Мощные импульсы с сильной линейной частотной модуляцией в градиентных волноводах Текст научной статьи по специальности «Физика»

I

2006

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

Сер. 4-

Вып. '2

ФИЗИКА

УДК 537.877 М. А. Бис.ярин

МОЩНЫЕ ИМПУЛЬСЫ

С СИЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ *)

1. Моделирование сильно чирпированного импульса в градиентном волноводе. Импульсы с линейной девиацией частоты несущей находят применение для решения многих практических задач. Линейная частотная модуляция может использоваться для частичной компенсации влияния дисперсии среды распространения: как показано в [1, 2], вплоть до определенного расстояния импульс сжимается под действием квадратичной модуляции фазы и лишь затем начинается его расплывание под действием дисперсии среды. Модулируя фазу несущей по более сложному закону, можно добиться расщепления исходного импульса на два самостоятельных [3]. Линейно-частотно-модулированные сигналы оказались эффективным средством улучшения характеристик длинноволновых радионавигационных систем, с их помощью можно обеспечить высокую разрешающую способность по задержке между сигналами и эффективную защиту от помех [4]. Применение частотно-модулированных оптических импульсов позволило разработать новую технологию оцифровки электрических сигналов, что существенно ускорило работу аналого-цифровых преобразователей [5, 6]. Важные результаты исследований чирпированных импульсов в нелинейном режиме распространения содержатся в работах [7-9] и цитированной в них литературе.

Распространение короткого слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью моделируется с помощью нелинейного волнового уравнения [10]

ду ,13/, З2/ 1 «Э2/ / 2 а(р, в) 2 \ дУ

где р - нормированная на длину волны радиальная координата; й - безразмерная медленная продольная координата, пропорциональная б2 - второй степени малого параметра 5 1 (фактически, третье слагаемое в уравнении представляет собой обычную вторую производную по продольной координате); £ - безразмерное, нормированное на период электромагнитных колебаний время [10]. Амплитуда поля / предполагается величиной порядка 6, т. е. рассматривается слабо нелинейный режим распространения. В этом случае, как показано в [10, 11], естественно полагать, что длительность импульса порядка й-1.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Д* 05-02-16176). © М. А. Бисярин, 2006

Класс сильно чирпированных импульсов выделяется тем, что глубина их частотной модуляции соизмерима с шириной спектра импульса. Это означает, что квадратичная модуляция фазы происходит с коэффициентом порядка ё2 (у чирпированных импз'льсов этот коэффициент на порядок меньше - <53 [12]), и решение уравнения (1) следует искать в виде

/ = 8Р{р,Ф,з,ч>) ехр с фазой огибающей

^г - * - РМ*

+ к.с. (2)

1-Щ-Л. (3)

о

Поскольку дополнительно предполагается, что волновод является продольно неоднородным, то коэффициент модуляции //(в) ~ 1 зависит от продольной координаты. Комплексная амплитуда .Р разлагается в ряд по степеням малого параметра

оо

Т*/ . ,(1 . Г-1 / . .Л , ГП / Л N. V 1 Г1 7-1 С п N /

г = гоур,и,ь} -1- (уу, -+- ^о-

3=2

Волновой процесс локализован в окрестности оси волновода, поэтому все Р^ должны обращаться в нуль при удалении от оси. Отсутствие зависимости от азимутального угла <р в функциях и возможно в случае, когда показатель преломления заполняющей волновод среды в поперечном сечении зависит лишь от радиальной координаты, однако в последующих слагаемых зависимость от <р все равно возникает вследствие искривления оси волновода.

