CC BY
36
ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА, РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
УДК 681.51.01:519.856
А. И.Заико
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Получены выражения для определения распределений эргодического случайного сигнала на выходе линейной инерционной системы по реализации входного сигнала. Инерционная система; случайный сигнал; распределение на выходе
Нахождение характеристик сигнала на выходе системы по известным параметрам входного сигнала и характеристикам системы является весьма распространеной задачей анализа.
В установившемся режиме сигнал г(^) на выходе системы описывается интегралом Дюамеля [1, 2], который иногда называют сверткой,
г(і) = | а(і - v)x(v)dv,
(1)
где х(0 - входной сигнал, а щ(0 - импульсная переходная характеристика системы; ^ - текущее время.
Из выражения (1) следует, что для эргодиче-ских случайных процессов на входе системы с математическим ожиданием тх и корреляционной функцией Кх(^2 - ¿1) математическое ожидание тг, корреляционная Кг(^2 - ¿1) и взаимо-корреляционная Кх^2 - ¿1) функции выходного сигнала равны [1, 2]:
| а(? - т)т^т = ктх;
(2)
({2 - ¿1 )= | | щ({1 - Т1 М*2 - Т 2 )Кх (т 2 - Т1 )йМТ 2;
(3)
¿2
Кхг (¿2 - ¿1 )= | щ(?2 - Т 2 )Кх (т 2 - ¿1 К 2 , (4)
где к - коэффициент усиления системы.
Аналогичные соотношения для распределений выходного сигнала отсутствуют. Известно лишь следующее. Если полоса пропускания системы существенно шире спектра входного сигнала, то она рассматривается как усилитель входного сигнала и распределение выходного сигнала с точностью до коэффициента повторяет распределение входного сигнала. При полосе пропускания системы меньшей по сравнению со спектром входного сигнала, система рассматри-
вается как фильтр, который нормализует выходной процесс, т. е. делает его закон распределения близким нормальному [3].
Известно и более строгое решение, базирующееся на разложении распределения входного случайного сигнала на конечное число нормальных распределений. В результате распределение входного сигнала называется поли-гауссовским. Поскольку нормальный закон распределения инвариантен к линейным преобразованиям, то выходной процесс системы рассматривается как суперпозиция нормальных законов разложения, каждый из которых является трансформацией своего входного распределения [4].
Оба решения являются приближенными и затрудняют синтез систем высшего качества. В статье предлагается корректное решение этой задачи.
Одномерная плотность распределения вероятности щ1[2] выходного сигнала ^(0, обладающего эргодическим свойством, определена в виде [2, 5]
1 Т
щ [г ]=Нш—1°[г - г(? )]<*,
т 2Т -Т
я^] /¥, 2 =0; 1
где о[2 ] = < > - дельта-
[0, в остальных случаях функция Дирака [2]; 2 - аргумент плотности вероятности; 2Т -длительность реализации.
Подставив значение г(1) (1) в это выражение, окончательно получим
(5)
Из выражения (5) следует, что одномерное распределение вероятности щ1[2] выходного процесса системы, обладающего эргодическим свойством,
2 і Т Г г
^і2] = |А1 ^]й^ = Нт— 11 2 - | А1 - v)x(v)dv
•* т2Т •* •*
т2 =
г г
1 ‘2
т
-Т
Контактная информация: 8(347)272-11-62
где 1(г) = 10>(У )(И = -^ц, ^ ^ - единичная
функция [2].
Из выражений (5) и (6) видно, что распределения выходного процесса линейной системы, удовлетворяющие эргодическому свойству, определяются реализацией входного сигнала системы, а не его распределением.
По определению математическое ожидание выходного сигнала [2, 6]
т2 = Ї 2а1[2 ]d2.
Подставив в это выражение значение (2) и поменяв последовательность интегрирования, получим
1 Т \ ¥
= йт 2? У і25
2 - | а(і - V)dv
d2 ^dí.
С учетом фильтрующего свойства дельтафункции о[.] [2]
Ііт -? { а(і - v)x(v)dv
т, = —
т®¥ 2Т
Поменяв вторично порядок интегрирования, и, учитывая эргодическое свойство входного сигнала х(г) системы, окончательно будем иметь
‘ Г 1 ?
т = | А(г - V) Ііт— |x(t)аі
Т ®¥ 2Т
dv =
(7)
і
= | а(і - V )тха^ = £т_с.
При выводе выражения (7) учтено, что для переходной функции физически реализуемой инерционной системы к(0) = 0, а й(да ) = к.
Полученное выражение (7) полностью совпадает с определением (2).
Аналогично для двумерных плотности распределения вероятности щ2[г1; г2, т12] и распределения вероятности W2[Z1; г2, т12] при конечном т12:
А.
1 ?
