CC BY
25
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДЕ С МНОГОПЕРИОДИЧЕСКИ МОДУЛИРОВАННЫМ
ЗАПОЛНЕНИЕМ
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10080
Геворкян Эдуард Аршавирович,
Р°ССийСКий экономический университет Ключевые слова: волновод, поперечно-электрическая
имени Г.В. Плеханова (РЭУ), Москва, Россия, волна, многопериодически модулированное заполнение,
gevor [email protected] индексы модуляции, уравнение Матье-Хилла.
Рассматривается распространение сигнальной электромагнитной поперечно-электрической (ТЕ) волны в волноводе произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью oz некоторой декартовой системы координат. Предполагается, что диэлектрическое заполнение волновода модулировано по координате z по многопериодическому закону с малыми индексами модуляции (Ш|Е << << l,mзE<< 1). Для описания поперечно-электрического поля в волноводе из уравнений Максвелла получено волновое уравнение для продольной компоненты магнитного вектора (^^у^^)), представляющего однородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Из уравнений Максвелла также получены аналитические выражения для поперечных компонент ТЕ поля в волноводе. Решение волнового уравнения для № ищется в виде разложения по собственным функциям второй краевой задачи для поперечного сечения волновода (задача Неймана), которые в свою очередь удовлетворяют уравнению Гельмгольца с соответствующим граничным условием.
В результате волновое уравнение сводится к обыкновенному однородному дифференциальному уравнению второго порядка с периодическими коэффициентами (уравнение Матье-Хилла). Решение последнего с учетом малости индексов модуляции приводит к аналитическому выражению для № с точностью до малых параметров Ш|Б, ю2е, м3е в первой степени включительно. Полученное выражение показывает, что ТЕ поле в волноводе представляет собой набор пространственных гармоник (нулевая, плюс и минус первая) с различными амплитудами. Показано, что амплитуда на нулевой гармонике не зависит от малых индексов модуляции, а на плюс и минус первых гармониках амплитуды зависят от индексов модуляции в первой степени. Разработанный в данной работе математический метод решения задач в области электродинамики и полученные аналитические выражения для поперечно-электрического поля в волноводе дадут возможность решить задачи переходного излучения источников, движущихся с постоянной скоростью в волноводе с многопериодически модулированным заполнением. Волновые уравнения в этих задачах представляют неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, которые приводятся к неоднородным дифференциальным уравнениям Матье-Хилла.
Информация об авторе:
Геворкян Эдуард Аршавирович, д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова (РЭУ), Москва, Россия
Для цитирования:
Геворкян Э.А. Электромагнитные волны в волноводе с многопериодически модулированным заполнением // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №5. С. 4-7.
For citation:
Gevorkyan E.A. (2018). Electromagnetic waves in a waveguide with multiperiodically modulated filling. T-Comm, vol. 12, no.5, pр. 4-7.
(in Russian)
T-Comm Том 12. #5-2018
г Г\
Распространение электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения с периодически модулированным заполнением рассмотрены в наших ранних работах (см., например, [1-5]). В настоящей работе рассматривается распространение поперечно-электрических (ТЕ) электромагнитных волн в волноводе с многопериодически модулированным в пространстве диэлектрическим заполнением. Исследование свойств распространения волн в многопериодических средах имеет не только теоретический, но и экспериментальный, и практический интерес. Многопериодические среды могут быть использованы в многочастотных лазерах с распределенной обратной связью, в фильтрах, в параметрических преобразователях низкой и высокой частоты, в брэгговских резонаторах и в других областях электроники СВЧ [6]. Отмстим также, что эффект рассеяния сигнальной волны последовательно на нескольких периодах в случае многопериодической среды уже нашел широкое применение в радиолокационной океанографии (загаризонпшй радиолокатор) при исследовании спектров воли океана.
