ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ТА ПРОБЛЕМА НАСТУПНОСТІ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

© Бозоузк1у М.

ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛ1ЗУ ТА ПРОБЛЕМА НАСТУПНОСТ1

М.В.Босовський, викладач,

Черкаський нащональшй умверситет мБ.Хмельницького,

м.Черкаси, УКРА1НА

Розглядаеться деяК проблеми наступностг у вивчент певних питань математичного анал1зу.

Змют будь-якого математичного курсу в ВНЗ повинен визначатися тими вимогами, яю ставляться перед сучас-ним фахiвцем, у тому чист й перед учителем математики. Стандарт вищо'1 осв^и сприяе визначенню обсягу знань, умшь, а також погодженосп у деталь-ностi в вимогах до тдготовки учителя математики.

В юторп викладання математичного аналiзу в педагогичному вузi проблема взаемозв'язку шкiльного курсу математики i вузiвських математичних курсiв дослiджуються зазвичай у двох напрямках: в першому - взаемозв'язок розкриваеться в рамках наступносп (Т.Р.Талаганов, 1.1.Пропанов, €.LСмiр-

нов i iн.), а в другому - взаемозв'язок розглядаеться в аспектi професшно'1 спрямованостi (О.МАстряб, А.М.Колмогоров, А.Г.Мордкович i iн.). Перша проблема породжена шкiльним курсом математики на етат входу до вузiвськоi системи навчання, а друга - на етат виходу i зумовлюеться майбутньою професшною дiяльнiстю.

Отже, проблема взаемозв'язку спец дисциплш з шкшьним курсом математики в педвузi мае двохаспектний характер, на вщм^ вiд iнших ВНЗ, де питання наступностi i професшно'1' спрямованосп визначаються iзольовано. Зображено схематично на рис. 1.

Реалiзацiя наступносп мiж шкшь-ним i вузiвським курсом математики може здiйснюватись у двох напрямах. Перший з них пов'язаний з опорою нового змюту на вже засвоений змют на попередньому етат навчання, i тодi мае мюце зв'язок матерiалу, що вивчаеться у вузi, з матерiалом, який вивчався у школь Тому для першого напряму доцшьно сумiсне дослiдження питань повторення i наступностi. Другий напрям здiй-

Рис.1

снюеться, коли змiст на даному етат навчання готуе учнiв до устшного оволо-дiння матерiалом на подальших етапах, тобто мае мiсце зв'язок матерiалу, що вивчаеться в школ^ з матерiалом, який мае вивчатись у вузь I тодi функци нас-тупностi наближаються до функцш пропедевтики. Звернемося до наочно'1' штер-претаци висловлених положень (рис. 2).

HacTynHicTb (Пропедевтика)

Шкiльний курс математики Курс математичного aнaлiзy в ВНЗ

Наступшсть (Повторення)

Вибiр напряму залежить вщ того, що визначаеться як об'ект дослiдження: процес навчання курсу математики в школi або процес навчання курсу математичного аналiзу у вузi.

Вище було вiдмiчено, що наступ-ностi вимагае повторення. При вивченш курсiв, рiзнi частини яких пов'язаш зi шкiльним курсом математики, перюдич-не пригадування ранiше засвоених вщо-мостей мае велике значення для мщного запам'ятовування i встановлення асоща-тивних зв'язкiв мiж поняттями, що вив-чаються, i рашше закрiпленими в пам'ятi. Регулярна перевiрка шформацп, що зберiгаеться в довготривалш пам'ятi студента, дозволяе своечасно виявити i усунути спотворення, з якими ця iнформацiя закрiпилася в пам'ять Спот-ворення звичайно виражаються в неправильному розумшш понять та 1'х зв'язкiв i зумовленi рiзними причинами. По-перше, причини можуть бути в самому учнi - коли, не дивлячись на бездоганний виклад матерiалу, у нього утворю-ються спотвореш поняття; наприклад, через неуважнiсть учня при вивченнi нового матерiалу або iз-за витiснення з його свщомосп наукових уявлень про поняття житейськими, яю не завжди узгод-жуються. По-друге, причини можуть i не залежати особисто вiд студента - коли виклад матерiалу побудований навмисне неточно: наприклад, коли через вiковi особливосп мислення учнiв не вс математичнi поняття формулюються в школi на прийнятому науковому рiвнi.

