Квазидинамическое моделирование нелинейной эволюции коротких импульсов Текст научной статьи по специальности «Физика»

волноводы

М.А. Зуев, А.Б. Шварцбург

КВАЗИДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИИ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ

Широкий класс задач нелинейного распространения электромагнитных сигналов традиционно описывается приближением медленных амплитуд. При этом разнообразие геометрических конфигураций полей практически не сказывается на структуре эволюционных уравнений. Представляется целесообразным рассмотреть общую схему ква-зидинамического разложения уравнений нелинейной электродинамики, приводящую к эволюционным системам Шредингеровского типа. Первая попытка такого рассмотрения была предпринята в [l] и развивается в данной работе.

Запишем нелинейные уравнения Максвелла в виде

_ 3(D + ?нел)

rot Е = - , rot Я = -------------- + j , (1)

где ? ел - нелинейная добавка поляризуемости к линейной части электрической индукции D.

Для описания распространения квазимонохроматического сигнала с несущей частотой со положим

2< t,7> = Е • e-i05t = 7 dn-e'int • V^>;

. - оо

И = H-e‘ia)t, ?нел = Рнел • где Т, Н, ? ел - слабо зависящие от t комплексные амплитуды, а Е^ (и анало-

гично определяемые 5^, В^, Яд, j ) - Фурье-компонеиты полей.

Пусть материальные связи между Фурье-компонентами описываются изотропными соотношениями

= ёп • V

= ■ V

-»

а =

где е = е + денер включает в себя нерегулярную добавку ДеН6Р к вещественной невозмущенной диэлектрической проницаемости е. При этом, как нетрудно показать,

-*■ СО V D = Е і . зЦє , К-*- ЭЕ -icot

\z о II * Эсок 17 е

Аналогично выражаются В через у./ Н и } через о, Е. Тогда из (1), опуская громоздкие выкладки, можно получить общее квазидинамическое разложение

д! + г ^ . ¿г • £, • 1аие-Ь7с?. Щ +

К=0 К! Эсо

^ х rot E|f = - А, (2)

К К К

д = Е -— • —и • ^ io)2U€-iY-E + iV(f- ) + cou-Q + 7 ^ed n + iv) ) [

K = 0K! 3t Эш ) 1 + 1Y (оє-CI + iy) j

. Hep

. ^ о Де

Здесь безразмерная величина у = — - і• —------- характеризует влияние поглощения

и нерегулярности. В (2) и (3) по ш дифференцируются материальные параметры є,

**" “^нел ЭР**^Л

U, У, а по времени t - амплитуды Е и Q = со-Р + і ---------------. При этом в дифферен-

цировании по со вектор Q (как и Е) не участвует, несмотря на явную зависимость Q от и.

Следует отметить, что структура уравнений эволюции медленных амплитуд (2)

и (3) несколько сложнее традиционных соотношений для Фурье-компонент. Однако характерные нелинейные отклики рнел определяются, как правило, не Фурье-компо-нентами, а амплитудами полей, что и является решающим аргументом в пользу построения общей теории на основе (2) и (3).

Конкретизируем полученные соотношения для описания эволюции формы импульса

в многомодовом волноводе с продольной осью z. Положим в нулевом приближении (2):

■* 8

А = 0, = 0, что приводит к традиционной задаче о поперечном распределении

мод

? = е (r.)exp(ik -z), Н = h Cr>exp(ik z),

m m и m m 1 m

удовлетворяющих стационарному линейному регулярному варианту исходной системы

(1): rot Е = icouH - rot ЇЇ = -ісоє • IE . При этом сшивка поперечных граничных m m' m m

условий позволяет определить спектр продольных волновых чисел и поля мод

ет/ h г которые в дальнейшем будем считать заданными. Кроме того, ниже исполь-гп m

зуются традиционные для волноводов условия 7ц = 0, yj- = 0, причем ц, є - вещественные. Таким образом, е удовлетворяет модовым уравнениям

m

2 * - - 7±Є 2 Дів + оз иєе + V, Се_ • ——) = k • в ,

m m. ■‘■mi є m ш,

1 1 (4)

emz k

m

div e + (e • г )

ГП і ІЇІ і c.

