CC BY
35
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
УДК 621.317.2
А. И. Заико
АЛГОРИТМЫ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ МОМЕНТОВ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
A. I. Zaiko
ALGORITHMS AND UNCERTAINTIES IN MEASUREMENTS OF MOMENTS AND SPECTRAL CHARACTERISTICS OF ERGODIC RANDOM PROCESSES
Аннотация. Приведены алгоритмы и погрешности измерений моментных и спектральных характеристик эргодических случайных процессов аналоговым и аналогоцифровым методами. Они получены на основе комплексного подхода к определению погрешностей.
Abstract. Algorithms and uncertainties in measurements of moments and spectral characteristics of ergodic random processes obtained by analog and digital methods are presented. They are obtained on the basis of the complex approach to uncertainties definition.
Ключевые слова: эргодические случайные процессы, моментные и спектральные характеристики, алгоритмы измерения, погрешности.
Key words: ergodic random processes, moments and spectral characteristics, algorithms of measurement, uncertainties.
Введение
Статья является продолжением публикаций [1, 2]. В ней приводятся алгоритмы аналоговых и цифровых измерений моментных и спектральных характеристик, указаны математические ожидания и корреляционные функции погрешностей этих алгоритмов с применением комплексного подхода к их определению и обобщает работы [3-5].
Моментные и спектральные характеристики
Оценка математического ожидания, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
^ 1 Т 1 п—1 +Т0
Ю = |Х(^ї [Х])ж=— {[(х(0)-т]*=£ І т(х—пк—хпг);
—^ 2Т — Т 2 0 і=—п
^ 1 Т 1 п—1 г +Т0
тт = | Хть* (X )ёХ =— |[(х ()) — т&— тх ^ = —— £ | [т (; х—пк,..., хпГ) — тх ] Ж;
—^ 21 —Т 2 о і=—п г-
Т Т
Ът = Ат = | | ((1, X2 )Х^Х2 = | | Д^, і2 )¥
=о 4Т —Т —Т
1 п—1 п—1 гі +То ги +То
2Т2 £ £ | | Яб((;х— пк,..., хпг )
4п 2Т 2
-1 о /=—п и=—п г г
{, іи
где т5 - математическое значение погрешности измерения реализации х) процесса; (; х-и^,..., хпг )-математическое ожидание реализации процесса в момент времени *, вос-
т
становленной по отсчетам х—пк,...,хпг.
Оценка дисперсии, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
“ 1 Т \ 2 1 (°х) = | ( - тх )2(^1 [Х ^ [^ ('))“ Щ~ тх ] + °*Г =
1 п-1 *1 +То , 2 1
= 2Т £ 1 I ^т (*; Х~пк,..., I )тх ] + °ъ(*'; х-пк,..., хпг);
2П10 I=-п * 1 -1
“ 1 1 Г 2 1
т50 = | (Х-тх )2 т8» (Х )Х = — 1 { [(Х (* ))“ тЬ~ тх ] + °8-Ах } =
1 п-1 *1 +1° Г 2 1
1 1 I [т(;х-п^{)~тх] + А*!*;х-п^,...,хпг)-° };
210 г=-п *
*50 = = 1 1 (Х1 - тх )2 (X2 - тх ) Я5№ (Х1,Х2 =
^2 II |т2Х2 [(х (*1 ) ^ х (*2 )) ]-[( х (*1 ))-т5 ]2 [( х (*2 ))-т5 ]2 }^2 =
I -Т-Т
1 п-1 п -1 *1 +1о *и +1о
2т2 £ £ I I {т2х2 *2;{,...,{)(;х-пк,...,хпг)т2(*2;х-пк,...,хпг)}d}2,
2пТ0
4Т 2
4п2Т 2
-*о і=—пи=—п г г
{- 1и
где Д5 — дисперсия погрешности измерения реализации процесса; 05(ґ; х—пк,..., хпг)- дисперсия погрешности измерения реализации процесса в момент времени г , восстановленной по отсчетам х—пк,..., хпг; т2х2 [(х (г1) ,^х (2 ))] и т2х2 (?1, г2; х—пк,., хпг )-начальные моменты четвертого порядка от произведения квадратов реализаций процесса, восстановленных в моменты времени г1 и г2 соответственно по оценкам (х(г — и отсчетам х—пк,..., хпг.