Модовый состав сильно чирпированного импульса. Определение элементов ан-затца (2)-(4) проводится в рамках последовательной асимптотической процедуры. Для этого подставим выражения (2)-(4) в уравнение (1) и приравняем нулю коэффициенты при последовательных степенях 5. В старшем порядке - при нулевой степени параметра - получаем задачу Штурма-Лиувилля на полубесконечном интервале

д2+ + 5) (1 + - И5) - ¿ШЧ*))2) Ро = о, (5)

др2 р др

Го конечно при р = 0, —> 0. (6)

В монографии [13] показано, что такая задача разрешима для достаточно широкого класса зависимости функции /?2(р, в) от р. Выражение для собственного значения задачи (5),(6) устанавливает связь между функциями г(з) = Я'(з), (¿(в) и р(з). Каждому собственному числу соответствует собственная функция, которую можно представить в виде произведения

Го (р,0,з) = Щ0,з)У(р,8), (7)

оо

где У{р,5) - функция, нормированная условием / рУ2(р, з)с1р = 1 и описывающая распреде-

о

ление волнового поля в поперечном сечении волновода. Функцию и(9,в) будем называть огибающей импульса.

Выражения для собственных значений и собственных функций получаются в явном виде в случае

в2(р,з)=р20(з)--в22(з)р2, (8)

т. е. когда линейная часть квадрата показателя преломления квадратично зависит от радиальной координаты. Формула для т-го собственного значения связывает г(з), (¿(я) и соотношением

/?о2(5)(1 + 2- (ф) - ¿(з)02(з))2

формула для соответствующей этому собственному значению собственной функции имеет структуру го е 2 £/т

(.х2), где Ьт - полином Лагерра (полное выражение содержится в

[10]).

Рассмотрим более подробно распространение нулевой моды. Поперечное распределение ее волнового поля описывается выражением

У(р,з) = у/Мв)(1 + 2»Ш(з))е-№Ш1+2»{зЮ(з))р\ На данном этапе есть только одно соотношение между г(з), (¿(э) и

/З02(5)(1 + 2/Ф03(5))2 - /ЗД(1 + 2/ФК2(*)) - (Ф) - м'Ш2Ш2 = о, (9)

поэтому определение фаз высокочастотного заполнения Я и огибающей 0 осуществится на следующем шаге асимптотической процедуры.

3. Взаимозависимость частотной модуляции, фазы высокочастотного заполнения и фазы огибающей. Поправка первого порядка F1 к комплексной амплитуде удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению

Я2 Р 1 Я Р

Ч^+рЧ^+а)(1+-(г(5) - ¿шч*))2) ъ =

г)Р

= 2г (/32(р, «)(1 + 2ф)С}{8)) - ${з)(ф) - ц'ШЧз))) ^ +

+ {?{р,з)ц{з)(\ +2цШ{з)) +^{з)Я{8){г{в) -ц'Ш2(з)))

и граничным условиям, аналогичным (6). Чтобы условие разрешимости этой задачи соответствовало представлению (7), необходимо искать ^ в виде

лгг

функции \\Г\{р,з) и удовлетворяют уравнениям

^ + ^ + (/?2(Р' 5)(1 + 2/х(5)<3(5))2 " " ^ =

= {Р2(р,з)( 1 + 2фЮ(з)) - д'ООСФ) - д'ООЯ'ОО)) V, (10)

+ + (Р2(р, 8)(1 + 2/х(5)д(5))2 - (т(з) - Ц.'Ш2(з))2) =

= (/32(р,з)м(з)(1 + 2»(8)0(а)) + ц'№(з)(ф) - л'(«)<?а(в))) V (И)

и тем же граничным условиям. "Условия разрешимости задач для и Цг2 имеют вид

оо

(1+2^(5)000) J p32(p,s)VHp,s)dp-Q'(s) {r(s)-p'(s)Q2(s)) = 0, 0

fi(s)(l + 2fi(s)Q(s)) / pP2(p,s)V2(p,s)dp + p(s)Q(s) (r(s) - p'(s)Q2(s)) = 0. (12)

0

Из них вытекает, что для произвольной зависимости 0(p,s)

p(s)Q(s) = р0 = const, (13)

т. е. коэффициент модуляции связан с фазой огибающей и, таким образом, не может выбираться произвольно.

Явные выражения для фаз высокочастотного заполнения и огибающей выведем для случая (8). Из выражений (9) и (12) следует

¡32(s)(l+2p0)-^2(s)

^l32(s)(l + 2p0y-,82(s)(l + 2p0)

R2i

r(s) =

$2(з)(1 + уи0)(1 + 2р0) - + \щ>)

у/РЪШ 1 + 2ро)'2 - + 2рп)

Уравнения (10) и (11) легко решаются стандартными методами:

в результате давая поправочное слагаемое к распределению волнового поля в поперечном сечении волновода. Отметим также, что, как следует из выражения для 1¥2, эта поправка зависит от коэффициента модуляции.

