CC BY
55
УДК 535.1
УДАРНОВОЛНОВОЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ ВЫСОКОЙ ПИКОВОЙ МОЩНОСТИ
© 2013 И.О. Золотовский, Д.А. Коробко, Р.Н. Минвалиев, М.С.Петряков, Д.А.Столяров
Ульяновский государственный университет
Поступила в редакцию 21.06.2013
Проведено исследование распространения мощного оптического импульса в средах с большими значениями параметра самообострения с учетом дисперсионных эффектов. В случае аномальной дисперсии показана возможность генерации на фронте огибающей солитоноподобных пиков высокой пиковой мощности. Установлено также, что на основе фотонно-кристаллического волновода возможно получить среду, обладающую крайне высоким абсолютным значением параметра самообострения. Ключевые слова: ударные волны огибающей, мощные лазерные импульсы, параметр самообострения, фотонно-кристаллические волноводы.
1. ВВЕДЕНИЕ
Феномен возникновения ударных волн огибающих для лазерных импульсов впервые был исследован Л.А. Островским приблизительно 50 лет назад [1, 2]. В этих работах было показано, что зависимость групповой скорости от интенсивности распространяющегося в среде мощного лазерного импульса приводит к нелинейной трансформации его формы и увеличению крутизны его фронта (заднего или переднего в зависимости от знака параметра дисперсии керровской нелинейности). В результате может происходить генерация ударной волны огибающей лазерного импульса, что принципиально напоминает процесс образования ударных волн в акустике [3].
Динамика образования ударной волны огибающей в нелинейных средах достаточно подробно рассматривалась во многих работах [4-12]. Вместе с тем, появление новых оптических материалов - фотонно-кристаллических световодов [13-15] и композитных материалов с гигантскими нелинейностями, реализующих условия плаз-монного резонанса [16-18], делает актуальным рассмотрение динамики мощных лазерных импульсов в средах с высоким параметром самообострения. В волноведущих системах этого типа параметр самообострения может принимать ги-
Золотовский Игорь Олегович, кандидат физико-математических наук, директор Центра нанотехнологий и материалов Научно-исследовательского технологического института (НИТИ). E-mail: [email protected] Коробко Дмитрий Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИТИ. E-mail: [email protected] Минвалиев Рамиль Наильвич, аспирант. E-mail: [email protected] Петряков Михаил Сергеевич, магистрант. Столяров Дмитрий Александрович, аспирант. E-mail: [email protected]
гантские, по сравнению с "обычными" оптическими материалами (например, кварцевыми волоконными световодами), значения. Кроме этого в работе будет рассмотрен вопрос о реализации волновода, имеющего не только положительный, но и отрицательный параметр самообострения, который приводит к укручению переднего фронта лазерного импульса (в отличие от положительного, деформирующего задний фронт).
Получение ударных волн с высокой крутизной переднего фронта может представлять значительный практический интерес. Так, в одной из первых методик сжатия мощных лазерных импульсов [19, 20] в качестве компрессоров предполагалось использовать обычные оптические усилители в сильно инвертированной активной среде. При этом использование подобной схемы оказалось затруднительным, поскольку если импульс имеет пологий фронт, усиление всей передней части вводимого в усилитель импульса не только не приведет к сжатию, а наоборот, может привести к существенному его уширению. В силу этого, для сжатия импульса перед усилителем размещают устройство (например, ячейку Кер-ра или Поккельса), срезающее фронт вводимого в усилитель импульса. Таким образом, для сжатия импульса в процессе усиления весьма желательно отсечь слабые участки его переднего фронта, чтобы они не истощали активную среду до прихода максимума огибающей. Для этого важно с самого начала придать переднему фронту импульса "ступенчатую" форму, тогда именно передняя часть импульса будет получать большую часть энергии, запасенной в усилителе. В результате, можно говорить о том, что возможность получения ударных волн на переднем фронте импульса позволяет обходиться без дополнительных обрезающих устройств, при реализации режима совмещающего усиление и вре-
менное сжатие для мощных лазерных импульсов в активной среде.
Отдельно следует упомянуть, о связанном феномене, привлекающем в последнее время большое внимание - волновых пакетах, получивших в литературе название "rogue wave" [21-24]. Их отличительной чертой принято считать, в том числе, деформацию волнового фронта (т.н. эффект "оптического цунами" [25,26]). Все вышесказанное демонстрирует важность исследования динамики мощных лазерных импульсов в средах с нестандартно высоким значением параметра самообострения, способного приобретать как положительные так и отрицательные значения.
2. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
УДАРНЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СВЕТОВОДАХ
Распространение волнового пакета в оптической среде с керровской нелинейностью описывается уравнением [27]:
д2 E 1 д2 E
■ + /о
д2 P
д2 P
^ 1 АГ,
(1)
д22 с2 &2 0 сЛ2 0 &2 Здесь Е(2, t) - электрическое поле пакета, которое может быть выражено через комплексную медленно меняющуюся амплитуду Е (2, t) = \Л( 2, t )| ехр [ ((Ж®, 2) - А) 2 - (а- а0у)] , Рь и Рмь - линейная и керровская нелинейная составляющие поляризации соответственно, А0 и а0 - постоянная распространения и несущая частота пакета. Для волновых пакетов с длительностью Т0 << тж справедливо следующее выражение для нелинейной керровской поляризации:
Рж = 2е0*(3) |Л|2 Л ехр(/(Ао2 - Со0),
где тж - характерное время нелинейного отклика среды, %(3) -керровская диэлектрическая восприимчивость. В первом порядке малости по параметру тж / Т0 нелинейный источник в (1) имеет вид [28]:
д/>]|(И2Л) |exp(z-о/)).(2)
СРк=-МГ»,*Л-/
С2 2 с2 [ М [ С да ¡а
Введем радиальное распределение поля и (г) в волноводе в плоскости поперечной к направлению распространения (т - азимутальный индекс моды) [29]
E (г, Г) = Е( 2,0и (г, р) = и (г) сои^р Л(2, t) ехр (( г - ®0t)) Поперечный профиль поля моды и (г) удовлетворяет волновому уравнению
Г/ \2 2Л
и = 0.(3)
d 2U
+1 — +
dr2 r dr
® t \ I R 2 m —n (r) | - p - —
c J r
Через распределение и (г) определим параметр - эффективную площадь моды
Sf = 2ж
СО \ I со
J |U (r )|2 rdr /|J |U (r )|4 rdr
V 0 у V 0 у
В дальнейшем подразумевается, что мы рассматриваем распространение пакета в одномо-довом азимутально-симметричном случае т = 0. В общем случае этот параметр может изменяться по длине волновода (2). Введем также следующие обозначения, которых будем придерживаться в дальнейшем:
n(2) = М
(3)
n(2)®
R = " Ш0
\П
cS
ef
Здесь п - линейный показатель преломления среды, п(2) - параметр кубической керровской нелинейности, ^ - коэффициент нелинейности, выраженный в Вт-1м-1, который также может зависеть от 2 . При помощи стандартной процедуры [27, 28] из уравнения (1) может быть получено уравнение для медленно меняющихся амплитуд Л( 2, t), которое в сопутствующей системе координат, движущейся с групповой скоростью (2) = (дА / дс)С1=с0, имеет вид
дЛ 1В д2Л . . ,2 , д
дz 2 Т+ Л + ^(И' Л) = (4)
где г - время в сопутствующей системе координат
г = t - Jdz / ug (z) , D(z) = (д2p / д®2 ХЦ -
о
дисперсия групповых скоростей (ДГС). Важную роль в дальнейшем будет играть параметр самообострения /и (в англоязычной литературе self-steepening), в общем случае также зависящий от продольной координаты z , который можно записать в виде [28, 30]
2n
(2)
®0 д
/ = ----
cS
ef
0^
с д®
(2) n( )
V Sef J
(5)
При учете члена, связанного с этим параметром, к групповой скорости волны возникает нелинейная добавка, пропорциональная второму слагаемому в
дТИи! A
= A
м
дт
+| a 2—.
1 1 дт
Зависимость групповой скорости волны от ее амплитуды является характерной чертой образования ударной волны огибающей. При ¡и> 0 максимум огибающей импульса распространяется со скоростью, меньшей групповой скорости волнового пакета u в среде, что означает сме-
щение максимума в хвост волнового пакета, в результате чего происходит его укручение. При \ < 0 возможно образование ударной волны на фронте импульса.
Поясним сказанное известным примером [4], в котором пренебрегается дисперсионными эффектами. Это приближение вполне корректно для достаточно длинных оптических импульсов с шириной спектра
) A2
+ 3j)f) dip p 0
OZ д-
дт
(7)
Проанализируем решение полученного уравнения (7) на примере начального импульса гауссовой формы:
р(\,0) = р°ехр(-—т )•
2\
Решение уравнения для амплитуды р(\, 2), определяющей форму импульса, можно записать в неявном виде:
(
P(-z) = Po exP
т-
z
3p2\цф<Ц
Л
/2т-
. (8)
У
С учетом определения времени в бегущей системе координат для средней по длине 2 скорости максимума огибающей волнового пакета ит верно соотношение
wm = z
Z 2, \
J u-1(#) d# + 3p2J)(i) di\ . (9)
В общем случае величина um является сложной функцией координаты z • В частном случае однородного световода (т.е. при ) = const, ug = const ) выражение для скорости максимума огибающей принимает известный вид [4]:
\рр — 0 ) скорость максимума огибающей совпадает с групповой скоростью импульса.
Для определения формы импульса в нелинейной усиливающей среде соотношение (8) удобно представить в виде
Т =
z
3Р\ц(Л)di + T^21n(Po/p) ,
(11)
О* — << . .
