Экстремальные свойства функций на композиционных образах комбинаторных множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ZHC(t) = -}xT(t)X-1T(x)f(x,x)dx . to

Для открытой области получим

LHC (t) = M-1BT (t) (Zj10 (t)Rx(t0) + 0.5|rZ2C (t)),

dx ...

— = A(t)x +pf (x, t) + dt

+ B(t)(M_1BT (t)(ZjC (t)Rx(t0) + 0.5|rZHC (t))),

x(t) = (x(t) + ZHC(t)R)x(t0) + +^(z2C(t)+0.5zHC(t)),

где

zHC(t) = Jx(t)x_1(T)B(T)M_1BT(T)zHC(t)dT

t0

Z2i(t) = Jx^x-^B^M^B^zf (фх,

t0

z22(t) = Jx^x-^fx, x )ix. t0

6. Заключение

В классе задач AKOP сформулирована задача динамического синтеза для квазилинейного объекта управления. Проведенное исследование позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

— на основании исследования множества допустимых управлений показано, что синтезированный АУ относится к классу нелинейных, предельнолинейного типа;

— получено аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволит на этапе параметрического синтеза связать аналитической зависимостью параметры оптимизируемого критерия качества (2) и “вторичные” показатели качества.

УДК 519.6:514.1

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НА

КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗАХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ

ГРЕБЕННИК И.В.__________________________

Исследуются экстремальные свойства выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на композиционных образах комбинаторных множеств

— множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.

Введение. Многие классы задач, возникающих в проектировании, управлении, контроле, описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. Области допустимых решений этих задач часто

36

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ в рассматриваемом классе задач.

Литература: 1. Радиевский А.Е. Проблематика современного этапа автоматизации технологических процессов // Автоматизація виробничих процесів.2004. №1(18). С.126-132. 2. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448с. 3. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380с. 4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.712с. 5. Альбрехт Э.Г. О существовании оптимальной функции Ляпунова и непрерывного оптимального управления для одной задачи об аналитическом конструировании регуляторов // ДУ. 1965.Т.1, №10. С. 1301-1313. 6. Garrard W.L, McClamroch N.H., Clark L. G. An approach to suboptimal feedback control for nonlinear system // IntJ.Control. 1967.V.5, No5.P.425-435. 7. Garrard W.L. Additional result on suboptimal feedback control of nonlinear system //Int J.Con-trol. 1969. V.10, No6. P.657-663. 8. Garrard W.L. Suboptimal fe-edback control for nonlinear system // Automatica. 1972. V.8, No2. P.219-221. 9. Колмановский В.Б. Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления // ПММ.1975.Т.39, №15.С.788-796.10. ЛетовА.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360с. 11. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 576с. 12. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ,1970.117с. 13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,1968.496с.14. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука,1971.240с.

Поступила в редколлегию 01.11.2004

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 731-35-67, 731-41-80.

представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Разработка адекватных моделей ряда задач требует построения комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. Это справедливо, в частности, при решении многих экстремальных комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].

Для построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В связи с этим актуальной задачей является анализ различных оптимизационных моделей на k -образах комбинаторных множеств.

Целью настоящей работы является исследование свойств некоторых классов задач оптимизации на k -образах комбинаторных множеств. При этом

РИ, 2005, № 2

(1)

необходимо предварительно сформировать классы k -образов комбинаторных множеств как областей допустимых решений задач оптимизации.

1. Определение множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями

Рассмотрим множества A = ■[a1,a2,..., an} =

= jglp1 , gp2 , ..., g£a } , где Pi Є Jn = {1,2,...,n} , І Є Jka -кратности элементов множества A, Pi +P2 +... + pka = n ; gi < g2 <... <gka и

B = {bbb2,...,bn} , ai є R1, bi є R1. Построим множества Zi,Z2,...,Zn вида Zi = {(a^ty)}, i є Jn . При этом k множеств Zi из n являются различными, ka < k < n . Используя подход, приведенный в [5],

сформируем следующие классы k -образов комбинаторных множеств.

1. Композиционный образ комбинаторных множеств Pjjk , ZbZ2,...,Zn , порожденный множествами {a1,bj^a2,b^,...^an,b^ , где Р^ — множество перестановок из n элементов, k из которых различны [3,4]. Обозначим такой k -образ множеств через PInk(Z1,Z2,...,Zn) или PInk и назовем множеством парных перестановок.

