CC BY
44
т
ТЕХНОЛОГИИ
Распространение плоскопараллельного пучка электронов в волноводе с модулированным заполнением
Ключевые слова: волновод, пучок, электрон, модуляция, заполнение, кинетическое, волновое, уравнение.
Рассмотрено распространение плоскопараллельного и прямолинейного пучка электронов в волноводе произвольного поперечного сечения с периодически модулированным в пространстве и во времени немагнитным заполнением, предполагая, что пучок электронов движется с постоянной скоростью вдоль оси волновода. Приведен метод решения системы кинетического и волнового уравнений в предположении малого индекса модуляции заполнения волновода и малого отклонения функции распределения от равновесного состояния. При решении вышеуказанной системы уравнений учитывается усредненное по сечению пучка значение электрического поля, а плотность электронов в поперечном сечении пучка и продольную составляющую электрического поля разлагается по собственным функциям первой краевой задачи для поперечного сечения волновода. Получено дисперсионное уравнение рассматриваемой задачи в первом приближении по малому индексу модуляции заполнения. В частном случае отсутствия модуляции заполнения оно совпадает с уже известным дисперсионным уравнением для волновода со стационарным и однородным заполнением. Указано, что комплексные решения дисперсионного уравнения приведут к неустойчивости пучка электронов в волноводе с модулированным заполнением. Подобная постановка задачи об устойчивости и неустойчивости движущегося пучка электронов в волноводе представляет большой интерес не только с сточки зрения развития теории, но и с точки зрения возможности практического применения движущегося пучка в волноводе в различных областях электроники СВЧ, например, для генерации ультракоротких волн за счет эффекта Вавилова-Черенкова.
Геворкян Э.А.,
Профессор Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), [email protected];[email protected]
Вопросам распространения заряженных пучков в средах посвящены ряд работ (см. [1], [2| и указанную в них литературу). Интерес к подобным вопросам объясняется и с точки зрения развития теории, и с точки зрения возможности практического применения заряженных пучков в СВЧ электронике. Например, движущимися пучками заряженных частиц пользуются в плазменном бетатроне, в циклических ускорителях, при генерации ультракоротких волн с помощью эффекта Вавилова-Черенкова и т.д. Ниже рассматривается задача равномерного движения пучка электронов в волноводе про из воле, но го поперечного сечения, заполнение которого волной накачки модулировано в пространстве и во времени по гармоническому закону.
Рассмотрим регулярный волновод произвольного поперечного сечения с идеальными стенками, ось которого совпадает с осью oz некоторой декартовой системы координат. Волновод заполнен периодически модулированной в пространстве и во времени средой, магнитная проницаемость которой ц = ], а диэлектрическая проницаемость £ меняется
от г и / по гармоническому закону [3-6]
s ~ е„ \l + m cos(£„- - a„t)l ( I )
где rot, = k0u, £„ - диэлектрическая проницаемость в отсутствие модуляции, m«!- малый индекс модуляции, £ и
//— волновое число и скорость волны модуляции соответственно. Пусть в направлении оси oz с постоянной скоростью v движется плоскопараллельный заряженный пучок, состоящий из электронов с зарядом е и заполняющий все пространство в волноводе.
Движение пучка электронов в волноводе можно описать с помощью кинетического уравнения
a/(z.v,Q | | g cE^df(z,v,t)_c (2)
8l ôz m„ dv
и волнового уравнения для продольной составляющей электрического поля Е [3J
А (3)
3z\fë В,z ) с' 8t~ 3z\é) с~ Bt
В уравнениях (2) и (3) с = 3- 10'°см/сек- скорость света в
вакууме,
т„ - 9-10 г-
масса
электрона,
е = 43- 10~'"слг"2 -г"2/сек- заряд электрона, /(г,у,/)-функция распределения электронов в пучке, а плотность электронов р и ток j выражаются формулами
р=е-р„{х,у)^f{z,v,t)dv, j = е-р0{х,у) jV(z,y,t)dv,
(4)
где рв описывает плотность электронов в поперечном сечении пучка, причем
дамлсф-/-
щ
Величина < Е > есть усредненное но сечению пучка значение электрического поля
<Е>= JJ El,(x,y,z,l)pfl{x,y)cixciy. (5)
is)
Разложим р0(х,у) и £(x,y,z,t) в ряд по собственным функциям у/n (.v, у) первой краевой задачи для поперечного сечения волновода
PaАЛf-T. vl Е{х,КU v), < 6>
/т=0 п=0
где р„ = Дл(х,>>„(*,У-М Удовлетворяют
следующему уравнению с соответствующим граничным условием
= =0. (?)
В (7) А, =3' !3х~ +В2/Ву~, X — собственные значения,
которые соответствуют собственным функциям ц/ {.v,ji).