Повторення шкшьного курсу математики у вузi повинне забезпечувати неперервний розвиток системи понять. Тобто, повинно мати мюце не повторення заради самого повторення, а збере-

Рис. 2

ження шформацп на вищому рiвнi. Для цього доцшьно на лекцiях, практичних заняттях по можливосп бiльше посила-тися на вiдомi зi школи теореми, прикла-ди, що дозволяе студентам краще зрозумь ти новий математичний факт або з вищого щабля зм^у поглянути на вже вiдомий.

Подiбнi посилання не принесуть корисп, якщо студент не твердо знае вщ-повiдний матерiал зi шкшьного курсу. Щоб у навчаннi викладач мг спиратися на мшкiльнiм знання студенпв, йому необхщ-но бути добре пошформованим про цi знання. Вщмггимо, що для цього знати стандарт або яю-небудь програми недостатньо з кшькох причин. По-перше, оскiльки в сучасних умовах навчальнi заклади надшет широкими правами у виборi власних програм навчання предме-т1в, зокрема математики, тому таких програм розроблено чимало i вивчити все е неможливим, тим паче, що багато яю з цих програм е експериментальними i вимагають перевiрки часом. По-друге, вiдмiнностi у знаннях студент1в обумов-ленi i суб'ективними причинами: через iндивiдуальнi вiдмiнностi навт одну i ту ж програму навчання не всi учнi засвою-ють однаково. Не несуть вичерпжй iнфор-мацii про знання студенпв елеменпв математичного аналiзу i вступнi iспити, оск1ль-ки вони перевiряють математичну пiдго-товку абiтурiента взагалi. Тому на початку навчання у вузi для рацiональноi оргат-зацii повторення необхiдна додаткова дiаг-ностика знань студент1в з питань математичного аналiзу, що вивчаються в школ1.

Вся iсторiя пщготовки вчителя математики показуе виняткову важлив^ь професiйно-педагогiчноi спрямованост1 навчання усiх математичних дисциплiн. Пiд професiйною спрямованiстю курсу

математичного анатзу звичайно розумши пов'язання викладання з профшем май-бутнього фахiвця, тобто, згщно iз цим виз-наченням, курс математичного аналГзу, призначений для вчтетв, повинен вщрГз-нятися вiд курсу математичного аналГзу, призначеного, наприклад, для iнженерiв.

Виходячи з реально! практики, коли бшьшють середнiх шкiл е багато-профiльними, а однi i т ж вчителi працю-ють в класах рiзних напрямiв, матема-тична пiдготовка вчителя повинна бути достатньою для того, щоб вести викладання на будь-якому рiвнi строгостi i в класi будь-якого профшю. Рiзноманiтнiсть пщ-ходiв до викладу навчального матерiалу, пiдручникiв, навчальних програм (зокре-ма, !х постшне оновлення) приводить до висновку, що в педвузi повинна бути забезпечена така математична пщготовка, яка б дозволила: вести викладання в умо-вах програм, що змiнюються, ощнювати якiсть рiзних пiдходiв до викладу математики в школi i слщувати оптимальному. Крiм того, як помiчае М.Я.Вшенкш [2], вчитель повинен з'ясувати взаемний зв'язок висловлюваних ним понять, воло-дiти аксiоматичним методом, умгги роз-в'язувати шкiльнi завдання будь-якого рiвня складностi, умiти ощнювати рiзнi способи розв'язання задач, умгги працювати з ЕОМ в режим користувача Г бути обГзнаним в ютори науки.

З наведених вимог ясно, що з трьох лЫй математичного курсу (логична або щейна, формально-оперативна Г приклад-на) для вчителя найбшьш важлива щей-на. Вчителю просто необхщно розумГти суть основних математичних понять Г методГв, закономГрностей Г загальних тенденщй розвитку математики. Це не значить, що в математичному кура для педвузГв слщ залишити тшьки щейну сторону. Обов'язково тут повинш бути представлен Г формально-оперативний Г прикладний аспекти, особливо, якщо це торкаеться питань Г понять, яю вже внесет або можуть бути внесет до шкшьно! математики.

Вщносно математичного аналГзу

виконання ц1е1 вимоги стикаеться з великими труднощами. "Всякий, хто брався за вивчення цiеi науки або за ii викладання, знае, як важко бувае переконливо роз'яснити смисл понять, що вводяться, i операцш. Ще важче бувае формалiзувати уявлення про дане поняття, звiльнити його вщ штугтивних елементiв сприйняття. Таке положення виникае, наприклад, при роздумах про нескшченно малi величини" [4], а також про границю послщовносп, границю функци, неперервнiсть функци.