Рассмотрим регулярный идеальный волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью О2 некоторой декартовой системы координат. Пусть диэлектрическая проницаемость немагнитного заполнения волновода модулирована п пространстве по периодическому закону
е - s"(l + mli: cos к,z + т2а cosk2z + т3€ cosk3z),
(1)
- дВ - dD - n
rotE =--,rotH =-,divD = 0,
dt dt
divB = 0,D = e0sE, В = ц()Н,
(2)
. „ а-я, c?hz , 1 *+IP" ~ =
Решение волнового уравнения (3) ищем в виде
(4)
где ортонормированные собственные функции у/{х, у) краевой задачи Неймана для поперечного сечения волновода удовлетворяют уравнению Гельмголыда с соответствующим граничным условием
дфп{х,у)
дп
= 0.
(5)
В (5) Ля представляют собственные значения, соответствующие собственным функциям 1//(х,у), Е— контур поперечного сечения волновода, п - нормаль к Е.
Из уравнений Максвелла (2) с учетом (4) получаются аналитические выражения для поперечных составляющих ТЕ поля в волноводе в виде
4- ¿л-'^Чм.
•1=п
dz
и=п (Л
(6)
где ты ~т1£ «7-малые индексы модуляции, к!,к1 и ¡С - волновые числа волн модуляции, е - диэлектрическая
проницаемость заполнения волновода в отсутствии волн модуляции. Предположим, что в подобном волноводе распространяется сигнальная поперечно-электрическая (ТГ) волна с частотой й).
Поперечно-электрическое поле в волноводе будем описывать с помощью продольной составляющей магнитного вектора Н,(х,у,г,(). Волновое уравнение для Н. можно получить из уравнения
где У=Г(3/Йп+ ]{д/су)— двумерный оператор набла,
г^ - единичный вектор оси ог , г указывает на поперечные
составляющие.
Подставляя (4) в (3) и учитывая (5) и (1), после несложных преобразований получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для Нп[г)
d2H„{z) dr
(7)
_ (8)
где g0 = (зб?г* 103)4 — — диэлектрическая постоянная, м
цп = 4/Т ■ 10--магнитная постоянная. Вычисления прим
водят к следующему дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных
где периодическая функция имеет вид
<j>{z) = £^e{z)or =
= £aL^s" cosA',- +m,i: cosA\z+пцс cosk3z)or -A~.
В уравнении (7) переходя к новой переменной s=[kj+k2+k3)z/2, разлогая в ряд Фурье коэффициент при H(z) и ограничиваясь членами, пропорциональными малым
индексам модуляции в первой степени, получим дифференциальное уравнение типа Матье-Хилла
(3) =
(9)
где А =52/дс +<9 /ду~ -двумерный оператор Лапласа.
где
7Т\
где характеристические показатели й и амплитуды СЦ пока неизвестные величины. Подставляя (12) в (9). проведя несложные преобразования и ограничиваясь членами, пропорциональными малым индексам модуляции в первой степени, получим
Г" = "' "__(13)
±1 г^— *
где ¿Г находится из условия нормировки. Если теперь в (12)
перейти к переменной г и подставить в (4), то для продольной компоненты магнитного вектора поперечно-электрического поля в волноводе получим
Нг (х, у, 0 = (х, у)^™ ((14) в=0 Ы-1
1. Gevorkyan Е.А. On the theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with multiperiodically modulated diclcctric filling И Physica Л. 1997, Vol. 241. pp. 336-239.
2. Геворкян Э.А. К электродинамике периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах произвольного поперечного сечения И Успехи современной радиоэлектроники. 2006. №1. С. 3-29.
3. Геворкян Э.А. К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с магнитоактивным анизотропным модулированным заполнением // Радиотехника и электроника. 2008, Т. 53, №5. С. 565-569.
4. Gevorkyan Е.А. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Chapter 13 in the book "Wave Propagation", 1NTECH Open Publisher, 2011, pp. 267-284. www.intechopen.com,
5. Геворкян Э.А. Поля переходного излучения заряженной части пы в волноводе с модулированным анизотропным магпитодн-электрнческнм заполнением // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Т, 10. № 10. С. 28-31,
6. Элаиш Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах. Обзор // ТИИЭР. 1976. Т. 64. № 12. С. 22-59.
