Уравнение нелинейной динамики световых импульсов в многомодовых световодах Текст научной статьи по специальности «Физика»

И.Г. Колчанов, А.Б. Шварцбург

УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ В МН0Г0М0Д0ВЫХ СВЕТОВОДАХ

Успехи, достигнутые в применении нелинейных свойств одномодовых световодов [i], привели к необходимости обобщения уравнений, описывающих распространение и взаимодействие световых импульсов, на случай многомодовых световодов (М С) . С этой целью в [2] было предложено использовать обобщенное нелинейное уравнение Шредин-гера, в котором учитывается изменение показателя преломления, пропорциональное суммарной интенсивности полей мод. В [З,'*] на основе теории связанных мод удалось получить более полное описание нелинейных эффектов, соответствующих прони-(з)

цаемости е „ с(о>- = ш, + а) - со ) . Результаты этих работ были получены в прибли ар Y о з к ш п

жении слабонаправляющих световодов, а учет поляризационных эффектов сводился к рассмотрению двух крайних случаев - деполяризационного и линейно-поляризационного излучения. В настоящей работе вышеуказанные приближения не использовались, но учитывались возможные нерегулярности структуры световодов, а также наличие мод излучения. При выводе уравнений нелинейной динамики световых импульсов в МС впервые получен полный набор нелинейных членов, связанных с нелинейной проницаемостью третьего порядка. Это позволило классифицировать нелинейные эффекты, протекающие в МС, по виду нелинейных членов традиционным способом. Далее будем исходить из следующей связи между Е и D:

D(а>) = ё(со)Е(ш) + е, (ш)Е(ш) + Бил(<о), П)

ГПР

е(со) - диэлектрическая проницаемость регулярного световода; €,((0) - возмущение диэлектрической проницаемости, связанное с нерегулярностью;

-н л , ,

D (ш) - нелинейная часть D(co).

Предполагается, что волновод изготовлен из изотропного материала. Как известно [5]. в изотропных средах отличная от нуля нелинейность наименьшего порядка описывается членами, кубичными по Е:

D^3> (со) = /E^p^g (ш1 ,co2 »co-co., -co2) Eg (to1) E^ (co2) Eg (co-co., -co2) dco1 do)2 , (2)

где e'f , - тензор нелинейной проницаемости третьего порядка, и по индексам в.у.б apYO

подразумевается суммирование. Пренебрегая членами высших порядков, будем считать, что DH л (со) = D<3> (со) , |0НЛ (со)| « ID (со) I . Все величины в формулах (1), (2) являются функциями со и координат г = (x,y,z), причем ось световода считается направленной вдоль оси z. Опуская далее аргумент со и полагая, что магнитная проницаемость u = и0• запишем уравнение Максвелла (в системе MKS)

rot н = -i 2 /И D ' div 5 = О,

С Uo _ (3)

rot Е = i 2 ЛИа. Н, div D = О, с е0

которые совместно с (1), (2) составляют замкнутую систему для нахождения полей возмущенного световода.

Ортонормированность и полнота набора поперечных составляющих полей мод регулярного световода е^(х,у) позволяют представить Е в виде разложений [6]

Efc = E{bk(z)?kt + / bk(z,Q)ekt(Q)dQ} (4а)

для поперечной (индекс t) и

е2 = ^г— 2{Ьк(г)екг + I Ьк(2'0)ек2(0)<305 (4б)

Б +Е , к

продольной (индекс г) компоненты.

Суммирование ведется по вперед- (к > 0) и назад- (к < 0) распространяющимся направляемым модам и модам излучения.

Повторяя основанный на теореме взаимности вывод уравнений связанных мод [6]

с учетом нелинейного члена в формуле (1) , получим:

<» мп

э_2 - ±е.ь. = II {с.кьк + / с.к(0)Ьк(0)а0} + ха. , (5)

где - постоянная распространения j-й моды,

ш Г, . ,1* . (6)

cjk(z) = sign (j) £ / El(r)(e* • ek>dA

-о

представляет собой коэффициент связи мод на нерегулярности, а

нл /~ё~ da = sign (j) /-3- S (?J • DHJ1)dA (7)

i. = sign (j> is ' s; ' (ej

учитывает нестационарное возмущение световода, обусловленное нелинейностью среды. В формулах (6) , (7) интегрирование ведется по поперечной плоскости А, штрих означает, что z - компонента взята с множителем е/(е+Е1) из формулы ('♦б). Выражение для Cjk(t,Q) получается при подстановке в формулу (6) ek(Q) вместо ек.

Осуществим переход к временному представлению, используя приближение "медленных амплитуд", согласно которому функция bj (со) отлична от нуля в узком спектральном интервале Док вокруг точек ±соj, где где cOj - несущая частота j-й моды и

Лео j « COj . (8)

Неравенство (8) дает возможность пренебречь изменением структуры мод в пределах спектральной ширины импульса, Эе j (со)

Эсо

• Дсо. « е . (со) (9)

Э I ]

и позволяет выполнить переход к временному представлению с помощью обратного преобразования Фурье разложений (^а.б) следующим образом:

- _ а. (В. г-и. Ь) -

Е(г,0 = Е {фк(г,Ъ)е К * е^ +

(Ог-о). Ъ)- (10)

+ / фк(г,ъ,0)е К * ек(0)а0) + к.с.,

где

Л • .

