CC BY
24
f
С.Л. Водяницки&1 м.А. Зуев, В. В. Шапинскгсй/ А.Б. Шварцбург
КВАЗИДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ ИМПУЛЬСОВ В НЕРЕГУЛЯРНЫХ МН0Г0М0Д0ВЫХ
ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ
Как известно, широкий класс задач нелинейного распространения электромагнитных сигналов традиционно описывается приближением медленных амплитуд При этом разнообразие геометрических конфигураций полей практически не сказывается на структуре эволюционных уравнений. В связи с этим представляется целесообразным рассмотреть общую схему квазидинамического разложения уравнений нелинейной электродинамики, приводящую к эволюционным системам шредингеровского типа .
Запишем нелинейные уравнения Максвелла в виде
^ ^ (не л ) ^
„ . ЭВ - Э {D + Р ) х . ГЛ ч
rot Tt ' rot в --at--'
где р^иел) - нелинейная добавка поляризуемости к линейной части электрической индукции D«
Далее для описания распространения квазимонохроматического сигнала с несущей частотой со положим:
S = Е - e"iù)t, В = H • e"itJt, ?<нел>= ?<иел> . ^ict^
? ГТ гЧнел) ^ .
где Е, H, Р - слабо зависящие от t комплексные амплитуды.
Пусть материальные связи между Фурье-компонентами полей описываются изотропными соотношениями:
= • = ий # на' = ап * Еа'
где е = с + Де(нер) включает в себя нерегулярную добавку к веществен-
ной невозмущенной диэлектрической проницаемости е. При этом, как нетрудно показать,
00 1к . Эке ЭкЕ 55 2 —[Г • —Г " е
к=0 к! Эо> Эt
Аналогично выражаются В через Н и ] через а, Е. Тогда из (1), опуская громоздкие выкладки, можно получить общее квазидинамическое разложение:
оо I к як л к .
- 1 Э_ . 3_/Го^Еч
Н = -1 Е--¡7 * -г(-),
к = 0 к! 91: Эо>К сор.
® . к к л к I ^ ^ у
дТ + S — • -Чг • ^-r ' U Ц Е . Е + V(E • —) +
к=0 к! St Эш
£
^х rot 1|> = -А; (2)
А = I iH . . ¿L Lviy • Е + i V (Е - -2L.) + COU* Q ♦ 7 ( div 0 )\ . (3)
к=0 к! 3t Эсо ( 1+iy й)е(1+1у)
Здесь по ш дифференцируются материальные параметры е, Ц/ Y> а по времени
t - амплитуды Е и Q = (о • Р Н6Л + i -^- • При этом в дифференцировании по
<0 вектор Q (как и Е) не участвует, несмотря на явную зависимость Q от со* Нере-
Снер)
гулярность и поглощение характеризуются безразмерным параметром у =—ie ' ' * сое *
Следует отметить, что структура уравнений эволюции медленных амплитуд (2)-(3) несколько сложнее традиционных соотношений для Фурье-компонент. Однако специфика представления характерных нелинейных откликов через амплитуды полей явля
ется решающим аргументом в пользу построения общей теории на основе С23-СЗ).
Конкретизируем полученные соотношения для описания эволюции формы импульса
в многомодовом волноводе с продольной осью Z. Положим в нулевом приближении (2)
Э
А * УГ= мто "Риводит к традиционной задаче о поперечном распределении мод'.
^m = ' eXP<1#km " z)/ = h С?,) • exp(ik Z),
и m i m mml m '
удовлетворяющих стационарному линейному регулярному варианту исходной системы
<1) :
rot Е = io>U н , rot Н = -icoe • Е . m tn щ m
При этом сшивка поперечных граничных условий позволяет определить спектр продольных волновых чисел к и поля мод е , h , которые в дальнейшем будем считать
го ш го
заданными. Кроме того, ниже используются традиционные для волноводов условия:
Эе
Vu = 0, =* 0> причем \i, е - вещественные. Таким образом, еж удовлетворяет мо-
довым уравнениям:
2 - * - Vxe
m
V.e ♦ со v£ * e +v,(e • -) = k2 - e
1 ml 1 ml e ; m mi >
emz ~~ k
m
V,e
div e ♦ (e • )
ml v mi г '
Для описания эволюции модовых амплитуд введем квазидинамическое разложение по модам поперечной составляющей электрического поля Е^-
к к
» 1 ЭКР ЭР
Е | = Е Е — • -р1 - = Е (Р - е . + 1-— - е' - (5)
п к=0 к! Э1к П! п п пх Э1 щ
Здесь и далее ¥ = f • ехр<1«клж г), где f - слабо зависящие от С^г)
О Л Л
— (к)_ Э е _ Зе
комплексные амплитуды; е =-^ , е = • Данное разложение является прямым
следствием аддитивности модовых векторов, Формирующих Фурье-компоненты поля:
р 7 ^п • 2 С п(г) ' е" (К, г.)