Б
Представим решение уравнения (3) в виде А( 2, t) = р( 2, t )ехр ((( 2, t)), (6)
где р и р - действительные амплитуда и фаза волнового пакета. Пренебрегая в уравнении (4) дисперсионным членом и разделяя действительную и мнимую части, получаем для амплитуды волнового пакета следующее уравнение:
где знак "-" относится к фронту импульса, а знак "+" к хвосту. Укручение фронта импульса, в конечном итоге, приводит на некоторой длине ЬБ к образованию разрыва, которому отвечает |др/д\ —^ гс, т.е. формируется ударная волна огибающей. Из соотношения (11) можно получить следующую неявную связь длины образования ударной волны ЬБ с параметрами световода и вводимого импульса:
1 ( )d ■ / хтЛИ
J )(z)dz = sign()) 2 .
o 3po
Из которой, в случае однородного усилителя ) = const, можно получить известное выражение [28]:
г = т0УёТ2
LB = о I . .1 ,2
3| \ \ Ро2
Следует отметить, что все полученные выше результаты могут быть использованы и для активного волновода с усилением g (2), описываемого уравнением
+iR\A\2 A+)д°-(И2 А) = gA • (12)
ит = ^-2 . (10)
1 + 3\и% р° у >
При этом очевидно, что в линейном приближении (т.е. для импульса малой мощности, когда
8А ¡Б д2А .,2 . д
-----+гЩА А + и—
д2 2 д\ 11 д\
В этом случае уравнение (3) с эффективными коэффициентами
Я (2) = Я(2)ехр ^ 2| g (^)ё^,
~ц (2) = \ (2)ехр | 2| g .
остается справедливым для амплитуд А(2,\), связанных с первоначальными как
А= А(2,\)ехр || g(#).
3. ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Приведенные выше соотношения дают принципиальную упрощенную картину образования ударных волн в оптических волноводах. Между
u
тем дисперсия групповых скоростей оказывает существенное влияние на переформирование импульса, описываемого уравнением (4). Даже если на начальном этапе длительность импульса была значительной, и эффектами ДГС можно было пренебречь, при укручении фронта импульса, т.е. при д| Л|/дт ^ го дисперсионное рас-плывание начинает играть большую роль. Качественно можно пояснить, что при образовании ударной волны ширина спектра импульса увеличивается, что делает дисперсионные эффекты более значимыми. Дисперсионный разброс скоростей приводит к ограничению крутизны фронта импульса.
Известны точные решения уравнения (4) с постоянными коэффициентами, описывающие распространение кинков ("ступенек") излучения [5], и импульсов солитонного вида, в пределе ¡и ^ 0 переходящих в фундаментальные соли-тоны нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [6-8]. Точные аналитические решения для импульсов с энергиями большими энергии фундаментального солитона, т.е. в случае Ро > В/Кт02 неизвестны, поэтому приходится ограничиваться численным решением уравнения (4). Нами проведен численный анализ эволюции начального импульса Л2(^) = ^Р^СОвЬТТт,) с длительностью т0 = 25 пс и мощностью
Рис. 1. Образование ударной волны: (а) Изменение мгновенной частоты; (Ь) огибающие импульсов после распространения в волноводе длины 10 м, с параметрами К = 0.05 Вт^м"1, и = -10-14 Вт-1м"'с , 1 - В = 0 , 2 - В = -7 • 10-26 с2м-1, 3 - В = 5 -10-26 с2м-1. Симметрично показаны результаты для волновода с и = 10-14 Вт-1м-1с . Штриховой линией показана огибающая начального импульса
Р0 = 115 Вт в волноводе с аномальной ( В < 0 ) и нормальной ( В > 0 ) дисперсией. Результаты показаны на рис. 1, 2. Там же указаны параметры волновода. Отмечаем, что для моделирования использовались как положительные, так и отрицательные значения параметра самообострения Ц = 10 14 Вт 1м 1с . Возможность получения столь высоких значений ¡и разных знаков в фо-тонно-кристаллических (ФК) волноводах обсуждается ниже, в следующей части работы. Добавим также, что используемые здесь и далее значения параметров нелинейности К и дисперсии В несколько превосходят стандартные величины для кварцевых волокон, но вполне достижимы в ФК волноводах. Для сравнения приведены также результаты в бездисперсионном случае.