Курс математичного аналiзу е традицiйним для педагогичного вузу, i тому до тепершнього часу накопичений чималий досвщ з питань його викладання. Дшча програма з курсу математичного аналiзу [6] мiстить роздiл "Вступ до анна-лiзу". Цей роздiл е одним з головних у педвузi i вiдрiзняеться вiд втузiвського тим, що там вш вiдiграе другорядну роль. Якраз у цьому роздш отримують свою наукову платформу поняття: дшсне число, функцiя, границя i неперервнiсть, якi на тому чи iншому рiвнi вивчались у школь

Вивчення поняття "границя" не е самоцшлю в загальноосв^нш школ^ а служить лише засобом для введення по-хщнот В математицi юторично склалося декшька способiв визначення границт

1. Початкове, iнтуiтивне уявлення про границю змiнноi величини х, як про ту, що самостшно змiнюеться в часi величини, неперервно "прямуючо'Г до границ х0 використовували математики 17-18 сто-лiть. Змша змшно1' величини х викликае зшну величини y = f (х). Не дивлячись на всю не стропсть такого означення можна вiдзначити, принайми, двi його перенваги: воно вщображае математику змшних величин, що описуе процеси; воно дае загальне уявлення про границю, в яке вкладаеться границя послщовносп, границя функци в точщ i границя функци на несюнченносп.

2. Точне математичне формулю-вання, яке дае наочне уявлення про те, що "прямуе", або "наближаеться" до

(Г29)

постшного значення, якщо X "тече" до х0, дае означення границ на мовi "£-8", пов'язане з iм'ям Кошi. На вщмшу вiд першого означення воно статичне, воно не спираеться на штугтивне поняття руху. Але, не дивлячись на коректшсть означення в термшах " £ - 8" з його введенням кожен рiзновид границi (границя послiдовностi, границя функцп в точцi, одностороннi границi) вимагае його видозмши. Звiдси така кшьюсть означень границь рiзного типу в рiзних курсах математичного аналiзу.

3. Означення гранищ за допомо-гою нескiнченно малоГ. Для цього заздалепдь потрiбно ввести поняття нескiнченно малоГ.

4. Означення границi на осжга поняття направлено! множини, вщоме як означення за Шатуновським-Мором-См> том. Детальний варiант побудови теори границь в школ^ що бере за основу саме це означення, розроблено В.В.Рижковим [4].

Важливою позитивною яюстю названого означення е те, що в ньому дося-гаеться еднiсть означення гранищ для вах його рiзновидiв. Але в той же час, застосування даного тдходу в масову школу ускладнюеться тим, що послаблено теоретико-множинний аспект у вик-ладант математики.

5.Геометричне означення границу що базуеться на понягтi околу: "який би не був окш V числа А, юнуе такий окiл и числа х0, що у е V всякий раз, як тшьки х е и, за виключенням, хiба що тiльки х = х0 " [5, с.36]. Це означення включае всi випадки - границю посль довностi i границю функцц.

6. Окремо слiд видiлити означення границ! функци, вiдоме як означення гранищ за Гейне, в якому передбачаеться наперед вщомим означення послщовносп. Дане означення, таким чином, не може розглядатися як самостшне, i повинно слiдувати тiльки тсля означення границi послiдовностi.

7. Сучасне означення гранищ,

засноване на понятт фшьтру. Введено Анрi Картаном в 1932 рощ.

Слщ звернути особливу увагу що юнуе думка: при вивченш основ математичного аналiзу вщмовитися вiд поняття границi зовсiм. О.С.Ивашев-Мусатов в статт "Про один споаб введення похщноГ" [3], i К.Г.Аракелян в дисертацiйному дослiдженнi [1] показали, що багато тем математичного аналiзу по сутi не вимагають знайомства з границями.

Розумiння поняття границ!, усклад-нюеться тим, що означення границ! "не працюе" в задачах. Вiдбуваеться це тому що, по-перше за своею природою це поняття не алгортмчне, з ним неможливо пов'язати той чи той регулярний алгоритм обчислення. По-друге, використовувати означення для розв'язуння задач (процес часто громiздкий i незручний). Тому використовують таблиц!, формули, власти-восп, ознаки поняття. В цьому криеться небезпека формального засвоення поняття. Вiд тих, хто навчаеться, "зникае" саме поняття, а вони оперують просто з символами. Тому до вправ для студенпв вузу обов'язково потрiбно включати завдання на розкриття змiсту поняття "границя".

