CC BY
14
ПОЛЯ ПЕРЕХОДНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ВОЛНОВОДЕ С МОДУЛИРОВАННЫМ АНИЗОТРОПНЫМ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЗАПОЛНЕНИЕМ
Геворкян Эдуард Аршавирович,
Профессор Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова (РЭУ), Москва, Россия, gevor_mesi@mail.ru
Ключевые слова: волновод, продольные составляющие, заряженная частица, анизотропное магнитодиэлектрическое модулированное заполнение, волновые уравнения, дифференциальное уравнение, индексы модуляции.
Рассматривается переходное излучение заряженной частицы в регулярном волноводе произвольного поперечного сечения ось которого совпадает с осью OZ некоторой прямоугольной системы координат. Предполагается, что анизотропное магнитодиэлектрическое заполнение волновода волной накачки модулировано по координате ъ по гармоническому закону и заряженная частица с постоянной скоростью пролетает через волновод перпендикулярно его оси. Показано, что поперечно-электрическое поле (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поле переходного излучения заряда в этом случае можно описывать с помощью продольных составляющих магнитного (Н^ и электрического (Е^ векторов, соответственно. Аналитические выражения для поперечных составляющих ТЕ и ТМ полей и волновые уравнения для Hz и Ez можно получить из уравнений Максвелла. Волновые уравнения представляют дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с периодическими коэффициентами. Решения волновых уравнений для Hz и Ez ищутся в виде разложения по собственным функциям второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода (задачи Неймана и Дирихле). Это позволяет волновые уравнения в частных производных свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с периодическими коэффициентами (уравнения Матье-Хилла). Предполагается, что индексы модуляции me и m|¡ малые величины (те << 1, т^ << 1). В результате решения волновых уравнений в предположении малых индексов модуляции те и т^ заполнения волновода найдены аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей переходного излучения частицы. Эти выражения показывают, что поля в волноводе представляют набор пространственных гармоник с различными амплитудами. При этом на нулевой гармонике амплитуды полей не зависят от малых индексов модуляции, а на боковых гармониках они пропорциональны малым индексам модуляции в первой степени. С помощью полученных результатов можно вычислить энергии переходного излучения заряженной частицы в областях "слабого" и "сильного" взаимодействия между волной излучения и волной модуляции заполнения волновода и исследовать особенности излучения Вавилова-Черенкова при выполнении условия его возникновения.
Для цитирования:
Геворкян Э.А. Поля переходного излучения заряженной частицы в волноводе с модулированным анизотропным магнитодиэлектрическим заполнением // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №10. - С. 28-32.
For citation:
Gevorkyan E.A The transition radiation fields of charged particle in a waveguide with modulated anisoyropic magnetodielectric filling. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.10, рр. 28-32. (in Russian)
_
С точки зрения развития теории и возможности применения периодических сред в различных областях электроники СВЧ представляет определенный интерес исследование распространения электромагнитных волн и переходного излучения движущихся источников в волноводе с периодически модулированным анизотропным магнитодиэлектриче-ским заполнением [1-7]. При равномерном движении источника излучения вдоль оси волновода в экспериментах могут возникнуть сложности, связанные с узкополостностыо трансформаторов волны и разделением пучка и излучения. Эти трудности могут быть исключены при движении источника излучения в перпендикулярном направлении к оси волновода [8-9],
Рассмотрим регулярный волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью ог некоторой декартовой системы координат. Предположим, что анизотропное магнитодиэлектрическое заполнение волновода по координате г модулировано по гармоническому закону, то есть диэлектрическую и магнитную проницаемости заполнения можно иредставигь в виде:
е =
О 0 л гг, Ü О s2(z)
(
ft =
О О о о О 0 /í,(z)J
(О
где = const,s2 = const, ft = const,ц2 = const, a s2(z) и /л2{г) выражаются формулами
s1{z)-sl{\ + тс cos kaz), /А (z) = ¡A (l+тм cos k0z] (2)
Отметим, что в (2) e%=e2(z] =(, ^ ~Б0Л"
новое число волны модуляции, «1,тм «1 - индексы модуляции.
