожних вагонов).
Х2 (общая погрузка груза в тоннах), Х14 (прием вагонов всего), Х15 (прием груженых вагонов), Х16 (прием порожних вагонов) эти показатели в основном зависят от месячных планов, которые регулируют работу дирекции, поэтому их можно отнести к источникам. Хотелось бы отметить, что выбранные источники имеют относительный характер, так как они основываются на значениях показателей, т.е на результате работы дирекции. Основным источником можно назвать месячный план перевозок, но дирекция не всегда справляется с поставленным заданием, поэтому речь идет об относительности выбора источников.
Х4 (выгрузка вагонов) относим к стокам,
т.к этот показатель определяется размерами погрузки в адрес дирекции и характеризует конечную операцию перевозочного процесса. К стокам относятся Х17 (сдача вагонов всего),
Х18 (сдача груженых вагонов), Х19 (сдача порожних вагонов), как результат работы дирекции.
2. Построение наборов предикторных переменных
С учетом выбора источников, стоков и наличия линейных зависимостей на основании корреляционной матрицы строим матрицу смежности графа локальных взаимосвязей, которая показана в виде таблицы 2.
По матрице смежности находим набор предикторных переменных. В задачах математического моделирования набор предикторных переменных выступает в роли «независимых» переменных, т.е зная эти переменные математическая модель позволяет определить остальные.
Построение наборов предикторных переменных можно выполнять с помощью алгоритма Э.Пиша [4].
По матрице смежности в соответствии с алгоритмом получаем следующие наборы пре-дикторных переменных
|М1 ={Х2 ,Х14,Х15,Х16,Х6 } \М 2 ={Х2, Х14, Х15, Х16, Х11}.
(2)
Так для набора М1 ={Х2,Х14,Х15,Х16,Х6} определяем множество
^ = о \ М1
Г =
Х 3 , Х 4 , Х 7 , Х 8 , Х 9 , Х10 , Х 11, Х12:
Х13, Х17, Х18, Х19, Х20, Х21, Х22,
Х23, Х24, Х25, Х26, Х27, Х28
т. е. перечень показателей, которые должны быть определены.
Для набора М2 ={Х2, Х14, Хи, Х16, Х„}
имеем У2 = 0 / М 2.
Г =
Х 3, Х 4, Х 6, Х 7, Х 8, Х 9, Х10, Х12, Х 13, Х17 , Х18, Х19, Х20, Х21, Х22 = Х23 Х24, Х25 , Х26 , Х27 , Х28
Зная наборы предикторных переменных можем определить значения остальных показателей. Эта процедура существенно поможет в разработке технических норм работы дирекции.
Таблица 2
Матрица смежности для графа локальных взаимосвязей
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0 1
1 1
10
11
12
13
1 1
14
1 1
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28 0 0 0 0 0 1
1 1 1
0
3. Линейные математические модели
Прежде чем строить линейные математические модели рассмотрим структуру этих моделей. Полученные наборы (2) позволяют построить структуры математических моделей.
Так, например, при выборе множества М1 в качестве предикторных переменных показатели
из У1 будут в правых частях содержать только те с которыми они коррелируют.
Аналогично составляются структуру моделей для М2 , здесь должны быть заданы
{X2, Х14, Х15, Х16, Х11}, а остальные показатели имеют следующие структурные представления.
2
3
4
6
7
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
2
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
6
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
7
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
8
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
9
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
Si:=
X 3 = f (X б , X 9 , X10 , X11 , X14 , X15 , X 20 , X 22 )
f (X 2 , X б , X S , X 9 , X10 , Xii, X12 , X14 , X15 , X 22 , X 2б , X13 )
f (X 2 , X б , X S , X 9 , X12 , X14 , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 24 ) f (X2 , Xб , X7 ' X10 , Xii> X12 , X13 , X14 , X15 , X21 , X24 , X2б , X2S )
f (X 2 , X 3 , X б , X 7 , X12 , X13. X14 , X15 , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 24 , X 25 , X 2б , X 27 , X 2S ) = f (X 2 , X 3 , X б , X S , Xii' X12 , X13 , X15 , X 21' X 2б , X 27 , X 2S )
