CC BY
7УДК 656.62.052.4:[629.12:532.5]
В.И. Тихонов, к. т. н., доцент.
Р.С. Хвостов, аспирант, ВГАВТ.
603000, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ АНАЛОГ СУДОВОГО КОРПУСА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Для разработки аналитических методов определения действующих на судно гидродинамических усилий в статье предлагается условная замена реального судового корпуса его эквивалентным аналогом. При этом доказывается, что геометрически эквивалентный аналог одновременно является гидродинамически тождественным аналогом реального корпуса судна.
Установившееся потенциальное движение воды, обтекающей корпус судна, может быть представлено следующим уравнением [1]:
p 2
gz н---н 0,25v = const. (1)
P
Здесь g - ускорение свободного падения;
z - аппликата рассматриваемой точки потока; p - давление жидкости в данной точке; р - плотность жидкости; v - скорость жидкости в данной точке.
Следовательно, уравнение (1) может рассматриваться как интеграл Громеки (или как уравнение Бернулли) применительно к случаю обтекания корпуса судна реальной жидкостью.
Перепишем выражение (1) следующим образом:
gzi + — + 0,25v2 = gz2 + — + 0,25vf, (2)
P P
где z1, z2 - аппликаты рассматриваемых точек потока, обтекающего корпус судна; p1, p2 - давления жидкости в рассматриваемых точках потока; vb v2 - скорости частиц жидкости в рассматриваемых точках потока.
Если рассматриваемые точки потока, обтекающего корпус судна, лежат в одной и той же плоскости ватерлинии (то есть z1 = z2 ), то выражение (2) примет следующий вид:
p1 + 0,25v? = p2 + 0,25v|. (3)
Уравнение (3) позволяет определять разность давлений реальной жидкости на поверхности обшивки корпуса судна, возникающую как вследствие разности скоростей их обтекания, так и вследствие разности гидродинамических напоров на эти поверхности.
Элементарное гидродинамическое усилие dQ, действующее на поверхность обшивки погруженной
части судового корпуса в какой-либо точке A(x, y, z), может быть представлено в виде
dQ = pdS . (4)
Здесь dS - элементарная площадь смоченной поверхности корпуса.
Проецируя силу dQ на продольную x и поперечную y оси связанной с судном системы координат, получаем:
dQx = - pdS cos q cos у; (5)
dQy = pdS sin q cos у , (6)
где q - двугранный угол между диаметральной плоскостью (ДП) судна и вертикальной плоскостью, проходящей через нормаль к ватерлинии в рассматриваемой точке A(x, y, z). Поскольку в данной работе угол q отличается от принятого в навигации курсового угла лишь тем, что всегда положителен, то в дальнейшем будем называть угол q курсовым углом нормали, подразумевая, что он измеряется в четвертной системе счёта; у - снижение нормали к поверхности корпуса в этой точке относительно нормали к ватерлинии.
Произведения dS cos q cos у, dS sin q cos у представляют собой проекции элементарной площади dS соответственно на плоскость мидельшпангоута и ДП судна, то есть
dScos q cos у = dS\
(7)
dS sin q cos у = dSa . (8)
Подставив равенства (7) и (8) в уравнения (5) и (6), получим:
dQx = -pdSi ; (9)
dQy = pdSa . (10)
Следовательно, в случае плоскопараллельного движения судна проекции действующих на его корпус элементарных гидродинамических усилий будут определяться выражениями:
dX = -ApxdSi ; (11)
dY = ApydSa . (12)
В уравнениях (11) и (12) обозначено:
dX, dY - проекции элементарной гидродинамической силы, приложенной к корпусу судна, на оси подвижной системы координат;
Apx - разность динамических давлений жидкости в равноотстоящих от ДП и лежащих в плоскости одной и той же ватерлинии точках обшивки носовой и кормовой оконечностей судового корпуса;
Spy - разность динамических давлений жидкости в симметричных относительно ДП точках обшивки
внешнего и внутреннего бортов корпуса судна.
Выражения (11) и (12) позволяют сделать предположение о том, что для определения действующих на судно гидродинамических усилий существует объективная возможность замены реального судового корпуса его эквивалентным аналогом.