Пусть заряженная частица с зарядом q пролетает через волновод со скоростью v = fv,0,0} перпендикулярно его оси, пересекая поверхность волновода в точках >4l(jc1,_yOJ0) и Л2{х2,уо,0) (рис. 1).
\ 0 0 1 (д 0 о \
0 £i 0 1 р- о Я. 0
1,0 ■> ФХ 1 0 0
Рис. 1. Геометрия сечения волновода
Плотность заряда и плотность тока в этом случае описываются с помощью 3 функции Дирака и имеют вид [3], [4]
p = q-5(x-vt)S{y-y<¡)-5{y),
J =jx=q-v - vt) • s{y-y0)' t?(.y).
Поперечно-Электр и чес кое (ТЕ) и поперечно-магнитное (ТМ) поля в волноводе, как и в наших ранних работах [1-7], [9], будем описывать с помощью продольных составляющих магнитного [H,(x,y,z)) и электрического (Ez[x,y,z)) векторов, соответственно. Волновые уравнения для Н = ¿i2(z)HI и Е, =s2{z)E, можно получить из уравнений Максвелла
- дВ - . 8D -
rotЬ =---,rotH = / -i--,aivD = p.
dt dt
(4)
divB = 0 ,D = £йёЕ.В = ju0MH> VI ф
M
где £o = (звл ■ 10") ' — - диэлектрическая постоянная,
f
f.ia = Ал • 10 ~7--магнитная постоянная. Вычисления
м
приводят к следующим волновым уравнениям
Д ±Я,+
//, dz dt ду
~ e2(z) д2Е / \дгЕх s2(z) dp
1 1 Sz2 2V ' dt- s, dz
где А1=д2/дхг+<?/ду2 - двумерный оператор Лапласа. Уравнения (5) и (6) в Фурье представлении имеют вид:
(ж. ду
Ех <Ж £] Су
где / и р выражаются формулами 1
J Ы
-j=-q-e'r-S(z)-S(y-y,),pri/ =
(9)
Решения волновых уравнений (7) и (8) будем искать в виде разложений
и=0 л=0
где ортонормированные собственные функции ЩХ,у] и ц/(х, у) второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода (задачи Неймана и Дирихле) удовлетворяют уравнениям Гельмгольиа с соответствующими граничными условиями
dn
-0,
(11)
T-Comm Vol. 10. #10-2016
В (11) \ и я„ представляют собственные значения, соответствующие собственным функциям ц>{х.у) и y/j.v,)'), Е- контур поперечного сечения волновода, п-нормаль к X.
Аналитические выражения для поперечных составляющих ТЕ и ТМ полей получаются из уравнений Максвелла с учетом (10)и(11). В Фурье представлении они имеют вид:
ТЕ поле
Н,К-{*■>■)■
п-0 OZ
К —toM I я;2 Hn{z)[z0 V¥„{x,y)]
n=(I
ТМ поле
л=<1
- or
(12)
л=1>
(14)
где
(15)
■11
«. - 1
ду
Шх
е~7 dx.
л 2 них
| е * dr.
(16)
" /4'
ходя к новой переменной .у — киг / 2 и разлогая в ряд Фурье коэффициенты при //„(г) и £„(2), получим неоднородные дифференциальные уравнения типа Матье-Хилла
I
где
as ^ V2/rv
л» _ 4MU°)" _ ж
0 /*2 Иг
a" _ 4gi {%„ У дл _ " ~ i-V ±! ~ ¿V '
(19)
(20)
(21)
где V = / двумерный оператор Пабла,
га — единичный вектор оси 02, г означает поперечные
составляющие.
