CC BY
11
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ ПОЛЯ И РАСЧЁТ ДИНАМИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ
В ВОЛНОВОДЕ С ВЫПУКЛОЙ ОБОЛОЧКОЙ
С.И. Харитонов12, С.Г. Волотовский1, С.Н. Хонина12, Н.Л. Казанский 1,2 1ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151; 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д. 34
Аннотация
В работе рассмотрен метод решения системы уравнений Максвелла в случае граничных условий, зависящих от времени на торце волновода со сверхпроводящими стенками. Получено явное аналитическое решение для квазигармонического сигнала, у которого ширина импульса в частотной области намного меньше, чем несущая частота. Рассмотрены численные примеры в случае распространения в круглом полом металлическом волноводе Гауссова импульса, представляющего собой совокупность мод. Рассмотрен расчёт динамических инвариантов коротких импульсов при распространении в волноводе с проводящей оболочкой произвольной формы. Описана процедура квантования электромагнитного поля в волноводе со сверхпроводящими стенками.
Ключевые слова: моды волновода, импульс поля, динамические инварианты, квантование электромагнитного поля.
Цитирование: Харитонов, С.И. Распространение импульсов поля и расчёт динамических инвариантов в волноводе с выпуклой оболочкой / С.И. Харитонов, С.Г. Волотовский, С.Н. Хонина, Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 6. - С. 947-958. -Б01: 10.18287/2412-6179-2018-42-6-947-958.
Введение
Распространению электромагнитных волн в волокнах посвящено множество работ [1-5]. Однако большинство работ посвящено анализу расчёта поля от гармонических сигналов [6-10]. Следует отметить, что гармонический сигнал не несёт информации. Для того, чтобы электромагнитная волна несла информацию, её нужно модулировать полезным сигналом.
В данной работе рассматривается решение задачи о распространении импульсов поля внутри волновода со сверхпроводящей оболочкой произвольной формы с граничными условиями на срезе волокна, зависящими от времени. Решение проведено в рамках строгой электромагнитной теории. В случае квазигармонического сигнала, у которого ширина импульса в частотной области намного меньше, чем несущая частота, рассматривается аналитическое решение задачи.
Рассмотрены численные примеры в случае распространения в круглом полом волноводе импульса, представляющего собой совокупность мод, визуально продемонстрирована дисперсия мод при распространении в волноводе за счёт разности групповых скоростей.
Рассмотрен расчёт динамических инвариантов коротких импульсов при распространении в волноводе с проводящей оболочкой произвольной формы. Наличие сверхпроводящей оболочки приводит к дискретному спектру и ограниченности энергии, заключённой в моде. Это удобно для квантования электромагнитного поля [11-18].
Описана процедура квантования электромагнитного поля в волноводе со сверхпроводящими стенками. Полученные выражения в случае квантованных электромагнитных полей в дальнейшем можно ис-
пользовать для описания распространения неклассических состояний электромагнитного поля внутри волноводов.
1. Распространение электромагнитного поля в волноводах
1.1. Моды при наличии неоднородного диэлектрика
Рассмотрим уравнение Максвелла для комплексных амплитуд в диэлектрике с неоднородным распределением показателя преломления в поперечном направлении:
rot E (д,ю, z ) = ik0|(r±,ro)H (г±,ю, z ), rot H (,ю, z ) = -ik0e (,ю) E (,ю, z ).
Представим решение в виде E (,ю, z ) = Eo (,ю) exp (iyz), H (,ю, z) = Ho (,ю) exp (iyz).
(1)
(2)
Подставляем выражения (2) в (1) (опуская зависимость координат):
rot (E0 exp (iyz)) = ik0|H0 exp (iyz),
rot ((0 exp (iyz) ) = -ik0eE0 exp (iyz) .
Используя формулы векторного анализа, для электрического и магнитного поля можно записать:
rot (E0 exp (yz) ) = = iy exp (iyz) ez x E0 + exp (iyz) rot (E0) ,
rot ((0 exp (yz)) = = iy exp (iyz) ez x H0 + exp (iyz) rot (H0) .
Подставляем выражения (4) в уравнения (1) и получаем уравнения для поперечных распределений электромагнитного поля мод:
/уеz х Е0 + rot (Е0 )= ik0pH0,
iyez х H0 + rot (H0) = -ik0eE0.
(5)
Введём криволинейные ортогональные поперечные координаты u = (и1, и2), такие, что внешняя поверхность волновода является координатной поверхностью и1 = const (или и2 = const). Используя определение ротора и вектора в произвольных координатах, уравнения (5) приводятся к виду:
/Уез х E0 + Gr (2Е03)- G (Е03) + G2 G1
(51 (E02G2 ) - 52 (E01G1)) = ik0^H0 ,
G1G2
/уез хH0 + G(2H03)-G((03) + G2 G1
(6)
G1G2
(5i (H 02G2 )-5 2 (H 01G1) ) = -ik08E0
где Ео = £01 е1 + £0262+£0зез, полагаем ез = ег; 61, 62 -коэффициенты Ламэ; дj = 5 / дм7.
Из двух уравнений (6) можно получить выражения для поперечных компонент электромагнитных полей через продольные:
Е = -
1
Е = -
k0^8-y 1
>1Е03)+^ 2 h0
G2
h 01 =
k0 М8 - y t G2 1
iy ()-^ H03)
G1
T2---((2Е03)+ H0
k0M8-y v G2 G1
(7)
H 02 =-
1
k02M8-y21 G1
ik08((1 Е03) + -^(S 2 H0: G2
7.2. Поперечное магнитное поле (ТМ)
В этом случае Н03 = 0, тогда выражения (7) примут следующий вид:
/у 1
Е = -
Е =
k02M8-y2 G1
iy 1
k0M8-y G2
5 Е 5 Е
0 J Г1"
H 01 = —
1
(8)
k0M8-y G2 1
5 Е
5 Е
k02M8-y2 G1
Умножая скалярно второе из уравнений (6) на е3, получим уравнение:
1
G1G2
( 51 (H02G2 ) - 52 ((01G1 )) = -iko8Eoз .
(9)
Подставляя в (9) выражения (8), получим уравнение для продольной компоненты электрического поля
51
+ 52
k02M8-y2
( Е03
G,
k02M8-y21 G
1 (52 Е03
k02M8-y2
(10)
+ I k0 М8 - y ) G1G2 Е03 = 0.
Таким образом, получено уравнение (10) для поиска мод и таких постоянных к02 и у2, чтобы функция -Е0з(г±) удовлетворяла уравнению и граничным условиям на границе волновода.