Как можно видеть из рисунков, импульс в ходе распространения приобретает асимметричную форму с образованием крутого переднего или заднего фронта в зависимости от знака ¡ . Спектр импульса (рис. 2) значительно уширяется в сторону высоких или низких частот также в зависимости от того, ускоряется максимум импульса ( ¡1 < 0 ) или замедляется ( ¡и> 0 ). Из сопоставления с графиком мгновенной частоты (рис. 1 (а)) видно, что уширение спектра связано со смещением частоты наиболее крутой части фронта импульса. В области нормальной дисперсии фронт смещается дальше от первоначального центра импульса, но его частотный сдвиг ниже, чем в области аномальной дисперсии. При аномальной дисперсии положение максимума сдвига частоты близко к положению максимума им-
Рис. 2. Спектр ударной волны при укручении переднего фронта импульса прошедшего 10 м
волновод с параметрами К = 0.05 Вт- 1м-1, и = -10-14 Вт-1м- 1с , 1 - В = 0 , 2 - в = -7•Ю-26с2м-1, 3 - В = 5 • 10-26 с2 м-1. Штриховой линией показан спектр начального импульса
пульса, что согласуется с аналитическими решениями уравнения (4). Известно, что точные со-литонные решения этого уравнения обладают специфической фазовой модуляцией [6-8]
3 2
(рт = а (г) = ||А(г)| + Ди,
где Ди - разность между скоростью солитона и групповой скоростью волны. Таким образом, можно предполагать, что в области аномальной дисперсии на фронте импульса происходит формирование солитоноподобных частотно-модулированных импульсов.
Рассмотрим образование фронта ударной волны подробнее. Отметим, что расплывание фронта в случае нормальной дисперсии приближенно можно описать при помощи соотношения для скорости пика импульса (10). Действительно, изменение скорости максимума импульса за счет самообострения Ди2 □ Зц2^Р0 компенсируется дисперсионным изменением скорости пика, происходящим за счет уширения спектра импульса
полосе частот
Au
du _g
da
■A® □ 3/u2P0.
rf □
3/P0'
g (Q) = 2Q
Щ4-
Щ Q
-/ A
. (14)
Q<Q„ =
2 A
D ((/ A У
и достигает максимального значения
g, = 2 A( R-¡i 4=)
21D
на частоте
Q =4ÏAa
m * П
_R_
Dl
/ A
2D2
-1/2
С учетом того, что d(и^ ) dа = П, отсюда можно оценить длительность крутого фронта импульса при нормальной дисперсии
П
(13)
Несколько по-иному происходит укручение фронта в случае аномальной дисперсии. Известно, что импульс с энергией значительно большей энергии фундаментального солитона (Ж-соли-тонный импульс, N >> 1) при распространении в нелинейной среде с аномальной дисперсией, описываемой НУШ, трансформируется в совокупность коротких импульсов близких к фундаментальным солитонам. Это одно из проявлений специфически нелинейного процесса модуляционной неустойчивости [27]. Если по аналогии с НУШ провести анализ уравнения (4) на предмет устойчивости постоянного решения А = А ехр(/ЯА2*) к малым гармоническим возмущениям, то можно получить, что член пропорциональный параметру | препятствует развитию модуляционной неустойчивости и до некоторых пор стабилизирует целостность импульса. Действительно, коэффициент усиления модуляции на частоте 0 = а — а0 можно записать как [31]
Он приобретает действительные значения в
При высоких значениях /> ( R |D| )12/A0 полоса частот модуляционной неустойчивости сужается до 0, и импульс сохраняет целостность. При распространении импульса и достижении на его фронте значений Л\/8г — го спектр импульса резко уширяется (см. рис. 2), и приближение малых гармонических возмущений становится неадекватным. В результате на стыке фронтов импульса образуется область модуляционной неустойчивости и формируется солитоноподоб-ный импульс с пиковой мощностью A и длительностью Ат << т0. Величины A2 и Ат можно связать приближенным соотношением RDA-©- л A =0,
которое в пределе / — 0 переходит в определение фундаментального солитона RA2 = D/Ат2 .
Приведенные качественные соотношения подкрепим численным решением уравнения (4) при различных значениях параметров самообострения /л и аномальной дисперсии D < 0 . На рис. 3 представлены результаты численного моделирования распространения импульса начального импульса A0(t) = „JP^cosh(r/r0) с длительностью г0 = 25 ps и мощностью P0 = 192 Вт в волноводе с указанными значениями параметров D , / и R.
Рис. 3 (a, b, c) подтверждают вывод о том, что при распространении импульса в волноводе с аномальной дисперсией высокие значения дисперсии нелинейности препятствуют развитию модуляционной неустойчивости. При достаточно высоких значениях /л формирования характерной многопиковой структуры импульса не происходит, однако, огибающая приобретает асимметричную форму. На определенной длине распространения на крутом фронте импульса можно наблюдать образование отдельного пика. На рис. 3 (d, e, f) показана структура импульса с образующимся пиком при различных значениях параметра аномальной дисперсии волновода.
Рис. 3. (а, Ь, с) Результаты моделирования распространения импульса в волноводе длины 5.7м,
с параметрами Я = 0.03 Вт-1 м-1, Б =-3 -10~25 с2м-1, (а) - \ = 0 , (Ь) - \ = 10-15 Вт-1м-1с , (с) - \ = 10-14 Вт-1м-1с ; (а, е, 1) Результаты моделирования распространения импульса в волноводе с параметрами
\ = 10 14 Вт 1м 1с
(а) - Б = -10-25с2м-1,1 = 7.2м (е) - Б =-10-24с2м-1,1 = 4м , (1) - Б = -5-10-24 с2м-Штриховой линией показана огибающая начального импульса
Л = 2.4м .
