CC BY
35
ПОЛЯ ПЕРЕХОДНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ВОЛНОВОДЕ
Геворкян Эдуард Аршавирович,
Профессор Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), Москва, Россия, EGevorkyan@mesi.ru
Ключевые слова: волновод, продольные составляющие, заряженная частица, анизотропная магнитодиэлектрическая пластина, граничные условия, волновые уравнения.
Рассматривается переходное излучение заряженной частицы, движущейся с постоянной скоростью перпендикулярно оси волновода произвольного поперечного сечения. Предполагается, что ось волновода, где помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина конечной длины, совпадает с осью OZ некоторой декартовой системы координат и заряженная частица пролетает через волновод, проходя сквозь пластины. Показано, что поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе описываются с помощью продольных составляющих магнитного и электрического векторов. Основываясь на уравнения Максвелла, получены в Фурье представлении как волновые уравнения для указанных составляющих в различных областях волновода, представляющие обыкновенные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения, так и аналитические выражения для поперечных составляющих ТЕ и ТМ полей, которые выражаются через продольные составляющие этих полей. Решения волновых уравнений ищутся в виде разложения по ортонормированным собственным функциям соответственно второй и первой краевых задач (задачи Неймана и Дирихле) для поперечного сечения волновода, которые удовлетворяют уравнениям Гельмгольца с соответствующими граничными условиями. Для определения неизвестных амплитуд поперечно-электрического (ТЕ) и поперечно-магнитного (ТМ) полей получена система неоднородных алгебраических уравнений, основываясь на граничные условия на стенках пластины и учитывая условия излучения (нет волн, идущих к источнику от бесконечности). Решение этой системы приводит к несложным аналитическим выражениям для ТЕ и ТМ полей в пластине и вне нее.
Для цитирования:
Геворкян Э.А. Поля переходного излучения заряженной частицы в волноводе // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. -Том 9. - №7. - С. 80-83.
For citation:
Gevorkyan E.A The transition radiation fields of charged particle in a waveguide. T-Comm. 2015. Vol 9. No.7, рр. 80-83. (in Russian).
В работах [I], [2] исследовано излучение заряженной частицы, движущейся перпендикулярно оси волновода с анизотропным магнитодиэлектрическим заполнением. Рассматривается переходное излучение заряженной частицы в анизотропной магнитодиэлектрической пластине в волноводе при движении частицы перпендикулярно оси волновода.
Рассмотрим регулярный волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью ог некоторой декартовой системы координат. 8 волновод помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина, которая занимает область —<3<1<с!. Предположим, что диэлектрическая и магнитная проницаемости пластины имеют вид:
£ =
(в 0 0
0 0 "С: 11
0 0 J
А, О
о
о
Mi о
о ^ о
А:
С)
1
Рис.1. Геометрия сечения волновода. Рис. I. Геометрий сечения волновода
Плотность заряда и плотность тока в этом случае описывается с помощью 3 функции Дирака и имеют вид [3], [4]
p = q0(x-vt)6(y-yo)-S(y),
j = л = я ■ v.S(x -vf)- S(y - vj- S(y).
(2)
= дВ й . dD л
rotE---,rotH- i+—.divD-p,
df dt
divB = 0 ,D = Е»еЁ, В=/J„/JH,
(3)
где £{) — ■ 103) 1 — — диэлектрическая постоянная,
/
и =4л"-10~7— — магнитная постоянная. Эти уравнения /
в разпичных обпастях вопновода имеют вид:
I и III области (z>dи z < -d)
= о.
II область (-d < z < d)
(4)
/Л о-" qv
(5)
где £j = const,е2 = const, fJ^ = const, fi2 = const. Пусть частица с зарядом ц пролетает через пластину со скоростью iJ — {v,0.0} перпендикулярно оси волновода, пересекая поверхность волновода в точках лД.т, .>>„,0) и
Мхг-УоЯ) (Рис* 0* А
"V 2 -tir-d-jr-]— —itc £s О" £t dZ
где Д_ = Э: /дх2 + д2 /ду2 — двумерный оператор Яаппаса, a ja и р0 выражаются формулами
JО)
(6)
л12ж v
Поперечно-электрическое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе, как и в наших ранних работах [5], [6], будем описывать с помощью продольных составляющих магнитного (Н,(х,у,г)) и электрического {E\x,y,z)\ векторов, соответственно. Волновые уравнения для Я. и Е можно получить из уравнений Максвелла
Решения волновых уравнений (4) и (5) будем искать в виде разложений
Пш =|\Е„{г) ¥п(х,у\ (Л
гг=0 /1=11
где ортонормированные собственные функции у/^х.у) и у/{х,у) второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода удовлетворяют уравнениям Гельмголь-ца с соответствующими граничными условиями (см, [6]). Выражения для поперечных составляющих ТЕ и ТМ полей в различных областях волновода можно получить из уравнений Максвелла (они выражаются через Нп\г)и Еп\г))
(см. [2], [3], [6]),
Подставляя (7) в (4) и (5) и проводя интегрирование по поперечному сечению волновода, для величин //()(г) и
Е„ (г) получим следующие уравнения
I и III области (z>dг < -d)
^Н-ЙЛМ-И 0. (8)
аг dz~
где
П = <Ог ~ . г; = - Л2. (9)
а Лп и Лп — собственные значения второй и первой краевых задач дпя поперечного сечения вопновода.
II область (- < г < 4)
л 2 п п \ / ,, п'
dz ц2 42л
dz £2 V 2я
(10)
где
- f
\Ъу/ч{х,у)
by
—iSh- i , v. -¡Of—
■e *dx,Ba= x.yJi^m *dx.
