Научная статья на тему 'Распределения случайного сигнала на выходе линейной системы'

Распределения случайного сигнала на выходе линейной системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
186
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНЕРЦИОННАЯ СИСТЕМА / СЛУЧАЙНЫЙ СИГНАЛ / РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ВЫХОДЕ / INERTIONAL SYSTEM / RANDOM SIGNAL / DISTRIBUTIONS AT THE OUTPUT

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Заико Александр Иванович

Получены выражения для определения распределений эргодического случайного сигнала на выходе линейной инерционной системы по реализации входного сигнала.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Distributions of a random signal at the linear system output

Expressions are derived for the determination of distributions of an ergodic random signal at the output of the inertial linear system on the realization of an input signal.

Текст научной работы на тему «Распределения случайного сигнала на выходе линейной системы»

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА, РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

УДК 681.51.01:519.856

А. И.Заико

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Получены выражения для определения распределений эргодического случайного сигнала на выходе линейной инерционной системы по реализации входного сигнала. Инерционная система; случайный сигнал; распределение на выходе

Нахождение характеристик сигнала на выходе системы по известным параметрам входного сигнала и характеристикам системы является весьма распространеной задачей анализа.

В установившемся режиме сигнал г(^) на выходе системы описывается интегралом Дюамеля [1, 2], который иногда называют сверткой,

г(і) = | а(і - v)x(v)dv,

(1)

где х(0 - входной сигнал, а щ(0 - импульсная переходная характеристика системы; ^ - текущее время.

Из выражения (1) следует, что для эргодиче-ских случайных процессов на входе системы с математическим ожиданием тх и корреляционной функцией Кх(^2 - ¿1) математическое ожидание тг, корреляционная Кг(^2 - ¿1) и взаимо-корреляционная Кх^2 - ¿1) функции выходного сигнала равны [1, 2]:

| а(? - т)т^т = ктх;

(2)

({2 - ¿1 )= | | щ({1 - Т1 М*2 - Т 2 )Кх (т 2 - Т1 )йМТ 2;

(3)

¿2

Кхг (¿2 - ¿1 )= | щ(?2 - Т 2 )Кх (т 2 - ¿1 К 2 , (4)

где к - коэффициент усиления системы.

Аналогичные соотношения для распределений выходного сигнала отсутствуют. Известно лишь следующее. Если полоса пропускания системы существенно шире спектра входного сигнала, то она рассматривается как усилитель входного сигнала и распределение выходного сигнала с точностью до коэффициента повторяет распределение входного сигнала. При полосе пропускания системы меньшей по сравнению со спектром входного сигнала, система рассматри-

вается как фильтр, который нормализует выходной процесс, т. е. делает его закон распределения близким нормальному [3].

Известно и более строгое решение, базирующееся на разложении распределения входного случайного сигнала на конечное число нормальных распределений. В результате распределение входного сигнала называется поли-гауссовским. Поскольку нормальный закон распределения инвариантен к линейным преобразованиям, то выходной процесс системы рассматривается как суперпозиция нормальных законов разложения, каждый из которых является трансформацией своего входного распределения [4].

Оба решения являются приближенными и затрудняют синтез систем высшего качества. В статье предлагается корректное решение этой задачи.

Одномерная плотность распределения вероятности щ1[2] выходного сигнала ^(0, обладающего эргодическим свойством, определена в виде [2, 5]

1 Т

щ [г ]=Нш—1°[г - г(? )]<*,

т 2Т -Т

я^] /¥, 2 =0; 1

где о[2 ] = < > - дельта-

[0, в остальных случаях функция Дирака [2]; 2 - аргумент плотности вероятности; 2Т -длительность реализации.

Подставив значение г(1) (1) в это выражение, окончательно получим

(5)

Из выражения (5) следует, что одномерное распределение вероятности щ1[2] выходного процесса системы, обладающего эргодическим свойством,

2 і Т Г г

^і2] = |А1 ^]й^ = Нт— 11 2 - | А1 - v)x(v)dv

•* т2Т •* •*

т2 =

г г

1 ‘2

т

Контактная информация: 8(347)272-11-62

где 1(г) = 10>(У )(И = -^ц, ^ ^ - единичная

функция [2].

Из выражений (5) и (6) видно, что распределения выходного процесса линейной системы, удовлетворяющие эргодическому свойству, определяются реализацией входного сигнала системы, а не его распределением.

По определению математическое ожидание выходного сигнала [2, 6]

т2 = Ї 2а1[2 ]d2.

Подставив в это выражение значение (2) и поменяв последовательность интегрирования, получим

1 Т \ ¥

= йт 2? У і25

2 - | а(і - V)dv

d2 ^dí.

С учетом фильтрующего свойства дельтафункции о[.] [2]

Ііт -? { а(і - v)x(v)dv

т, = —

т®¥ 2Т

Поменяв вторично порядок интегрирования, и, учитывая эргодическое свойство входного сигнала х(г) системы, окончательно будем иметь

‘ Г 1 ?