Как можно видеть, пиковая мощность и энергия формирующегося пика увеличиваются с ростом аномальной дисперсии волновода, что можно объяснить повышением коэффициента модуляционного усиления. В итоге это приводит к повышению отношения энергии пика импульса к энергии его пьедестала и, таким образом, при гигантских значениях дисперсии \Б\ □ 1° 23 с2м 1 позволяет рассчитывать на достижение высокоэффективной компрессии исходного импульса.
Следует отметить также изменение скорости пика по отношению к краю импульса, на котором он образовался. С увеличением своей мощности пик ускоряется (или затормаживается, в зависимости от знака \ ) и проникает внутрь импульса. Таким образом, происходит образование структуры фронта. Этот процесс проиллюстрирован результатами моделирования на рис. 4. Как можно видеть, в области высоких значений д|А| !д\ формируется зона модуляционной неустойчивости, наивысшего значения коэффициент модуляционного усиления достигает в точке максимума крутизны. Вследствие меньшей скорости пика эта зона углубляется внутрь импульса, оставляя за собой возмущенный участок.
В зависимости от соотношений между параметрами импульса и волновода этот процесс может происходить устойчиво либо сопровождаться увеличением частотного диапазона модуляционной неустойчивости и резким уширением спектра импульса. В конечном счете, второй вариант приводит к распаду импульса.
Как показывает проведенный анализ, распространение импульсов излучения в волноводах с высокими значениями параметра самообострения \ представляет значительный прикладной интерес. На основе подобных волноводов могут быть получены высокоэффективные оптоэлектронные элементы - компрессоры, излучатели широкого спектра, генераторы импульсов с высоким градиентом мощности. В следующей части работы обсуждаются вопросы, связанные с возможностью изготовления подобных волноводов.
4. ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА
САМООБОСТРЕНИЯ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ
Как было показано выше, динамика импульса излучения в значительной мере зависит от величины и знака параметра самообострения \,
Я = 0.03 Вт-1 м-1
характеризующего волноведущую среду. Как правило, этот параметр полагается малой и всегда положительной величиной с очень хорошей степенью точности равной ^П 2Я / а° и слабо влияющей на динамику волнового пакета в том случае если длительность импульса значительно больше 100 фс, а пиковая мощность значительно меньше 1 МВт. Подобное действительно с высокой степенью справедливо для кварцевых ступенчатых волноводов или для получивших в последнее время широкое применение волноводов с '^"-образным профилем показателя преломления. Однако, с другой стороны, в современных фотонно-кристаллических (ФК) волноводах локализация излучения достигается не за счет полного внутреннего отражения, а за счет брэгговского механизма "запирания" излучения в сердцевине волновода. В этом случае, очевидно, имеется сильная зависимость эффективной площади моды, а как следствие параметра самообострения и кубической (керровской) нелинейности от несущей частоты.
Выражение (5), определяющее параметр самообострения, можно переписать в виде
М =
2 п
(2)
сБ.
к Б.
( дп(2) Л да
к ° п
(2)
(дБ, Л
Б 2
да
(15)
ния параметра самообострения, как правило, не используются в виду большой чувствительности к вариации параметров чреватой большими оптическими потерями. Тем не менее, для ФК сред с большими кубическими нелинейностями соответствующие диапазоны могут быть использованы для эффективного управления формой огибающей импульсов.
Рассмотрим типичный случай, в котором может быть показана существенная зависимость параметра самообострения от параметров волновода, на примере волновода с параболическим профилем. Показатель преломления сердцевины "стандартного" волновода описывается соотношением [29]
С
п(г) = п1
1-А
( V Л г
V г° J
1/2
0 < г < г
(16)
V
где к° =6°/с. Обычно, при анализе динамики волнового пакета вторым и третьим слагаемыми параметра самообострения пренебрегают, что справедливо для наиболее распространенных волноводов со ступенчатым или '^"-образным профилем показателя преломления. С другой стороны, в работе [30] показано, что в брегговс-ких волноводах с одномерной неоднородностью показателя преломления могут быть получены значения эффективного параметра самообострения существенно выше стандартных. Возможной является и реализация волноводов с отрицательным параметром М. Эффекты подобного рода, связанные с резким увеличением величины и изменением знака параметра самообострения, могут наблюдаться и в ФК световодах с 2D структурой изменения показателя преломления. Кроме того, в качестве волноведущей среды с высоким по модулю значением параметра самообострения, могут быть предложены среды с высокой дисперсией керровской нелинейности, например, композитные материалы, описываемые соотношением Максвелла-Гарнетта [18].