Следует также отметить используемое далее свойство ортогональности попереч-

ных модовых компонент [2,3]: / / dx -dy

е х h ш. п

= 0 при к # к . Преобразуя п m

данный интеграл в более наглядную форму, введем ортонормированный оператор по-

перечного усреднения пп:

// • dx-dy (e^ - ~ • enz ■ d 1 v± ) ■a

------------------ ' (5)

“00 ^ П

Пп-а = —--------------------;—

// <1х.ау<в --р-*п1-««ух>.в -00 П

для которого

* _ _ I1 для кп = кт

п " ет . шп I0 для к # к | п т

Ниже при конкретизации общих соотношений будем использовать простейшие ТЕ0П" моды осесимметричного волновода радиуса а с параболическим профилем диэлектрической проницаемости е = етах’Ч ” 2*Д* —у). В этом случае для еп = (0,еп(р(г)' •ехр(тк г),0) имеем

п

к2 = wa-u-e - ■ n, V = ш • а V 2 -Д , (6)

п шяу л шах

е

Пф

= const • R • е • L (tf-R2), R = ,

П ~ I о

где l’(x) - полиномы Лагерра: L^Cx) = 1, L1(x) = 2 - х,... w u 1

Важными особенностями указанных мод, позволяющими упростить конечные результаты, являются очевидные соотношения

е =0, divCCe • 7 )-7 ) = О,

nz ' m п пА '

П • а = / 2nR-dR-e • а // 2nR- dR-ea . (7)

П Пф ф пф

О О

Ниже используются нормированные ТЕ -моды, для которых

о п

оо у

/ 2tiR • dR • е • е =6 , т.е. в (6) const = --------- . В частности, для угло-

гпф пф mn , /

О ' V Tt • п

вых компонент ТЕ01 и ТЕоа мод имеем

„а,. , DR2,

е = ------- ехр(- —5—), е = — • С2 - V • R ) - ехр С- —г—) , (8)

✓ rt ¿a s/~2rl

причем в случае слабонаправляющего волновода (Д « 1) можно положить:

к «ш V и* е , • n шах

Для описания эволюции модовых амплитуд введем квазидинамическое разложение по модам поперечной составляющей электрического поля

оо -К 3KFn _ Э F

Еа = Z Е р-г • ------• е„ = ECF -еп + i " . е - ...) (9)

n К=0 К! 9t ni п n

Здесь и далее F = f (t,г)•exp (iк г), где f - слабо зависящие от (t.z) комп-

п п п п

-»(К) _ ЭК е -*i Эе -

лексные амплитуды, е = —^ , е » ^ . Соотношение (9; является прямым след-

Эсо

ствием аддитивного разложения Фурье-компонент поля по ортогональному набору

поперечных модовых векторов Еп = 2 С п (г)-е (0,7.). При этом будем учитывать

mi Пм П I ^

П х

лишь дискретный спектр kn, опуская вытекающие моды.

Следует отметить, что в отличие от случая стационарной монохроматической волны поперечная структура импульса каждой моды эволюционирует согласно С9) уже в первом приближении теории дисперсии. Данное обстоятельство игнорируется во многих работах (см. например, [б-9]).Между тем последовательное развитие пред'

лагаемой теории указывает на то, что фиксация поперечного распределения модовых

импульсов, т.е. использование вместо (9) разложения ?, = £ F (t.z) • е (Г ) ,

п п. J-

п А

приводит к физически необоснованным эффектам (например, ко взаимовлиянию импульсов различных мод в линейном регулярном волноводе). Учитывая важность данного утверждения, продемонстрируем его обоснованность на простейшем, легко прове-

ряемом примере. Пусть ТЕ-моды планарного волновода (Е - Е = 0, Е = E(t,z,x)e ia5t)

х z у

распространяются в линейной, неоднородной, диспергирующей среде: ц = const, е = е (х). Тогда волновое уравнение для медленной амплитуды примет вид

СО

(-if. + _LÎ ) Е + coaUE Е + Нс^ие) ' • Ц- - ^ + ... = 0 (9.1)

3z Эх3 “ 8t 2 3ta

э2 э2

Нулевое приближение (9.1) (-- + ----- + соаие)*Е = 0 с учетом граничных усло-

3z Эх2

вий дает спектр волновых чисел к и модовых векторов е (со,х)

m m

Е = е (со, х) • ехр ( i k z), причем m ш ш

Э2е

------ + (œaU'E,.(х) - ка)е = 0. (9.2)

gxa <0 ШГО

Если теперь ввести традиционное (но неверное 1) разложение амплитуды Е(t,z,x) по модам

Е = Е f (t,z)-e (со,х) • exp ( i к z ) , (9.3)

m го m

m

то в первом дисперсионном приближении ИЗ (9-J) имеем

21 кш • эГ1 + i (We^x)^.