т = | А(г - V) Ііт— |x(t)аі

Т ®¥ 2Т

dv =

(7)

і

= | а(і - V )тха^ = £т_с.

При выводе выражения (7) учтено, что для переходной функции физически реализуемой инерционной системы к(0) = 0, а й(да ) = к.

Полученное выражение (7) полностью совпадает с определением (2).

Аналогично для двумерных плотности распределения вероятности щ2[г1; г2, т12] и распределения вероятности W2[Z1; г2, т12] при конечном т12:

А.

1 ?

,[21; 2 2, т12 ]= Ііт —— | 5 т 2Т -1

х 5

т

г+т1

21 - | а(і - v1 )x(v1 )й^

22 - | А(г + Т12 - V 2 )х(у 2 )dv 2

^ [21; 2 2, Т12 ]= Ііт — | 1

т ®¥ 2т %

21 - | а(і - v1 )x(v1 )й^

х1

‘ • Т12

2 2 - | а(і + Т12 - V 2 )x(v 2

2 /•лЛ'/2 Л*у2

¿1. (8)

По определению корреляционная функция Кг(т12) выходного сигнала системы [2, 6]

Я (Т12 )= - тг )(г2 - тг Щ2 ^ Z2, Т12

х 5

¿і >d21d22 =

Подставив в него значение (8) и проделав аналогичные преобразования, получим

(т12 )= | ¡¥(г1 - ктх)(г2 - ктх)х

Г 1 т Г 1 х ^Нш—10 г1 - Iщ(г - V! )х(У1 )^1

[Т2Т-Т [ -¥

г+т12

г2 - | щ(г + Т12 - V2 )x(v 2 )dv

1 Т Г ‘

Мш— | |щ(г- V1 )x(vl )йЧ - кт. т2Т -Г -1

Т _-¥

“т12

| щ(г + т12 - V2 )x(v 2 )<Ь2 - кт = | |Щ(? - V1 Щ(г + Т12 - v2 )х х <^Ип12Т |[х(^) - тх][x(v 2 ) - тх 2 =

г ¿+т12

= | |^ - V1 Щ(г + Т12 - V2 )Кх (V2 - V 2.

х

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

¿і =

Сравнивая это выражение с определением (3), можно убедиться, что они совпадают при ¿ = ¿1, г + Т12 = ¿2, v1 = Т1 и У2 = Т1.

Взаимные плотность распределения вероятности и распределение вероятности W2[X; г, т] определим как:

А

1 Т

[X;2, т] = Ііт— [5[Х - х(г)]х

Т®¥ 2Т •>

х 5

г+т

2 - | а (г + т - v)x(v)dv

Ж2 [X;2,т] = Нт— [1[Х - x(t)] т®¥ 2Т ■>

x(t )|х

х1

т

г+т

2 - | а (і + т - v)x(v)dv

Можно показать для выражения (9), что

т

Т

х

х

А. И. Заико • Распределения случайного сигнала на выходе линейной системы

159

(т) = | {(X - тх )(2 - т2 А [X; 2, т^2 =

г+т

= | а(і + т - v)Rx (V - і)dv.

Сравнивая его со значением (4) видим, что они совпадают при г = г1, г + т = г2 и V = т2.

Обобщая полученный результат, определим «-мерные плотность распределения вероятности А„[г1; г2, т12;...; Zn, т1п] и распределение вероятности Wn[Z1; г2, т12;...; Zn, т1п] эргодических случайных процессов на выходе системы в виде:

Ап [г1;г2 , Т12 ;...;гп, Т1п ] =

г

1 1

Ііт — |5 21 - | а(і - v1 )x(v1 ^

х 5

х 5

Т

1+т12

22 - | а(і + т12 - V 2 )x(v 2 )<^

х

х

2, - АІ

| а(і + т1И - п )x(vп )^п

¿і;

К [21;2 2, т12;..; 2п, тш ]=

(10)

х1

х1

1 Т

Ііт — I1 21 - | а(і - v1 )x(v1 ^

® ¥ 2Т -Т |_ -¥

1+т12

22 - I а(і + тп - V2 ^(ч2

1+т1п

2п - I а(і + т1п - Vп )x(vп )dх

х

¿і.

На практике реализации х(г) и г(г) случайных сигналов неизвестны и вместо них в полученных выражениях берутся оценки <х(г)> и <г(г)>. Кроме того, длительность 2Г реализации процессов конечна, как и нижний предел интеграла Дюамеля, который обозначим через г0. Поэтому вместо дельта функции 5[.] в выражении (5) воспользуемся одномерной условной плотностью вероятности

А [2Кг(і й= А

2

і

I а(і - ^x(v))¿V

Тогда оценка одномерной плотности вероятности [2]

1 т

(А1(2 )) = — I А1

2

і

I а(і - V ^x(v ))¿V

¿г.