Ь . = / с1Й • е пО щ 1
1 п
- оо
При этом для определенности можно рассматривать однокоординатную структуру (например, в осесимметричном случае при отсутствии зависимости от угловой координаты ф имеем Е = (О, Е , 0) для ТЕ-мод или Е = для ™~РаспРеДе" лений) .
Следует отметить, что в отличие от случая стационарного монохроматического сигнала поперечная структура импульса каждой моды эволюционирует, согласно (5), уже в первом приближении теории дисперсии. Данное обстоятельство игнорируется во многих работах [4,6,7,11]. Между тем последовательное развитие предлагаемой теории указывает на то, что фиксация поперечного распределения модовых импульсов (то есть использование вместо (5) разложения Е^= Е Р^С^г) - е (г,)) приводит к физически необоснованным эффектам, например, к взаимовлиянию импульсов различных мод в линейном регулярном волноводе.
Воспользуемся далее свойством ортогональности поперечных модовых компонент [9, Ю]:
оо
// ах • ду • Ге * Н 1 = о при к Ф к .
I ни п 1 п гп
• оо
Преобразуя данный интеграл к более наглядной форме, введем ортонормированный оператор поперечного усреднения П^:
оо
// ¿х#с»уСел - 7— • е - (Лу.)-а
' П1к П 2 А
л + -оо п
П • а = - .
п -5 ^
// ах^у.Се^- — • ^г-сИу^-е - 00 п
(6)
При этом
- - I
П -е = 6 = п т тп
1 для к = к п т
О для к * к
п т
(6а)
Подставляя теперь (5) и (2) и опуская громоздкие выкладки, с учетом (6а) имеем:
Э2Р_ « тк (к) экрт . ЭА
+ Е —(к*) 'к = - П -А + т -ЕСП-е" )• (П ■ —-) + ... (7) Э22 к=0 к! т 1 „ т М1 т ^
При этом, как нетрудно показать, в линейном регулярном случае (когда А = 0) решение (75 сводится к эволюционным уравнениям для медленных амплитуд:
0 f =0, т т
где
S f
m m
3f
m
3z
• К
00 1
- i E — k = 1 k!
(k)
3kf
m
m
3t
IT
3f
3 z
m ♦ k' m
3f
m
i -k
i»
m
8af
m
Ш
m
Э 3f
m
St
• •
3t
3t
При А Ф 0 эволюционные уравнения содержат возмущающие факторы R
m
ш
f = m m'
(9)
определение которых и составляет конечную цель данной работы.
Конкретизируя А, примем, что при соТ У> 1 (Т - характерная длительность импульса) влияние возмущающих факторов сказывается во втором порядке теории дис
персии, то есть IyI~
IP
(нел)
е IEI
1 ~ гЪ2
(—), Тогда масштабы затухания и самовоздействия соизме-
о)Т
римы с длиной дисперсионного расплывания импульса. При этом структура Ах распадается
в (3) на нерегулярную и нелинейную части вплоть до членов ~ (Дг)
(i) I
что позволяет
R = R(Y) + РСнел> ш m m
принять в (9) К« = 1С1' + 1С"""'. Кроме того, можно показать, что необходимая для вычисления А^продольная компонента поля Е^ соответствует в первом приближении квазидинамической структуре (5):
(1 )
Э F
= 2 (F е + i • n nz п
n f ч . е ) .
nz
(10)
Определяя в рамках изложенного влияние нерегулярности, будем учитывать
взаимосвязь соседних мод, ограниченных разросом волновых чисел ^к < к < 3-к .
m п m
Тогда во втором дисперсионном приближении получим
, * i(к -к ) -z
= -£ Г - - n m
R л'' = -£ Г • f m mn n
n
C11 )
где
Г . П • S«Y)/{k + „ „
mn
m
С1 2)
-(y) — - ^
an = 0)2UCY • e + 7х(еп • VY).
Конкретизируем влияние нелинейности дели [i]:
Р^нел) = а-(Е-?*) - Е + р-(Е-Е)-Е*, При этом, подставляя, согласно С5) , (10),
(13)
в рамках безынерционной кубической мо-
-♦(нел)
• «
= Е F.F*F ijn 1 ' n
(14)
0 )
E = E F • e . имеем
-v n n
n
(15)
где
• •
= a-<e.-eí)-en + p-(e..ер)•eí.
Тогда из (3), C7) в том же приближении получим
С16)
(нел) * i-Ck.-k.+k -k )-z
Rm = 2 i-к .. • f .. f*.f -e i J n m
m ijn irn j n i j n '
(17)
где
mi jn
п 3 . . /(k. m i j n i
к. + к + к ), 3 n m '
(18)
ел)
3 • •
îjn
= со
V?,1jn ♦ V,
-L
div cijn * Г Ск • -к /+к- ) -'clj n
J п
(19)
(здесь так же, как и в (11), (12) , разброс волновых чисел соседних мод ограничен -к < к. - к. + к < 3-к ).