2. Композиционный образ комбинаторных множеств A[Jk , Z1,Z2,...,Zn , порожденный множествами {abb1},{a2,b2},...,{an,bn}. Здесь Am — общее множество размещений из n элементов, k из которых различны, по m [4]. Такой k -образ множеств обозначим через AIjmk(Z1,Z2,...,Zn) или AIjJk и назовем множеством парных размещений.

3. Композиционный образ комбинаторных мно-

жеств Cm, ZbZ2,...,Zn , порожденный множествами {abb1},{a2,b2},...,{an,bn}, где Zi = {(abbi)} различны, i є Jn . Здесь Cm — множество сочетаний с повторениями из n различных элементов по m [4], причем для любого h = (gi1, gi2,.. , gim) є Cm справедливо gi1 ^ gi2 ^ ... ^ gim . Предположим при этом, что кратности Pi элементов g1,g2, . ,gka множества A равны Р1 =Р2 = .. = Pka = m , а

B - {bl, b2,..., bn} = jef1, e22,..., eka^ . При этом множества Zi можно представить как

Z1 = Z2 = ... = Zm = {(g1,e1^ , Zm+1 = Zm+2 = ... =

= Z2m = {(g2,e2^ , ... , Zn-m+1 = Zn-m+2 = ... = Zn =

= \(gka, eka ) j . Этот k -образ множеств обозначим Cl[f (Z1,Z2,...,Zn) или Cl[f и назовем множеством парных сочетаний с повторениями.

2. Постановка задачи

Пусть X — k -образ комбинаторных множеств [5], X є I PInk, AIJJJ,, Cljfj. Рассмотрим задачу оптимизации

РИ, 2005, № 2

®(h) ^ min , h є X ,

где Ф :X ^ R1 — некоторый функционал.

В результате погружения f множества X в RN [3, 4] сформулируем задачу оптимизации функции ф(х), эквивалентную (1):

ф(х) ^ min , х є E , (2)

где ф: E ^ R1 — функция N переменных, определенная на множестве E с RN , E = f (X) — образ множества X в пространстве RN , ф(х) = ®(h) при х = f(h), Vh є H .

Исследуем случай, когда в задаче (2) ф(х) — выпуклая (сильно выпуклая с параметром р > 0) на выпуклом замкнутом множестве V з convE функция, а в качестве множества e выступают образы множеств парных перестановок EInk , парных размещений EIjJk , парных сочетаний с повторениями SIjf в RN .

Вопросы исследования и решения задач оптимизации выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах рассматривались во многих публикациях. Так, работы [610] посвящены описанию теории и конструктивных методов построения выпуклых и сильно выпуклых дифференцируемых продолжений для классов функций, заданных на различных комбинаторных множествах. В работах [4, 6, 11-15] исследуются декомпозиционные методы оптимизации, использующие оценки минимума выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах и их подмножествах. Распространим некоторые результаты, приведенные в этих работах, на множества EInk, ши, sIm.

3. Построение выпуклых продолжений функций, заданных на множествах EInk, EIjJk, SI^1

Из комбинаторных свойств множеств EI^ , EIjJk , SIm , порожденных множествами Zi ={a^bj , i є Jn, следует, что множества EInk , EI[Jk , SIm являются подмножествами соответственно множеств перестановок Е^ , размещений еЦ и сочетаний с повторениями sm , порожденных множеством D = {a1, a2,..., an,b1,b2,..., bn}. Другими словами, EInk с Ewk1, EI!fk c EWk1, SIm c sv , где w = 2n , v = 2m , k1 - количество различных элементов множества d . Это значит, что методы построения выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на множествах Ewk1 , Ewk1 и SW, порожденных множеством D , справедливы и для функций, заданных на их подмножествах EI„k , EIjJk , SIm , порожденных множествами

Zi _ {ai,bi} , i є Jn .

Рассмотрим задачу оптимизации вида:

Ф(х) ^ min , х є Е с Rn , (3)

37

где ф: E ^ R1 — произвольная функция, e — k -образ комбинаторных множеств, порожденный множествами Zi,Z2,...,Zn , E є {EInk,Eimk,Sim} •

Перейдем от задачи оптимизации (3) к эквивалентной задаче с выпуклой (сильно выпуклой с параметром р > 0, дифференцируемой) целевой функцией. Для этого необходимо выполнить следующие действия.

1. Построить множество Е* є {Ewk1 ,Е^ , S^}, порожденное множеством D , соответствующее множеству Е, причем Е с Е* •

* _________________________

2. Для всех x є Е \ Е доопределить функцию ф(х).