В случае, если диэлектрическая и магнитная проницаемость являются постоянными величинами, следует найти такое а = ^к02ц8 - у2 , чтобы выполнялись оба вышеназванных условия. Следует отметить, что к02 и у2 не являются независимыми. В случае, если мы фиксируем одну величину, другая становится от неё зависимой. Если мы фиксируем частоту, то у(ю) становится зависимой от частоты. В случае, если мы фиксируем у, то частота ю(у) становится зависимой от у. Обычно существует дискретный или счётный набор параметров.
1.3. Поперечное электрическое поле В этом случае £03 = 0, тогда выражения (7) примут следующий вид:
/к0ц 1
Е =
koM8-y2 G2
Е = -
02
H 01 =
ik0M
k02M8-y2 G1
iy 1
•(3 2 H 03)
1 ((H 0:
(11)
H 02 =
k0M8-y G1 iy 1
((H 03
2 H 0
k0M8-y G2
Умножая скалярно первое из уравнений (6) на е3,
получим уравнение: 1
G1G2
51 (02G2 ) - 52 (01G1)) = ik0MH03 .
(12)
Подставляя в (11) выражения (12), получим уравнение для продольной компоненты магнитного поля:
М
1 lk02M8-y: М
k0 М8 - y I G
G 5H 03 G1
2 G 5 2 H03
+ 5,
+ G1G2 [k2M8-y2)H03 = 0.
koM8-y2
М
(13)
Аналогично задача сводится к поиску таких постоянных к02 и у2, чтобы функция Нв(г±) удовлетво-
ряла уравнению и граничным условиям на границе волновода. В случае, если диэлектрическая и магнитная проницаемость являются постоянными величинами, следует найти такое р = ^&02|е-у2 , чтобы выполнялись оба вышеназванных условия.
2. Разложение поля по модам волновода 2.1. Разложение комплексных амплитуд Рассмотрим случай, когда диэлектрическая и магнитная проницаемость не зависит от координат и времени. Продольные составляющие электрического и магнитного поля £Ьз(а) = Еа и Нв(г±) = Нр удовлетворяют уравнениям
(3,Ea
G
|\3h
+ 3 2
G2
G 13 2 H,
+ 32 (52Ea) + (a) GjG2Ea = 0,
G2
2" p
(14)
+ (p)GA H p= 0,
где a = Vkoie-ya, p = Vk02le-y^ .
Отметим, что a определяется из условия Ea(rbound) = 0, rtound - радиус-вектор внешней поверхности волновода, p определяется из условия
d2Hp(r bound) = 0.
Далее введём в рассмотрение вектора
J_
G,
3 F
a
1у*
e = —3 E
a,1,1 2 „ 2 a
a G
2
iL
a2 \ 1
1
Ea
(15)
ea,2,1 2
a
—32 Ea G2
—3 E G1
0
k02 = —| (a)2 + y2 |8
\ 1 \ Л -13H
ep,1,2
ik0 —
'2" p
G1
3Hp
iyp
L-p,2,2
G №
G2
\3 2 H p
iyp
2 , HP
(16)
k2 =-18((P)2+у2 —8 1
Эти вектора связаны уравнениями Максвелла
rot (a,1,1)= ik0—ea,2,1, rot (a,2,1) ^V8^,! rot (a,1,2)= ik0—"e«,2,2 ,
rot (a,2,2 Ь^8^
(17)
где а = (а, Р) = (а:, 0,2).
С учётом обозначений (15) и (16) и дискретного набора собственных значений разложение комплексных амплитуд поля имеет вид
E (ю)= X 0^,1,1eap ,1,1 exp ('У ap z) +
bZ aP',L
ep, ,1,2 exp
H (,) = X
ap ,2,1
a p e„
•A ,2,2
"p, ,2,2
(i yp,z ), p ,2,1 exp (iУ ap z)
(i yp,z ).
(18)
(19)
Индексы суммирования р и q определяют номер моды.
2.2. Соотношения ортогональности для мод
В случае однородного диэлектрика имеются соотношения для продольных компонент полей
La (u )EP2 (u )G1 (u )G2 (u )d 2u = 0,
lH1 (u)H,2 (u)G1 (u)G2(u)d2u = ^
(20) (21)
где Б - поперечное сечение волновода.
Для векторов электрического поля для различных поляризаций:
\D e Р1,1,1 (u )e p2,1,1 (u )G1 (u)G2 (u)d2u = 0, \D e,1,1,2 (u) e,2,1,2 (u )G1 (u) G2 (u)d2u = 0, iD e p1,1,1 (u )e,1,1,2 (u )G1 (u )G2 (u )d2u =
(22)
Эти соотношения в дальнейшем будут использованы для вычисления гамильтониана электромагнитного поля. В случае, если показатель преломления зависит от поперечной координаты, соотношения ортогональности не выполняются.
2.3. Разложение электромагнитных полей, зависящих от времени
Рассмотрим теперь представление электромагнитных полей, зависящих от времени.
Введём обозначение:
Q ((' у )=exp (-i,v+i yz),
= —8Гр J +y 1.
(23)
Запишем электромагнитные поля в зависимости от времени (для сокращения записи будем опускать аргументы некоторых функций):
ч
1
£ (t ) =
= jl £ ap'1'1 (y)epUj0(0,,. ,y) + complex conj
V p' j H (t) =
= jl Z ap'2'1 (y)ep'2'P(c0p, ,y) + complex conj
\ (24)
dy,
dy.
(25)
Пусть при t=0 известен вид волнового пакета электрического поля Е(и,г, t=0) = Ею(и,2). Тогда из (24) с учётом (23) для аналитического сигнала получим:
Ею (и,2) = а"'1'7 (у)е^. (и,у)ехр(2)с1у . (26)
р, ]
Для вычисления коэффициентов разложения выполним стандартное преобразование:
| Е,0 (и,2)ехр (-г|г)(к =
= ||Еа"'1,1 (у)ер'1. (и,у)ехр(/ (у - 2) )у = (27)
Р' ]
= 7 (у)ерд,.. (и,у)5(у-|)1у.
Обозначим преобразование Фурье:
Р,0 (и>^) = |Е,0 (2) ехР(-/^2)12 .