Оценка корреляционной функции, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
іКх (т)) = | | (Х1 —тх — х2 —тх ) [Х1;Х2,т)^ =
1
Т-1 ТІ
2Т — |т| 1
І {Кх(г))_тз_тх][(х(+1Т1))—т —тх]+Лз(Т)}}
-Т
п —ц—1Ь +То
:(2п__£ | {[т(;х—пк,...,хпг)тх][т(+1Т1;х—пк,...,хпг)~тх]+
+К&(г, г+КІ; х—пк,..., хпг)} ;
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
т&Я (Т)= I I ( —тх )( 2 —тх )т&м> ((1;Х 2, Т)Х^Х 2
т—га
2Т— Т
I {Кх (г ))“ т^ тх ][(х ( + IТI—— т —тх ] + ^(Т) — Кх (Т)} =
—Т
1 п—ц—1гі +То
( _ ч) £ | {[т(;(—пк,...,хпг)тх][т(+ |Т|;х—пк^хпг)~тх] +
(п ц)о ,=—п
+, г + |Т|; х—пк ^ хпг )-) (Т)} Ж;
^ ^ ^
^5Я (т1, Т2 )= I I I I — тх )("(21 — тх )("(12 — тх )("(22 — тх )х
Х^5» (Х11;Х21, Т1;Х12;Х22, Т2 )^Х11^Х21^Х12^Х22 =
1 Т —Т Т-Ы .
(2Т — |Т1| )(2Т —|Т2|) ( Т {т4 Кх (г1 ) ,(х ( +1Т11),’(х (г2 )) ,(х(2 ^ )).
— Кх (г1 ) — т ] (х ( +|Т11) — т5 [{ х (г2 ))-т5 ] ( х (2 +|Т2І)) — т5 } ^2 =
1 п—ц1 —1и—ц2 —1гі +То ги +То
---------------------2 £ £ I I К ^ г2 + |Т2І; х-пк ^ хпг )
(2и -Ц1 )(2и -Ц2) ,=-
-т 2 *1 +1x1; х-пк,..., хпг )т 2 (*2, *2 +|Т2|;х- пк,..., хпг )} dt1dt2,
где Л5(т)- корреляционная функция погрешности измерения реализации процесса; *5 (( (2; х_пк,..., хпг )-корреляционная функция погрешности измерения реализации процесса, восстановленной по отсчетам х-пк,..., хпг; т 4 [(х (*1 )) { х (*1 +Ы ))( х (*2 ^ ^ х (*2 + |Х21)] и т4 (1,/1 +1x1,*2,*2 +|х2|;х-пк,...,хпг)- начальные моменты четвертого порядка от произведения реализаций процесса, восстановленных в моменты времени *1, *1 +1 х^, *2, *2 + |х2| соответственно по оценкам (х(*1), ^х(1 +|х1 |)),(х(2),^х(2 +|х21) и отсчетам х-пк,..., хпг.
Оценка ковариационной функции, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(Вх (Т) = I I [ Х2, т)^ 2
Т —
1 п—ц—1 г +То
( _ ч) £ I {т(;х—пкхпг)т(+|Т|;х—пк,...,хпг(++;Тк^Т)}л;
(2п і=—п
—п г,
5В (т)= I I Х1Х2 т&№ (Х1; Х2, т)Х^Х 2 =
—Т I [[(х(0) — т5 ][(х ( + IТI—— т5 ] + Лб(Т) — Вх (Т)
2Т — т
Л =
46
1 n-Ц-І *iXT0
X _ — І І |m ( X-nk ,..., Xnr X Iі X|T| ; X-nk^ Xnr ) +
(2n ц — 0 i=-n
-n ii
+Rg(t, t + |T|; x-nk ^ xnr )_ —x( т)} dt;
^ ^ ^
RgB tv т2 {= ПП XiiX2^X12X22 x —^ ^ ^ —«>
xRgw (X11;X21, т1;X12;X22,т2 )dXiidX21dX12dX22 =
1 1 -Т1-Ы .