Следует отметить, что сильная дисперсия площади моды потенциально сопряжена с неустойчивостью распространяющегося волнового пакета, при которой даже незначительные дефекты в параметрах среды приводят к резкому росту оптических потерь. Таким образом, спектральные диапазоны обеспечивающие большие значе-
а показатель преломления оболочки
п(г) = п (1- А)1/2, г > г°,
где А = (п12-п^)/^, п1,п2 - показатели преломления материалов световода. При g = 1 волновод обладает треугольным, при g = 2 параболическим профилем показателя преломления. Большие значения показателя g соответствуют волноводу со ступенчатым профилем показателя преломления.
Для получения дисперсионных зависимостей параметров основной моды волновода получим решение волнового уравнения (3) в гауссовом приближении [29]. В соответствии с ним радиальное распределение поля моды можно записать как
и(г)2= ехр(-г2 /2^2),
где и = (Б., 17г) - радиус поля моды. Константа распространения связана с радиальными распределениями моды и показателя преломления соотношением
|(к2 п2(г )и2 -(аи/ёг )2 )с1г
2 _ 0
Р2 =
I и2 гёг
. (17)
здесь к = к° п1. Из уравнения др2/ ди = 0, получаем дисперсионную зависимость радиуса моды
и2 = 2г° / к^А . (18)
Таким образом, эффективная площадь моды волновода определяется как Б., = 2жг0 / кл/ А .
Вычисляя интегралы в (17), получаем выражение для константы распространения ЬР-моды в волноводе с параболическим профилем показателя преломления
Р = k
1 —
2У[Д
Л/2
ктг
0 У
Поскольку параметр Д « 1, то при рассмотрении поставленной задачи можно считать, что Р = k0п1, и поэтому групповая скорость и ДГС не зависят от диаметра волновода и постоянны по всей его длине. В этом случае, для волновода с параболическим распределением показателя преломления можно записать выражения для коэффициента керровской нелинейности
Я = п(2)л/Д /2жг0 ,
и параметра самообострения (согласно (15))
1=-
к4Д
7ГГ0С
' (2) 5П(2) ,
пц —а0п--а0п
да
,(2) дп._
да
п(2) дД
да
. (19)
Отметим, что даже в рассмотренном случае волновода с параболическим профилем параметр самообострения | может значительно отличаться от стандартного приближения □ 2Я / а0 из-за наличия дисперсионных слагаемых. При этом знак | может быть как положительным, так и отрицательным.
В отличие от параболических волноводов, широко распространенные волноводы со ступенчатым профилем показателя преломления обладают слабой дисперсией площади моды. Сравнить их дисперсионные характеристики можно при помощи известной формулы Маркузе [32]. Эта формула с высокой точностью описывает зависимость радиуса волноводной моды w от волноводного параметра
w
где
V
2/(2 + £)
В —
с
V = а
V 3/2 V (ц2 — п 2)1/2,
(20)
где £ - параметр профиля показателя преломления из (16). Для ступенчатого световода £ ^го , и численные коэффициенты в (20) определяются как А = 0.65, В = 1.619, С = 2.879. Его дисперсионная зависимость показана пунктиром на рис. 5. Как можно видеть, в области "рабочих" значений г0 > 2Х для таких волноводов w □ г0. Сравнивая этот результат с (18), отмечаем, что дисперсия площади моды у ступенчатых волноводов практически отсутствует (нет зависимости площади моды от k ).
Рассмотрим теперь волновод со структурой поперечного сечения, характерной для ФК волокна. Как показано в работе [33] формула Маркузе (20) описывает дисперсионную зависимость площади моды и в этом случае. При этом волновод-ный параметр следует определить как
^съ . (П1 Пе$ )
X
где пед - эффективный показатель преломления структурированной оболочки световода. Рассмотрим типичный пример ФК волокна (см. вставку на рис.5). Центральная часть световода, служащая его сердцевиной, окружена оболочкой с гексагональной системой воздушных отверстий диаметром d , отстоящих друг от друга на расстояние Л. пгд определяется как эффективный показатель преломления основной моды беско-
Рис. 4. Результаты моделирования распространения импульса в волноводе с параметрами Я = 0.03 Вт-1 м-1, П = —1.5-10-25 с2м-1, | = 10-14 Вт-1м-1с , (а, Ь) I = 6.6м , (с, а) I = 7.5м . Штриховой линией показана огибающая начального импульса
2 3 4
А/к, г(, /X
Рис. 5. (Взят из [34]). Зависимость радиуса волноводной моды кварцевого структурированного
световода от постоянной структуры л, рассчитанная с помощью аппроксимации (21) для Л = 1 мкм, d|Л = 0.3 (штрихпунктирная линия), 0.5 (сплошная линия), 0.9 (штриховая линия). Пунктирной линией представлена зависимость
радиуса волноводной моды от радиуса сердцевины г0 для стандартного ступенчатого световода с п1 - п2 = 0.01.