Тогда
^ (и,|) = 2*Е ар 1 7 ()е р 1.. (и,|). Далее,
| е'-1-' (и,^ 0 МК и =
= 2^ aР'1'j (5)/ е'-1-' (и^)ер,и (и,|)12и,
Р' 1 » «,1,'(1
(28)
(29)
(30)
где е 'л,'(и, - эрмитово-сопряжённый вектор е 'Д^и,
Учитывая ортогональность векторов (15)- (16), окончательно получаем:
jeg'M (u,^)Fw (u,|)d2u 2^('Чл, (u^))d2u
(31)
2.4. Случай квазигармонического пучка
Выражение для аналитического сигнала можно представить не только в виде интеграла по константе распространения (24), но и через интеграл по частоте:
Е^) = /Е 1 (ю)ерА.. (и,ю)х
р,. (32)
х ехр (-/ю t + /ур. (ю) 2) 11ю,
, (со) = ^ею2/с
где уг~~ , - уГ-р.,
В случае квазигармонического пучка ур. (ю) можно представить в виде разложения в ряд Тейлора в области гармонической частоты ю0:
ур, 1 (ю) = ур, 1 (ю0 ) + у'р, 1 (ю0 ) (ю - ю0 ) . (33)
Тогда выражение (32) примет следующий вид:
Е (u, z, t ) = jZ ap11 (c)e p ¿, (u,
p'j
xexP(-i0t +i (yp,j (Oo)+yP,j К )(<-<0 ))z)
(34)
После замены переменных = (ю - ю0) и с учётом бесконечных пределов:
Е (и, t, 2) = ехр (-/ю^) х
х|Хap'1'' ( + юю,)ерд, 1 (и,^)х (35)
р, 1
х ехр (у р, 1 (ю0 ) 2 ) ехр ( - у'р, 1 (ю0 ) 2 )]^.
Рассмотрим поле при 2 = 0: Е(и, 2=0, ^ = Е^и^):
Ег 0 (и, t) = ехр (-/ю0t) х
х | X ар1,1 ( + ю0)ерД, 1 (и, | + ю0)ехр(-//)^. (36)
Выражение (36) неудобно для дальнейших выкладок, так как базисные вектора в этом случае зависят от = (ю - ю0). Чтобы избавиться от этой зависимости, рассмотрим только поперечные компоненты:
мл (u ) =
(1
Gi J_
V G2
д Е
я,
дЕ
U2^ Я ,
Í12 (u) =
( 1
д7Н„
2
1 (дН
I-G V 1
. (37)
Тогда для поперечных компонент выражение (36) можно переписать:
Ер (и,t, 2) = ехр(-/ю^)х
х | X Ьр1,1 (л) ерд> 1 (и) ехр (/ур,] (ю0) 2)х (38)
хехр[-щ( - ур, 1 (ю0 ) 2)]^.
При 2 = 0 Ер(и, 2=0, ()=Ер^и/) вместо (38) получим:
ЕР,20 (и>) = ехр (-/ю0,:)х
х/Е ЬрМ (1!^ (и )ехр (-¿л^л. (39)
р, 1
Обращая преобразование Фурье, получаем: ^ 0 (и, 1) = 2 Ьр1,1 ("л)е рРд, 1 (и), (40)
где
F,z0 (u, r) = j Е± zо (u,t)exp (/<V)exp (ir^t)dt. (41)
Учитывая ортогональность базисных векторов (37), получаем выражение для коэффициентов:
Ь"1" (1) = Л ерд" (и)£р,20 (и, 1)12и , (42)
где Т' = Л ерА' (и) ерд8 (и) 12и - норма.
2.5. Решение для мод волновода в случае квазигармонического пучка
Если поле является модой волновода в пространственной части
E±,z0 (u t) = е¿д>j (и)/(/) exp (-jffl0í):
(43)
где /(t) - функция, описывающая форму импульса. Тогда
2пТ
<U J ef's (u)e^j (u)/(t)exp(T)dtd2u = (44)
■-f- 5qP 5 j J / (t)exp (i4t )dt = Ft (t),
qs -да
где ^ - преобразование Фурье от формы импульса.
Подставляя выражения (44) для коэффициентов в поле (38), можно записать:
E± (u, t, z) =
5 P5j
= exp(-iev)j£ -JLJLFt (T,)e^(u)
(45)
; exp ('УP,j К) z)exp[-iT (t - rP,j К) z)]dT.
С учётом того, что -Р^) - преобразование Фурье от формы импульса, выражение (45) можно упростить:
E± ( ^ z) = exp [-i<V + 'Гq,s (Ю0 )z
x/(t-rq,s (®0)z)e^ (u) =
(46)
= exp [-i<V + irq,s (®0 )z] f
t —
V vq-s J
eg,i,s (u).
где
Vq,s
Ц8Ю
c2 r V ' q.s J
Y1
cr
Ц8Ю
t--
V
V q.s J
eg,i,s (u).
(47)
- групповая скорость распространения волнового пакета.
Очевидно, используя полученный выше результат для отдельной моды волновода, можно обобщить его для суперпозиции волноводных мод, имеющих общую временную зависимость:
E±(u, t, z ) =
= Z exp [-ira0t + irq,s (®0 )z ] f
q,s
2.6. Моделирование распространения суперпозиции мод круглого металлического волновода в случае квазигармонического пучка
Рассмотрим частный случай круглого полого металлического волновода [19, 20].
В этом случае
u ^ (r, ф), e^u (u) ^ F™ (r, ф),
eg,i,2 (u) ^ FTE (r, ф),
где
FÍE (r, ф) =
(fte ^ mp,r
FTE V тр.ф J
FÍM (r, ф) =
f fTM \
mq,r ftm
V "q-ф J
f m t í \ ^
—J la r)
r m\ mp )
. 9Jm (ampp)
' . J ((/)
exp (тф),
(48)
dr
- J (Kr)
V r
exi
:p(if).
Заметим, что собственные моды (48) содержат вихревую фазовую составляющую ехр(шф) и могут быть использованы для уплотнения каналов передачи информации [21-27].
Тогда поперечное поле в круглом металлическом волноводе:
Е± (г, ф,z) = ехр[-/ю0/] х
Г ( \
Ziexp [iY mp,TE (Ю0 )z ] f
t--
* mp,TE
(Ю0 )
+ FZ (r, ф)+ exp [iГmq,TM К )z]>
(49)
< /
t--
V Vmq,TM
(®0 )
F:M (r, ф).
Из выражения (49) видно, что дисперсия мод зависит от соотношения констант распространения. В случае отсутствия зависимости показателя преломления от частоты формула для групповых скоростей имеет вид (иначе они будут иметь более сложный вид):
* mp,TE
к)=-J1-
a c
mp
\2
(50)
" mqfTM
(с°0 ) = Z\ 1 -
PmqC
Далее приведены результаты численного моделирования для квазимонохроматического импульсного излучения с базовой длиной волны Х0 = 0,532 мкм, распространяющегося в круглом металлическом волноводе радиусом 5^0 (внутри волновода - воздух). Импульс имеет Гауссову форму
/ (t) = exp
' Íí^2' 2a2
длительностью a = 0,1 пикосекунда, t0 = 1 пс. В этом случае Ю0 = 2лс/Хй, где скорость света в вакууме c = 299,79 мкм/пс.
На рис. 1 показаны интенсивности двух TE-мод волновода и их суперпозиции.
На рис. 2 показан вид импульсов для отдельных мод и их суперпозиции в различные моменты времени.
