Алгоритм идентификации с переходом в пространство параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.714.2

АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ С ПЕРЕХОДОМ О ПРОСТРАНСТВО ПАРАМЕТРОВ

С.С. Гусев, В.М. Чадеев

Рассмотрен алгоритм идентификации статического объекта в случае, когда ошибка измерения выхода объекта приводит к выходу оценок параметров за допустимую область с некоторой вероятностью р, и в случае больших ошибок, когда эта вероятность равна нулю. Дан анализ связи ошибок измерения и вероятного распределения ошибки определения параметров.

Ключевые слова: идентификация, ограничения, статический объект, оценки параметров, ошибка измерения выхода.

ВВЕДЕНИЕ

Качество идентификации объекта управления в большой степени определяет и качество управления сложным объектом. Значительную роль играет учет априорной информации о структуре и параметрах объекта. В статье исследуется работа специального алгоритма идентификации, учитывающего априорную информацию о параметрах объекта и требующего большого объема вычислительных ресурсов. Однако в наше время такие объемы вполне доступны большинству пользователей. Исследуется работа алгоритма при наличии ошибки измерения выхода. Анализируется связь точности идентификации и ошибки измерения.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим алгоритм идентификации, учитывающий априорную информацию о параметрах объекта. Будем рассматривать объект вида

т

у = хк ,

(1)

где у — скалярный выход объекта, х — вектор-строка входных переменных размерности п, h — вектор-строка неизвестных параметров объекта тоже размерности п. Дополнительно об объекте (1) известно, что параметры h принадлежат априорно известной области Н, т. е.

Задача состоит в том, чтобы по экспериментальным данным, заданным в виде матрицы

А =

1 х11 х12 . . х1п У1

2 х21 2 2 х2 . х2п У2

і хі1 хі2 . . хіп Уі

V 5 хЛ xs2 . . хвп уі у

(3)

определить оценки параметров h с учетом условия (2).

2. АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Из матрицы исходных экспериментальных данных (3) выделим матрицу входов размером п х 5

( \ х11 х12 ... х1п х21 х22 ... х2п

V хЛ х$2 ... xsn

к є Н.

(2)

и матрицу выхода У = (ур у2, ..., у^) размером 1 х 5.

Предполагается, что строки матрицы X линейно независимы. Если в исходных данных есть линейно зависимые строки, то их необходимо удалить до применения алгоритма, сократив число данных. Это условие означает, что определитель матрицы, составленный из любых п строк матрицы X, не равен нулю.

Алгоритм идентификации, подробно описанный в работе [1], состоит в следующем. Из матрицы исходных данных (3) выбираются блоки из произвольных п строк (по размерности объекта). Для каждого блока составляется своя система уравнений. Соответствующая первому из таких блоков система уравнений имеет вид:

*1*11 + к2Х12 + ... кпХ1п = Уі

*1*21 + *2*22 + ... *пХ2п = У 2

к1Хп1 + *2Хп2 + ... кпХпп = Уп

где к — оценки параметров объекта ^ или в мат-

т

ричном виде Хк = У.

Умножая левую и правую части этого равенст-т

ва слева на X , получим систему нормальных уравнений

ХтХкт = ХтУ,

(4)

из которой методом наименьших квадратов вычисляются оценки параметров объекта (1).

Из матрицы (3) можно получить С" таких

п-мерных блоков, для каждого из которых строится свой вектор оценок параметров объекта (1). Все эти оценки параметров собраны в матрицу В, содержащую С" строк и 2п столбцов и имеющую вид

где

В =

ь = сп.

11 12

... а

1 п к11 к12 ... к1 п

а21 а22 ... а2п к21 к22 ... к

aL1 aL2

2п

... aLn kL1 kL2 ... kLn )

(5)

В любой строке матрицы В в первых п позициях перечислены номера строк а., матрицы А (і — ноу

мер строки матрицы В, і = 1, 2, ..., Ь), j — номер строки матрицы А, j = 1, 2, ..., я)), использованных для вычисления п оценок к.., вычисленных по этим строкам и расположенных в матрице (5) на последних п позициях. Априорное условие (2) учитывается путем вычеркивания из матрицы (5) всех строк, в которых оценки к не удовлетворяют условию к є Н, где к = (кг1, кй, ..., кп), і = 1, 2, ..., Ь.

В результате вычеркивания получается матрица

В0 =

а

11 а12 21 а22

1 п к11 к12 2п к21 к22

1п

2п

к є Н,

V аШ а№2 ... аЫп к№1 к№2 ... кЫп )

где N т ь.

т

Введем вектор ^ = (^(1), и^(2), ..., м>(я)), размерности я, где ^(у) — частота использованияу-й строки матрицы А в матрице В0.

