CC BY
32
16 декабря 2011 г. 18:03
Т-Сотт #10-2010
(Технологии информационного общества)
К электродинамике периодически модулированных в пространстве и во времени сред в волноводе
Дан обзор теоретических исс ледований актора, посвященных распространению электромагнитных волн в волноводе произвольном поперечного сечения с периодически моду лированным заполнением. Приведен аналитический метод решения электродинамических задач в подобных средах. Исследовано распространение поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) волн. Выявлены особенности физических явлений электродинамики периог)ически модулированных сред в волноводе в областях «слабого» и «сильного» взаимодействия между сигнальной волной и волной модуляции заполнения волновода.
Геворкян Э.Л.,
Профессор Московского государственного университета экономики, статистики и информатики
ЕСе\'огкуап(а геасИ. те*і. ги;$*еуог тс.\і(а таіІ. ги
Исследования распространения электромагнитных воли в волноводах с периодически нестационарным и неоднородным заполнением представляют большой интерес не только с точки зрения развития теории Г 1,2], но и с точки зрения возможностей широкого применения волноводов с периодически модулированным заполнением в различных областях СВЧ электроники, микроэлектроники, тонкопленочной и интегральной оптики и т.д. [3-Я.
Пусть диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения регулярного волновода произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью О'/, некоторой декартовой системы координат, волной накачки модулированы в пространстве и во времени по гармоническому закону Гб]
Є = Єп[ін тссо.\кп(г- ш)]. (I)
(2)
м=м\/- т^аюк,^:- т)\.
ТЕ - поле
1Д (д.)+эГ1Ма
Ц - & А Э:
._!Д(3"аи. (3)
с ді\ ді
ТМ - поле
Є Эг І є г) г
-я№ Ь
(4)
где Д =д'/дх2 +Э" Эу1 - двумерный оператор Лапласа. Н = // Н ,Е - £ Е . Уравнения (3) и (4) в частных производных методом, развитым в наших ранних работах (см., например. [6] и приведенную там литературу). приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами типа Матье-Хилла. Последние с точностью до членов порядка тс, /и , ( включительно имеют вид
* е?**н.&)= о,
где те и - индексы модуляции, и - скорость волны модуляции. к„ и кии - волновое число и частота волны модуляции, €„ и - диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения в отсутствие волны модуляции. Предполагается, что индексы модуляции заполнения волновода те и т ^ и параметр
1=(тс +1Н„)/3:/ь.где р: =и:е„Ц„/с:. ь = 1-р:. С - скорость свста в вакууме, малые величины (тг « \,т1, « 1,< «1).
Предположим, что сигнальная электромагнитная волна с частотой а распространяется в подобном волноводе вдоль оси 02. И ) уравнений Максвелла нетрудно получить волновые уравнения для продольных составляющих магнитного и электрического векторов Н. (потенциал ТЬ-поля) и Е (потенциал ГМ-поля) в виде [7.8]
</.ї <1- £..(-у)
</л;
*■-1
I
- цае
_А„(1-^И е<Ц
є,,
V = 7^ іх» ї ■ = тттт У •
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
7.4
(II)
(ї:У
(со, )
(/*: У
_Ы:
С С,'
(12)
Д и л,, - собственные значения второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода. Решения уравнений (5) и (6) ищем в виде
н (*)=*" £с; е1и'
к—I
Д.-(*)=<?'"■' І с; е™',
(13)
где с; и с," пока неизвестные коэффициенты, а характеристические показатели // и ^ могут быть действительными. чисто мнимыми или комплексными [9]. Подстановка (13) в уравнения (5) и (6) приводит нас к дисперсионным уравнениям задачи и к уравнениям для определения С" и С[ (к“0.±1). Из этих уравнений в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции !аполнения волновода (эта область определяется условиями 1| _ ^ > 8 и ||-й["| ~^8, = # ) в первом
приближении по те,т„,( получим
(Д,):=<9„". (р,У =о;:.
С" = *-±|
в,"-с;
в:-с:
(14)
где С," и С,” определяются из условия нормировки.
Теперь из соотношений Н. = Н ./ Ц.Е. = Е. / е с учетом (1). (2). (13), (14) и переходом к переменным 1 и / после некоторых преобразований получим аналитические выражения для потенциалов Н и Е . электромагнитных ТЕ- и ТМ- полей в волноводе с периодически нестационарным и неоднородным заполнением в виде
п =-Х*.(*.уУ[г ч,')■ с;Iк;• е'
А» »=о 1=-\
(15)
где
£.=т-2Х(*;*И» ' '-г,:•
*0 »»=« 4 =-1
(16)
г;-
д;;с~7
2 с; 2 1
* )
А * С" .-—!!• + —£-
1 Г" - '-о 2
(17)
л; +г2-<* <«)
2 А„ // 2 А„ і/
(р;;У = Ці£г,,ді-Д;г. (л;;у ,19)
с“ с
Ч'.(.у. і ) и Ч (л. і )- собственные функции второй и первой краевых задач дія поперечного сечения волновода. удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца с соответствующими граничными условиями [7]. Отметим, что поперечные составляющие ТЕ- и ГМ- полей в волноводе выражаются формулами [7]:
ТЕ- поле Н
Ч,=-± ЭМ,(-■')]уф (Л,
Ц Го о;
С н-(1
ТМ-поле
(20)
(21)
Ё \_ у , а к 01 Уч, (у у а
с “ Л —
(22)
3)
где индекс Г означает поперечные составляющие. =#-орт оси Ог . V - двумерный оператор набла. а величины Н,,(:,!) и Е„(->0 связаны с И и Е соотношениями
//.=
»г=0
£;=Х^(г,/)Ч'„(х,у)
(24)
Согласно (15) и (16) ТЕ- и ТМ- поля в волноводе с периодически модулированным заполнением представляют собой набор пространственно-временных гармоник с различными амплитудами. При этом в области слабого взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода на нулевой (основной) гармонике амплитуда поля не зависит от индексов модуляции заполнения волновода, в то время, как на плюс и минус первых (боковых) гармониках амплитуды полей зависят от индексов модуляции заполнения волновода в первой степени.