Как видно из рис. 2, две моды распространяются в волноводе с различной скоростью, поэтому сигнал, представляющий собой суперпозицию двух мод, будет постепенно «разваливаться» при распространении. Картина дисперсии мод в зависимости от расстояния показана на рис. 3. А процесс распада суперпозиции
x
двух мод на две составляющие при распространении в волноводе показан на рис. 4.
а)
©
Рис. 1. Интенсивность ТЕ-мод волновода (т, р) = (1,1) (а), (т, р) = (1, 3) (б) и их суперпозиции с весами, одинаковыми по модулю и противоположными по знаку (в)
а)
0,3 0,2
0,1
О
2,4 1,6
0,8
—IV" ■1,
200 260 320 г, мкм
✓Ал
/ Чл
/
/
/ у № \
—^ Ж, ^—
в) 2400 2500 2700 2700 г, мкм
Рис. 2. Амплитуда импульсов для ТЕ-мод волновода (1,1) (точечная линия), (1,3) (пунктирная линия) и их суперпозиции (сплошная линия) в различные моменты времени: t = 2 пс (а), t = 5 пс (б), t = 10 пс (в)
Рис. 3. Дисперсия суперпозиции мод на две составляющие в зависимости от расстояния (х от 1500 мкм до 5000 мкм) и времени (от 6 пс до 20 пс)
3. Вычисление динамических инвариантов электромагнитного поля
3.1. Вычисление гамильтониана поля Энергия электромагнитного поля имеет вид
W = {(8Е2 + цН2] 1Г . (51)
Чтобы вычислить энергию, будем в выражении (51) использовать выражения (24), (25). Для удобства дальнейших вычислений перепишем их в виде:
Е (и, 2, t) = 2 (Е (и, 2, t) + Е* (и, 2, t)) , (52)
где
Е(и,2,0 =/Xар1 (у)ер,ио(ю 1 ,у)у , (53)
где
^(юр,- >у) = ехр (-/юр/ +' у2 )
ю Р1=с
а1 +у I.
Для поля (52) запишем:
Е2 (и, 2, t) = 1 (Е (и, 2, t) + Е* (и, 2, t)) х
х(Е (и, 2, t)+ Е* (и, 2, t)) = = 1 [Е2 (и, 2, t) + Е* (и, 2, t)Е (и, 2, t) + +Е (и, 2, t) ЕЕ* (и, 2, t)+Е*2 (и, 2, t).
(54)
1 1 1
1 1 1
Рис. 4. Распространение суперпозиции двух мод в волноводе длиной 18 мм, распределение амплитуды (негатив) в различные моменты времени: а) t=5 пс, б) t=30 пс, в) t=60 пс
Можно показать, что для полей вида (53) выполняется соотношение:
| [еЕ?2 (и, z, /) + |НТ2 (и, z, /)d V = 0 .
Таким образом, для вычисления (51) понадобятся только члены, содержащие перекрестные произведения:
W = j[sE2 (u,z,t) + цН2 (u,z,t)]dV = = |j[ E* (u, z, t )E (u, z, t) +E (u, z, t)£*(u, z, t)]dV + (55)
+!4 i [H* (u, z, t)H (u, z, t) + H (u, z, t) # * (u, z, t)] d V.
Рассмотрим первый член в (55)
iE* (u, z, t)E(u, z, t)dV =
= iiiZaPl^ (y.КwQK1'Y.)dY. 1 fiX a"2Xh (y2К^"2 1'Y2)dY21dV ==
V P 1 ) V P2 1 )
= SSiiiö*Pl^ (y.)aP2АЛ (Y2)ep-Aj-(u)ep2^»Q*(соp,,,y.P2,,y2)dYldy2dV =
Pl ' 1 P2 ' j2
X Xiia*PlA1 (y.RA12 (y2)(*(p.,j.,Y.p2,h,y2)dz)(ePl1jl(u)eAA(u)d2u)dy.dy2.
iE* (u,z,t)E(u, z, t)dV =
(56)
(57)
Р1. Л Р2 . н
Рассмотрим интеграл по z:
^ (ЮР„ 1, 'У1 Ж , 12 >У2 )dZ = | (ехР ((н 1+г'У^)) х
х ехр (и^ ; н21 + /у 2)dz =
= ехр((^^ -юр2н)) -у2).
Также интеграл по поперечным переменным с учётом ортогональности базисных векторов:
| е-^е^и^и = Тл ц ^ ^ . (58)
С учётом (57) и (58) выражение (56) примет вид:
= Х jiia-p'1'11 (y.)aP'1'1 (Y2)x (59)
Pl ' 1 Pl ' j2
x exp (с Pi P2 .л )t)s(Y. -y 2)8р; 2.
С учётом свойств дельта-символов, вместо (59), получим:
iE* (u,z, t)E(u,z,t)dV =
(60)
. i. i a*Pl 11 (Yi )aPl A11 (y. )dy..
Аналогичные выражения можно получить для остальных слагаемых. Таким образом,
W = J[sE2 (u, z, t) + уЛ2 (u, z,t)]dV = 2p XTP..,Ji(a*P11 (y) aP'11 (y) + a"'1'1 (y)a*рД'1 (y))dy
(
V P. 1
2лц
XX^i(a*P'2'' (y)aP'2'1 (y) + aP'2'' (y)a*P'2'1 (y))dy 1.
V P' 1
Учитывая, что
a11X1 = a"21 получаем основной результат
W = Ж, 1 x
(62)
х|(я*Р1 (у) 1 (у) + аР'1 (у) а*Р'1 (у))dу.
3.2. Вычисление импульса поля Импульс поля определяется следующим выраже-
нием:
P = ДЕ x H ]dV =
= 4 i[( (u, z, t) + E* ( z, t ))x x (((u, z, t) + Я* (u, z, t ))] d V =
= 1 i[ E (u, z, t) x H (u, z, t) + E (u, z, t) xH* (u, z, t) + E* (u, z, t) x H (u, z, t) + +E* (u, z, t) x Я* (u, z, tdV.
(63)
(6.)
Можно показать, что в (63) важны только перекрёстные члены, т.е.:
P = 4 i[ E (u, z, t )x Я* (u, z, t) + + E* (u, z,t) x H (u, z,tdV.
(64)
В данном случае отличной от нуля будет только продольная компонента импульса. Поперечные компоненты импульса будут равны нулю, так как энергия не распространяется в перпендикулярном направлении
Pz =
= SSiii(aPA 1 (У.У'2's (Y2)[ep... 1 x e*gA,]z x P'1 q's (65)
x °(ЮР1'У.)Q* (raqs' Y2)dYl dY2)dV +
+ comp. conj.
В этой сумме отличными от нуля являются только следующие продольные проекции векторного произведения
[ * 1 = Чи.
|_ер,1,1 х е "2д]2 = а 2
[ер,1,2 х е ',2,2 12 =
Р,1
/к0^
2
а2;, V ч1 у
Л-.. V
а
р,2
/у,
',2
а„2
V Ч>2 у
(РРДДe*''2'1)*,
((р',2,2 )*.