Введем матрицу Д отличающуюся от матрицы А тем, что в нее добавлен вектор-столбец w

w(1) 1 Х11 Х12 ... Х1п У1

W(2) 2 Х21 Х22 ... Х2п У2

w(я) я ХЛ Х^2

Последний шаг алгоритма состоит в том, что строки матрицы ¥ сортируются по первому столбцу так, чтобы значения ^(./) возрастали снизу вверх. Обозначим полученную таким образом матрицу через ¥0.

Оператор, реализующий описанный алгоритм, обозначим через ¥. Он преобразует матрицу исходных данных А в матрицу данных, отсортированную по частоте использования строк в матрице В0, учитывающей априорные условия к. е Н. Это можно записать как ¥0 = ¥{А}, к. е Н.

Рассмотрим некоторые свойства оператора ¥, позволяющие существенно повысить точность идентификации.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Докажем, что оператор ¥ преобразует матрицу исходных данных (3) таким образом, что данные с большими ошибками измерения с большой вероятностью оказываются внизу блока данных. Это позволяет отбросить часть данных с большими ошибками и использовать для идентификации только отфильтрованные данные.

Предположим, что входные переменные х измеряются без ошибок, а выход у — с ошибкой е. Рассмотрим несколько основных случаев.

3.1. Большие ошибки

Предварительно введем некоторые определения.

Будем называть ошибку измерения конкретного выхода у. большой, если при использовании этого выхода в любом п-мерном блоке оценки к £ Н.

Теорема 1. Если в матрице исходных данных (3) точно в т произвольных строках выход у измеряется с большой ошибкой, а в остальных без ошибки, и выполняется условие 5 > п + т, то в результате применения оператора ¥ все строки с ошибкой окажутся внизу матрицы ¥0, по верхним 5—т—п строкам этой матрицы могут быть получены точные оценки параметров объекта (1). ♦

Доказательство.

Заметим, что из общего числа С” строк матрицы (5) только С”_ т строк не будут содержать ошибочных выходов. Только эти строки войдут в матрицу В0. Каждая строка в этой матрице будет

встречаться С”_ т-1 раз. Строки с ошибками (по определению большой ошибки) в матрицу В0 не войдут и, следовательно, значение ц> для этих строк будет равно нулю. Поскольку оператор ¥ сортирует строки по частоте м>, то это и доказывает утверждение. ♦

3.2. Общий случай

Рассмотрим теперь случай, когда ошибка измерения выхода у приводит к выходу оценок за область Н только с некоторой вероятностью р для всех п-мерных блоков, в который вошел этот выход у. Ранее, при больших ошибках, эта вероятность была равна единице.

Пусть среди всех 5 строк матрицы исходных данных (3) только два произвольных измерения выхода сделаны с ошибкой. Для краткости будем называть п-мерный блок, не содержащий строки с ошибочными измерениями, чистым, а содержащий — ошибочным. Ссылки на п-мерный блок и однозначно ему соответствующую строку в матрице В будем использовать одновременно.

Теорема 2. Если среди исходных данных (3) есть только два измерения выхода у. и у., сделанных с ошибками, которые приводят к выходу оценок за область Н с вероятностью р. и р. (для определенности р. > р.) соответственно, то в результате применения

. У

оператора ¥ в среднем будут выполняться неравенства т(к) > м() > w(i), к ^ і, к ^ у. ♦

Доказательство приведено в работе [2].

Подчеркнем, что последовательность строк, задаваемая условиями теоремы 2, выполняется только в среднем, а не в каждом конкретном случае.

3.3. Редкие ошибки

Если в объекте типа (1) входные х и выходные у переменные редко измеряются с ошибками, то рассмотренный алгоритм идентификации при соблюдении некоторых условий дает возможность по экспериментальным данным (3) точно определить неизвестные параметры h.

Теорема 3. Если матрица исходных данных А содержит точно т переменных (входных или выходных), измеренных с ошибкой, то параметры объекта (1) могут быть определены точно при условии 5 > п + т + I, где 11 1. ♦

Доказательство. В наихудшем случае все т ошибок будут распределены по разным строкам матрицы исходных данных (3). Соответственно ос-

тавшиеся, по крайней мере, (п + I) строк не будут содержать ошибок. Следовательно, построенные по этим строкам оценки будут точными. В каких именно строках не было ошибок, заранее не известно. Но матрица (5) будет содержать С”+ / строк, в которых векторы оценок к будут совпадать. Совпадающие оценки и будут точными параметрами объекта. ♦

4. СВЯЗЬ ОШИБКИ И ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При реализации описанного алгоритма промежуточные оценки вычисляются по методу наименьших квадратов с помощью формулы Крамера к. = \и.\/\и|, / = 1, 2,..., п, где \и\ = \ХТХ| — определитель системы нормальных уравнений (4), 1и)\ — определитель, который получается из определителя матрицы и заменой /-го столбца столбцом свободных членов системы нормальных уравнений (4).