T-Comm Том 12. #5-2018
ELECTROMAGNETIC WAVES IN A WAVEGUIDE WITH MULTIPERIODICALLY MODULATED FILLING
Eduard A. Gevorkyan, Plekhanov Russian University of Economics (REU), Moscow, Russia, [email protected]
Abstract
The propagation of signal electromagnetic transverse-electric (TE) wave in a waveguide of arbitrary cross-section, the axis of which coincides with the axis oz of some Cartesian coordinate system is considered. It is assumed that the dielectric filling of the waveguide is modulated on z coordinate according to the multiperiodic law with small indexes of modulation (m^ << 1,m2e<< i,m3E<< 1). For the description of the transverse-electric field in the waveguide from Maxwell's equations is received the wave equation for the longitudinal component of the magnetic vector (Hz(x,y,x,t)), representing homogeneous differential equation of the second order in partial derivatives. From Maxwell's equations the analytical expressions for the transverse components of the TE field in the waveguide are also received. The solution of the wave equation for Hz is sought in the form of expansion in eigenfunctions of the second boundary value problem for the cross-section of the waveguide (the Neumann problem) which in turn satisfy the Helmholtz equation with the appropriate boundary condition. As a result, the wave equation comes down to an ordinary homogeneous differential equation of second order with periodic coefficients (the equation of Mathieu-Hill). The solution of this equation with account of the smallness of the modulation indexes leads to the analytic expression for Hz with an accuracy of small parameters m^, m2e, m3E in the first degree inclusively. The received expression shows that the TE field in the waveguide represents a set of spatial harmonics (zero, plus and minus first) with various amplitudes. It is shown, that the amplitude of the zero harmonic is not dependent on small modulation indexes, while the amplitudes of the plus and minus first harmonics depend on the modulation indexes in the first degree. The mathematical method of the solution of problems in the field of electrodynamics, developed in this article and the received analytical expressions for the transverse-electric filed in the waveguide will give possibility to solve the problems of transition radiation of the sources moving with a constant velocity in the waveguide with multiperiodically modulated filling. The wave equations in these problems represent the inhomo-geneous differential equations of the second order in private derivatives that lead to the inhomogeneous differential equations of Mathieu-Hill.
Keywords: waveguide, transverse-electric wave, multiperiodically modulated filling, modulation indexes, equation of Mathieu-Hill.
References
1. Gevorkyan E.A. (1997). On the theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with multiperiodically modulated dielectric filling. Physica A. Vol. 241, рр. 236-239.
2. Gevorkyan E.A. (2006). On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguide of arbitrary cross-section. Uspekhi Sovremennoy Radioelektroniki [Successes of modern radio electronics], No 1, рр. 3-29.
3. Gevorkyan E.A. (2008). The theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with magnetoactive anisotropic modulated filling. Radiotekhnika I elektronika. Vol. 53, No 5, рр. 565-569 [Journal of Communications Technology and Electronics], 2008, Vol. 53, No 5, рр. 535-539.
4. Gevorkyan E.A. (2011). On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Chapter 13 in the book "Wave Propagation", INTECH Open Publisher, 2011, рр. 267-284. www.intechopen.com.
5. Gevorkyan E.A. (2016). The transition radiation fields of charged particle in a waveguide with modulated anisotropic magnetodielec-tric filling. T-Comm, 2016, Vol. 10, No 10, pp. 28-31.
6. Elachi CH. (1976). Waves in active and passive periodic structures. A review. TIIER [Proceedings IEEE]. Vol. 64, No 12, pp. 22-59.
Information about author:
Eduard A Gevorkyan, Doctor of physic-mathematical science, professor, professor of department of the higher mathematics of the Plekhanov Russian University of Economics (REU), Moscow, Russia