(66) (67)
Учитывая ортогональность, получаем
Р = 2^Х/(/[е р,1,1 х е* р,2,1 ] 2^м )х х (ap'1'1 (гх )а* p'2'1 (у 2) +
+ а *р ,2,1 (у! )ap'1'1 (у 2)) 1у1.
(68)
Далее, интегрируя по продольному импульсу и переменной 2, получаем ещё один основной результат
Р =е/ Рр, 1 (аР 1 (у) а*р 1 (у) +
Р'1
+ а * р1 (у) ар 1 (у)) 1у.
(69)
4. Квантование по модам металлического волновода
В предыдущих параграфах были получены формулы:
- для электрического и магнитного поля в волноводе
(24), (25);
- гамильтониан электромагнитного поля в металли-
ческом волноводе (62);
- выражение для продольной компоненты импульса
в металлическом волноводе (69). Далее переходим к квантованию электромагнитного поля в волноводе. Сначала переходим к другим величинам
ар(у) = Вр1Ьр,1 (у) .
(70)
В этом случае выражения для аналитических сигналов полей принимают вид:
Е(0 = /XВ^Ь^ (у)ерД, 1 ^(юр,-,у)у, (71)
Р'1
Н(0 = /XВРрЬр (у)ер,2,я(ю 1 ,у)1у. (72)
Р'j
Выражение для энергии (гамильтониан электромагнитного поля) принимает вид
Ж = УЖ Вр1В*рр х
Р'1
х/(Ь*Р, 1 (у)Ь^1 (у) + ьр 1 (у) Ь* р1 (у))у.
(73)
Выражение для продольной компоненты импульса принимает вид:
Р2 =X/ Вр1В* р1х
Р'1
хРР, 1 (ЬР'1 (у)Ь* p'1 (у) + Ь* p'1 (у) Ьp'1 (у))).
(74)
Далее полагаем, что величины Ь р,](у) становятся операторами, комплексно-сопряженные величины становятся сопряженными операторами (Ь р,](у))+, действующими в пространстве состояний электро-
магнитного поля. Именно эти состояния будут определять поле, а не аналитический сигнал. Величины Вр выбираем таким образом, чтобы операторы удовлетворяли уравнению, которое следует из уравнения Гейзенберга для произвольного оператора:
-/ю.
1ЬР, 1 (у) = / íw, Ь p'1 (у)} =
= 1- (WЬ p'1 (у)- Ь p'1 (у^),
Зр. 1 (Ь р1 (у))+ = £ íw, (Ь p'1 (у))
= / (W (Ь р1 (т))+-(Ь p'1 (у))
(75)
w.
Для того, чтобы удовлетворить этим уравнениям, необходимо положить, что коммутаторы этих операторов удовлетворют выражениям
íьp'] (у1), (' (у 2 ))+} = 8р5'5(у1 у 2). (76)
Остальные коммутаторы полагаем равными нулю. В этом случае выражения для операторов полей:
Е(^ = /XВр]Ьр,] (у)ерД,я(ю 1 ,у)1у, (77)
р, 1
Н (t) = /X BpjЬp'j (у)е р,2,1 ^(ю Р1 ,у)1у. (78)
Р'j
С учётом (76) выражения для оператора энергии и импульса принимают следующий вид:
W = 2XWp, ]Вр] /( Ьр,1 (у))+ Ь р,1 (у)1у,
Р'1
Р2 = 2X/ Вр'Рр 1 (Ь p'1 (у))+ Ь p'1 (у)1у.
Р' 1
(79)
(80)
Эти операторы действуют в пространстве состояний электромагнитного поля. Будем обозначать эти состояния |а). Тогда наблюдаемые электрическое и магнитное поля, энергии и продольные компоненты импульсов будут определяться не аналитическими сигналами, а средними значениями операторов, соответствующих этим аналитическим сигналам
Е ( ) = (а| Е| а),
н ^ )=(а| ц а,
Ж =(а| W| а),
Р =(а|Р2 |а).
Следует отметить, что в этом случае нам необходимо ввести понятие скалярного произведения состояний (Р || а) и определить действия операторов Ь р,](у)| а), (а |(Ь р,](у))+ на вектора состояния электромагнитного поля. Следует отметить, что в этом случае характеристики электромагнитных полей, вычисленные как средние значения операторов, будут отличны от соответствующих величин в классической теории поля. В этом случае будет наблюдаться зависимость от числа фотонов в каждой моде возбуждаемого электромагнитного поля.
Самым элементарным квантовым состоянием является когерентное состояние. Когерентное состояние электромагнитного поля определяется:
Ь3 (у)|а) = о"'3 |а) , (81)
где о"-3 - обычные комплексные числа.
В этом случае действие оператора электромагнитного поля на когерентное состояние имеет вид:
E (' )И =
= JZ Bpje j pj >y)b pi (y)|a) dy =
p,i
= JZ Bpie pii, i Pi ,y)' (y)|a) dy.
(82)
Среднее значение оператора электромагнитного поля имеет вид:
E| а^ = (аЦа^ х
xiS Bpie pA j □ ( ,y)cp-i (y)dy,
(83)
(а || а) - это обыкновенное действительное число.
Из выражения (83) следует, что среднее значение оператора электрического поля для когерентного случая описывается таким же выражением, что и электрическое поле. Следует отметить, что операторы электрического и магнитного полей удовлетворяют тем же уравнениям Максвелла (это нетрудно показать исходя из вида операторов).
В случае, если состояния электрического поля не являются когерентными и описываются более сложным образом, выражение для среднего значения поля не имеет простого вида. На практике состояния электромагнитного поля не описываются вектором состояний, а описываются матрицей плотности. В этом случае среднее значение любых операторов выражается в виде
(E) = Sp (pE)
(84)
где (12) - среднее значение физической величины, р -матрица плотности состояния электромагнитного поля, Е - оператор физической величины.
В этом случае вычисление среднего значения физических величин в волноводе представляет непростую задачу, которая будет рассмотрена в дальнейшем.
Заключение
В данной работе выполнено строгое решение задачи о распространении импульсов поля внутри волновода со сверхпроводящей оболочкой произвольной формы с граничными условиями на срезе волокна, зависящими от времени.
Удобное аналитическое решение задачи было получено в случае квазигармонического сигнала, у которого ширина импульса в частотной области намного меньше, чем несущая частота.
Результаты, полученные для волновода со сверхпроводящей оболочкой, можно перенести на случай волокна с произвольным поперечным распределением показателя преломления. Сверхпроводящая обо-
лочка была выбрана для удобства. В этом случае можно точно поставить граничные условия. На практике можно рассматривать волокна с произвольным профилем показателя преломления (градиентные и ступенчатые), поместив проводящую оболочку на достаточном удалении от волокна. В этом случае моды будут не ортогональны. Степень неортогональности будет зависеть от градиента показателя преломления. Для слабоградиентых волокон можно считать моды ортогональными.