т 1 ] п т
Следует отметить, что найденные общие выражения (12) и (18) для матриц
Г и н .. резко упрощаются в "толстых" многомодовых волноводах, когда т п лп]п
оо2ие • г^ » 1. При этом в (6) можно проигнорировать наличие продольных модовых компонент, а в (13) и (19) удалить члены .
Тогда
оо
н е р ) * т
ff dx-dy • (о)2ижДе4 /i + соца) • (е -е )
m1 ni
— оо
mn
оо
(к + к )•// dx-dy- (е -е ) n m 7 mi mi
— со
(20)
00
О)2 *Ц
// dx-dy
- оо
[
a- Ce .. -е . )
il Ji
Ce ,-e ,) + Ë-Ce.-e )■Ce -e. )
ml ni 11 ni mi ji
к
mi j n
(к, - к. + к + к )• // dx-dy-(em . em )
i j n m mi mi
(21)
Однако при исследовании "тонких" маломодовых волноводов (когда со2]ле-г2 ^ 1) и учете продольного поля отброшенные слагаемые могут конкурировать с основными
и становиться определяющими.
Полученные соотношения (8)t С9> f (11), (17) позволяют описать довых амплитуд f^ и определить, согласно (5), (10), поля Е L и Е^, самым решение поставленной задачи.
эволюцию мо-
замыкая тем
Приложение
При исследовании эволюции коротких импульсов возникает, как известно, ряд особенностей (например, асимметрия фронтов), ответственность за которые несут члены третьего приближения теории дисперсии "(тгт)3 [2р8]. Построенная квазиди-
со
намическая теория позволяет определить явный вид этих слагаемых, а именно: к
(.У)
выражению (11) следует добавить ДИ' 2
AR
(Y) -
at
m
= S i Г
n
n
mn
at
i(k -k ) -z n m
e ,
(22)
где
г .fi
mn m
(
M (k + k )
n m
n
VCk + k )
4 n m
a к выражению (17)- AR
(нел)
m
(23)
AR
(нел)
ID
2 к i jn
mi ] n
Ы . _i
3t
f * • f + к1 . . • f .
j n mijn i
*
Э f .
X,
о t
f *
П
-n + к
mi ] n
• «
f.-f! i j
3f
n
3t
i ( k . - k . + k -k )-z i i n m
e J ,
где
(к.+к ) ' -и .. + П- [s (ft -а )-е' - ("а! . ¿а ! ?1\ ) 1 L m rmjn m [м м ijn Mi i j n i j n 'J
• •
m1]n tk. - к. + к + к )
t j n m
C25)
Здесь при вычислении a!. подразумевается, что в (19) по со дифференцируются
2'3П (I)
лишь коэффициенты (а) *у,) и (1/е), а при вычислении al. по о> в (19) дифферен-
Н^ ^ J Л • • I ж | V
цируются к, и е. (последние, согласно (16), определяют T1jn). Знак перед "а..
L L ' 1 ] п
задается индексом I: для I = i, I = п имеем СО; для L = j имеем С-).
Литература
1. Ландау Л.Д., Л и ф ш и ц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
2. Виноградова М.Б., Р у д е н к о О.В.> Сухорукое А.П. Теория волн, M•2 Наука, 1979«
t
3. Сисакян И.Н., Шва рцбург А.Б. Квантовая электроника, 1984,
т. 11, с. 1703.
^.Хасэгава А., Кодама Ю. Труды ИИЭР, 1981, т. 69, »Г 9, с. 57.
5. Беланов А.С., Головченко Е.А., Д и а н о в Е.М., H и к о-н о в а З.С., Прохоров A.M., С е р к и н В.Н. Труды ИОФАН, 1986, т. 5,
с. 35.
è.Grosignani В., С u t о I о A., D i Porto P. J. Opt. Soc. Am., 1982, v. 72, N 9, p. 1136.
7.АльтшУлер Г.Б., К a p а с e в В.Б., Козлов С.А., Мурки-н а Т.А., Розанов Н.Н. Оптика и спектроскопия, 1986, т. 61 , вып. 2,
с. 359-
8. Выслоух В.А., Матвеева Т.А, МГУ, Физический факультет: Препринт ff 24/1 986.
9. Я р и в А., Ю х П. Оптические волны в кристаллах. М.: Мир, 1987♦
10. Интегральная оптика / Под ред. Т. Тамира. М.: Мир, 1978. П.Абдуллаев Ф.Х., Дарманян С.А., Хабибуллаев П.К.
Оптические солитоны. Ташкент.: ФАН, 1987.
