CC BY
27
УДК 378.1
Вадим ЦАПОВ, Свилана ЦАПОВА ОГЛЯД Р1ЗНИХ П1ДХОД1В ДО ВИКЛАДАННЯ ПОНЯТТЯ ПОХ1ДНО1 В ШК1ЛЬНИХ П1ДРУЧНИКАХ
Наприкiнцi 70-х рок1в у радянськш школi була проведена реформа математично! середньо! освiти. До курсу алгебри були запровадженi елементи початив аналiзу, зок-рема теми гранищ, roхiдноl та iнтеграла. Група вчених тд керiвництвом А. М. Колмогорова створила новий тдручник. Цей тдручник насправд був револю-цiйним. Вш мiстив багато нових понять, а !х викладання вимагало нових методичних розробок вiдносно цих питань. Довгооч^ваний пiдручник А. М. Колмогорова привернув до себе увагу не тшьки шильних учителiв (деяк1 з них не дуже зрадiли необхiднос-л перебудови викладання) та методиспв, але й спецiалiстiв вищо! школи. Було чимало критичних зауважень щодо цього пiдручника — основне невдоволення було у тому, що означення границi, похвдно!, визначеного iнтеграла взял з унiверситетського курсу ма-тематичного аналiзу. Та загалом шк1льний курс — спрощений курс вищо! школи. Голо-внi, найважливiшi вимоги критичних зауважень до авторiв: 1) поняття границi вилучи-ти, 2) поняття похiдноl та iнтеграла — переробити. Серед критичних статей найбшьш ведома стаття академ^ Л. С. Понтрягша у журналi «Комутст», 1980 р. №14.
Полм були виданi тдручники Ш. А. Алiмова, М. I. Башмакова, М. I. Шшля, Н. Я. Вшеншна та iншi.
Наприклад, у пiдручниках А. М. Колмогорова 1980, 1982 рошв видання тема «Границя послвдовносп» викладена у ташй послiдовностi. У п.6° розглядаються не-скiнченнi числовi послiдовностi, зокрема, геометрична прогресiя; полм, у п.7° впрова-джуеться визначення границi послiдовностi через s та N. Доводиться теорема, що якщо |q| < 1, то lim qn = 0. У п.8° визначаеться сума несшнчено! геометрично! прогресп як a
lim Sn = ——. А у А. М. Колмогорова 1976 року видання — це пункти 19-24.
1 - q
Вивчення ще! теми А. М. Колмогоров пропонував у 10 класг Але не всi автори згодш з цим, деяк пропонують вивчати границю на початку 11 класу, а деяк — взагалi не вивчати. Шсля цього автори тдручнишв, як правило, переходять до гранищ функцп. Термiн «границя» та значок lim запроваджент ще Ньютоном. Шдходи до викладання ще! теми теж рiзнi у рiзних авторiв, як i теми «Границя послвдовносп».
У тдручниках А. М. Колмогорова перших видань та М. I. Шшля спочатку даеться визначення границi функцп у точщ за допомогою s та 8. Потiм формулюються теореми про арифметичш операцп над границями. Пiсля цього впроваджуеться поняття непере-рвносл функцп' в точцi (якщо lim f (x) = f (x0)), а полм формулюеться поняття непере-
рвносл функцп на промiжку. Про точки розриву у пiдручниках цих авторiв йдеться мимохвдь.
Науков1 записки. Серш: Педагопка. — №6. — 2002.
61
Зауважимо, що, на нашу думку, критика першого тдручника А. М. Колмогорова була не завжди виправдана. Але свою справу вона зробила, а саме, у подальших видан-нях пiдручника А. М. Колмогорова (1988, 1990, 1993 роив видання й дал1) вiдсутнi слова «границя функцп», «неперервшсть», «точки розриву». Помнимо, що у тдручни-ку Ш. А. Алiмова у визначеннi похвдно! повернено слово «границя» (а у визначент ви-значеного iнтеграла — ш). Але у деяких авторiв спостерiгаeться iнший пiдхiд до впро-вадження цих понять.