Рассмотрен расчёт динамических инвариантов импульсов при распространении в волноводе с проводящей оболочкой произвольной формы.
Описана процедура квантования электромагнитного поля в волноводе со сверхпроводящими стенками. Полученные выражения в случае квантованных электромагнитных полей в дальнейшем можно использовать для описания распространения неклассических состояний электромагнитного поля внутри волноводов. Данный алгоритм квантования можно распространить на случай, если показатель преломления волокна зависит от поперечных координат. Однако в этом случае моды не будут строго ортогональны, поэтому процедура квантования будет приближённой.
Благодарности Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грантам № 18-29-20045 мк и № 16-29-09528 офи-м) в части численного моделирования и Министерства науки и высшего образования РФ в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26) в части теоретических выкладок.
Литература
1. Gloge, D. Weakly guided fibers / D. Gloge // Applied Optics. - 1971. - Vol. 10, Issue 10. - P. 2252-2258. - DOI: 10.1364/A0.10.002252.
2. Cherin, A.H. An introduction to optical fibers / A.H. Cherin. - Singapore: McGraw-Hill College, 1983. -326 p. - ISBN: 978-0-07-010703-8.
3. Snyder, A.W. Optical waveguide theory / A.W. Snyder, J.D. Love. - Boston, Dordrecht, London: Kluwer Academic Publishers; 1983. - 745 p. - ISBN: 978-0-412-09950-2.
4. Yeh, C. Handbook of fiber optics: Theory and applications / C. Yeh. - New York: Academic Press Inc., 1990. - 382 p. -ISBN: 978-0-12-770455-5.
5. Agrawal, G.P. Fiber-optic communication systems / G.P. Agrawal. - 3rd ed. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002. - ISBN: 978-0-471-21571-4.
6. Marcatili, E.A.T. Hollow metallic and dielectric waveguides for long distance optical transmission and lasers / E.A.T. Marcatili, R.A. Schmeltzer // The Bell System Technical Journal. - 1964. - Vol. 43, Issue 4. - P. 1783-1809. -DOI: 10.1002/j.1538-7305.1964.tb04108.x.
7. Miyagi, M. Design theory of dielectric-coated circular metallic waveguides for infrared transmission / M. Miyagi, S. Kawakami // Journal of Lightwave Technology. - 1984. - Vol. 2, Issue 2. -P. 116-126. - DOI: 10.1109/JLT.1984.1073590.
8. Kotlyar, V.V. Rotation of multimodal Gauss-Laguerre light beams in free space and in a fiber / V.V. Kotlyar,
V.A. Soifer, S.N. Khonina // Optics and Lasers in Engineering. - 1998. - Vol. 29, Issues 4-5. - P. 343-350. - DOI: 10.1016/S0143-8166(97)00121-8.
9. Khonina, S.N. Propagation of laser vortex beams in a parabolic optical fiber / S.N. Khonina, A.S. Striletz,
A.A. Kovalev, V.V. Kotlyar // Proceedings of SPIE. - 2010.
- Vol. 7523. - 75230B (12 p.). - DOI: 10.1117/12.854883.
10. Wang, C.Y. Determination of TM and TE modes of the circular waveguide with a cross-shaped insert using eigenfunction expansions and domain matching / C.Y. Wang // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 2016. - Vol. 30, Issue 10. -P. 1334-1344. - DOI: 10.1080/09205071.2016.1199331.
11. Jauch, J.M. Phenomenological quantum-electrodynamics / J.M. Jauch, K.M. Watson // Physical Review. - 1948. -Vol. 74, Issue 8. - 950. - DOI: 10.1103/PhysRev.74.950.
12. Wu, T.T. Quantization of the electromagnetic field / T.T. Wu // Physical Review. - 1963. - Vol. 129, Issue 3. -P. 1420-1423. - DOI: 10.1103/PhysRev.129.1420.
13. Carniglia, C.K. Quantization of evanescent electromagnetic waves / C.K. Carniglia, L. Mandel // Physical Review D. - 1971.
- Vol. 3, Issue 2. - 280. - DOI: 10.1103/PhysRevD.3.280.
14. von Foerster, T. Quantum theory of light propagation in amplifying media / T. von Foerster, R.J. Glauber // Physical Review A. - 1971. - Vol. 3, Issue 4. - 3. - DOI: 10.1103/PhysRevA.3.1484.
15. Knöll, L. Action of passive, lossless optical systems in quantum optics / L. Knöll, W. Vogel, D.-G. Welsch // Physical Review A. - 1987. - Vol. 36, Issue 8. - P. 3803-3818. -DOI: 10.1103/PhysRevA.36.3803.
16. Glauber, R.J. Quantum optics of dielectric media / R.J. Glauber, M. Lewenstein // Physical Review A. - 1991. - Vol. 43, Issue 1.
- P. 467-491. - DOI: 10.1103/PhysRevA.43.467.
17. Климов, В.В. Вакуумное расщепление уровней энергии в системе атом-диэлектрическая микросфера / В.В. Климов,
B. С. Летохов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1997. - Т. 111, вып. 1. - C. 44-51.
18. Matloop, R. Electromagnetic field quantization in an absorbing medium / R. Matloop // Physical Review A. - 1999.
- Vol. 60, Issue 1. - 50. - DOI: 10.1103/PhysRevA.60.50.
19. Харитонов, С.И. Преобразование конической волны с круговой поляризацией в вихревой цилиндрически по-
ляризованный пучок в металлическом волноводе / С.И. Харитонов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика.
- 2018. - Т. 42, № 2. - С. 197-211. - DOI: 10.18287/24126179-2018-42-2-197-211.
20. Харитонов, С.И. Вычисление момента импульса электромагнитного поля внутри волновода с абсолютно проводящими стенками / С.И. Харитонов, С.Г. Волотовский, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2018. - Т. 42, № 4. -С. 588-605. - DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-588-605.
21. Khonina, S.N. Generation and selection of laser beams represented by a superposition of two angular harmonics / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, K. Jefimovs, J. Turunen // Journal of Modern Optics. - 2004. - Vol. 51, Issue 5. - P. 761-773. - DOI: 10.1080/09500340408235551.
22. Khonina, S.N. Optical vortices in a fiber: mode division multiplexing and multimode self-imaging / S.N. Khonina, N.L. Kazanskiy, V.A. Soifer. - In: Recent progress in optical fiber research / ed. by M. Yasin, S.W. Harun, H. Arof, Rijeka, Croatia: InTech, 2012. - Chap. 15. - P. 327-352. -DOI: 10.5772/28067.