На вставке - изображение поперечного сечения ФК световода нечной гексагональной периодической структуры с воздушными отверстиями диаметром й и периодом Л. Формула (20) с коэффициентами ЛРСР = 0.7078, ВРСР = 0.2997, СРСР = 0.0037, £ = 8 обеспечивает высокую точность аппроксимации зависимости отношения Л от параметра УРСР
w
В
С
РСР . | РСР | ^РСР
Л Г2/(2+") V3/2 V6
1 1 ' т>птр ' тэт7 " 7Э/
(21)
На рис. 5 (взят из работы [34]) приведены зависимости радиуса моды от постоянной Л для ФК волноводов с гексагональной структурой при различных значениях отношения d| Л. Отметим то, что область дисперсионной зависимости радиуса моды ( w <хЛ", п ^ 1) находится в допустимых пределах для современных ФК световодов, реализующих локализацию излучения за счет брег-говского механизма. С увеличением пористости структуры оболочки эта область смещается в зону значений Л порядка длины волны для d|Л □ 0.5. Таким образом, следует обратить внимание на то, что в спектральных областях, находящихся вблизи брегговского синхронизма, дисперсия эффективной площади моды может достигать очень высоких значений. Отметим также то, что слева от точки минимума площади моды имеется зона большой и при этом отрицательной дисперсии площади моды, т.е. /» ^ /С .Из-за сильного изменения площади моды и связанного резкого увеличения оптических потерь
соответствующий спектральный диапазон используется довольно редко, однако, как видим, он может найти применение для получения волноводов с гигантской по модулю дисперсией нелинейности. В этом диапазоне параметр самообострения ФК волноводов может принимать как положительные, так и отрицательные значения по модулю более чем на два-три порядка превосходящие стандартные.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе обсуждается динамика оптических импульсов в волноводах, характеризующихся высоким значением параметра самообострения /и . Актуальность работы связана с тем, что эволюция импульсов в волноводах этого типа приводит к возникновению волн с высоким градиентом мощности, востребованных в широком круге приложений. Подробно рассматривается процесс образования ударной волны огибающей на переднем фронте (при /и < 0) и в хвосте импульса ( / > 0 ) как в бездисперсионном случае, так и при наличии нормальной и аномальной дисперсии волновода. В работе показано, что при высоком параметре самообострения модуляционная неустойчивость импульсов, распространяющихся в нелинейной среде с аномальной дисперсией, снижается, тем не менее в зоне наивысшего градиента мощности этот нелинейный эффект приводит к образованию солитоноподобных пиков. При высоких значениях аномальной дисперсии, таким образом, можно говорить об эффективной ударной компрессии импульса и достижении высоких пиковых мощностей излучения. Рассмотренный ударновол-новой механизм может найти применение и при генерации излучения с широким спектром.
В работе также показана возможность реализации волноводного режима с высоким по модулю как положительным так и отрицательным параметром самообострения. Этот режим может быть получен в фотонно-кристаллических волноводах в диапазоне длин волн близких к параметру структуры оболочки ФК волокна.
Настоящая работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ОстровскийЛ.А. Образование и развитие ударных электромагнитных волн в линиях передачи с ненасыщенным ферритом // ЖТФ. 1963. Т. 33. С. 1080-1092.
2. Островский Л.А. Распространение волновых пакетов и пространственно-временная самофокусировка в
нелинейной среде // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С. 1189-1194.
3. MestdaghD., Haelterman M. Spectral Super-Broadening of Ultra-Short Pulses in a Nonlinear Kerr Medium; Effect of Relaxation // Opt. Comm. 1987. V.61, P.291-295.
4. Anderson D., Lisak M. Phys. Non-linear asymmetric self-phase modulation and self-steepening of pulses in long optical waveguides // Phys.Rev. A. 1983. V. 27. P1393-1398.
5. Agrawal G. P. andHeadley C. III Kink solitons and optical shocks in dispersive nonlinear media // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P.1573-1577.
6. Громов Е.М., Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах / / ЖЭТФ. 1996. Т. 110/ С.137-150.
7. de Oliveira J.R., de Moura M.A., HickmannJ.M. and Gomes A.S.L. Self-steepening of optical pulses in dispersive media // J.Opt.Soc.Am.B. 1992. V.9, P.2025-2027.
8. Zhong W.P., Luo H.J. Limitation of the capacity due to amplified spontaneous emission in a subpicosecond soliton communication system / / Chin. Phys. Lett. 2000. V.17/ P. 577-579.
9. Афанасьев А.А., Волков В.М., Урбанович А.И. Динамика формирования ударной волны огибающей УКИ в среде с релаксирующей кубической нелинейностью // Квант. электрон. 2000/ Т. 30 (11)/ С.1002-1004.
10. ЗолотовскийИ.О., СеменцовД.И. Образование ударных волн в неоднородных активных световодах // Квант. электрон. 2005. Т.35, С.419-423.