.m e™
Hi 1 ii
(12)
4
az fJ\ az
(13)
i/z
i/z
Z — d
H (,■)_,, я M dHAz)_th dttJA
A ' И = A;' л „: UJ."—™T— ----:-■
c/z д tfz
az £. az
(14)
C„ = ~
A
A —h
" •■ ~ ,'ГП(/ , о-,,-ir J
(15)
11
2 А Гя
__L
в. ='<&= —
Г„2 = — ^ле - Л' )■ Г; = — (О1-Хг„\ *'' *
М2 £г
Решение дифференциальных уравнений (8) и (10) с учетом условий излучения и того факта, что направления z < —й и z > с! равноправны, приводит к следующим выражениям
ц> ду1
где
z А1 л
К = М ■ К, + A ■ Г„. Д = м ■ f„ -А ■ Г„.
(16) (17)
2л/2лгчу
где ап,Ьп,спМ„.а„.Ьп,спМ„ ~ неизвестные коэффициенты.
Эти коэффициенты найдем из следующих граничных условий при z = ±d
2 =-с/
Подставляя (12) в (13) и (14) и решая полученную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов, получим
Д . _ ~ &
В заключение отметим, что полученные аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей в волноводе позволят не только найти энергии переходного излучения заряженной частицы, но и выявить некоторые его особенности.
Литература
1. Gevorkyan Е.А. On the radiation of charged particle moving in a waveguide with anisotropic magneto dielectric filling II Proceedings of the 18-th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED), LvivT Ukraine, September 23-26, 2013. - Pp. 69-71.
2. Gevorkyan E.A. On the radiation of charged particle in a waveguide filled with anisotropic magneto dielectric medium II Proceedings of the 19-th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED), Tbilisi, Georgia, September 22-25, 2014. - Pp. 33-35.
3. Барсуков K.A., Газазян Э.Д., Лазиев ЭМ. К теории переходного излучения в волноводе II Известия высших учебных заведений, Радиофизика, Т. 15, №2, I972.-C. 191-195.
4. Барсуков К.А., Беглоян ЭЛ., Гозозян Э.Д., Геворкян ЭЛ., Лазиев ЭМ. О переходном излучениив диэлектрической пластине в волноводе при пролете заряда перпендикулярно оси волновода И Известия АН Армянской ССР, Физика, №7, 1972. -С. 397-405.
5. Gevorkyan ЕА On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguide of arbitrary cross-section II Uspekhi Sovremennoy Radioelektroniki, No I. 2006. - PP. 3-29,
6. Gevorkyan EA On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Wave Propagation, Chapter 13, INTECH Open Publisher, 20(1. -Pp. 267-284. www.intechopen.com.
MATHEMATICS
THE TRANSITION RADIATION FIELDS OF CHARGED PARTICLE IN A WAVEGUIDE
Gevorkyan E.A., Professor of Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI), Moscow, Russia,
EGevorkyan@mesi.ru;gevor_mesi@mail.ru
Abstract
In this article the transition radiation of charged particle moving with constant velocity perpendicular to the axis of the waveguide of arbitrary cross-section is considered. It is assumed that the axis of the waveguide where placed the anisotropic magneto dielectric plate of finite length coincides with the axis OZ of some Cartesian coordinate system and a charged particle flies through the plate in the waveguide. It is shown that the transverse- electric (TE) and transverse-magnetic (TM) fields in the waveguide are described by the longitudinal components of the magnetic and electric vectors. Based on Maxwell's equations the wave equations for the mentioned components in the various regions of the waveguide representing ordinary homogeneous and inhomogeneous differential equations as well as the analytical expressions for the transverse components of TE and TM fields which are expressed in terms of the longitudinal components of these fields are obtained in the Fourier representation. The solutions of the wave equations are sought in the form of an expansion in orthonormal eigenfunctions respectively of the first and second boundary value problems (Neumann and Dirichlet problems) for a cross-section of the waveguide that satisfy the Helmholts equation with appropriate boundary conditions. For determine the unknown amplitudes of the transverse-electric (TE) and transverse-magnetic (TM) fields the inhomogeneous system of algebraic equations based on boundary conditions on the walls of the plate and taking into account the radiation conditions (no waves coming to the source from infinity). The solution of this system leads to simple analytical expressions for the TE and TM fields in and out of the plate.
Keywords: waveguide, longitudinal components, charged particle, anisotropic magneto dielectric plate, boundary conditions, wave equation. References
1. Gevorkyan E.A. On the radiation of charged particle moving in a waveguide with anisotropic magneto dielectric filling / Proceedings of the 18-th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED), Lviv, Ukraine, September 23-26, 2013. Pp. 69-71.
2. Gevorkyan E.A. On the radiation of charged particle in a waveguide filled with anisotropic magneto dielectric medium / Proceedings of the 19-th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED), Tbilisi, Georgia, September 22-25, 2014. Pp. 33-35.
3. Barsukov K.A., Gazazyan E.D. and Laziev E.M. To the theory of transition radiation in a waveguide / Izvestiya Visshikh Uchebnikh Zavedeniy, Radiofizika, Vol. 15, No 2, 1972. Pp. 191-195. [in Russian]
4. Barsukov K.A., Begloyan E.A., Gazazyan E.D., Gevorkyan E.A. and Laziev E.M. On the transition radiation in dielectric plate in waveguide at passing of a charged particle perpendicular to waveguide axis / Izvestiya AN Armyanskoy SSR, Fizika, No 7, 1972. Pp. 397-405. [in Russian]
5. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguide of arbitrary cross-section // Uspekhi Sovremennoy Radioelektroniki, No 1, 2006. Pp. 3-29.
6. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Wave Propagation, Chapter 13, INTECH Open Publisher. - Austria, European Union, 2011. Pp. 267-284. www.intechopen.com.