При известном аналитическом виде <p(x) это можно сделать с сохранением выражения для <p(x).

3. Используя известные методы [6-10], построить, если это возможно, выпуклое (сильно выпуклое с параметром р > 0, дифференцируемое) продолжение 9 = conv ф функции 9(x) на выпуклое замкнутое множество V с R . При этом conv Е с V, а значит Е с V .

Построенная таким образом функция ф^) будет выпуклым (сильно выпуклым с параметром р > 0, дифференцируемым) продолжением функции цели 9(x) задачи (3) на выпуклое замкнутое множество

V с Rn , Е с V . Задача оптимизации, эквивалентная (3), примет вид:

Ф^) ^ min , x є Е , (4)

где ф^) выпукла (сильно выпукла) на V с RN, Е с V .

4. Оценки минимума выпуклых функций на множествах EInk , EIm , SI|f

В работах [4, 6, 7, 11-15] излагается общий подход к построению оценок минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах. В рамках этого подхода получены оценки минимума функций, заданных на множествах перестановок, размещений, сочетаний и других. Эти результаты используются при реализации декомпозиционных методов решения задач оптимизации на указанных классах комбинаторных множеств. Применяя данный подход, построим оценки и достаточные условия минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах EInk , EI[]k , SIm . При этом будем опираться на утверждения, доказанные в [15].

Лемма 1 [15]. Пусть функция ф^) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V, где Е с V с Rn . Тогда Vx є V

minф(у) >ф^) - C^(x),x) + min. (5)

yeE yeE i_1 Ox. v ;

Теорема 1. Пусть функция ф^) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве

V з EInk , где множество EInk с Rw, w = 2n, порождено множествами Z. = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V

^(x) *

min ф(у)>ф^)-(Vф(x),x) + ^ —— у, (6)

y^EInk -Ті Sx, J , (6)

где

y2j-l = aij, y*2j = bij , ij * it , i * j, ij є Jn , j є Jn ,(7) а {ii,i2,...,i^} удовлетворяет соотношению

(ail,bil)^(ai2,bi2)-^...-^(ain,bin) , (8)

где ((aij ,ьі, )-<(aik ,bik )) «• ((c2j—1 - c2k-1)(aij - aik ) +

+(c2j _ c2k)(bij _ bik ) - 0) При c = Vф(x) . Доказательство. Оценку (6) получим из соотношения (5) при Е = EInk , N = w , w = 2n . Тогда задачу оптимизации в правой части неравенства (5) можно решить с помощью утверждения, доказанного в [16], поскольку минимизируемая функция является линейной с коэффициентами

^(x) . лг

ci =------,i є Jw . Упорядочивая пары (a. ,bj ) в

Sx. J J

соответствии с соотношением (8) на основании [16] при c = Vф(x), приходим к справедливости утверждения теоремы 1.

Теорема 2. Пусть функция ф^) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве

V з EIm * где множество EI[fk с Rv, v = 2m, порождено множествами Z. = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V:

^(x) *

1) min ф(у) >9(x) - C^(x),x) + ^—— yj , (9)

yeEImk j=1 dxj

* . ^ ^(x) i

где y = argmin — yj , (10)

ieJM j=1 cxj

У = arg

min

y -Mx»

yeEImmk. (G(i))j=15xj

[Ml O'l 7](aj1 ,bj1 ),(aj,,bj2),.

а G (i) имеет вид ,(aj ,bj )] c

Jm Jm J

C {(a1,b1),(a2,b2),-..,(an,bn^ , y2r-1 = ajtr , y2r = bjtr , jtr * jts при s Ф r , jtr є Jn , tr Є Jm , r Є Jm

а{jt1 Jt2 >—Jtm} c Jn таково, что

(a: ,bj )x(aj ,bj )x...^(a; ,bj )

jt1 jt1 c jt2 jt2 c c jtm jtm

при c = Vф(x);

(11)

m m

2) min ф(у) > ф(x) - (Vф(x), x) + E ciy* + Eciz* ,(12)

xeEC i=1 i=1

где q=^<xi, v.

dx

c _S^(x) . T

ci _ , 1 Є Jm ,

2i-1

dx

2i

38

РИ, 2005, № 2

y - (УьУ2>->Уш) ’ yPi ali , 1 є Js , yPj aln_r+1 , i є Jr , s + r = m , {lj,l2,...,l^} удовлетворяет

a^ < ai2 <...< ain , а {pbp2,...,pm} таково, что

cp, > cL >... > cp > 0 > cp , >... > cp ,

p1 m2 ps ^s+1 pm ’

z* = (z*,z2,...,£), zji = bhi, 1 є J, zJi = bhn_d+i , i є Jd , t+d = m , {hbh2,...,hn} удовлетворяет условию bh1 < bh2 <... < bhn , а{qbq2,...,qm} таково, что