4. Огибающая сильно чирпированного импульса. Поправка второго порядка Р2 к комплексной амплитуде импульса удовлетворяет неоднородному уравнению

\в2(р, s) (1 + 2 p(s)Q(s)f - (r(s) - р (s)Q2 (s))2^j F2 =

d2F2 1 dF2 dp2 p dp

= 2i{B2{p,s){\ + 2p(s)Q(s)) - Q'(s)(r(s) + p(s)Q(s)Q'(s)))d^- + +Щ02(р,з)ф)(1 + 2p(s)Q(s)) + p'(s)Q(s)(r(s) + p(s)Q(s)Q'(s))) Fl +

He2(p,s)-Ql2(s))^-4i^p(s)(e2(p,s)-Q'2(s))d^-д F

-2i(r(s) + p{s)Q{s)Q:(s))~ - i(232(p, s)p(s) + r'(s) - p" {s)Q2(s))Fq-

—2u2{232(p. s)p2(s) + p'(s}(r(s) 4- 3p{s)Q(s)Q' (s)))F0-

-a(p,s)(l + 2ß(s)Q(s))2\F0\2F0

и граничным условиям, аналогичным (б). Условие разрешимости этой задачи имеет следствием уравнение для огибающей импульса U(6,s)

ОТ- г о2 Тт дгг

2i(r(s)-ß\s)Q2(s))—+g(s)^ + ^p(s)U + ij(s)U + m(s)^+h(s)\U\2U = ö, (14) коэффициенты которого

ос

-fi I

g(s) = 4 у р {ß2(p, s) (1 + 2ß(s)Q(s)) - Q'(s) (r(s) + ß(s)Q(s)Q'(s))) V(p, s)Wl (p, s)dp-0

oo

- j p{ß2(р., s)-Ql2(s))V2(p,s)dp, 0

cc

p(s)=2 I p{2ß2(P,s)ß2(s) + ß'(s)(r(s) + 3ß(s)Q(s)Q'(s))) V2(p,s)dp-0

oo

- 16 У p{ß2(p.,s)ß(s)(l +2ß(s)Q(s)) +ß'(s)Q(s)(r(s) +ß(s)Q(s)Q'(s))) V(p,s)W2(p,s)dp, 0

cc

j(*) =Jp №2(P, s)ß(s) + r'(e) - //"(s)<92(5)) ^/2(p, s)dp-0

oc

-8 [p{ß2(p.,s)(\+2ß(s)Q(s))-Q'(s)(r(s)+ß(s)Q(s)Q'(s))) V(p,s)W2(p,s)dp,

J

о

oo

d(s)=4ß(s) I p{ß2(p,s)-Q'2(s))V2(p.,s)dp-0

oo

-8 Jp (ß2(p,s)fi(s)(l + 2fi(s)Q(s)) +p'(s)Q(s)(r(s) + ß(s)Q(s)Q'(s)))V(p,s)Wl(p,s)dp-o

oc

-8 J p(ß2(p,s)(l +2ß(s)Q(s)) - Q'(s)(r(s) + ß(s)Q(s)Q'(s))) V(p,s)W2(p,s)dp, 0

cc

h.(s) = (1+2n(s)Q(s))2 [ pa(p,s)V4(p,s)dp.

Зависимость коэффициентов уравнения от продольной координаты отражает влияние продольной неоднородности волновода на эволюцию огибающей. Решение уравнения для огибающей может быть осуществлено методами, изложенными в монографии [14].