Г.Л. Луканкш вiдзначае: "У зв'яз-ку з посиленням прикладног i практично! спрямованостi навчання математищ зростае роль практичних занять ... У викладаннi спецдисциплiн необхiдно переходити вщ етапу, коли завдання, в основному, розглядаються як засiб активного засвоення програмового мате-рiалу, до етапу, коли завдання i вправи виступають як засiб щлеспрямованоГ пiдготовки студентiв до професп вчителя математики. Система вправ повинна мати "шкшьну" спрямовашсть, що вiдображаеться як в змют завдань i вправ, так i у виборi методiв Гх розв'язання " [7, с.27].

Вимоги до системи вправ з математичного аналiзу в педагогiчному шституп для здiйснення професшно-педагопчног спрямованост в навчаннi майбутнiх вчителiв математики серед-

(ш>

ньо! школи сформульоваш в дисертаци А.Е.Мухша[8].

Система вправ повинна сприяти глибокому, повному Г мщному засвоенню знань курсу математичного аналГзу; бездоганному оволодшню його основ-ними поняттями й означениями; вироб-ленню умшь Г навичок застосовувати одержат знання при вивченн шших наук Г в майбутнш професшнш дГяльносп вчителя математики, у застосуванш основних дидактичних принцитвГ мето-дГв навчання до викладання елеменпв математичного аналГзу в штат, в са-мостшному складанш прикладГв Г завдань. Система вправ повинна сприяти розвитку у студенпв ¡нтересу до вивчення математичного аналГзу. КрГм того, в систем вправ треба чпж> дотримуватися наступносп вивчент матерГалу мГж середньою школою Г педагопчним шсти-тутом. Залишилося додати, що система вправ повинна мютити завдання, рГзш за рГвнем складност Г глибиною матерГалу, що вивчаеться. При цьому необхщно, щоб був видшений блок обов'язкових завдань (ядро), умшня виконувати яю е необхщ-ним для кожного студента, Г варГативний блок. Це допоможе спроектувати навчаль-ну дГяльшсть як самому студенту, так Г викладачу. Можливост для реалГзаци профеайно1 спрямованост навчання математичного аналГзу в умовах самостшно1 роботи студенев в педагопчному вузГ вимагають подальших наукових дослщжень.

1. Аракелян К.Г. Методика изучения основтх понятий математического

анализа без использования пределов.(Для школ с углубленном изучением математики): Дис. Канд.. пед. Наук. -Среван, 1989. - 188с.

2. Виленкин Н. Я. Математическая подготовка учителя математики в пединститутах // Совершенствование методической подготовки учителей математики в пединститутах СССР: Матер. Всесоюзн. научи, конф. -К.: КГПИим. А.М.Горького, -1983. - С.60-73.

3. 1вашев-Муратов О. С. Об одном способе введения производной. // Углубленное изучение алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1977. - С. 77-106.

4. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Кн. для учителя. -М. : Просвещение, 1987. - 159 с.

5. Рыжков В.В. Общая точка зрения на понятие предела в школьном курсе математики // Углубленное изучение алгебры и начал анализа. Пособие для учителей (Из опыта работы). -М. : Просвещение, 1977. - С106-129.

6. Програми для ф1зико-математичних факультет1в педагог1чних Шститут1в. Зб1рник № 1 / Кол. автор1в тд загальним кер1вництвом М. I. Шыля та Г. П. Грищенка. - К.:, 1993. - 176 с.

7. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дисс. ...докт. пед. наук в форме научн. докл. - Л., 1989. - 60с.

8. Мухин А.Е. Профессионально-педагогическая направленность курса математического анализа в педагогическом институте и его реализация путем формирования системы упражнений: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02. - М.: 1986. -172 с.

9. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1977 - 280с.

Резюме. Босовский М.В. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТА ПРОБЛЕМА ПРЕЕМСТВЕННОСТИ. В статье рассматривается некоторые проблемы преемственности в изучении определенных вопросов математического анализа.

Summary. Bosovskiy M. ELEMENTS OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND

PROBLEM OF SUCCESSION. The article focuses on the problems of succession in the study of mathematical analysis.

Надшшла до редакцп 18.11.2005р.

<ш)