“Я1

> cqo >... > cq > 0 > cq , >... > cq

q2 qt qt+1 qn

Доказательство. Оценки (9) и (12) получим из соотношения (5) при E = EImk , N = v, v = 2m . Задача оптимизации в правой части неравенства (5) может быть решена с помощью теорем 2 и 3 о минимуме линейной функции на множестве ElJJk с Rv [ 16], поскольку функция цели является

линейной с коэффициентами c =-------- ,i є Jv .

9xi

Применение результатов теоремы 3 [16] приведет к точному определению минимума в правой части соотношения (5) и справедливости оценки (9). На основании теоремы 4 [16] можно получить оценку минимума линейной функции в правой части неравенства (5), что сделает справедливой оценку (12).

Теорема 3. Пусть функция ф(х) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з Sljf, где множество Sljf с Rv, v = 2m, порождено множествами Zi = {ai,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V :

yeSin

где y0 , = a0

(aj,bj)eZj,

JeJn

■+Е ciy0, (13)

1=1

= b0 , (a0,b0)=

1 є Jm ;

2) min ф(У) ^ ф(х) - (V<p(x), x) + amin X ci + y^m i=1

m s2 m

+amax У ci +bmin Уci + bmax У ci , (14)

i—S1 +1

i=1

i—S2 +1

где q = g^(x) c = ^(x) i є J amin = min {ai}

CL/C- 1 ^ •> '■'i ~ •> A c J m ’ min • T ^ i y ?

5x21-1 5x2i ieJn

amax = max {ai} , bmin = min {bi} , bmax = max {bi} ,(15) J ’ ieJn ’ ieJn ,v '

а S1 и S2 определяются системами неравенств

tt

У cs1 +1-j - 0 Vt є Js1 , У cS1+ j - 0 Vt є Jk-s1

j=1 j=1

t t

У, cs2 +1-j - 0 Vt є Js2 , У c S2 +j - 0 Vt є Jk-s2

j=1 j=1

РИ, 2005, № 2

Доказательство. Оценки (13) и (14) получим из соотношения (5) при E = Sljf, N = v, v = 2m . Задача оптимизации в правой части неравенства (5) может быть решена с помощью теорем 5 и 6 [ 16], так как функция цели является линейной с коэффициентами ci = d^(x), i є Jv . В обоих случаях будет полу-9xi

чена оценка минимума линейной функции на множестве SC • Непосредственное применение теоремы 5 приведет к справедливости оценки (13). С помощью неравенства из теоремы 6 получим оценку (14).

Лемма 2 [15]. Для того чтобы точка

x* = (x*, x2,..., xN) є E была точкой минимума на множестве E выпуклой дифференцируемой на выпуклом замкнутом множестве V функции 9(x), где E с V с Rn , достаточно, чтобы

N*

min X - У1 - (Vф(x ), x ) = 0. (16)

УЄЕ 1=1

Теорема 4. Пусть функция <p(x) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EInk , где множество EInk с Rw, w = 2n , порождено множествами Zx = {ai ,bi}, i є Jn . Для того чтобы точка x* є EI^ была точкой минимума <p(x) на EInk , достаточно, чтобы

І^У* - ^(x*),x*) = 0. 1=1 5x1

(17)

где у* є EInk определяется соотношениями (7).

Доказательство проведем на основании леммы 2 при E = EInk , N = w . Задачу минимизации в левой части равенства (16) можно решить на основе теоремы 1 [16] с помощью подхода, аналогичного подходу, примененному при доказательстве теоремы 1. В результате приходим к справедливости равенства (17) и утверждения теоремы 4.

Теорема 5. Пусть функция <p(x) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EIm , где множество EI[fk с Rv, v = 2m, порождено множествами Zx = {akbi}, і є Jn . Для того чтобы точка x* є EIm была точкой минимума <p(x) на EIjJk , достаточно, чтобы

Z-^Т^У* - (V9(x*),x*) = 0 , (18)

1=1 dxi

где у* є EIjJk определяется соотношениями (10).

Доказательство проведем на основании леммы 2 при E = EImk , N = v . Задача минимизации в левой части равенства (16) может быть решена на основе теоремы 3 [16] с помощью подхода, аналогичного подходу, примененному при доказательстве первой части теоремы 2. В результате приходим к справедливости равенства (18) и утверждения теоремы 5.