Наприклад, у тдручнику М. I. Башмакова немае поняття границi послiдовностi, а також ввдсутнш такий термiн, як «границя функцп», але слово «границя» все ж таки е. У М. I. Башмакова у тдсумковш бесщ за темою «Функщя» розглядаються роздали: 3) Складна функщя; 4) Неявне завдання функцп; 5) Монотоннiсть; 6) Неперервшсть функцп. У шостому роздш неперервнiсть функцп задаеться як ввдсутшсть розривiв, тобто автор, починаючи з монотонних функцiй, пiдводить учнiв до поняття розриву, який може виникнути на стику промiжкiв монотонностi. Крiм того, автор показуе рiз-ницю мiж розривом-стрибком та несюнченним розривом.
Проблема введення поняття границi стопъ не тшьки серед авторiв наших тдруч-ниюв, але й у викладачiв iнших кра1'н. Зокрема, у Липмана Берса (США) у першш чвер-тi першого тому «Математичний аналiз» впроваджуеться границя функцп в точщ, якщо розрив усувний (додаеться природно ще одна точка на графшу), полм вводиться неперервшсть функцп в точцi та на промiжку. I лише у другому томi викладаеться границя послiдовностi. Авторам статп дуже iмпонуе така послвдовтсть викладення матерiалу. Практика доводить, що традицшна для нашо! школи послвдовшсть викладання теорп границь приводить до недостатнього рiвня засвоення учнями теми «Границя послвдов-ностi».
У Н. Я. Вшенюна iнший пiдхiд до викладання цього матерiалу. Вiн починае з не-ск1нченно малих функцш а(х) при х ^ж, дае правила арифметичних дай iз несшн-ченно малими функщями. I лише полм впроваджуе границю функцп' lim f (x) = b, якщо
f (х) = b +а(х). Шсля цього викладаються властивосл функцiй, як1 мають границю, але все це при х ^ж. Полм дае означення неск1нченно велико! функцп.
Зауважимо, що, на нашу думку у тдручнику Липмана Берса «Математичний ана-лiз» дуже слушно наведенi вс невизначеност та визначеностi, як1 виникають при обчи-
сленi границi. Повний перелiк невизначеностей мае вигляд: —,—,0 -ж, ж - ж ,1ж, ж0,00.
0 ж
На думку авторiв, саме з таким перелшом необхiдно знайомити учн1в, навчати 1'х загальним методам розкриття цих невизначеностей (принаймш це стосуеться учнiв профшьних математичних класiв). Практика свiдчить, що поряд iз перелiком невизначеностей, учшв необхiдно знайомити з основними визначеностями. Цей довiдковий ма-терiал дозволяе учням бiльш усп1шно справлятися iз завданнями на обчислення границ функцп.
62
Науков1 записки. Сер1я: Педагопка. — №6. — 2002.
Визначеносп: +ж + a = +ж + (+ж) = +ж; -ж + a = -ж + (-да) = -да; a ■ (+да) = (-a) • (-да) = +да; a ■ (-да) = (-a) • (+да) = -да; (a > 0);
a = a = о. a = ж = ж-+ж -ж 0 0
a+ж = +ж, a= 0(a > 1), a+ж = 0, a~ж = +ж(0 < a < 1); (+ж)a = +ж(a > 0), (+ж)" = 0(a < 0), (+0)+ж = 0, (+0)-ж + ж.
Помiтимо, що у тдручниках та у бiльшостi поибнишв е дуже багато прикладав на обчислення границ функцп, а на до^дження на неперервнiсть функцп значно менше. При цьому учнi мають погану звичку при розв'язуваннi задачi на дослiдження функцп на неперервшсть дослiджувати !! на розрив. Однак для школи це природно, тому що будь-яка елементарна функщя сприймаеться неперервною, i це ствердження не потре-буе доведения.
Зауважимо, що основною метою впровадження границi в курс середньо! школи е запровадження noxidHo'i та визначеного ттеграла.
Означення похiдно! у А. М. Колмогорова (перших видань) та М. I. Шшля зробле-но через границю вiдношения приросту функцп' до приросту аргументу — тобто швид-шсть змiни функцп'; при цьому похiдну визначають як число, до якого прямуе вщно-
А/
шення — при х —» х0.