f (X 3 , X б , X S , X10 , X13 , X 24 , X 2S ) = f (X 2 , X 7 , X S , X 9 , X10 , X13 , X14 , X15 , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 25 , X 27 , X 2S ) = f (X 2 ? X S ^ X 9 , X10 , X i1> X12 , X14 , X15 , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 25 , X 2б , X 27 , X 2S ) = f (X 2 , X 3 , X 7 , X S , X 9 , X12 , X13 , X14 , X15 , X 1б , X 20 , X 21 , X 23 , X 25 , X 2S , X 22 ) = f (X 2 , X 3 , X 7 , X S , X 9 , X10 , X12 , X13 , X14 , X15 , X 1б , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 25 , X 27 , X 2S ) = f (X 3 , X б , X 9 , X10 , X11 , X14 , X15 , X 1б , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 24 ) = f (X 2 , X 3 , X б , X 7 , X 9 , X12 , X13 , X14 , X15 , X 1б , X 21 , X 22 , X 23 , X 25 , X 27 , X 2S ) = f (X 2 , X б , X S , X 9 , X10 , X12 , X13 , X14 , X15 , X 1б , X 20 , X 22 , X 23 , X 25 , X 27 , X 2S ) = f (X 2 , X 3 , X б , X 7 , X 9 , X12 , X13 , X14 , X15 , X 1б , X 20 , X 21 , X 23 , X 24 , X 25 , X 2S ) = f (X2 , Xб , X7 , X9 , X12 , X13 , X14 , X15 , Xí6> X20 , X21 , X22 , X25 , X2S ) = f (X б, X 7 , X S, X 9, Xii , Xí6, X 22 )
= f (X 2 , X б , X 9 , X12 , X13 , X14 , X15 , X 20 , X 21 , X 22 , X 23 , X 2б , X 27 , X 2S ) = f (X 2 , X б , X S , X 9 , X10 , X13 , X 25 , X 27 ) = f (X 9 , X10 , X12 , X13 , X15 , X 20 , X 21 , X 25 , X 2б , X 2S )
= f (X 2 , X S , X 9 > X 10> X11 > X12 > X13 > X14 > X15 > X 20 > X 21 > X 22 > X 23 > X 25 > X 27 )
X4 = X7 = XS =
X9 = X1
X11 = X1
X1 X1 X1 X1
X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2
^2 :=
X3 = f (Xб , X9,X10, X11,X14 , X15 ,X20 ,X22 )
X 4 = f(X2, X6, X S, X9,X10, X11,X12,X14, X15, X22, X26 , X13 )
X6 = f (X 3, X4,X 7,X S, X9,X10, X11, X20, X21, X22, X23, X24, X25, X26 )
X 7 = f (X2, X6, X S, X9,X12,X14, X20> X21, X22, X23, X24 )
X S = f (X2, X6, X7,X10, X11,X12, X13,X14, X15, X21, X24, X26, X2S )
X9 = f (X2,^^^X6,X7,X12,X13,X14,X15 ,X20 ,X2bX22,X23,X24,X25,X26,X27,X2S ) X10 = f (X2, X3, X6, X S, X11,X12, X13, X15 ,X21, X26, X27 , X2S ) X12 = f (X^^^^^^XS,X9,X10,X13,X14,X15 ,X20 ,X21,X22,X23,X25,X27 ,X2S ) X13 = f ((X ^^ ^ ^^ X9, XW, X11, X12, X14, X15 , X 20 , X2\, X22, X23, X25, X26, X27 , X2S ) X17 = f (X2, ^^^X7, XS, X9, X12, X13, X14, X15, X16, X20 , X21, X23, X25, X2S, X 22) X1S = f (X 2, X3, X 7, XS, X9, X10, X12, X13, X14, X15, X ^ X20, X21, X22, X23, X25, X X19 = f (X3,X6,X9,X10,X11,X14,X15 ,X16,X20,X21,X22,X23,X24) X20 = f ^, ^^^ X6, X7, X9, X12, X13, X14, X15 , X16, X21, X22, X23, X25, X27, X2S ) X21 = f ((X^^X6, XS, X9, XKb X12, X13,X14,X15 , X16, X20, X22,X23, X25, X27, X2S) X22 = f ^^ X6, X7, X9, X12, X13, X14, X15 , X16, X20, X23, X24, X25, X2S ) X 23 = f (X2, X6, X7, X9, X12, X13, X14, X15, X16, X20, X21, X22, X25, X2S ) X24 = f (X6,X7,XS,X9,X11,X16 ,X22)
X25 = f ((X2, X6, X9, X12, X13 , X14, X15 , X20 , X21, X22, X23, X2б , X27, X2S ) X26 = f ^^ X6, XS, X9, X10, X13, X25 , X27 ) X27 = f (X9, X12, X13, X15 , X20 , X21, X25, X2б , X2S )
X2S = f (X2, ^^^ X9, X10, X11, X12, X13, X14, X15 , X20 , X21, X22, X23, X25, X27 )
27
X2S )
Прежде чем строить линейные математические модели дадим описание модели. Считаем, что наблюдаемые величины связаны между собой регрессионной зависимостью вида:
Y (0 = В1 • Х 1(/) + В 2 • Х 2(0 + ,
+.... + ВК • ХК(0 + В0 + е(0,
0 < ] < п , (3)
где В1,В2,....ВК,В0- неизвестные константы, е(0 -ненаблюдаемые случайные величины со
средним 0 и неизвестной дисперсией, не меняющейся от опыта к опыту [1].
Построение математических моделей проводим с использованием пакета 8ТАТКТ1СА 6.0 в модуле Множественная регрессия.
Используя структуру 51 были построены линейные математические модели, для перечня показателей Г1. В уравнение регресии входят только показатели, которые положительно коррелируют с искомыми величинами.