,[21; 2 2, т12 ]= Ііт —— | 5 т 2Т -1
х 5
т
г+т1
21 - | а(і - v1 )x(v1 )й^
22 - | А(г + Т12 - V 2 )х(у 2 )dv 2
1т
^ [21; 2 2, Т12 ]= Ііт — | 1
т ®¥ 2т %
21 - | а(і - v1 )x(v1 )й^
х1
‘ • Т12
2 2 - | а(і + Т12 - V 2 )x(v 2
2 /•лЛ'/2 Л*у2
¿1. (8)
По определению корреляционная функция Кг(т12) выходного сигнала системы [2, 6]
Я (Т12 )= - тг )(г2 - тг Щ2 ^ Z2, Т12
х 5
¿і >d21d22 =
Подставив в него значение (8) и проделав аналогичные преобразования, получим
(т12 )= | ¡¥(г1 - ктх)(г2 - ктх)х
Г 1 т Г 1 х ^Нш—10 г1 - Iщ(г - V! )х(У1 )^1
[Т2Т-Т [ -¥
г+т12
г2 - | щ(г + Т12 - V2 )x(v 2 )dv
1 Т Г ‘
Мш— | |щ(г- V1 )x(vl )йЧ - кт. т2Т -Г -1
Т _-¥
“т12
| щ(г + т12 - V2 )x(v 2 )<Ь2 - кт = | |Щ(? - V1 Щ(г + Т12 - v2 )х х <^Ип12Т |[х(^) - тх][x(v 2 ) - тх 2 =
г ¿+т12
= | |^ - V1 Щ(г + Т12 - V2 )Кх (V2 - V 2.
х
¿і =
Сравнивая это выражение с определением (3), можно убедиться, что они совпадают при ¿ = ¿1, г + Т12 = ¿2, v1 = Т1 и У2 = Т1.
Взаимные плотность распределения вероятности и распределение вероятности W2[X; г, т] определим как:
А
1 Т
[X;2, т] = Ііт— [5[Х - х(г)]х
Т®¥ 2Т •>
х 5
-т
г+т
2 - | а (г + т - v)x(v)dv
1т
Ж2 [X;2,т] = Нт— [1[Х - x(t)] т®¥ 2Т ■>
x(t )|х
х1
т
г+т
2 - | а (і + т - v)x(v)dv
Можно показать для выражения (9), что
т
Т
х
х
А. И. Заико • Распределения случайного сигнала на выходе линейной системы
159
(т) = | {(X - тх )(2 - т2 А [X; 2, т^2 =
г+т
= | а(і + т - v)Rx (V - і)dv.
Сравнивая его со значением (4) видим, что они совпадают при г = г1, г + т = г2 и V = т2.
Обобщая полученный результат, определим «-мерные плотность распределения вероятности А„[г1; г2, т12;...; Zn, т1п] и распределение вероятности Wn[Z1; г2, т12;...; Zn, т1п] эргодических случайных процессов на выходе системы в виде:
Ап [г1;г2 , Т12 ;...;гп, Т1п ] =
г
1 1
Ііт — |5 21 - | а(і - v1 )x(v1 ^
х 5
х 5
Т
1+т12
22 - | а(і + т12 - V 2 )x(v 2 )<^
х
х
2, - АІ
| а(і + т1И - п )x(vп )^п
¿і;
К [21;2 2, т12;..; 2п, тш ]=
(10)
х1
х1
1 Т
Ііт — I1 21 - | а(і - v1 )x(v1 ^
® ¥ 2Т -Т |_ -¥
1+т12
22 - I а(і + тп - V2 ^(ч2
1+т1п
2п - I а(і + т1п - Vп )x(vп )dх
х
¿і.
На практике реализации х(г) и г(г) случайных сигналов неизвестны и вместо них в полученных выражениях берутся оценки <х(г)> и <г(г)>. Кроме того, длительность 2Г реализации процессов конечна, как и нижний предел интеграла Дюамеля, который обозначим через г0. Поэтому вместо дельта функции 5[.] в выражении (5) воспользуемся одномерной условной плотностью вероятности
А [2Кг(і й= А
2
і
I а(і - ^x(v))¿V
Тогда оценка одномерной плотности вероятности [2]
1 т
(А1(2 )) = — I А1
2
і
I а(і - V ^x(v ))¿V
¿г.
Математическое ожидание т5и,(г) и корреляционная функция Л5и,(гь г2) этой оценки равны:
тА (2 )= (А1 [2]- А1 [2] =
= £ 11*1
Я5а (2„ 2 2 ) =
л Т т
= «рг11
I а(і - VXx(v)¿V
- а [2]Ш;
11 I а(і1 - ^ Xx(хl )}dvl,
А2 А, 1^г 10 І2
I а(і2 - X 2 XХ(X 2 ))^ 2 10
dt1dt 2
Аналогично находятся характеристики погрешностей для оценок двумерных плотностей распределений вероятностей <а2[21; 22, т12]> и <W2[X; 2, т]>.