* е • exp ( i к z) = 0. (9.4)

m m

Используя вытекающую из (9-2) ортогональность модовых функций /с)х-ет"еп = О при т * п, домножим (9.4) на еп и проинтегрируем. При этом неоднородность Ещ(х)

го

по х не позволяет ортогонализировать коэффициенты при

9f„ „ ». |<к.-к„>г . 0. (9.5)

Таким образом, распространение мод в модели (9-1-9-3) не независимо даже в первом дисперсионном приближении, что не позволяет, например, ввести понятие групповой скорости отдельной моды. Скрытая причина подобного абсурда - некорректность традиционного разложения (9.3)» т.е. недопустимость Фиксации поперечного распределения моды в импульсе. Действительно, каждая гармоника импульса

имеет свой профиль: е зависит от со, причем, как показано ниже на конкретных

го

примерах, эта зависимость отнюдь не мала.

Возвращаясь к общей теории, подставим (9) в (2). Тогда, ограничиваясь описанием вперед-бегущих волн (кт > 0), можно получить эволюционные уравнения для медленных амплитуд ^(^г) в виде

iK (К) 3Kf m

К| га 3tK

a2f kw 33f

та m m

3ta * Z— • 3t3

где левая часть определяется дифференциальным оператором * “

О • 1 = -r-E - i Е

т о z и _«

К-1 «I (11)

3f 3f ik"

____т * ___т _____т

3z т " Эt + 2

а правая часть R связана с наличием возмущающих факторов, описанных согласно — га

(3) вектором А.

Интересно отметить, что временную часть дифференциального оператора (11) можно перевести в интегральную форму, полезную при анализе ряда задач

00

D*f(t,z) =|7- i* f dx • f (t +T) • S (x) t (11.1)

— 00

где ядро S^(t) суммирует информацию обо всех степенях дисперсионного разложения волнового вектора

5со(т) = -к 2, dn •eÍ(fi‘a))'T . (k0 - kJ. (11.2)

Определяя структуру R , учтем модовый характер возмущающих факторов. Это позволяет выделить в А медленные амплитуды, положив ^ i q • z

Ij. = £ А • е П . (12)

п

В классе задач, требующих условия фазового синхронизма, можно принять qn = kn-

В более общем случае qn определяется комбинациями волновых векторов. Используя

(12), ограничимся первыми производными от медленных амплитуд А . Тогда при

П 1

условии qn > - k^, опуская громоздкие преобразования, получим

i (q -k ) -z

Rm = E ф ' e n m (12 1)

m mn ' . i /

П

где

ЭА ЭА

ifl *A П * ^^m " ’ eif^ л ЗА

ж m ni . га m 3t 3z . „ я К n . nx

— ' T¡r+q~T +—-—:—n+1 Tk—гтт пк эг~-

m n Tk +q Y (. Л a v (k + q

m Hn (k + q ) К m n

m n

Дальнейшее развитие теории для конкретизации (12) с помощью А (3) будем

/ 1 а |‘Рнел|1

проводить, пренебрегая членами "О , где О = тах ) , 1у1» 1------и УДеР_

, и1 е * 1Е1 ]

живая члены -(—)-0 (что неявно предполагалось и при выводе (12). Здесь Т -

сот

Э Э 1

характерная длительность импульса: ' 3 входящие в О факторы опре-

деляют соответствующие масштабы длин: дисперсионного расплывания, затухания и нелинейного самовоздействия.