Подставляя (10) в волновые уравнения (7) и (8) и учитывая (9) и (11), для величин нп(г) и получим следующие уравнения
дат у12тг
(13) Решения однородных уравнений
ds2
d%{s)
\к=-\
о
(22)
будем искать в виде
где характеристические показатели //и, и амплитуды С]1, С; пока неизвестные величины. Подставляя (23) в (22) и
проведя несложные вычисления и ограничиваясь первым приближением по малым индексам модуляции заполнения волновода, получим
(24)
т+Щ) 4(1+^;)
где коэффициенты сц и сц находятся из условия нормировки. Частные решения неоднородных дифференциальных уравнений (19) и (20) будем искать методом вариации постоянных. Вычисления с учетом условия излучения (нет волн, распространяющихся к источнику излучения) приводят к следующим выражениям для ТЕ и ТМ полей переходного излучения заряженной частицы
Если теперь учесть выражения для ¿г,(г) и р^г) (см. формулы (2)), то в первом приближении по индексам модуляции тг и т. величины XI и х1 преобразуются; к виду
Щц, b 2
E{z) = k^±Cl-cosk^'<+2k)z,
где
(17)
fe f = -Я;, [zlУ = e^wW(18)
Подставляя (17) и (IS) в волновые уравнения (14), пере-
р _ я mi е> г - ч r Ьп Jz----JZ--
л/2 71 V2 71v
(25)
(26)
Из (25) и (26) следует, что ТЕ и ТМ поля переходного излучения заряженной частицы, движущаяся равномерно перпендикулярно оси волновода с периодически модулированным анизотропным магнитодиэлектрическим заполнением представляют сумму пространственных гармоник с различными амплитудами. Па основной гармонике амплитуды не
T-Comm Том 10. #10-20 16
зависит от индексов модуляции, а на боковых гармониках они пропорциональны индексам модуляции в первой степени.
В заключении отметим, что полученные аналитические выражения для ТЕ и ТМ полей в волноводе позволяют найти энергии переходного излучения заряженной частицы и исследовать особенности излучения в областях «слабого» и «сильного» взаимодействия излучения с модулированной средой.
Литература
1. Геворкян Э.А. К электродинамике периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах произвольного поперечного сечения // Успехи современной радиоэлектроники. -2006. - №1. - С. 3-29.
2. Геворкян Э.А, К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с магнитоактивпым анизотропным модулированным заполнением Н Радиотехника и электроника. - 2008. -Т. 53. - №5. - С. 565-569.
3. Gevorkyan Е.А. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Chapter 13 in the book "Wave Propagation", 1NTECH Open Publisher, 2011, pp. 267-284. www.intechopen.com.
4. Gevorkyan E.A. The propagation of electromagnetic waves in the waveguide with space-time periodic insert. Proceedings of the 2012 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA' 12), Cape Town, South Africa, September 2-7,2012, pp. 877-879.
5. Геворкян Э.А. Поля переходного излучения заряженной частицы в волноводе // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. -2015. - Т. 9. -№7. - С. 80-83.
6. Геворкян Э.А. Взаимодействие электромагнитных волн с периодически модулированным анизотропным магнитодиэлектрическим заполнением волновода II Электромагнитные волны и электронные системы. - 2009. - Т. 14.-№10.-С. 65-72.
7. Gevorkyan Е.А. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Wave Propagation, Chapter 13, ¡NTEC'H Open Publisher, - Austria, European Union, 2011. - PP. 267-284, www.intechopen.com.
8. Барсуков K.A.. Газазян Э.Д., Латев Э.М. К теории переходного излучения в волноводе II Известия высших учебных заведений, Радиофизика. - 1972.-Т. 15. - №2. - С. 191-195.
9. Геворкян Э.А. К теории переходного излучения заряженной частицы в волноводе с анизотропным магнитодиэлекгрическим заполнением И Оптика и спектроскопия, - 2015. - Т. - 119. — №2, -С. 302-306.
VI межрегиональная специализированная выставка
Информационные технологии.
Телекоммуникации. Безопасность
8-ю ноября 2016 г.