23. Ramachandran, S. Optical vortices in fiber / S. Rama-chandran, P. Kristensen // Nanophotonics. - 2013. - Vol. 2, Issues 5-6. - P. 455-474. - DOI: 10.1515/nanoph-2013-0047.
24. Bozinovic, N. Terabit-scale orbital angular momentum mode division multiplexing in fibers / N. Bozinovic, Y. Yue, Y. Ren, M. Tur, P. Kristensen, H. Huang, A.E. Willner, S. Ramachan-dran // Science. - 2013. - Vol. 340, Issue 6140. - P. 1545-1548.
- DOI: 10.1126/science.1237861.
25. Kirilenko, M.S. Information transmission using optical vortices / M.S. Kirilenko, S.N. Khonina // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics). - 2013. - Vol. 22, No. 2. - P. 81-89. - DOI: 10.3103/S1060992X13020069.
26. Berglind, E. Humblet's decomposition of the electromagnetic angular moment in metallic waveguides / E. Berglind, G. Bjork // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 2014. - Vol. 2. - P. 779-788. - DOI: 10.1109/TMTT.2014.2308891.
27. Kirilenko, M.S. Formation of signals matched with vortex ei-genfunctions of bounded double lens system / M.S. Kirilenko, S.N. Khonina // Optics Communications. - 2018. - Vol. 410. -P. 153-159. - DOI: 10.1016/j.optcom.2017.09.060.
Сведения об авторах
Харитонов Сергей Иванович, 1961 года рождения. Доктор физико-математических наук, доцент кафедры наноинженерии, ведущий научный сотрудник лаборатории дифракционной оптики ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. 1984 г. - окончил физический факультет Самарского государственного университета. 1993 г. - защитил кандидатскую диссертацию на тему «Асимптотические методы дифракционного расчёта фокусаторов лазерного излучения». 2010 г. - защитил докторскую диссертацию на тему «Асимптотические методы расчёта дифракции когерентного электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах». Область научных интересов: дифракционная, квантовая оптика, физика плазмы. В списке научных работ С.И. Харитонова 87 статей, 5 авторских свидетельств и патентов. E-mail: prognoz2007@gmail.com.
Волотовский Сергей Геннадьевич, 1959 года рождения, в 1984 году окончил Куйбышевский авиационный институт имени академика С.П. Королёва (КуАИ) по специальности «Прикладная математика», работает ведущим программистом в ИСОИ РАН - филиале ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: разработка программного обеспечения расчёта и моделирования работы элементов дифракционной оптики. E-mail: sv@smr.ru .
Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор Самарского университета; главный научный сотрудник ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, сингулярная оптика, модовые и поляризационные преобразования, оптическое манипулирование, оптическая и цифровая обработка изображений. E-mail: khonina@smr.ru .
Казанский Николай Львович в 1981 году с отличием окончил Куйбышевский авиационный институт (КуАИ, ныне - Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва (Самарский университет)) по специальности «Прикладная математика». Доктор физико-математических наук (1996 г.), профессор, работает руководителем Института систем обработки изображений РАН - филиала Федерального научно-исследовательского центра «Кристаллография и фотоника» Российской академии наук (ИСОИ РАН), профессором кафедры технической кибернетики Самарского университета. Заведующий базовой кафедрой высокопроизводительных вычислений Самарского университета в ИСОИ РАН. Является членом международных научных обществ OSA, SPIE и IAPR. Н.Л. Казанский - специалист в области дифракционной оптики, математического моделирования, обработки изображений и нанофотоники. В списке научных работ Н.Л. Казанского 290 статей, 12 монографий, 53 авторских свидетельства и патента. Страница в интернете: http://www.ipsi.smr.ru/staff/kazanskiy.htm . E-mail: kazanskiy@ssau.ru .
ГРНТИ: 29.31.15, 29.33.43.
Поступила в редакцию 30 октября 2018 г. Окончательный вариант - 20 ноября 2018 г.
PROPAGATION OF ELECTROMAGNETIC PULSES AND CALCULATION OF DYNAMIC INVARIANTS
IN A WAVEGUIDE WITH A CONVEX SHELL
S.I. Kharitonov12, S.G. Volotovsky1, S.N. Khonina12, N.L. Kazanskiy1,2
1 IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics " RAS, 443001, Samara, Russia, Molodogvardeyskaya 151,
2 Samara National Research University, 443086, Samara, Russia, Moskovskoye shosse 34
Abstract
In this paper, we consider a method for solving a system of Maxwell's equations in the case of time-dependent boundary conditions at the end of a waveguide with superconducting walls. An explicit analytical solution is obtained for a quasi-harmonic signal whose pulse width in the frequency domain is much smaller than the carrier frequency. Numerical examples are calculated in the case of a Gaussian pulse as a superposition of modes propagating in a circular hollow metal waveguide. The calculation of dynamic invariants of short pulses propagating in a waveguide with an arbitrarily-shaped conducting shell is considered. A procedure for quantizing an electromagnetic field in a waveguide with superconducting walls is described.
Keywords: waveguide modes, field pulse, dynamic invariants, electromagnetic field quantization.
Citation: Kharitonov SI, Volotovsky SG, Khonina SN, Kazanskiy NL. Propagation of electromagnetic pulses and calculation of dynamic invariants in a waveguide with a convex shell. Computer Optics 2018, 42(6): 947-958. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-6-947-958.
Acknowledgements: This work was financially supported by the Russian Foundation for Basic Research under grants No. 18-29-20045-mk and 16-29-09528 ofi-m (numerical calculations) and the RF Ministry of Science and Higher Education under the FSRC «Crystallography and Photon-ics» RAS' state project 007-GZ/Ch3363/26 (theoretical results).
References
[1] Gloge D. Weakly guided fibers. Appl Opt 1971; 10(10): 2252-2258. DOI: 10.1364/A0.10.002252.
[2] Cherin AH. An introduction to optical fibers. Singapore: McGraw-Hill College; 1983. ISBN: 978-0-07-010703-8.
[3] Snyder AW, Love JD. Optical waveguide theory. Boston, Dordrecht, London: Kluwer Academic Publishers; 1983. ISBN: 978-0-412-09950-2.
[4] Yeh C. Handbook of fiber optics: Theory and applications. New York: Academic Press Inc; 1990. ISBN: 978-0-12770455-5.
[5] Agrawal GP. Fiber-optic communication systems. 3rd ed. New York: John Wiley & Sons Inc; 2002. ISBN: 978-0471-21571-4.
[6] Marcatili EAT, Schmeltzer RA. Hollow metallic and dielectric waveguides for long distance optical transmission and lasers. The Bell System Technical Journal 1964; 43(4): 1783-1809. DOI: 10.1002/j.1538-7305.1964.tb04108.x.
[7] Miyagi M, Kawakami S. Design theory of dielectric-coated circular metallic waveguides for infrared transmission. J Lightw Technol 1984; 2(2): 116-126. DOI: 10.1109/JLT.1984.1073590.