При таком допущении:

1) вектор А в (3) распадается на нерегулярную и нелинейную части, позволяющие разделить и Я = + Я^нел^;

го ГО ГО

2) необходимое для определения А продольное поле также удается предста-вить в аддитивной квазидинамической форме

ЭЕ

тг

• К

2 ■ Е 1 * ¿т

п К=0

Э С к е )

П П2

ГЭКР

Эш

—г— - 2 і Г •(е -Уу) Э1К п П п

ИЗ)

9Рп

УГ

(е *Уу) п

'1

ш| '

С» І V Р

нел

1(1) є г

СІ І V

ЭР

тг

При этом игнорирование в А членов -О2 позволяет использовать для его вычисления первое приближение Е^1), в котором опущены члены ”0. Тогда из (13) можно получить

= Е (Р е

+ 1

(13.1)

что соответствует квазидинамической структуре поперечного поля (9) •

Используя (9) и (13-1). нетрудно выделить в рамках (3) и (12) влияние нерегулярных (связанных с поглощением) факторов

І* = Е (-Г <0) -І + ІГ т тп п тп

п

і (к -к )-г п ш

(14)

где

, (О)

(П -6„>

т п

(к +к т п

т , 6П = о цєуеПі + У/е^Уу),

(14.1)

Г‘1) = Е

<п„-бп)-(пт-е’) А 6 ’

К п т К _ п . , п—^

(к + к ) т к +к

К т п т п

Влияние нелинейной поляризации произвольного вида в рамках (3) описывается (с отбрасыванием членов~0а) выражением:

(15)

где по о) дифференцируются (а)2и) и сі /є) • При этом, чтобы воспользоваться ре" зультатом формул (12), необходимо выделить в рнел медленные амплитуды, положив:

(16)

- е 7^.."'Л

п

где индекс п соответствует комбинации мод.

Например, для изотропной кубической нелинейности 'рнел = а*(Т-Е*)Е - Е - -. - ’) т

•(е.‘е.)е • ехр[(т(к. - к. + к )21, т.е. ч = к. - к. + к . Тогда из (12) и (15).

1]т 1 1 1 т 1 ' чп 1 ) т

опуская громоздкие преобразования, получим

РНел = Е (Ф т тп

п

(0> + Ф(1) )е тп

і (д -к )•2 п т

(17)

где

(О)

Тк +д 5"

т п

СІ І V Рл * і Р_ ’рп 7 — — т п пг ч

оз * и Р + V і С----------------------------------------- >

Пі. ь

(17.1)

(к + Ч) т п

(т— ♦ Ч 3 г п

- эр„, /Э* 02.---------->

la • Р + 7.fb *(div Ч + iqnPn2)]|

I mnK nx А[ ranK 1 JJ

♦ iq >1 / С17-2>

атпк - 'r&’-'vv - (T7*:VeK.'

ь = ^m’V___________(-VS-) ’ .6 . (17.3)

mnK e(km+qn) km+qn м Km

Полученные общие выражения легко конкретизировать для ряда описываемых ниже случаев .

Одночастотная ситуация с безынерционной кубической нелинейностью. Тогда из

[Ю]

?нел = а.(Е*Г)Е + (ИЕ-Е)-Г (18)

Одномодовая ситуация

Е = (f-Г + • е' ♦ ...)-exp(ikz). (19)

Уравнение эволюции медленной амплитуды f в рамках указанных допущений примет

вид

11 ♦ к'. 3f . |ff _ j£ . = (Y) нел

8z + k Tt + УГ* 6 at3

(20)

R(y) = - r0-f + ir, • |y , (20.1)

RHen - ix0 I f I 3 - f + x, • ^(|f|a-f) + Дк^ * f • ^ |f|a, (20.2)

где

r0 = П-V, Г, = (П-е )-Г0 - П-V , v = . v . e, * 7 (b? Y)

V 7V Y e i 1 2 k *

(21 .)

2к 2к

хо = П-и0, х, = (П-е')-х0 - П*и0, Дх,= Й-и,,

ату С„, + 1 к с

и в!ик.с + 7 -(------~Ш--------Ь (21-1)

и0 2 к 01 1

^.2 _ С., + 1к-С ,

=^'Х А*(ГГ7^— '

С = а-(е-е*)е + Э-(е-е)е*

О

С, = С’0 + а-(е-е*’)е + В-(е-е)е*’

(при этом а, 0 в дифференцировании по ш не участвуют) .

Следует отметить, что выражения для II и V в (21) и (21.1) содержат слагаемые, пропорциональные 7Х. Эти слагаемые, как и члены в операторе попереч-

1 а

ного усреднения (5) - порядка (^]р ) от основных. Традиционное пренебрежение ими оправдано лишь в "толстых" волноводах, либо для простейших ТЕ-поля ризаций.