Действительно, разделим погруженный объем корпуса судна на три составные части:
1) цилиндрическая вставка - средняя часть корпуса, характеризующаяся постоянством значения коэффициента полноты;
2) носовая оконечность - часть корпуса, расположенная в нос от цилиндрической вставки;
3) кормовая оконечность - часть корпуса, расположенная в корму от цилиндрической вставки.
Кроме того, представим реальный корпус судна в виде некоего условного корпуса с вертикальными штевнями. Тогда при сохранении объёмов его составных частей значения длины и коэффициента полноты водоизмещения носовой оконечности будут
К = 0,5uhL - ; 5 = [5(0,5L - xG)-0м (l^ - xe)]/ 1н, (13)
а кормовой -
!к = 0,5оЬ - ; 5^ =[5(0,5L + xG )-0м (l^ + xe )]/!к, (14)
где 1я - средняя длина носовой оконечности корпуса судна;
ан - коэффициент полноты носовой половины диаметрального батокса;
L - длина судна;
1цн - средняя длина цилиндрической вставки в носовой половине корпуса;
5н - коэффициент полноты водоизмещения носовой оконечности корпуса;
5 - коэффициент полноты водоизмещения судна; xG - абсцисса центра масс судового корпуса;
(5м - коэффициент полноты мидельшпангоута;
1к - средняя длина кормовой оконечности корпуса судна;
ск - коэффициент полноты кормовой половины диаметрального батокса;
1цк - средняя длина цилиндрической вставки в кормовой половине корпуса;
8к - коэффициент полноты водоизмещения кормовой оконечности корпуса.
Очевидно, что общий объём погруженной части корпуса судна при этом не меняется, ибо (l 5 + IB + l5)BT = (l 5 + IB +Js)lBT = 5LBT. (15)
\ н н Ц1 м к к / \ н н Ц1 м к к / ^ '
Здесь B - расчётная ширина судового корпуса;
Т - расчётная осадка судна;
1Ц =(1цн + 1Ц к) - средняя длина цилиндрической вставки корпуса;
l = l /L; l = l IL = l /L +1 /L = l +1 ; l = l lL.
н н / ’ ц ц I ц.н I ц.к I ц.н ц.к ’ к к /
Заметим, что равенство (15) характеризует собой условный судовой корпус с вертикальными штевнями. Если же обе части выражения (15) умножить и разделить на величину /Зм, то получим аналог судового корпуса с вертикальными бортами, то есть
(I а +1 +1 а )в LBT = аЬВ Т . (16)
\ н н ц к к мм ' '
В последнем равенстве обозначено:
ан = 5н/Рм - коэффициент полноты ватерлинии в носовой оконечности условного корпуса; ак = 5к/Рм - коэффициент полноты ватерлинии в кормовой оконечности условного корпуса; а = 5/Рм - коэффициент полноты ватерлинии условного корпуса с вертикальными бортами;
Вм = ВРм - ширина условного корпуса (средняя ширина мидельшпангоута).
Необходимо отметить, что условный корпус, характеризующийся равенствами (15) и (16) геометрически эквивалентен погруженной части реального судового корпуса.
Для определения зависимости величины А.рх от геометрических характеристик корпуса судна рассмотрим его обращённое движение в продольном направлении с установившейся скоростью vx. Спроецировав скорость vx на касательные к ватерлинии, а также на внутренние нормали к поверхности в каких-либо равноотстоящих от ДП точках обшивки носовой и кормовой оконечностей корпуса, получим:
&Ртх = 0; (17)
ap„, = p„, - p„2 = °,25pv2 (cos2 qH cos2 ун +cos2 q,cos2 у к), (18)
где SpTx - разность давлений жидкости на поверхности обшивки носовой и кормовой оконечностей
судового корпуса, возникающая вследствие разности скоростей их обтекания;
Sp„x - разность давлений, возникающая из-за разности скоростных напоров жидкости на поверхности
носовой и кормовой оконечностей корпуса; qn, qK - курсовые углы нормалей к ватерлинии в рассматриваемых точках носовой и кормовой оконечностей.
ун, ук - снижение нормалей к поверхностям относительно нормалей к ватерлинии в рассматриваемых точках носовой и кормовой оконечностей корпуса.