11. Wan W., Jia S., Fleischer J. Dispersive, superfluid-like shock waves in nonlinear optics // Nature Physics. 2007. V. 3. P. 46-51.
12. Tempea G., Brabec T. Theory of self-focusing in hollow waveguides // Opt. Lett. 1998. V. 23, P.762-764.
13. Желтиков A.M. Дырчатые волноводы // УФН. 2000. Т.170. С.1203-1215.
14. Агравал Г., Кившарь Ю. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов. [Пер. с англ.]. М.: Наука. 2005. 648 с.
15. Желтиков A.M. Оптика микроструктурированных волокон. М.: Наука, 2004. 281 с.
16. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.4184-4187.
17. Bilotti .F., Tricarico S, Vegni L. Plasmonic metamaterial cloaking at optical frequencies // IEEE Transactions on Nanotechnology. 2010. V. 9. P. 55-61.
18. Моисеев С.Г., Остаточников В.А., Семенцов Д.И. По-
давление дефектной моды в фотонно-кристалличес-кой структуре с резонансным нанокомпозитным слоем // Квант. Электрон, 2012. Т.42, С.557-560.
19. Басов Н.Г., Летохов В.С. Изменение формы импульса света при нелинейном усилении // ДАН СССР. 1966. Т.167. С.73-77.
20. Крюков П.Г., Летохов В.С. Распространение импульса света в резонансно усиливающей (поглощающей) среде // УФН. 1969. Т.99, С.169-227.
21. Dysthe K., Krogstad H.E., and Muller P. Oceanic rogue waves // Annu. Rev. Fluid Mech. 2008. V.40, 287-310.
22. Akhmediev N. and Pelinovsky E. Physical mechanisms of the rogue wave phenomenon // Eur. Phys. J. Special Topics. 2010. V.185. P.1-4.
23. Didenkulova I. and Pelinovsky E. Rogue waves in nonlinear hyperbolic systems (shallow-water framework) // Nonlinearity 2011. V. 24. R1-R18.
24. Soomere T. Rogue waves in shallow water //Eur. Phys. J. Special Topics. 2010. V.185. P.81-96.
25. Kibler B, Fatome J, Finot C, Millot G, Dias F Genty G, Akhmediev N, and Dudley J.M. The Peregrine soliton in nonlinear fibre optics. // 2010. Nat. Phys.,V.6, P.790-795.
26. Wabnitz S, Finot C, Fatome J. and Millot G. Shallow water rogue wavetrains in nonlinear optical _fibers // 2013 arXiv 1301. P.0888.
27. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика (М.: Мир, 1996, 386.).
28. Ахманов С А, Выслоух В.А., Чиркин А. С. Оптика фемто-секундных лазерных импульсов М.: Наука, 1988. 310 с.
29. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. (М.: Радио и Связь, 1987, 666 с).
30. Золотовский И.О., Семенцов Д.И. Динамика излучения в световодах с диспергирующей эффективной поперечной площадью моды // Опт. и Спектр. 2005. Т. 99, С. 994-997.
31. ZolotovskiiI.O., Lapin V. A. andSementsovD.I. Instability of wave packets in nonlinear inhomogeneous waveguides // Phys. of Wave Phen. 2013. V. 21, P.20-30.
32. Marcuse D. Gaussian Approximation of the fundamental Modes of Graded Index Fibers // J. Opt. Soc. Am. 1978. V. 68, P.103-109.
33. NielsenM.D., MortensenN.A., FolkenbergJ.R. andBjarklevA. Mode-field radius of photonic crystal fibers expressed by the V-parameter // Opt. Lett. 2003. V 28, P2309-2311.
34. Желтиков А.М. Субволновая локализация электромагнитного поля в собственных модах диэлектрических микро- и наносветоводов // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т.91, С.410-413.
SHOCK-WAVE GENERATION OF OPTIC PULSE WITH HIGH PEAK POWER
© 2013 I.O. Zolotovskii, D.A. Korobko, R.N. Minvaliev, M.S. Petryakov, D.A. Stolyarov
Ulyanovsk State University
Propagation of power optical pulse in dispersive media with high self-steepening is investigated. In anomalous dispersion case we describe the generation of high power soliton-like peak at the front of the envelope. The possibility of realization of waveguide with very high absolute value of the self-steepening based on a photonic crystal is shown. Key words: shock waves, high-power laser pulses, self-steepening, photonic crystal fibers.
Igor Zolotovskii, Candidate of Physics and Mathematics, Director of Nanotechnology and Materials Center of Research Institute of Technology. E-mail: rafzol. [email protected]. Dmitry Korobko, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Research Fellow at Research Institute of Technology. E-mail: [email protected]
Ramil Minvaliev, Graduate Student. E-mail: [email protected] Michail Petryakov, Student. of USU, Dmitry Stolyarov, Graduate Student. E-mail: [email protected]
