Об одном обобщении интегральных уравнений Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.А.Уткина

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВОЛЬТЕРРА

Строится решение обобщения уравнения Вольтерра в п -мерном пространстве (п - любое натуральное конечное число) с помощью резольвент. Отличие от ранее изученных уравнений состоит в присутствии слагаемых с другим порядком интегрирования. Сначала все рассуждения проведены для п = 2.

Речь пойдет об уравнении вида

и ( х2,..., хп ) = / (х15 х2,..., хп) +

п п п

+д]Г X ...£ о-'о;;...»;1 (1)

\ =0 >2 =0 ^ =0 ; + >2 + ...+ п >0

[К¥,..л„ (X;, Х2,..., Хп , 1^П /; + Х;(1 - 88П > ), ^ SgnЦ + Х2(1 - 88П >2),..., tn 88П >п + хп(1 - sgn>п)) • и (tl sgn>1 + Х;(1 - sgn>1),t2 sgn>2 + Х2(1 - sgn>2),...,

tn sgn >п + Хп (1 - ^ >п ))] ,

заданном в области О = {х10 < Х1 < Х11, Х20 < Х2 < Х21,...,Хп0 < Хп < хп1} . При п = 1

(1) есть классическое уравнение Вольтерра, при п = 2 и равных нулю функциях К11, К22, К21 оно тоже хорошо известно [1, §28], [2,§3], [3,с.9]. При любом конечном п и равных нулю коэффициентах К1 1, К21 1,..., Кп п это уравнение изучено в [4]. Основное отличие (1) от выше перечисленных случаев состоит в том, что в нем присутствуют кратные интегралы по различным переменным, но с одинаковым верхними пределами. Подобные интегральные уравнения встречаются при исследовании задач со смещениями в граничных условиях. Далее для более компактной записи получающихся в процессе рассуждений формул будем использовать обозначения, введенные в [5]. А именно, Окф = дкф/ д^ при к = 1,2,.. и 0^*0 = Г -—Т-----------------------------^( ) Ст, если

1 { (-к -1)!

к = -1, —2,..,- оператор тождественного преобразования. Если некоторый индекс >к = 0, это означает, что соответствующий интеграл отсутствует. Проведем все рассуждения сначала при п = 2 . Уравнение (1) упростится:

и (^ Х2 ) = / (^ Х2 )+^Е X Ох11°х21 (2)

>1=0 >2 =0 ^ ' > + >2 >0

[ К12 ( Х1, Х2, tl sgn >1 + хД1 - sgn >1), t2 sgn >2 + Х2 (1 - sgn >2))•

•и (1 sgn ( + х1(1 - sgn >1), t2 sgn >2 + х2 (1 - sgn >2)) ].

Формально введем еще одну функцию:

/ ( ^ Х2 )

К00 (х15Х2,х15Х2) =

Ли (х15 х2)

Применим к (2) метод последовательных приближений:

ихX2)=fхX2)+^2е е did;

Ч л‘2 11 =0 І-2 =0

11 ХІ2 >0

[K/ (X;, X2, sgn i; (t, - X;) X X;, sgn i2(t2 - X2) X X2) •

•EED-1 DXl KiAi X X21,Sgn i11(t11 - X11) X X11),Sgn i21(t21 - X21 ) + X21 )

-"‘11 ‘21

il1 =0 i21=0

и (sgn /(ц - Хц) + Хц)^П >21 (t21 - Х21) + Х21)],

где х11 = sgn >1(t1 - Х|) + Х1, х21 = sgn >2(t2 - х2) + х2. Выделим во втором наборе сумм слагаемые, у которых >11 = >21 = 0:

XX2)=f(xl,X2)x^2Е Е DD

11 ‘2

І; = 0 І2 = 0

11 XI2 >0

[ Kii (xi, X2, X11, X21 )• )00 ( X11, X21, Xl1, X21 ) и ( X11, X21 ) ]" X^2 Е Е [ D1 DXl K44 (X1, X2, X11, X21 )•

1112

I, =0 І2 =0

І Xl2 >0

' Ё Ё D-n DZ K4Al ( ( S§n Xl (t11 - X1l) + X1l)’ S§n *21 (t21 - X2l) + X21 ) •

1 = 0 *21 = 0 X *21 >0

u(sgn/n(tn -X11)XXll),sgn*21 (t2l -X21)XX21) ].

С учетом обозначений Xj2 = sgni11(t11 - x11) X x11 , x22 = sgni21(t21 - x21) X x21 последняя формула примет вид

2 2

U (X1, X2 ) = f (X1, X2 ) X ^2 ЁЁ I D- DXl KA (X1’ X2’ X11’ X21 ) •

4 = 0 *2 =0 4 X *2 >0

• K00 (X11, X21, X11, X21 )и (X11, X21 )] X Xl2ЕЕ [d-D—;K^ (Xi,X2,x,i,X21 )•

\ = 0 >2 = 0 4+>2 >0

2 2

^ ^х1и ^х21 Кі11і21 ((, Х21, Х12, Х22 )и (Х12, Х22 )

>11 =0 >21 =0 >11 + >21 >0

Продолжая подстановку, мы получим бесконечный ряд:

да к

и (Х1, Х2 ) = 1 ^*2 (Х1Л^-1, Х2*2-1, Х1к2 , Х2к2 )/ (Х1*2 , Х2к2 ) + / (Х1, Х2 / (3)

ІІ1 =1 ^2 =1

Под Бк понимаем операторы, действующие по правилу (выпишем это правило для к = 1,2 . Понятно, что для к>2 эта процедура может быть продолжена):

2 2 г

S1 (X1, X2 , X11, X21 ) f (X11, X21 ) = ^ЁЁ Dx,1Dx,2K1i2 (X1, X2 , X11, X21 ) f (X11, X21 )

i =0 *2 =0 { X *2 >0

S1 X Xl, X2, X11, X21 ) S2 X X11, X21, X12, X22 ) f X X12, X22 )

= Ё Ё _D-D-1 K14 (X1 , X2’ X11’ X21 ) •

Ё Ё _Dx11 Dx21 ^1% (X11’ X21’ X12, X22 )

*11 =0 *21 =0

*11 X *21 >0

и так далее. Полученный в (3) ряд является обобщением понятия резольвенты, известного (например, из [6]) для уравнения

U (^ X2 ) = f X X1, X2 ) X ^D-D-

[ K12 ( X1 , X2, t1, t2 )u (t1 , t2 ) ] X ^Dxl [ K10 ( X1, X2, t1, X2 ) U (t1, X2 ) ] X

x^Dx21 [ Kl2(Xl,X2,Xl,t2)u(Xl,t2) ],

Л = const.

Теорема. Пусть в (2) функции K X x1, x2, t1, t2) (*1, *2 = 0,1,2, *1 X *2 > 0) непрерывны в |x10 < x1 < x11, x20 < x2 < x21 , x10 < t1 < x11, x20 < t2 < x21 }, f Xx1, x2 ) - непрерывна в D, тогда уравнение (2) имеет единственное непрерывное решение u X x1, х2), которое представимо абсолютно и равномерно сходящимся рядом (3). Для доказательства рассмотрим общий член ряда

^(хЪ х2 )=^ П Sk2 (Xlk2 -1, х2к2 -1, х1к2 , х2к2 f (Xlk2 , х2к2 ) к 2 =1 .

В силу непрерывности функций K^ (х1, х2, t1, t2) (*1, *2 = 0,1,2, *1 X *2 > 0) в замкнутом параллелепипеде они ограничены. Следовательно, существует некоторая положительная постоянная Mтакая, что К** (х1,х2,t1,t2)| <M . Тогда

Vк не превосходит

к ы\л /Т\к- к. (X1 - X10 ) (х2 - X20 ) <

|К,(Х1, X2 )|ф|к N\M\K5 <1^ ^М^ 5к

кх!

к ы\л л\к1 ^ к (х11 X10 ) (х21 X20 )

к1!

Известно, что ряд с положительным общим членом

А*- к (х11 - Х10 ) (х21 - Х20 ) о

5------------—----------— сходится при всех значениях чисел л,

к1!

N, M , (xn - x10),(x21 - x20). Поэтому ряд в (3) сходится абсолютно и равномерно.

Вернемся теперь к (1). Будем использовать мультииндексы. Так, (1) с их помощью преобразуется к виду:

n

u (x) = f (x) + ЛtD- [Kt (x, t sgni + x(1 - sgni))u (t sgni + x(1 - sgni)), (4)

i=0

i>0

где

x=(xl,^..^xn), t =t t ...£ , D- = D-Dx-21...Dx-^ Л=const,

i=0 i =0 i2 =0 in =0

i>0

г1+i2 +...+in >0

t sgn i + x(1 - sgn i) = t1 sgn i1 + x1(1 - sgn i1), t2 sgn i2 + x2(1 - sgn /2),..., tn sgn in + xn (1 - sgn in).

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что резольвента (4) имеет вид

да k

u(x)=t ЛП St2 (-l,xk2 )f ()+f (x). (5)

k =1 k =1

Здесь

S1 (x,x1 )f(xl,x2)=ЛЕ [ Dx!K,(x,x1 )f(x1) L

i=0

i>0

S1 (X, x1 ) S2 (X1, x2 )f (x2 ) = Л t [ D-!K> (X, x1 )t [ D-1K^(X1, x2

i=0 i=0

">° i, >0

Таким образом, имеет место теорема

Теорема. Если функции Kt (x, t), f (x) (i = 0,n, i > 0 ) непрерывны в

{x10 ^ x1 ^ x11,..xn0 ^ xn ^ Xn1, x10 ^ t1 ^ x11,...xn0 ^ t„ ^ Xn1 } > то уравнение (4) име-

ет единственное непрерывное решение u (x), представимое в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда (5).

Литература

[1] Мюнтц Г. Интегральные уравнения. T.I. М., 1934.

[2] Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л., 1948.

[3] Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными// Казанское математическое общ-во. 2001.

[4] Севастьянов В.А. Существование и единственность решения одного многомерного интегрального уравнения/ Казан.ун-т, 1997. - Деп. В ВИНИТИ 05.06.97, №1848-В97.

[5] Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А.Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка// ДАН СССР. 1987. Т.297. №3. С547-552.

[6] Ловитт У.В. Линейные интегральные уравнения//ГТТИ. 1933.