®к(х'У) = ек(а>,х,у) 0к = , а

-1(3.2-0,1) „ . Фк(г,0 = е { Ьк(г,со)е 1Ш,:<ао) (11)

является медленно меняющейся амплитудой

ЭФк

ЭФк

32 « 'Рк'-^к1' эТ~ « шк|фк'- (12)

Формула (10) выражает решение задачи о нахождении электромагнитного поля возмущенного световода через амплитуды Фк<2,Ъ). Уравнения для них могут быть получены с помощью обратного преобразования Фурье системы (5). Выполнив интегрирование по положительным со (область со < 0 даст комплексно-сопряженный результат) с учетом дисперсии до второго порядка включительно, в левой части уравнений получим

КВ.г-ы.Ь) . КМ-О)^) ц Эафч ■ Эф, Щ

1е ^ 3 ^ф,-!« 3 3 Ы] 1(цз _1 + _1)} # (13)

1 ЭЗЛсо)

где и = -т-—

1 3(о

.. _ , э2^(со) 0)^' и2 ~ 2 Эсо2 Iсо^

В правой части получим члены, связанные с нерегулярностью

«с1кв фк, ^к - ^кНо^'

и члены, связанные с нелинейностью

* « ч- ч"""4*1 ССС.

к ,ш, п

где

В = 1Вк ±вт ±еп, о = ±сот *вп. =

по индексам подразумевается суммирование. При выводе выражения (15) ис-

пользовались соотношения (7), (2), (4а, б), (11). Суммирование нелинейных членов (15) ведется по всем комбинациям знаков частот, удовлетворяющим условию П > О (6(П) = 0, при П < 0 и в(Я) = 1, при П > 0), и всем вперед- и назадбегу-щим модам. Знак комплексного сопряжения в скобках означает, что сопряжение производится в тех случаях, когда частота, соответствующая данной моде, входит в со знаком "-".

шп

Влияние мод излучения на эволюцию для возмущений, обусловленных не-

регулярностью, описывается суммой ИВь. (О)г-со. Ъ)

1Г / е.. «3)е к к Фк(0)а0, (16)

ъ. О к

а для нелинейных возмущений - суммой членов вида:

0 0 ГОП 14 11 " ,

jk i(BÍQ)z-Gt) (*, (0,ф«*>ф«*> dQ, (17)

ШП к Ш П

n.,ei(B(Q,Q')z-Qt) jj '*' (0)é<*> (O' dodo' (18)

(19)

ITs R^(Q,Q-,Q")eÍ(B(Q'Q,'Q")Z-nt) ф.*> (0)ф<*' (оЧф'** (Q" ) dQdQ' dQ"

ООО ron к гп n

так, чтобы конечные выражения были симметричны по индексам k,m,n.

„ ik

В выражениях (1б)-(19) величины с^, и В определены согласно формулам

( 1 М > (15), в которые подставлены постоянные распространения 3 и собственные поля е соответствующих мод излучения. Обычно из-за сильного затухания амплитуды мод излучения существенно меньше амплитуд направляемых мод, и в первом приближении можно ограничиться членами (16), (17)• линейными по амплитудам мод излучения.

Сравнение левых (13) и правых (I1»), (15) частей эволюционных уравнений показывает, что для эффективного протекания процессов нелинейного взаимодействия мод необходимо выполнение условий:

П - Wj = Дсо « со^ , (20)

В - Bj = ДВ « (21)

В случае выполнения неравенств (20), (21) получаем окончательно

L. ф. = 2 е.. е К 3 е К 3 фк + 3 3 к

... i(ABz-Acot)

♦ Е K^WK", (22)

К ,т, п

Ц = иа йт - -k * )•• (23)

3 a 3t 1 dt dZ

6jk = ei(?) * *kHV- (24)

Для краткости в уравнения (22) не включены члены (1б)-(19), учитывающие влияние мод излучения. Эволюционные уравнения для них имеют аналогичную форму.

Обсудим полученные результаты. В левой части уравнений стоит дифференциаль-

ный оператор L., учитывающий дисперсионные свойства среды, в которой происходит

распространение и взаимодействие световых импульсов. Эти свойства определяются

совокупностью материальной, волноводной и межмодовой дисперсий . В стационарном

случае, когда ф.(г^) = Ф^(г), оператор L. сводится к -— .

j j 3 Э z

Такое упрощение связано с переходом от волновых пакетов с конечной спектральной шириной Д<*к к волновым полям с дискретным спектром. Правая часть уравнений (22) дает возможность определить влияние на эволюцию импульсов не регулярностей световода и нелинейности среды. Взаимодействие мод на не регулярностях эффективно лишь при совпадении их несущих частот. Это условие, вытекающее из уравнений (22), представляется естественным следствием стационарности возмущений, связанных с не регулярностями.