X3 = 69,24 - 0,025 • X10 X4 = 0,227 • X9 + 0,111 • X14 X7 = 0,999 • X6 - 0,999 • X8 - 0,999 • X9 X8 = 0,58 • X6 - 0,473 • X7 - 605,569 • X21
X9 = 0,402 • X6 - 0,299 • X7 + 914,037 • X21 - 21,051 • X22 - 56,908 • X23 X10 = 0,011 • X6 + 0,025 • X12 + 0,014 • X13 - 0,018 • X15
Xjj = 124,639 - 0,0017 • X8 - 0,237 • X
24
X12 = 0,012 • X2 - 0,491 • X7 - 0,468 • X8 - 0,439 • X9 + 34,752 • X10 + 0,737 • X15 + 265,20 • X20 X13 = 0,005 • X2 +10,101 • X10 - 761,688 X17 = 1,005 • X14
X18 = 0,013 • X2 - 0,33 • X9 + 1,049 • X15 + 262,821 • X21 - 498,368
X19 = 0,29 • X9 - 0,22 • X6 + 3,89 • X10 + 25,52 • X„ + 0,73 • X14 - 0,41 • X15 + 406,1 • X20 +
+19,89 • X22 + 49,55 • X23 - 3228,43
X20 = 3,138 + 0,0001 • X 6
X21 = 0,0008 • X9 - 0,0006 • X6 + 0,02 • X10 - 0,0005 • X12 + 0,0003 • X14 + 0,051 • X22 + 0,115 • X23 X22 = 35,319 - 0,0002 • X2 + 0,006 • X6 - 0,007 • X9 +10,957 • X21 - 2,585 • X23 X23 = 12,306 + 0,002 • X6 - 0,002 • X9 - 0,0004 • X14 + 2,192 • X21 - 0,224 • X22 X24 = 4529,37 - 0,031 • X6 + 0,08 • X7 - 28,504 • Xn X25 = 12,335 - 0,001 • X14 + 0,004 • X15 + 0,639 • X26 X26 = 0,35 • X27 + 0,506 • X25 - 0,003 • X13 - 0,0009 • X8 X27 = 13,281 • X21 + 6,425 • X26 + 0,197 • X28 X28 = 0,081 • X12 +14,517 • X23 +1,948 • X27 -139:
При сравнении структур математических моделей S1 и S2 видно, что эти структуры имеют одинаковый набор показателей, кроме X 6 и Xn. Поэтому, для получения линейных математических моделей по структуре S2 исключаем из перечня Xп (т. к. он является источником), а добавляем X6 = X7 + X8 + 0,999 • X9. Модели для остальных показателей не меняются.
Полученные математические модели следует понимать так должны быть заданы наборы предикторных переменных М1 (для первого варианта) или М2 (для второго варианта), а
294
остальные находим по формулам, что завершает задачу математического моделирования.
Вопрос о предпочтении вариантов можно решить различными способами. Один из способов решения этого вопроса можно построить на основании двух характеристик структуры Пу (5) - число уравнений в структуре 5 и
Пп (5) - число показателей, которые необходимо задать для определения остальных. Но так как в нашем случае рассматриваемые характеристики одинаковые, то для решения вопроса о предпочтении между вариантами были рассчитаны погрешности между фактическими и рас-
четными данными. Средние значения для двух вариантов сведены в табл. 4.
Таблица 4
1 2 1 2 1 2
Х3 0,0087 Х12 0,0088 Х23 0,0366
Х4 0,0441 Х13 0,0346 Х24 0,0071
Х6 - 0 Х17 0,0052 Х25 0,0098
Х7 0 Х18 0,0055 Х26 0,0093
Х8 0,0355 Х19 0,0424 Х27 0,0091
Х9 0,0255 Х20 0,0804 Х28 0,0127
Х10 0,0113 Х21 0,0299
Х11 0,0208 - Х22 0,0212
Анализ табл. 4 показывает, что предпочтение необходимо отдать второму варианту.
На основе табл. 4 также можно сделать вывод, что полученные математические модели позволяют прогнозировать значения показателей с точностью до 5 % , только Х 20 (оборот грузового вагона) превышает это значение и доходит до 8 %.
В заключении хотелось бы отметить, что предложенная методика моделирования, с использованием ориентированного графа локальных переменных, является более адекватной и позволяет формулировать задачи управления
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Боровиков В. П. Популярное введение в программу 8ТАТ18Т1СА. Источник Интернет, -245 с.
2. Кочнев Ф. П. Управление эксплуатационной работой железных дорог. / Ф. П. Кочнев, И. Б. Сотников. - М.: Транспорт, 1990. - 424 с.
3. Плохинский Н. А. Биометрия. - М.: МГУ, 1970. -367 с.
4. Мухина Н. А. Структурное моделирование по экспериментальным данным // Дисс. на соиск. канд. физ.-мат. наук. - Д.: ДГУ, 1999.
5. Босов А. А. Шдвищення ефективносп роботи транспортно! системи на основi структурного аналiзу / А. А. Босов, Н. А. Мухша, Б. П. Шх. -Д.: ДПТ. - 200 с.
Поступила в редколлегию 27.09.2007.