Найдем приходящееся на единицу площади смоченной поверхности корпуса среднее динамическое давление Spnx в случае установившегося продольного движения судна. Для этого, воспользовавшись
теоремой о среднем значении интеграла [2], представим выражение (18) следующим образом:
( 1 Q- 1 Q- Л
---I cos2 q cos2 у dS +-----I cos2 q cos2 у dS
О J !„ a J 4K
Apn = 0,25 pv
он 0 н н ок 0
к н 0 к 0
= 0,25Р2 (Ar, cos2 Чн + Ay„ cos2 Чк ).
(19)
В последнем соотношении обозначено:
О н, О к - площади смоченных поверхностей носовой и кормовой оконечностей корпуса;
А = cos2 ун - коэффициент, учитывающий среднее снижение нормалей к поверхности обшивки
^ = cor2"
Ун
относительно нормалей к ватерлиниям в носовой оконечности корпуса;
^ = cor2"
Ук
Ay = cos ук - коэффициент, учитывающий среднее снижение нормалей к поверхности обшивки
относительно нормалей к ватерлиниям в кормовой оконечности судна.
Следовательно, в случае произвольного установившегося плоскопараллельного движения зависимость Apx от геометрических характеристик корпуса, согласно формулам Эйлера, может быть представлена в виде
ap, = F (y, q, Чк ,ун ,ук ) = F Ы; (20)
Для оценки зависимости величины Apy от геометрических характеристик погруженной части корпуса рассмотрим обращённое установившееся поперечное движение судна со скоростью Vy . Спроецировав скорость Vy на касательные к ватерлинии в каких-либо симметричных относительно ДП точках обшивки бортов, получим:
Apry = °. (2i)
Проецирование скорости Vy на внутренние нормали к поверхностям в симметричных относительно ДП
точках обшивки бортов даёт следующий результат: в носовой оконечности корпуса
Sp„, = 0,5К Аунsin2 q; (22)
в кормовой оконечности корпуса
Арп^ = 0,5PV1 Ау sin2 qK; (23)
в области цилиндрической вставки
Sp„, = 0,5КА . (24)
Здесь Ау = cos2 уц - коэффициент, учитывающий среднее снижение нормалей к поверхности обшивки
относительно нормалей к ватерлиниям в области цилиндрической вставки.
Таким образом, в случае произвольного установившегося плоскопараллельного движения зависимость Spy от геометрических характеристик корпуса, согласно формулам Эйлера, может быть представлена в виде:
ЬРн = F(xq,у)=F (x);
SPyк = F(x, Чк у к ) = F(x);
APy, = F (х,уц )=К,(х).
Тогда, согласно уравнениям (11) и (12),
X = -Т\
0 0,5BB„
JSPd + \sp,2 dy
(25)
(26)
(27)
(28)
f 1ц» 0,5 La„ 0 ~l,« \
Y = Т\ \APy4dx \Apy. dx + \Spy, dx + \APyк dx
(29)
где АрХ1, ЛрХ2 - разности давлений жидкости на поверхности носовой и кормовой оконечностей соответственно внешнего и внутреннего бортов.
Определим моменты этих сил относительно вертикальной оси г. Момент Мг продольной силы X найдём по выражению:
f 0 0,5 BBM Л
мх =-Т \ \Sp^dy- \sp^ ydy
(30)
0,5 La
0,5 BB
Аналогично может быть подсчитан и момент Мг поперечной силы Y -
zY
1ц н 0,5LaH 0 - 1ц к \
. (31)
M z = Т \ J Apy xdx + \Spy. xdx - \Spy, xdx - \Spy. xdx
4 н ~Lx -0,5La„
J
А теперь рассмотрим носовую половину погруженной части реального судна. Для общего анализа действующих на неё гидродинамических усилий введём следующие функции:
/(г) = 1 - длина носовой половины корпуса в плоскости i -ой ватерлинии;
/ (г) = К-н. - длина носовой части цилиндрической вставки в плоскости . -ой ватерлинии;
/ (г) = 1н; / (г) = 0,5В..
Поскольку обшивка корпуса непротекаема, то будем считать, что введённые функции непрерывны в интервале (— 0,5Т; + 0,5Т).