Влияние дисперсии нелинейности, связанное с коэффициентами к, и Дх., в (20.2) рассматривалось в ряде работ [11-11)]. Эти слагаемые становятся существенными для сверхкоротких импульсов (в оптических волноводах - десятки, сотни фемтосекунд [11]). При этом традиционный интерес проявляется, как правило, к симметрич-

ному члену (-х1), а наличие слагаемого "Дх, игнорируется [12], что связано с

пренебрежением дисперсией модовых векторов еш(гх)* Однако даже для простейшей

3 In е . . .

ш _ 3 In к

ТЕ моды согласно (о) —г---------— —г------- , что обязывает включать в рассмотрение

о 1 do) do)

члены -е'. Тем не менее, как показано ниже, "обнуление" Дх может быть достиг-О) 1

нуто для особой нормировки мод, которую каждый раз следует оговаривать. Таким

образом, при вычислении х1 и Дх., возникает необходимость корректного рассмотре-ния вопроса о нормировке модовых векторов е, например, выбор const в (6). Действительно, нормировочный множитель (обозначим его пш) является функцией час-

тоты О), т.е. участвует в дифференцировании Эе/Эсо. Детальный анализ показывает:

инвариантность формы (9) для поля Е требует введе-

п!. 111

2 Э12

при замене Т (г. ) на е = -(О Т1

ния вместо f функции f = П ■f + in

О)

11

3t

При этом уравнение

А А ** ** . * Э Р

эволюции (20) = R переходит в 6^ = Я = ч-й + тп • у^- , что фактически сво-

дится к замене коэффициентов в (20.1 и 20.2):

Г = Г о о

Г = Г 1 1

= -й

Па

(22)

” - Ъ ini

К1 _2 + _3

ДХ

дх = ------------1

п2

4 т,'

В частности, как отмечалось выше, надлежащим выбором нормировки моды п из

3 | - I 2 _

(20.2) устраняется слагаемое Дх • 1 ■ уН'Н > т •к • согласно (20) имеем Дх = О

при п

П

4

Дх.

В данной работе конкретизируются коэффициенты (21 и 21.1) для случая нормированной ТЕ., моды осесимметричного волновода (8). Тогда с учетом (7) получим .

_ (а+В) -о)2ц- у ко ~

I v v

К1 = “ио + W * *о' Д*1 = — ‘ ио-

,1/4

При этом равенство Лк1 — 0 достигается, если Т) — V , т.е.

8пк

(23)

3/4 . exp(-VR /2).

= 1х

Эф

' — ' _ л

В случае слабонаправляющего волновода, полагая для простоты 0, имеем:

= 2Ш Уи‘еиах'

Г, = -<£

= iS±BlglEl±^ , Mj = c|f- - Ан, = (i + ^Ж£

Двухмодовая одночастотная ситуация с безанерционной кубической нелинейностью. 8 этом случае члены, характеризующие дисперсию нерегулярности и нелинейности рассматривать не будем. Тогда при вычислении рнеп (18) можно положить £ = f . .exp(iк1 • z) + f3•е2•exp(ikaz). Ограничиваясь требованием фазового синхронизма, из (10), (14), (17) можно получить эволюционную систему:

3f

ТГ

Ы

эГ

+ к*. !Ii + ip.. Lli = i<r41 ■ If 11 + ' r,’fi

+ k.

3t

3f.

3t

3t

ml. !li* = 1 (Ral* If, 12 ♦ n„-ifar)-fa-w

2 Э t2

R = П ■ mn m

,. ■*mn , ., mn - div aA ♦ 1km-a2

2k ■ e m

(24.2)

Tmn = a-(e -e*)e * (He -e )?* +

m n n m n n

+ (1 - 6 )*[a>(e >e*)e + -e )e*l.

mn [ nnm mnnj

(24.3)

Структура системы (24) обобщает целый класс задач нелинейной оптики (в частности, процессы нестационарного ВКР), описывая ряд практически важных эффектов [15.16]. В простейшем случае осесимметричных ТЕо^ , ТЕ мод, подставляя (8) с учетом (7), получим

О - D - Cate) -со u-v р __L.r R в 1 . о

Rn “ 13 _ втгк, / 21 ка 11' за 8 ai

Для слабонаправляющего волновода при Эу/Эср = 0 имеем

(25)