[8] Kotlyar VV, Soifer VA, Khonina SN. Rotation of multimodal Gauss-Laguerre light beams in free space and in a
fiber. Opt Las Eng 1998; 29(4-5): 343-350. DOI: 10.1016/S0143-8166(97)00121-8.
[9] Khonina SN, Striletz AS, Kovalev AA, Kotlyar VV. Propagation of laser vortex beams in a parabolic optical fiber. Proc SPIE 2010; 7523: 75230B. DOI: 10.1117/12.854883.
[10] Wang CY. Determination of TM and TE modes of the circular waveguide with a cross-shaped insert using eigen-function expansions and domain matching, Journal of Electromagnetic Waves and Applications 2016; 30(10): 13341344. DOI: 10.1080/09205071.2016.1199331
[11] Jauch JM, Watson KM. Phenomenological quantum-electrodynamics. Phys Rev 1948; 74(8): 950. DOI: 10.1103/PhysRev.74.950.
[12] Wu TT. Quantization of the electromagnetic field. Phys Rev 1963; 129(3): 1420-1423. DOI: 10.1103/PhysRev.129.1420.
[13] Carniglia CK, Mandel L. Quantization of evanescent electromagnetic waves. Phys Rev D 1971; 3(2): 280. DOI: 10.1103/PhysRevD.3.280.
[14] von Foerster T, Glauber RJ. Quantum theory of light propagation in amplifying media. Phys Rev A 1971; 3(4): 3. DOI: 10.1103/PhysRevA.3.1484.
[15] Knoll L, Vogel W, Welsch D-G. Action of passive, lossless optical systems in quantum optics. Phys Rev A 1987; 36(8): 3803-3818. DOI: 10.1103/PhysRevA.36.3803.
[16] Glauber RJ, Lewenstein M. Quantum optics of dielectric media. Phys Rev A 1991; 43(1): 467-491. DOI: 10.1103/PhysRevA.43.467.
[17] Klimov VV, Letokhov VS. Vacuum splitting of the energy levels of a system consisting of an atom and a dielectric microsphere. Journal of Experimental and Theoretical Physics 1997; 84(1): 24-28. DOI: 10.1134/1.558148.
[18] Matloop R. Electromagnetic field quantization in an absorbing medium. Phys Rev A 1999; 60(1): 50. DOI: 10.1103/PhysRevA.60.50.
[19] Kharitonov SI, Khonina SN. Conversion of a conical wave with circular polarization into a vortex cylindrically polarized beam in a metal waveguide [In Russian]. Computer Optics 2018; 42(2): 197-211. DOI: 10.18287/2412-61792018-42-2-197-211.
[20] Kharitonov SI, Volotovsky SG, Khonina SN. Calculation of the angular momentum of an electromagnetic field inside a waveguide with absolutely conducting walls [In Russian]. Computer Optics 2018; 42(4): 588-605. DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-588-605.
[21] Khonina SN, Kotlyar VV, Soifer VA, Jefimovs K, Turunen J. Generation and selection of laser beams represented by a superposition of two angular harmonics. J Mod Opt 2004; 51(5): 761-773. DOI: 10.1080/09500340408235551.
[22] Khonina SN, Kazanskiy NL, Soifer VA. Optical vortices in a fiber: mode division multiplexing and multimode self-imaging. In Book: Yasin M, Harun SW, Arof H, eds. Recent progress in optical fiber research. Ch 15. Rijeka, Croatia: InTech; 2012: 327-352. DOI: 10.5772/28067.
[23] Ramachandran S, Kristensen P. Optical vortices in fiber, Nanophotonics 2013; 2(5-6): 455-474. DOI: 10.1515/nanoph-2013-0047.
[24] Bozinovic N, Yue Y, Ren Y, Tur M, Kristensen P, Huang H, Willner AE, Ramachandran S. Terabit-scale orbital angular momentum mode division multiplexing in fibers. Science 2013; 340(6140): 1545-1548. DOI: 10.1126/science.1237861.
[25] Kirilenko MS, Khonina SN. Information transmission using optical vortices. Optical Memory and Neural Networks 2013; 22(2): 81-89. DOI: 10.3103/S1060992X13020069.
[26] Berglind E, Bjork G. Humblet's decomposition of the electromagnetic angular moment in metallic waveguides, IEEE Trans Micro Theory Tech 2014; 2: 779-788. DOI: 10.1109/TMTT.2014.2308891.
[27] Kirilenko MS, Khonina SN. Formation of signals matched with vortex eigenfunctions of bounded double lens system, Opt Commun 2018; 410: 153-159. DOI: 10.1016/j.optcom.2017.09.060.
Authors' information
Sergey Ivanovich Kharitonov (b. 1961) leading researcher of Diffractive Optics laboratory in the IPSI RAS -Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Doctor of Physical and Mathematical Sciences. 1984 -graduated from Physics department of Samara State University (presently, Samara National Research University). 1993 - defended his dissertation "Asymptotic methods of calculation of the diffraction of laser radiation focuser". 2010 - defended his doctoral thesis on "Asymptotic methods for calculating the diffraction of coherent electromagnetic radiation in diffractive optical elements". Research interests: diffraction, quantum optics, plasma physics. The list of S.I. Kharitonov scientific papers includes 87 articles, 5 patents. E-mail: prosnoz2007@smail.com .
Sergey Gennadjevich Volotovsky (b. 1959) graduated from Kuibyshev Aviation Institute named after academician S.P. Korolyov (KuAI) on a specialty "Applied Mathematics", works as the leading programmer in the IPSI RAS -Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: software design, modeling of systems with diffractive optical elements. E-mail: sv@smr.ru .
Svetlana Nikolaevna Khonina, Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor of Samara National Research University. Main researcher of the IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: diffractive optics, singular optics, mode and polarization transformations, optical manipulating, optical and digital image processing. E-mail: khonina@smr.ru .
Nikolay Lvovich Kazanskiy graduated with honors (1981) from S.P. Korolyov Kuibyshev Aviation Institute (presently, Samara University), majoring in Applied Mathematics. He received his Candidate in Physics & Maths (1988) and Doctor in Physics & Mathematics (1996) degrees from Samara University. He is the Head of the IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics RAS", also holding a part-time position of a professor at Technical Cybernetics department of Samara University, holding the chair at the of High-Performance Computing department at IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics RAS". He is a member of OSA, SPIE and IAPR. He co-authored 290 scientific papers, 12 monographs, 53 inventions and patents. His current research interests include diffractive optics, mathematical modeling, image processing, and nanophotonics.
Website: http://www.ipsi.smr.ru/staff/kazanskiy.htm . E-mail: kazanskiy@ssau.ru .
Received October 20, 2018. The final version - November 30, 2018.