Ах
Тема «Похдаа» вивчаеться у 10 клас (А. М. Колмогоров, М. I. Башмаков, М. I. Шшль). Показникова, логарифмiчна та тригонометричнi функцп вивчаються п1сля ще! теми, тут же знаходять !х похiднi. За Ш. А. Алiловим, похiдна вивчаеться тсля усiх цих функцiй в 11 клаи, й тому цих функцiй зустрiчаються тшьки у цьому роз-
дiлi. В уих п1дручниках спочатку розглядаються задачi, що приводять до поняття похь дно!.
Найбiльш популярна задача про середню та миттеву швидк1сть (розглядаеться прирют функцп', середня швидк1сть точки, яка рухаеться по прямш, миттева швидшсть руху), яка присутня в уих пiдручниках. В А. М. Колмогорова о^м задачi про середню та миттеву швидшсть, е задача про дотичну до криво! (розглядаеться гладка крива, у малому гладка крива практично не вiдрiзняеться ввд прямо!. Вводиться поняття дотич-но!). У М. I. Башмакова вивчаються ri ж задачi, що й у А. М. Колмогорова, але викла-деш вони бiльш жваво. М. I. Башмаков iлюструе поняття похiдно! цитатою з «Фейнма-новских лекций по физике. Диалог между водителем-женщиной и полицейским». Помнимо, що у М. I. Шшля поширюеться коло задач що приводять до поняття похiдно! третьою моделлю: про величину змшного струму.
У Липмана Берса у попередньому роздiлi вивчали неперервнi функцп, тобто функцп без розривiв; тепер же розглядаються функцп, у яких iснуе похiдна, тобто функцп без зломiв: похiдна функцп /х) у точцi х0 е нахил дотично! до графша функцп в точцi (х0, /х0)). Таким чином малював похiдну Лейбнщ у перш1й сво!й працi з аналiзу в 1684 роцi.
Науков1 записки. Сер1я: Педагопка. — №6. — 2002.
63
Коротт висновки
Можна ввдзначити таю основт типи задач на застосування похвдно! у шк1льних пiдручниках:
• Побудова дотично! до графiка функцн.
• Знаходження промiжкiв зростання та спадання функци.
• Знаходження точок екстремуму.
• Знаходження найбiльшого та найменшого значень функцп на промiжку.
• Дослiдження функцш та побудова графша.
• Наближене обчислення за допомогою диференщала.
• У тдручнику А. М. Колмогорова за 1988 рш видання знаходимо ще й задачу про гармотчт коливання, як призводять до диференцiйних рiвнянь II порядку.
• А у тдручнику А. М. Колмогорова за 1993 наведет приклади застосування похвдно! у фiзицi та технiцi.
На погляд авторiв, сфера застосування похдао! при розв'язувант задач елемен-тарно! математики доволi широка. I вона не обмежуеться задачами поданими у тдруч-никах. Назвемо деяк1 з них:
• Перетворення алгебра1чних виразiв.
• Розкладання алгебра1чного виразу на множники.
• Доведення тотожностей.
• Доведения нерiвностей.
• Розв'язання рiвнянь.
• Розв'язання нерiвностей.
• Розв'язання систем рiвнянь.
• Обчислення сум.
• Порiвняння чисел.
• До^дження функцiй (наприклад, к1льк1сть коретв рiвняиия).
• Знаходження кратних коретв алгебра1чного рiвияння.
• Розв'язання задач з параметрами.
• Розв'язання текстових задач на екстремум.
• Розв'язання геометричних задач на екстремум.
На нашу думку, бажано, щоб вони частш зустрiчались у рiзних методичних пось бниках. Тут iз кращого боку вирiзняються книги I. Ф. Шаригша «Факультативний курс з математики», В. В. Вавшова «Задачi з математики».
У заюнчент помiтимо, що будь-який вiдповiдальний педагог повинен використо-вувати в процесi навчання рiзномаmтm пiдручники, а тому вони повинт бути у достат-нiй юлькосп в шк1льних бiблiотеках.
64
Науков1 записки. Серш: Педагопка. — №6. — 2002.