г. ЯКУТСК
Организаторы:
Выставочная компания
САХАЭКСПОСЕРВИС
ООО "СахаЭкспоСервис"
г. Якутск
Выставочная компания
ЗЁВДГСЁ
Сибэкспосервис
г. Новосибирск
тел: (383) 3356350
e-mail :ses@avmail. ru
www.ses.net.ru
T-Comm Vol. 10. #10-2016
7T>
T
ELECTRONICS. RADIO ENGINEERING
THE TRANSITION RADIATION FIELDS OF CHARGED PARTICLE IN A WAVEGUIDE WITH MODULATED ANISOYROPIC MAGNETODIELECTRIC FILLING
Eduard A. Gevorkyan, Professor of Plekhanov Russian University of Economics (REU), Moscow, Russia,
gevor_mesi@mail.ru
Abstract
The transition radiation of charged particle in a regular waveguide of arbitrary cross-section the axis of which coincides with axis of some rectangular coordinate system is considered. It is assumed that the anisotropic magnetodielectric filling of the waveguide is modulated in the coordinate by a harmonic law by the pump wave and the charged particle with a constant velocity passes through the waveguide perpendicular to its axis. It is shown, that the transverse electric field (TE) and transverse magnetic field (TM) of the transition radiation of a charge in this case can be discribe by longitudinal components of magnetic (Hz) and electric (Ez) vectors, respectively. The analytical expressions for the transverse components of the TE and TM fields and the wave equations for Hzand Ez can be obtained from Maxwell's equations. The wave equations represent differential equations in partial derivatives of the second order with periodic coefficients. The solutions of wave equations for Hz and Ez are sought in the form of an expansion in eigenfunctions of the first and second boundary problems for the cross-section of the waveguide (the Neumann problem and the Dirichlet problem). This allows the wave equations in partial derivatives to the ordinary differential equations of the second order with periodic coefficients (Mathieu - Hill equations). It is assumed that the modulation indexes mg and m^ are small quantities (mg << 1, m^ << 1) As a result of solving of the wave equations the analytical expressions for the TE and TM fields of transition radiation of the particle are found under the assumption of small modulation indexes mg and m^ of the waveguide filling. These expressions show that the fields in the waveguide represents the set of space harmonics with different amplitudes. Thus on the zero harmonic the amplitudes of the fields do not depend on small modulation indexes, and on the side harmonics they are proportional to the small modulation indexes in the first degree. By means of the received results it is possible to calculate the energy of transition radiation of the charged particle in the regions of "weak" and "strong" interaction between the radiation wave and the modulation wave of the waveguide filling and to investigate the features of Vavilov-Cerenkov radiation at fulfillment of the condition of its occurrence.
Keywords: waveguide, longitudinal components, charged particle, anisotropic magnetodielectric modulated filling, wave equations, differential equation, modulation indexes.
References
1. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguide of arbitrary cross-section // Uspekhi Sovremennoy Radioelektroniki, No. 1, 2006. Pp. 3-29. (in Russian)
2. Gevorkyan E.A. The theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with magnetoactive anisotropic modulated filling. Radiotekhnika I elektronika, Vol. 53, No. 5, 2008. Pp 565-569. (in Russian)
3. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Chapter 13 in the book "Wave Propagation", INTECH Open Publisher, 2011. Pp. 267-284. www.intechopen.com.
4. Gevorkyan E.A. The propagation of electromagnetic waves in the waveguide with space-time periodic insert. Proceedings of the 2012 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA'12), Cape Town, South Africa, September 2-7, 2012, Pp. 877-879.
5. Gevorkyan E.A. The transition radiation fields of charged particle in a waveguide. T-Comm, Vol. 9, No. 7, 2015. Pp. 80-83. (in Russian)
6. Gevorkyan E.A. Interaction of electromagnetic waves with periodically modulated anisotropic magnetodielectric filling of a waveguide. Electromagnitnie volni I elektronnie sistemi, Vol. 14, No. 10, 2009. Pp. 65-72. (in Russian)
7. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in the waveguides of arbitrary cross-section. Wave Propagation, Chapter 13, INTECH Open Publisher. Austria, European Union, 2011. Pp. 267-284. www.intechopen.com.
8. Barsukov K.A., Gazazyan E.D. and Laziev E.M. To the theory of transition radiation in a waveguide // Izvestiya Visshikh Uchebnikh Zavedeniy, Radiofizika, Vol. 15, No. 2, 1972. Pp. 191-195.9. (in Russian)
9. Gevorkyan E.A. The theory of transition radiation of charged particle in a waveguide with an anisotropic magnetodielectric filling, Optics and Spectroscopy, Vol. 119, No. 2, 2015. Pp. 302-306. (in Russian)