Е- контур поперечного сечения волновода. Если теперь пользоваться Фурье-представлением продольной составляющей электрического поля
E(x,y,zrt)=^v/„(x,y)jjE(k,a))eiib'a)dkc/(i) <8>
»--" (Л')
и учитывать (6), то (5) преобразуется к виду
40
T-Comm #11-2014
Л
т
ТЕХНОЛОГИИ
< Е:
á^p^XkM^dkdm, п=0 J
(9)
где (Я) - множество действительных чисел. Далее будем рассматривать малые флуктуации в пучке электронов, что приводит к малым отклонениям функции распределения, то есть будем считать, что
где /Ду)- функция распределения равновесного состояния, [/{г,V,/)- малое отклонение от равновесного состояния, Фурье-представление которого имеет вид
/;(г,у,г)= [Шу,к,а>)е1{ь-а')<1Ыт (П)
№
Подставляя (9), (10) И (11) В кинетическое уравнение (2) и ограничиваясь первым приближением по /^у,/). после некоторых преобразований получим
т„ - ук) öv
(12)
Заметим, что Фурье-представления величин pie и j имеют вид:
-J j/5(v)rfv+ Ш(v.Jt,ayb-^dkdoxiv- (13)
l/t)
ш
(14)
,2 ,2
-—¿о
ч
, 2 ЙГ * —Г£0 с
■ [¿'„ (А + ¿0, со + м0)+ £-„ (i - , со - со0)] -
¿o
[¿{it +© + «о )]' (15)
ОО Я> , V
—00 —00
Из (15) при т = 0 и с учетом того, что
< Е [к,а>\ получим дисперсионное уравнение
(я)
где /,(г,V,/) выражается формулой (12), 5 есть дельта функция Дирака.
Если теперь (8), (13) и (14) подставить в волновое уравнение (3), то в результате несложных преобразований получим
у PÍ ^ /Л dv -j,
etm„ h> .з iU" " J dv co-kv
Щ +K —Tsti с
Последнее совпадает с результатом, полученным в работе 11 ], если в нем перейти к пределу, когда радиус тора стремится к бесконечности. Отметим, что наличие комплексных решений у дисперсионного уравнения (16) указывает на неустойчивость движущегося пучка электронов в волноводе.
Литература
1. Барсуков К.Л. Ü продольно ¡i неустойчивости заряженного пучка, циркулирующего в цилиндрическом резонаторе // Журнал технической физики, Т, 33, № 5, 1963. - С. 561-564.
2. Барсуков К.А., Коломенский A.A. О продольной устойчивости заряженного пучка, циркулирующего в среде // Журнал технической физики, Т. 33, № 5, 1963. - С. 537-543.
3. Геворкян Э.А. К электродинамике периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах произвольного поперечного сечения // Успехи современной радиоэлектроники, № 1, 2006. - С. 3-29.
4. Геворкян Э.А. К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с магнитоактивным анизотропным модулированным заполнением // Радиотехника и электроника, Т. 53, № 5, 2008.-С. 565-569.
5. Геворкян Э.А. К электродинамике периодически модулированных в пространстве и во времени сред в волноводе И T-Comm: телекоммуникации и транспорт, № 10,2010. - С. 73-75.
6. Gevorkyan Е.А. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in a waveguide of arbitrary cross-seel ion. Chapter 13, pp. 267-284, Wave propagation, Croatia, 201!. 570 p.
Propagation of plane-parallel beam of electrons in a waveguide with modulated filling
Gevorkyan E.A., Professor of Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI), [email protected];[email protected]
Abstract. The propagation of plane-parallel and rectilinear electron beam in a waveguide of arbitrary cross section with periodically modulated in space and in time nonmagnetic filling is considered, assuming that the electron beam is movng with constant velocity along the axis of the waveguide. A method for solving the system of kinetic and wave equations under the assumption of small modulation index of the waveguide filling and small delations of the distribution function from the equilibrium state. At the decision of the above system of equations is taken into account averaged over the cross section of the beam of the electric field and electron density over the cross-section of the beam and the longitudinal component of the electric field decompose on the eigenfunctions of the first boundary-value problem for the cross-section of the waveguide. The dispersion equation of the considered problem in the first approximation for small modulation index of the filling is obtained. In the particular case of the absence of modulation of the waveguide filling it coincides with the known dispersion equation for the waveguide wth a stationary and homogeneous filling. It is specified that the complex solutions of the dispersion equation will lead to instability of the electron beam in a waveguide with a modulated filling. Such formulation of the problem of stability and instability of a moving electron beam in the waveguide is of great interest not only from the standpoint of development of the theory, but also from the point of view of practical application of movng beam in the waveguide in various fields of microwave electronics, for example, for the generation of ultrashort waves due to the Vavilov-Cerenkov effect.
Keywords: waveguide, beam, electron, moduiaiion, filling, kinetic, wave, equation. References
1. BarsukovKAi On the longitudinal instability of the charged beam circulating in the cylindrical resonator / Zhurnal Tekhnicheskoy Fiziki, V 33, No 5, 1963. pp. 561-564.
2. BarsukovKAi, KoiomenskiyAA. On the longitudinal stability of the charged beam circulating in the medium / Zhurnal Tekhnicheskoy Fiziki, V 33, No 5, 1963. pp. 537-543.
3. Gevorkyan E.A On the electrodynamics of nonstationary and nonuniform mediums in the waveguides of arbitrary cross-section / Uspekhi Sovremennoy Radioelektroniki, No1, 2006. pp.3-29.
4. Gevorkyan EA On the theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide wth a magnetoactive anisotropic modulated filling / Radiotekhnika I Elektronika, V 53, No 5, 2008. pp.535-539.
5. Gevorkyan E.A On the electrodynamics of space-time periodic mediums in a waveguide / T-Comm, No 10, 2010. pp. 73-75.
6. Gevorkyan E.A On the electrodynamics of space-time periodic mediums in a waveguide of arbitrary cross-section, Chapter N0 13, pp. 267-284, Wave propagation. Croatia, 2011. 570 p.
T-Comm #11-2014 41
Л