39

Рассмотрим теперь случай, когда функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V с RN, E с V . Обозначим

y = argmin ф(у)

yeV

(19)

Лемма 3 [15]. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V, где E с V с Rn . Тогда

min ф(х) > ф(у*) + р- min

хєЕ уєЕ

х - у

где у* определяется из (19).

2

(20)

Теорема 6. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V з ЕІдк , где множество EInk с Rw, w = 2n, порождено множествами Zi = {а;,Ъ;}, і є Jn . Тогда

min ф(х) >ф(у*) +

xeEInk

+р

(a2+b2)+i(y*)2+2]Tc*x0 '

^ i=1 i=1 i=1

(21)

где c* = -y*, i є Jw , x0 є EInk ,

x2j-1 = aij, x2j = bij, ij * it при i * j, ij є Jn, j є Jn ,

(i1,i2,-,i^ : (ai1,bi1)c-*(ai2,bi2)c1-c1(ain’bin) . (22) Доказательство. Оценку (21) получим на основании леммы 3 при E = EInk , N = w = 2n . Задачу минимизации в правой части неравенства (20) решим с помощью соотношения, полученного в [16]. Непосредственная подстановка минимально-

го значения нормы

х - у

на множестве EInk в

(20) приведет к справедливости оценки (21).

Теорема 7. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V з EI]m , где множество EI[fk с Rv, v = 2m, порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда

1)

min ф(х) >ф(у*) + p-

xeEIm,

2

где у0 є EI[]k определяется соотношением

(23)

у = argmin

ieJi

yi - d

M

■, y(i) = arg min ||y - d|2 ,(24)

yeEImrnk,(G(i))

здесь y2r-1 - ajtr , y2r - bjtr , jtr * jts при s Ф Г ,

jtr Є Jn , tr Є Jm , r є Jm , а {.itjdv-Jv} c Jn удовлетворяет (11) при d = у*;

2) min ф(х) >ф(у ) +

xeEI:

nk

+Р-

( m v m A

E (a2 + b2) + X (у*)2 + 2X (y*y0 + у *z0)

^ i=1 i i i=1 i=1

, (25)

где {kbk2,...,kn} и {s!,s2,...,sn} удовлетворяют неравенствам

|akJ ^ |ak21 ^ ... ^ |akn | , |bsJ ^ |bsJ ^ ... ^|bsn I, (26)

Уі =-У2і-1 , Уі =-У2і , i є Jm , у = (y1,y2,...Pym) ,

УРі _ ali , i Є Js , УРі _ aln-r+i , i є Jr , s + r = m ,

ai1 * ai2 <... < ain , (27)

{P1,P2,...,Pm} таково, что yp1 > yp2 > ... > yps > 0 >

> у > > у 70 — (z° z0 70 ) Z = bh

•yPs+1--•'Pm ’ 7 _ (71 ,72,...,7mO qi hi ,

І є Jt , 7qi = bhn-d+i , i є J6 , t + 0 = m ,

N ^bh2 ^... ^bhn , (28)

а {qbq2,...,qm} удовлетворяет неравенствам

yщ ^ yq2 ^ ... ^ У*qs ^ 0 > У*qs+1 ^ ... ^ Уqm . Доказательство проведем на основании леммы 3 при E = ECk , N = v, v = 2m . Задачу оптимизации в правой части неравенства (20) можно решить двумя способами. Точное решение этой задачи можно найти с помощью соотношения, полученного в [16]. Применение этой формулы позволит прийти к оценке (23). Оценка минимума нормы в правой части неравенства (20) может быть получена с помощью соотношения, выведенного в [16]. Используя его, получим неравенство (25), что приведет к доказательству теоремы 7.

Теорема 8. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V з SIm, где множество sI[f с Rv, v = 2m, порождено множествами Zi = {ai ,bi}, і є Jn . Тогда

*

1) min (х) > ф(у ) +

xesIm

+р-

f m(a2 + b0) + ]Г(у*)2 + 2]Гу*х10'

V i=1 i=1

где ao,bo удовлетворяют соотношению

II ц2 2 2

min ф(х) = min х-d >m(ao + bo) +

xesIm xesIm

+У d2 + 2 min У d*xi i=1 xesIm i=1

(29)

(30)