где

Сумма нелинейных членов эволюционных уравнений (22) имеет вид, характерный для общего описания четырехволновых процессов в однородных средах с условиями фазового синхронизма

Wj = ±шк í«m ±шп; (26а)

¿j = if5~k ±|3*m ±Pn. (266)

Благодаря этому можно провести обычную классификацию нелинейных эффектов в МС , связанных с нелинейной проницаемостью ~Um " = = ÍC°k í(dn' ' роль Которой в Уравнениях (22) играет (iu^íü^ío^) =

= ft^(a). = ico, iü) ±со ) . К примеру, генерация третьей гармоники в световодах

шп 3 ш п ..

описывается членами (а). = сок + а>к + а^) Фк; процессы, в которых из двух волн

накачки в модах k, m рождаются волны в модах n, j, - членами R^k = wk + шт - о>п) ФкФтФ*; одночастотные эффекты самовоздействия - членами

вида R-1-1 (со = со + со-а))ф.ф Ф*, обращение волнового фронта - членами вида mm ч mпг

R-m-j = ш + ш ~ ^(ФцФ-л^' Отметим, что до сих пор в работах, посвященных получению эволюционных уравнений для МС, учитывались лишь члены вида:

R-'-'tco. =со.+со -со )ф.фф* и R-^ (со. =со, +<о -со )ф, ФФ* Г2—41 . mm з з m т'^з^пгт тп з Пс т n vkvnrn 1 J

Эффективное протекание нелинейных процессов при распространении и взаимодействии световых волн возможно при выполнении условий синхронизма (2ба,б). За исключением случаев, в которых эти условия выполняются автоматически (например, для самовоздействия импульсов и обращения волнового фронта) в световодах по сравнению с однородными средами больше возможностей для их удовлетворения за счет компенсации материальной и волноводной дисперсии - межмодовой. В однородных средах для этой цели приходится использовать неколлинеарные процессы, что снижает их эффективность из-за малой длины взаимодействия. Кроме того, в световодах возможны эффекты, не имеющие аналога в однородных изотропных средах из-за невозможности выполнения условий Синхронизма даже при неколлинеарном взаимодействии. Таким эффектом может быть нелинейное одночастотное возбуждение

мод, описываемое членом R^^co = со + со - со) • ф,_ф_ф* при таком подборе параметров

тп к т п

световода, что выполняется условие (ш) = Вк (со) + Вт(ш) ~ Вп (со) .

Нетрудно убедиться, что в бездиссипативных средах при выполнении условия синхронизма (26а) и отсутствии нерегулярностей система (22) допускает выполнение закона сохранения энергии:

ГЕ.(г) = const, (27)

j 3

Ej(z) = sign(j) • / IФj(z f t)I dt для импульсов и Ej(z) = sign(j) Iфj(z) I 2 - для монохроматических волн.

Кроме того, выполняются соотношения Мэнли-Роу. Например, для эффектов, свя-л ik

занных с R (со. = со, + со - со ) , эти соотношения имеют вид: тп з к т п

1 dE-i 1 dE 1 dE. 1 dEm

__I ---2 ---_JS ----3— . (28)

coj dz con dz (o^ dz сощ dz

соответствующий процессу, в котором фотоны в модах j и п рождаются, а в модах кит поглощаются (или наоборот).

Кроме процессов взаимодействия мод, обусловленных отдельно нерегулярностью и нелинейностью световодов, на основе (22) могут исследоваться эффекты, в кото рых становится важным их совместное проявление. Таким эффектом может быть, например, самовоздействие световых импульсов в периодически нерегулярной среде

[7].

Другим интересным случаем является проявление самофокусировки в статистически-нерегулярных световодах с большим числом мод.

Если нелинейные взаимодействия поля со средой сопровождаются диссипацией, то уравнения (22) могут применяться для описания таких эффектов, как ВКР, двух фотонное поглощение и других, связанных с мнимой частью нелинейной восприимчивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. А х м а н о в С.А., В ы с л о у х В.А., Ч и р к и н А.С. Самовоздействие волновых пакетов в нелинейной среде и генерация фемтосекундных лазерных импульсов // УФН, 1986, т. 1^9. с. '»'•9-509.

2.Hasegawa A. Self-confinement of Multimode Optical Pulse in a Glass Fiber // Opt. Lett., 1980, v. 5, p. 416-417.

3.Crosignani В., Cutolo A.P. Di Porto Coupled-mode Theory of Nonlinear Propagation in Multimode and Single-mode Fibers: Envelope Solitons and Self-confinement // J. Opt. Soc. Amer., 1982, v. 72,

p. 1136-1141.

4.Haelterman M., Mestdagh D. Dynamic Coupled-mode Theory of Nonlinear Propagation in Optical Fibers // Opt. Commun., 1987, v. 63, p. 205-210.

5. Л а н д а у Л.Д. , Л и ф ш и ц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

6. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь , 1987 •

7. Sipe J.E., W i n f u 1 H.G. Nonlinear Schrodinger solitons in a periodic structure // Opt. Lett., 1988, v. 13, p. 132-133.