Математическое ожидание т5и,(г) и корреляционная функция Л5и,(гь г2) этой оценки равны:

тА (2 )= (А1 [2]- А1 [2] =

= £ 11*1

Я5а (2„ 2 2 ) =

л Т т

= «рг11

I а(і - VXx(v)¿V

- а [2]Ш;

11 I а(і1 - ^ Xx(хl )}dvl,

А2 А, 1^г 10 І2

I а(і2 - X 2 XХ(X 2 ))^ 2 10

dt1dt 2

Аналогично находятся характеристики погрешностей для оценок двумерных плотностей распределений вероятностей <а2[21; 22, т12]> и <W2[X; 2, т]>.

Согласно определению (10) оценка п-мерной плотности распределения вероятности <а„[2ь 22, т-;...; 2п, т1„]> при |т-| < |т1з| <...< |тх„|

{Ап [21;2 2, т-;...; 2п, тш ] =

Т -| т1п

I

А„

7 7 7

1 2 п

і

I а(і - v1 X^ ))dV1,

г+1 т12 [ АІ 10 г+| т1й

I + |т,2| - v 2 X ^ 2 ))dv 2 ,...,

10

I т1п |

I а(і + Ы - Vп Xx(vп ))^

¿г.

Математическое ожидание т0м(21; Z2, т12;...; Zn, т1п) и корреляционная функция Л5и,(гП; г21,

Т12-1;---; Т1п-1; г12; Z22, Т12-2;---; Zn2, Т1п-2) этой

оценки равны:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т5„ (Zl;Z 2, Т12;-; Zn, тш )=

=1^п [Zl;Z 2, т12;-; Zn, тш ^- ™п [Zl;Z 2, тп;-; Zn, тш ]=

г

1

Т Ч т1п

(2Т - |тщ|)

I а(і - vl X x(vl)) ^

г0

I а(і + Ы - V 2 XХ(V 2 ))^ 2 ,■■■■,

і+І т1п

I а(і + Ы - V „ XХ(V » ))^ п

10

- а [21;2 2, т12;...; 2„, т1„ ]}*;

В-5а (211; 2 21, т121;...; 2п1, т1п1; 712; 2 22, т12-2;...; 2п2, т1п.2 ) =

= _________________1_________________

= (2Т - |тм |)(2Т -| тщ.2І)Х

1п

I

А

п

Т |т1п-11 Т | т1п-2,

х I I {а2п [211, 221,., 2п1, 212 , 222 ,..., 2п

-Т -Т

г1

I а(і1 - хl X^))dvl,

г1 +| т121 А1

I а(і1 + |т12- - х2 )х(У2 ))¿V2 V..;

I

т1п-1І

I а(і + |т1п1 - хп Xх(Уп ))^п ,

г0 г2

I а(і2 - х 1 X 1 ^ ^ 1,

г0

г2 +| т12-2І

I а(і2 + |т12-2| - X 2 Xх(У 2 ))^ 2 ^.^

г0

г 2 +| т1п-21

I а(і2 + |т1п. ^ - Xп )Х(Xп ))^

г0

*1

I а(і1 - х 1 X ^ 1))^ 1,

г1 +| т12- 1 А

г0

г1 +| т1п • 1

I а(і1 + |т 12• і| - X 2 XХ(X 2 ))^ 2 ,...

г0

-.1•11

I а(і1 + К1І - х п )x(хп )dх

2 2 2

12 22 п2

12 2

I а(і2 + |т 12. ^ - X2 )Х(х2 )¿V2 ,...,

г2 +| т12 • 2 А

г0

г2 +| т1п 2

А1

¿г 2.

Аналогично находятся оценки распределений вероятностей и характеристик их погрешностей.

Таким образом, распределение эргодическо-го случайного процесса на выходе линейной инерционной системы определяется ее фильтрующим свойством и реализацией входного сигнала. Другими словами, располагая реализацией входного сигнала и динамическими характеристиками системы с помощью полученных в работе выражений можно найти распределения и моментные характеристики выходного сигнала системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Заико А. И. Точность аналоговых линейных измерительных каналов ИИС. М.: Изд-во стандартов, 1987. 136 с.

2. Заико А. И. Теория систем. Стохастические модели. М.: Изд-во МАИ. 2005, 196 с.

3. Левин Б. Р. Теоретические основы статистический радиотехники. М.: Советское радио, 1974. Кн. 1. 552 с.

4. Статистическая теория связи и ее практические приложения / Под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь, 1979. 288 с.

5. Заико А. И. Определения и алгоритмы измерения характеристик эргодических процессов // Метрология. 2003. № 4. С. 3-15.

6. ГОСТ 21878-76. Случайные процессы и динамические системы. Введ. 01.07.77 г. М.: Изд-во стандартов, 1976. 30 с.

ОБ АВТОРАХ

Заико Александр Иванович, проф. каф. теоретич. основ электротехники. Дипл. инж. электронной техники (УАИ, 1970). Д-р техн. наук по информац.-измерит. системам (ЛЭТИ, 1990). Заслуж. изобретатель РБ и РФ. Дейст. член Международ. инж. акад. Иссл. в области метрологич. обеспечения, анализа и синтеза информац.-измерит. систем и измерения случайных процессов.

і

0

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.