При наличии ошибок измерения выхода оценки можно представить в виде [3] к. = \иЦ\/\ и \ = к. + + \иЕ\/\и \, где и — матрица, содержащая ошибку е в ]-м столбце, или

к. = к. + е\В. \/и, (6)

где \В..\ — минор матриц и, не содержащий ошибок измерения выхода.

Ошибка оценки параметров Ак. = к. — к. и ошибка измерения выхода е связаны, как следует из формулы (6), следующим образом:

Ак = -е\Вц\/\и \.

Вероятностное распределение ошибки определения параметра Ак будет таким же, как и распределение ошибки е измерения выхода с точностью до не зависящего от помехи коэффициента \В..\/\и \.

Если Де) — плотность вероятности распределения центрированной ошибки измерения выхода (М{е} = 0), то среднее значение ошибки определения параметра объекта будет определяться формулой

I В I

М{Ак} = - Г Де)е Н|

ЕЙ С

и, очевидно, равно нулю.

Дисперсия ошибки определения параметра

)е |Ц| ‘к

= - Г Де).

ЕЙ й

.2 \Щ‘

йЕ.

Рассмотрим случай, когда априорно известная область существования параметров Н представляет собой параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат в пространстве параметров. Ошиб-

Распределение ошибки оценки

ка измерения выхода имеет центрированное нормальное распределение N(0, а). Для оценок параметров используются блоки по п произвольных строк исходных данных, в которых только один выход измеряется с ошибкой. Рассмотрим два блока данных, отличающихся тем и только тем, что в одном случае ошибка измерения выхода имеет распределение N(0, а1), а в другом N(0, а2). Для определенности а1 > а2. Тогда имеет место следующее утверждение.

При прочих равных условиях, вероятность р1 выхода оценки кза границы области Н в первом случае будет больше вероятности р2 выхода оценки к за границы области Н во втором. Доказательство непосредственно следует из рисунка.

Дисперсии ошибки измерения выхода е и ошибки оценки АН параметров связаны (в соответствии с формулой (6)) коэффициентом а = —|Д..|/|и|, т. е.

У

дисперсии оценок а1к и а2к вычисляются через дисперсии ошибки измерения выхода по формулам а^ = аа 1 и 02ь = аа2.

Плотность вероятности ошибки определения параметров при ошибке измерения выхода с параметрами N(0, а1) и N(0, а2) и определяется формулами

/i(ki) =

/#2) =

>1h

(h - k1)

(h - k2 ) 2 a k h

CT2 h'J2n

Поскольку априорная область существования оценок в обоих случаях одна и та же, кт-п < кі < ктях,

то для вычисления вероятностей необходимо выполнять интегрирование тоже в одинаковых пределах.

Вероятности выхода оценок за область Н задаются формулами

p1 = 1 p2 = 1

j /i(ki)dh,

min

max

j /2(k2)dh.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрен алгоритм идентификации статического объекта, учитывающий априорную информацию о его параметрах. Алгоритм преобразует блок исходных данных в множество блоков меньшей размерности. Для каждого из этих блоков вычисляются оценки параметров объекта и запоминаются номера строк, использованных для вычисления этих оценок. Оператор, реализующий описанный алгоритм, преобразует матрицу исходных данных в специальную матрицу, учитывающую частоту попадания оценок в область Н. Рассмотрен объект, в котором входные переменные измерялись без ошибки, а выходные — с ошибкой.

Дан анализ связи ошибки измерения выхода с вероятностью выхода оценок параметров за априорно известную область существования параметров объекта. Найдены условия, при которых возможна точная идентификация объекта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чадеев В.М., Илюшин В.Б. Метод идентификации, учитывающий априорную информацию о параметрах объекта // Тр. V междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’06. Москва, 30 января — 2 февраля 2006 г. / ИПУ РАН. — М. — 2006. — С. 1091—1105.

2. Чадеев В.М., Гусев С.С. Идентификация с ограничениями. Определение оценок параметров статического объекта // Тр. VII междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPR0’08. Москва, 28 — 31 января 2008 г. / ИПУ РАН. — М. — 2006. — С. 261—269.

3. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. — М.: Энергия, 1975.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Ф.Ф. Пащенко.

Чадеев Валентин Маркович — д-р техн. наук, ведущий науч. сотрудник, e-mail: [email protected],

Гусев Сергей Сергеевич — аспирант, e-mail: [email protected],

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва, в (495) 334-87-59.

h

h

min

2

2

1

а

e

1

e