= (2T — |т1 | — 2Т _|т2|) 1 ( m KX(t1 R^x(t1 +1ті|T^X(t2 T^(t2 + X)).
- К x (ti R- mg ][( x X +Іті I—- mg ]K x (t2 R- mg ][( x tх Іт2І R- mg]} dtidt2
1 п-ці -1 u —ц2 -1 ti XT0 fu XT0
---------------------г І І І І |m4(t1,t1 +XI,t2,t2 +|т9|;
(-Ці — t-Ц2 )R)2 i=-n ut-n І І 1 1 ' ' 11
; X-nk,..., Xnr
)-
i u
-m
:(X ti +|ті|; x-nk,..., Xnr )m2 (t2, t2 +|т2І; X-nk,..., Xnr )} dt1dt2.
Оценка взаимной корреляционной функции совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(Rxy (т—= І І (X - mx —Y - my —W2 [X;Y,d])dXdY:
xy
t-IT
2Tbd І {Кx(tR—m& -mxКу(t+N—-mgy-m
A1 I l| -T
1 n-ц-І ^ xTo p
І І |[mIі;x-nk^xnr)- m
x R
gxgy
(т-Jdt =
(2n -ц)—0 і=-
m Iі+ІтІ; y-ng,..., ynq ))~my
x Rgxgy (, t + |т|;x- nkxnr, У-ng ^ ynq)}dt;
T -It!
mgRxy (T)= I I (X -mx —Y -my )mgw (X;Y,TXXdY = 2T-о І {[(xXіR-mg^mx][(yXі + |t|R-mgy -my]xRgxgy (T)— Rxy (T)}dt
21 rl -T
1 n-ц-І *i xTo
= (2n -Ц)— І* І |[m Xі; X- nk,..., Xnr Xmx ][m ( + |T|; У- ngynq )-my ] X x Rgxgy (t, t + |T|; x-nk,..., xnr, y-ng,..., ynq )-Rxy (T)} dt;
^ ^ ^
RgRxy (т1,T2 { = І І І І (Xi - mx ) - my )(X2 - mx ) - my )x
—^ ^ ^ —«>
xRgw (X,; Yi, I,; X2;Y2, T2 )dXidY,dX2dY2 =
, 1 “W1-Ы _
= (2T _|Ti | — 2T —|d2|) ( ( Г KX (t1 T ,(y (t1 +IT1 lR^X(t2 R ^ (t2 +X ){_
{(x (ti R-mgx][( x (ti +K |R-msx ][( y (t2 R-mgy ][( у (2 +Іт2І—-mgy ]} dtidt
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
'-ц1 -1 U -ц2 -1 ti +т0 tu +т0
(и -Мі )(2п -Ц2 )To ,■=-.
І І I I
га
-m
(1, (1 +Іт1І; т 2 (2, (2 ^ |Т21;
Х- пк ,•••, Хпг,У-п^ , • I п Х- пк ,•••, Хпг,У- п^ , • I п
(1, (1 + т1 , (2, (2 + т2 ;
Х-ик , •••, Хпг, У-и£ , •••, Упд
Чи‘2’
где ^&8у (Т)и Я&х&у (,? + |т|; Х_пкх^, у_пёу„9 )- взаимные корреляционные функции погрешностей аналоговых и цифровых измерений х () и у ( + |т|).