Согласно определению (10) оценка п-мерной плотности распределения вероятности <а„[2ь 22, т-;...; 2п, т1„]> при |т-| < |т1з| <...< |тх„|
{Ап [21;2 2, т-;...; 2п, тш ] =
Т -| т1п
I
А„
7 7 7
1 2 п
і
I а(і - v1 X^ ))dV1,
г+1 т12 [ АІ 10 г+| т1й
I + |т,2| - v 2 X ^ 2 ))dv 2 ,...,
10
I т1п |
I а(і + Ы - Vп Xx(vп ))^
¿г.
Математическое ожидание т0м(21; Z2, т12;...; Zn, т1п) и корреляционная функция Л5и,(гП; г21,
Т12-1;---; Т1п-1; г12; Z22, Т12-2;---; Zn2, Т1п-2) этой
оценки равны:
т5„ (Zl;Z 2, Т12;-; Zn, тш )=
=1^п [Zl;Z 2, т12;-; Zn, тш ^- ™п [Zl;Z 2, тп;-; Zn, тш ]=
г
1
Т Ч т1п
(2Т - |тщ|)
I а(і - vl X x(vl)) ^
г0
I а(і + Ы - V 2 XХ(V 2 ))^ 2 ,■■■■,
і+І т1п
I а(і + Ы - V „ XХ(V » ))^ п
10
- а [21;2 2, т12;...; 2„, т1„ ]}*;
В-5а (211; 2 21, т121;...; 2п1, т1п1; 712; 2 22, т12-2;...; 2п2, т1п.2 ) =
= _________________1_________________
= (2Т - |тм |)(2Т -| тщ.2І)Х
1п
-т
I
А
п
Т |т1п-11 Т | т1п-2,
х I I {а2п [211, 221,., 2п1, 212 , 222 ,..., 2п
-Т -Т
г1
I а(і1 - хl X^))dvl,
г1 +| т121 А1
I а(і1 + |т12- - х2 )х(У2 ))¿V2 V..;
I
т1п-1І
I а(і + |т1п1 - хп Xх(Уп ))^п ,
г0 г2
I а(і2 - х 1 X 1 ^ ^ 1,
г0
г2 +| т12-2І
I а(і2 + |т12-2| - X 2 Xх(У 2 ))^ 2 ^.^
г0
г 2 +| т1п-21
I а(і2 + |т1п. ^ - Xп )Х(Xп ))^
г0
*1
I а(і1 - х 1 X ^ 1))^ 1,
г1 +| т12- 1 А
г0
г1 +| т1п • 1
I а(і1 + |т 12• і| - X 2 XХ(X 2 ))^ 2 ,...
г0
-.1•11
I а(і1 + К1І - х п )x(хп )dх
2 2 2
12 22 п2
12 2
I а(і2 + |т 12. ^ - X2 )Х(х2 )¿V2 ,...,
г2 +| т12 • 2 А
г0
г2 +| т1п 2
А1
¿г 2.
Аналогично находятся оценки распределений вероятностей и характеристик их погрешностей.
Таким образом, распределение эргодическо-го случайного процесса на выходе линейной инерционной системы определяется ее фильтрующим свойством и реализацией входного сигнала. Другими словами, располагая реализацией входного сигнала и динамическими характеристиками системы с помощью полученных в работе выражений можно найти распределения и моментные характеристики выходного сигнала системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Заико А. И. Точность аналоговых линейных измерительных каналов ИИС. М.: Изд-во стандартов, 1987. 136 с.
2. Заико А. И. Теория систем. Стохастические модели. М.: Изд-во МАИ. 2005, 196 с.
3. Левин Б. Р. Теоретические основы статистический радиотехники. М.: Советское радио, 1974. Кн. 1. 552 с.
4. Статистическая теория связи и ее практические приложения / Под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь, 1979. 288 с.
5. Заико А. И. Определения и алгоритмы измерения характеристик эргодических процессов // Метрология. 2003. № 4. С. 3-15.
6. ГОСТ 21878-76. Случайные процессы и динамические системы. Введ. 01.07.77 г. М.: Изд-во стандартов, 1976. 30 с.
ОБ АВТОРАХ
Заико Александр Иванович, проф. каф. теоретич. основ электротехники. Дипл. инж. электронной техники (УАИ, 1970). Д-р техн. наук по информац.-измерит. системам (ЛЭТИ, 1990). Заслуж. изобретатель РБ и РФ. Дейст. член Международ. инж. акад. Иссл. в области метрологич. обеспечения, анализа и синтеза информац.-измерит. систем и измерения случайных процессов.
і
0