Заключение. Распространение сильно чирпированного импульса в градиентном волноводе с продольной неоднородностью описано исходя из нелинейного волнового уравнения. Процесс трактуется как слабо нелинейный, амплитуда импульса считается величиной порядка малого параметра 8. Масштаб продольной неоднородности при этом порядка 82, кроме того, фазовая модуляция сильно чирпированного импульса также пропорциональна 82. Фаза высокочастотного заполнения, фаза огибающей и коэффициент линейной частотной модуляции получаются как решение системы уравнений, состоящей из уравнения задачи Штурма-Лиувилля (5) и условий разрешимости (10), (11) задачи для поправки первого порядка к комплексной амплитуде. В этом и состояла принципиальная сложность задачи о сильно чирпированных импульсах: в случае «просто» чирпированных импульсов фаза высокочастотного заполнения определяется непосредственно как собственное значение задачи Штурма-Лиувилля, которая и сама имеет более простой вид, поскольку не включает в себя ни фазу огибающей, ни коэффициент модуляции [12].

В настоящей работе в рамках принятого приближения полностью учтена продольная неоднородность волновода. Последовательным применением асимптотической процедуры выведено уравнение (14) для огибающей сильно чирпированного импульса в градиентном волноводе, коэффициенты которого зависят от продольной координаты. Полученные для фаз высокочастотного заполнения и огибающей, коэффициента модуляции и распределения волнового поля в поперечном сечении волновода выражения также включают продольную координату, описывая тем самым изменение данных характеристик в процессе распространения импульса в продольно неоднородном волноводе. При этом фаза огибающей и коэффициент линейной частотной модуляции связаны соотношением (13). Последнее, с практической точки зрения, означает, что чирп не может задаваться произвольно, но должен согласовываться с параметрами поперечной и продольной неоднородностей градиентного волновода. И, наоборот, по изменению коэффициента линейной частотной модуляции можно судить о продольной неоднородности волновода.

Автор благодарит своего научного консультанта проф. И. А. Молоткова за постоянное внимание к работе и ценные дискуссии, а также проф. О. И. Котова и ст. науч. сотр. И. И. Саенко, указавших на методику применения чирпированных импульсов для ускорения работы аналого-цифровых преобразователей.

Summary

BisyarinM.A. Powerful pulses with a strong linear frequency modulation in graded-index waveguides.

A nonlinear process of propagation of a chirped pulse whose frequency modulation is commensurable with its bandwidth is studied in a waveguide characterized with strong dependence of the refractive index on the radial coordinate and weak dependence in the longitudinal direction. The formulae are obtained describing variations of a high-frequency carrier, an envelope and wave field distribution in the cross-section during the pulse propagation. The relationship is revealed connecting the chirp evolution to the parameters of the transverse and longitudinal inhomogeneity of the waveguide.

Литература

1. Виноградова M. Б., Руденко О. В., Сухорукое А. П. Теория волн. М., 1990. 2. Ахма-

нов С. А., Выслоух В. Л., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М., 1988. 3. Helczynski L., Anderson D., Hall В., Lisak M., Sunnerud H. // J. Opt. Soc. Amer. Ser. B. 2002. Vol. 19, N 3. P. 448-453. 4. Беленький M. И., Беленький Ю. M., Козин В. Я., Козин И. Д. //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 2 (Л» 12). С. 110-113. 5. Сорргпдег F., Bhushan A. S., Jalali В. // Electron. Lett. 1998. Vol. 34, N 4. P. 339-400. 6. Bhushan A. S., Сорргпдег F., Jalali B. // Ibid. N 9. P. 839-841. 7. Выслоух В. А.// Успехи физ. наук. 1982. Т. 136, № 3. С. 519-531. 8. Kodama Yu., Kumar S., Maruta A. // Opt. Lett. 1997. Vol. 22, N 22. P. 1689-1691. 9. Kamchatnov A. M., Steudel H. // Opt. Comm. 1999. Vol. 162, N 1. P. 162-168. 10. Бисярин M. А., Молотков И. А.//Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 6. С. 516-526. 11. Молотков И. А., Вакуленко С. А., Бисярин М. А. Нелинейные локализованные волновые процессы. М., 1999. 12. Бисярин М. А. // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, JVs 1. С. 64-71. 13. Coddington Е. A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. New York, 1955. 14. Молотков И. А. Аналитические методы в теории нелинейных волн. М., 2003.

Статья поступила в редакцию 4 октября 2005 г.