Оценка взаимной ковариационной функции совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
2Т - т
ВЫ) = I IХУ^2[X;Y,х])ахат =
т-|т|
I { [(х (1 В “ т8х ] [(У (1 + М )) - т8у ] + к8х8у ( т)}
ІІ =
1 и-м-1 (і +т0
( _ чт І I {т (; Х-пк ,•••, Хиг ) ( + |Т| ; У-и£ ,•••, Упд ) +
(и М)0 і=-п
-п 1і
+^8х8у ((, 1 + N ; Х-пк ^ Хпг, У-и£ ,•••, Упд )} Т;
т8вХу (т) = I I ХТтб№ (X;¥,т)оХІ7 =
-Л I {КХ (і))“ ^ ][(У ( + МТ-т8у ] + ^8х8у (т)-Вху
т -|Т
2Т - т
1 п-М-1 1 +т0
= ( -М^То І I {т( + М ;У-пк,•••,Упг )т( + |Т|;У-п* ,•••,Ущ ) +
+ ^8х8у ( 1 + (; Х-пк ,•••, Хпг, У-п£ ,•••, Упд )~Вху ( Т)} В ^ ^ ^
*8Вху (Т1, Т2 )= I I I I Х^ X 2^2 (ВД, Т1; Х2;^,, Т2 )dXldYldX2dY2 =
—^ ^ ^ —«>
:(2Т-|т1| )(2Т-|х2|) [ [{^ КХ (11 В ^ У ( +!Т1 В^Х (12 В ^ У (2 + Ы)) {( Х (1 В-т8х ][( У (к + К ІВ- т8У ][( Х ((2 В-т8х ][( У ((2 +1Т21В- т8У
12
-М1 -1 и -м2 -1 (і +т0 (и +т0
(2п -М1 )(2п -М2 )В) і=-
І І I I
т
2 і 1 + тт 2 (2, (2 ^ |Т21;
т т
Х-пк ,•••, Хпг, У-п^ , • I п Х-пк Хпг, У-п^ , • I п
t1, (1 + Т1Ь (2, (2 + Т2 ;
Х-пк ,•••, Хпг, У-щ ,•••, Упд
Пы,2-
Оценка спектральной плотности мощности, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
{8х И)= I (вх (тВ е-у“т d т;
48
п и=-и 1 1
{і 1и
1
mSS (“) = f Щб (x)e_^dT = f [(Бх (T))- Bx (Ъ)] e“^dЪ
RSS (“i,“2 )= j j RSB (x2) e-^ +“"2]dxldx2.
Оценка взаимной спектральной плотности мощности совместно эргодических процессов, математическое ожидание и корреляционная функция ее погрешности:
(S*y (“)Н( Bxy W) е-^ d ъ;
mSSxy (“) = j mbBxy (Ъ) е-dЪ= j ^Bxy (Т)- Бху (Т)] е-;ЮХdТ;
RbSxy (“Ь “2 )= j j RbBxy ( Ъ2 ) е~Л( ^) T1d Ъ2.
Выводы
Полученные на основе комплексного подхода математические ожидания и корреляционные функции погрешностей измерений математических ожиданий, корреляционных функций и спектральных характеристик эргодического процесса позволяют адекватно, во взаимодействии между собой учесть влияние конечной длительности и погрешностей реализации, а также влияние дискретизации во времени для аналоговых и цифровых измерений.
Список литературы
1. Заико, А. И. Определения характеристик эргодических случайных процессов /
А. И. Заико // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 2. -С. 30-34.
2. Заико, А. И. Алгоритмы и погрешности измерений распределений и характеристических функций эргодических случайных процессов / А. И. Заико // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 1 (7). - С. 25-34 (статья в данном журнале).
3. Заико, А. И. Погрешности цифрового измерения энергетического спектра случайного процесса прямым методом / А. И. Заико // Метрология. - 2001. - № 9. - С. 3-10.
4. Заико, А. И. Комплексный подход к определению погрешностей статистических измерений / А. И. Заико, Н. А. Заико // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки». -2005. - Вып. 33. - С. 218-223.
5. Zaiko, A. I. Accuracy in measuring an energy spectrum by an indirect method / A. I. Zaiko // Measurement Techniques. - 2008. - Vol. 51. - Januar. - P. 705-710.
Заико Александр Иванович
доктор технических наук, профессор, кафедра теоретических основ электротехники, Уфимский государственный авиационный технический университет E-mail: [email protected]
Zaiko Aleksandr Ivanovich
doctor of technical science, professor, sub-department of theoretical fundamentals of electrical engineering,
Ufa State Aviation Technical University
УДК 621.317.2 Заико, А. И.
Алгоритмы и погрешности измерений моментов и спектральных характеристик эргодических случайных процессов / А. И. Заико // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. -№ 1 (7). - С. 44-49.