Согласно теореме о среднем значении интеграла [2],
0,5Т 0,5BB„
S„ = 2 J f3 (z)dz = Т J dy = TBB ; (32)
0,5Т
0,5Т 0,5 Ьа,
5дн = |/(2УЗ? = Т |Зх = 0,5ТЬа,;
-0,5Т 0
0,5Т 0-51,,
= | /1 (?^ = Т |ЗХ = ТК
(34)
0,5Т 0,5 Ьа,
= \[/(?)- /1 (?№ = Т |Зх = Т(°,5Ьа« - 1ц,) = ТК . (35)
-0,5Т І, ,
В формулах (33) - (35) обозначено:
Бдн - площадь проекции носовой половины корпуса на ДП судна;
5цн, 5н - площади проекций носовой части цилиндрической вставки и носовой оконечности на ДП судна.
Аналогично можно показать, что в кормовой половине реального корпуса
5 = Т Г Зх = 0,5ТЬа
д.к I ~ к
-0,5 Ьа
(36)
5 = Т Г Зх = ТІ ;
ц.к I ц.к -
-Іц к
(37)
5к = Т |dx = Т1г. (38)
—0,5 !,к
Здесь 5 к - площадь проекции кормовой половины корпуса на ДП судна;
5цк, 5к - площади проекций кормовой части цилиндрической вставки и кормовой оконечности на ДП судна.
Необходимо отметить, что как для реального судового корпуса, так и для его эквивалентного аналога величины дн, , Ау , Аг и Ау будут иметь одни и те же значения. Следовательно, и разности давлений
Арх, Ару , Ару и Ару будут определяться одними и теми же выражениями (20), (25), (26) и (27). Тогда, согласно уравнениям (11), (12) и (32) - (38),
0,5 ВРм \
X = -
Т\ 1АРхЗУ + \АР,2 ЗУ
(39)
ґ Іцн 0,5 Ьа, 0 ~Іцк \
Y = Т \ \Аруйх \Ару. Зх + \АРУц Зх + \АРУк Зх
(40)
Попытаемся определить моменты этих сил относительно вертикальной оси г. Момент Мг продольной силы X найдём по выражению:
0,5Т 0,5Т
МХ = — |у;(г)АР„ у;(г+|у;(г)АР>2 У;(г№
— 0,5Т 0,5 ВРМ 0,5Т
\z\az =
Г АР„ ЗУ Г /3 (? № + | АРх2 ЗУ | /3 (? :
I 0 0,5БР„
~Т\ \АР^УЗУ - \АРх.2 УЗУ
(41)
Аналогично можно показать, что момент М 2у поперечной силы У
ґІЦ , 0,5Ьа, 0 -Іцк \
М 2 = Т \ Г Ару хЗх + \АрУ. хЗх - \АрУ, хЗх - \АРУк хЗх
\ 0 Іц н ~Іцк -0,5 Ьак J
0,5Т
0,5Ьа
0,5Т
0,5Т
-0,5 БВ
0,5Т
0,5Т
0
Идентичность формул (39) - (42) и (28) - (31) позволяет сделать вывод о том, что геометрически эквивалентный аналог одновременно является гидродинамически адекватным аналогом реального судового корпуса.
Таким образом, можно считать доказанным существование объективной возможности для разработки аналитических методов определения действующих на судно гидродинамических усилий. И для того чтобы воспользоваться этой возможностью, необходимо представить погруженную часть судового корпуса в виде её эквивалентного аналога, а значения его геометрических характеристик 1я, 1цн, 5г- , 1к, 1цк, 5к, дн, ,
Ау , Аг и Ау определить с помощью теоретического чертежа судна.
Список литературы
[1] Тихонов В.И. Закономерности движения жидкости в плоском пограничном слое // Речной транспорт. - 2007. - № 2. -
С. 77 - 79.
[2] Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев; под ред. Г. Гроше и В. Циглера. - М.: Наука, 1980. - 976 с.
EQUIVALENT ANALOG OF SHIP’S HULL AND ITS CHARACTERISTICS
V.I.Tichonov, R.S.Khvostov
To develop analytical methods of determination the hydrodynamic efforts on the vessel this article offers to substitute a real ship hull for its equivalent analog. At the same time it is proved that geometrical equivalent analog should be simultaneously hydrodynamic identical to the real analog of the ship’s hull.