(25. 1)

Г = i СО Уц* Е •

m 2 ^ шах

Двухчастотная ситуация с безынерционной кубической нелинейностью. Пусть

Е = Е (t,r)-e'1“m't, РНеЛ = РНеЛ m га гп

— i со t е m , (m = 1,2),

(26)

Тогда с учетом самовоздействия из [10] имеем

Рнел = a •(É -Е*)Е + 0 -(Е -Е )-Е* +

1 11111111

+ Б, - (Е3-Е*)-Е^ + П,■<Е1 -Е*)Еа+ X, (Е,-Еа)-Е*

и симметричное по индексам 1 и 2 выражение для ?2ел. Опуская дисперсию нелинейности, для медленных амплитуд f (Е = f • е (г. ,со )-exp(ik -г)) с учетом фазовой

m m m m m m

синхронизации получим снова систему (2*0 . При этом коэффициенты Г и R опре-

га mn

деляются выражениями (24.1) и (24.2) с заменой аз на со - а для Т теперь имеем

га mn

аГ(еГе1)е1 + Р,<е,’в,)в,' 3 = аз'(еа‘еа)ез + Ра(еа'ез)ез'

= ^,-<еа-1*)е1 + П,*«?,-?*)^ + (27)

= еа'<е,-е*)еа + Па‘(** •«.)*, + *а'4*Г*а)*?*

В частности, если обе моды е (г., со ) соответствуют осесимметричной ТЕ01, то

т А га

из (8) с учетом (7) получим

(а +& ) -со *u *v

-----2______'--------3------3______1

8n к

(а +Р )*ша-и • v _ а а wa

2 2

2 .2

8тх к,

(28)

(g +n +А. ) • V2 • V

Ъ1 '1 1 1*1 1 з

п* к 1 • (f, + va)3

(Еа+Па+ А-а) 'ыз'П3- v2-v2

п*кз-<t>, + va)'

При этом с заменой со на сот выполняется (25.1).

В заключение авторы выражают признательность И.Н. Сисакяну и А.Ю. Шерману за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Водяницкий С.Я., Зуев М.А., Шапинский В.В., Шварц-бург А.Б. Квазидинамическое моделирование нелинейной эволюции импульсов в нерегулярных многомодовых градиентных волноводах // Компьютерная оптика: Сборник / МЦНТИ, М., 1989, Вып. 6, С. 37-43-

2. Я р и в А., Ю х П. Оптические волны в кристаллах. м-: Мир, 1987.

3. Интегральная оптика / Под ред. Т. Тамира. М.: Мир, 1978.

4. А д а м с М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984.

5. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь , 1987 .

6.Хасегава А., Кодама ». // Труды ИИЭР, 1981 , Т. 69, If 9,

С. 57.

7.Crosignani 8., Cutolo A. Di Porto P. // J. Opt.

Soc. Am., 1982, Vol. 72, P. 1136.

8. Альтшулер Г.В., Карасев В.Б., Козлов C.A., М у р и -на Т.А., Розанов H.H. // Оптика и спектроскопия, 1986, Т. 61, Вып. 2, С. 359.

9. Абдуллаев Ф.Х., Дарманян С.А., Хабибуллаев П.К. Оптические солитоны. Ташкент: Фан, 1987-

10. Ландау Л.Д., Л и ф tu и ц Е.Н. Электродинамика сплошных сред. -М . : Наука, 1 982.

П.Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных импульсов. М.: Наука, 1989.

12. Д и а н о e Е.М., Никонова З.С., С е р к и н В.К. Самовоздей-стеие сверхкоротких импульсов в волоконных световодах. ИОФАН, препринт X 8, 1988.

13 - К о d a m a Y., N о z a k i К. // Optics letters, 1987, Vol. 12, N 12,

P. 1038.

14. К о d a m a Y., Hasegawa A. // IEEE J. Quantum Electron.

1987, Vol. 23, B. 510.

15- Шерман А.Ю. Нелинейное взаимодействие солитонных импульсов в

многомодовом оптическом волокне II Компьютерная оптика: Сборник / МЦНТИ, М., 1989, Вып. 6.

1б.Дианое Е.М., Никонова З.С., Прохоров А.М., Сер-кин В.Н. // Письма в 1ТФ, 1985, Т. 11, Вып. 17, С. 1030.