При выполнении условия (рассматриваем поперечно-электрическос поле в волноводе в случае ^ = д = | ) (10]
її < Д,.
(25)
где величины в",, и ()' получаются из выше приведенных выражений при //=//„ = 1, мы попадаем в важную частотную область сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода, когда происходит значительный энергообмен между ними.
Заметим, что условие (25) в пересчете на частоты можно переписать в виде
а*- Дй„: а„г й„сн Дй„. (26)
74
где частота сильного взаимодействия й„, и величина
Дй„ выражаются формулами
<Ч* = 77г(7.+А)-
д иМА)У)(
^ 8^2 Д. 7.
(27)
- I, 4 А;
А=-^ Л.=|-А:
(28)
С,
I. К
(Л, -1 А-)(Л. Н ЗД) 16 А2
С. (29)
ГУ,.
• sin V'Lp, = sin V'L ( #L > <p:M >• (32)
Ьс с
В области частот сильного взаимодействия сигнальной волны с волной модуляции заполнения волновода дисперсионные уравнения задачи имеют комплексные решения. Тогда для амплитуд ТЕ-поля на минус первой и плюс первой гармониках имеем оценку
Как видно из (29), амплитуда поля на минус первой гармонике не зависит от индекса модуляции, в то время, как на плюс первой гармонике она пропорциональна
. Иными словами в области сильного взаимодействия помимо нулевой гармоники существенную роль играет отраженная минус первая гармоника на частоте
(О 1с = (0«с - к „и = (/>., - Д.) (f„ > Д )■ (30)
-Pr
Когда волна модуляции распространяется в направлении, противоположном направлению распространения сигнальной волны, то помимо нулевой гармоники важную роль будет играть отраженная плюс первая гармоника на частоте
01. =0-О7„+Д.)- (31)
Комплексные решения дисперсионного уравнения в частотной области сильного взаимодействия приводят к комплексным выражениям язя продольных волновых чисел. Вследствие этого соответствующие поля оказываются нестабильными по г .
Отмстим, что выражение частоты сильного взаимодействия (27) можно получить и из физических соображений на основе выполнения условия Вульфа-Брэгга первого порядка [11], при котором происходит усиление отраженных от уплотнений волн при их интерференции. При этом учитывается, что угол падения нулевой гармоники на максимумы уплотнения заполнения и угол отражения от них из-за движения волны модуляции различны и связаны соотношением [12]
В заключение отмстим, что развитый аналитический метод позволяет также решить и задачи излучения ра*-личных источников, движущихся равномерно вдоль оси волновода с периодически модулированным заполнением, и граничные задачи отражения и прохождения электромагнитных волн от границ ограниченных модулированных сред в волноводах.
Литература
1. Simon J.C. Action of progressive disturbance on a guided electromagnetic wave IRl Transactions on Microwave Theory and Techniques. I%0. v. MTT 8. №1. pp. 18-29.
2. Барсуков K.A. К теории волновода с нестационарным заполнением II Радиотехника и электроника. 1964. т.9, Xs7. С .1173-1178.
3. hlachi Ch.. \ eh С. Periodic structures in integrated optics Journal of Applied Physics. 1973. v. 44. pp. 3146-3152.
4 Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах. Обзор // ТИИЭР. 1976. т.64, Х°12. - С.22-58.
5. Ярив Л., Юх П. Оптические волны в кристаллах: Перевод с английского. - М.: Мир. 1987.
6. Gevorkyan Е.А. Electromagnetic waves in a waveguide with a periodically modulated filling Proceedings of International Symposium on LI ectro magnetic Theory. Thessaloniki. Greece. May 25 28. 1998. v.l. pp.69-70.
7. Геворкян Э.А. О потенциалах поля в волноводе с нестационарным неоднородным эаполпением // Междуведомственный тематический научный сборник. Рассеяние электромагнитных волн. Таганрог: ТРТУ. 2002, №12. - С.55-58.
8. Gevorkyan Е.А. Ueciromagnetic waves in a waveguide of an arbitrary cross section with space-time periodic dielectric lllling Book of Abstracts of the Fifth International Congress on Mathematical Modelling. Dubna. Russia. September 30 October 6. 2002. v. I. pp.199.
9. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложения функций Матье: Переводе английского. - М.: ИЛ. 1953.
10. Барсуков К.А., Геворкян Э.А. К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с нестационарным неоднородным заполнением // Радиотехника и электроника. 1983. т.28. вып. 2. -С.237-241.
11 Борн М., Во.и.ф Э. Основы оптики: Перевод с английского. - М.: Наука, 1973.
12. Барсуков К.Л., Геворкян Э.А. Переходное излучение в волноводе с нестационарным неоднородным заполнением И Труды международного симпозиума по переходному излучению частиц высоких энергий. Ереван. ЕрФИ. Май 12-17. 1977. С .534-539.
75