где ao = mmH , bo = min|b^ , d* =-di,i є Jv ,

* * iJ _ ieJn

у* = -у*, і є Jv , x0 є SIjf определяется соотношением

min IIх - dll2 ^ m(ao +b2)+Ed2 + 2 E d*x0, (31)

xesIm i=1 i=1

здесь ao,bo и d* удовлетворяют (30), x2i_1 = a0, x°i = b0 , (a0,b0) = arg min (c2i_1aj -fc^),

(aj,bj)eZj,jeJn

40

РИ, 2005, № 2

2) min (x) >ф(у*) + p-(m(a0 + b°) +

xesim

v si so m

+E (y*)2 + amin E y* +bmin Ёy* + bmax E y*) , (32) i=1 i=1 i=1 i=So +1

a0 = min laJ , b0 = min IbJ , d* = —di, i є Jv,

ieJn ieJn

__* * ^,* * .

yi = y2i-1 ’ yi = y2i ’ i є Jm , amin , amax , bmin , bmax

удовлетворяют (15), константы si и so определяются системами неравенств:

Еy*i+i-j - 0 vt є Js1, Еy*1+j - 0 Vt є Jk-s1 ;

j=1 j=i

t t

E ys2 +1-j - 0 Vt Є J , E ys2 +j - 0 Vt Є Jk .

j=1 2 j=1 2

Доказательство выполним на основании леммы 2 при E = SI[f, N = v, v = 2m . Минимум нормы в правой части неравенства (20) можно оценить двумя способами, полученными в [16]. Применение для этого первого из способов приведет к справедливости соотношения (29). Использование второго дает возможность получить оценку (32).

Лемма 4 [15]. Если функция <p(x) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V, где E с V с RN , то для любого x є V

1 2

min9(y) ^(x)|^(x)|| +

yeE 4р

+р min

yeE

y - x +—Уф^) 2P

2

(33)

Теорема 9. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EInk , где множество EInk с Rw , w = 2n , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V

min ф^) > ф^)

xeEInk

1 2 ^-||V9(x)| +р

Е(a2 +b2)+

V i=1

+Е

i—1

w f 1 бф^)Л

i 2p 5xi

2

2 w

+ 2E ci xi

i—1

0

, * 1 ^(x) . T 0

где Ci = - xi +---—, і є Jw, а x є EI^ удовлет-

2p 3xi

воряет (22).

Доказательство проведем на основании леммы 4 при E = EInk , N = w = 2n . Задачу минимизации в правой части неравенства (33) решим с помощью

соотношения о минимуме нормы разности [16] способом, аналогичным примененному при доказательстве теоремы 6.

Теорема 10. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EIjJk , где множество EI[]k с Rv , v = 2m , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V :

1 2

1) min ф(у) >фМ - —|^(x)||

y-EImk 4р"

+Р'

y0 - x + тт-^4*(x) 2Р

(34)

где y0 є EIm находится из (24) при d = x-Vф(x);

°Р

1 2 ( m

2) min ф(у) ^ ф^)- —ЦУф^Ц +р- Е(a2 + b2) +

yeEImk 4Р I i=1 i i

w

+E

i=1

1 бф^) m

i 2p 3xi

2X (d*y0 + d *z?)

i=1

(35)

где последовательности {kbk2,...,kn} и {sl5 s2sn} удовлетворяют (26),

—г* 1 бф^) з * 1 бф^) .

di _ x2i—1 T , di _ x2i ^ і, , i є Jm,

°P Sx2i_1

2p 9x

2i

y° є EInk , У° = (y!,y2,-,ym) , Урі = aii , i є Js,

y Pi ain-r +i , i є Jr , s + r = m ,

последовательность {l1,l2,...,l^ удовлетворяет(27), а {p1,P2,...,pm} такова, что

d*1 > dp2 > ... > dps > 0 > dPs+1 > ... > dpm , z0 Є EImk ,

z0=(z0,z22,...,zm),

z0 = bh i є j z0 = bh ,

qi hi ’ 1 Jt ’ qi hn-d+i ’

i Є J0 , t + 9 = m :

2

где последовательность {hbh2,...,hn} удовлетворяет (28), а {qbq2,...,qm} такова, что

dq, > dq, >... > dq > 0 > dq >... > dq .

q1 q2 qs qs+1 qm

Доказательство проведем на основании леммы 4 при E = EIjJk, N = v, v = 2m . Получение оценок (34) и (35) связано с двумя различными способами решения задачи оптимизации в правой части неравенства (33) [16]. Оба эти способа аналогичны рассмотренным при доказательстве теоремы 7.

Теорема 11. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з SI[f, где множество SIjf с Rv , v = 2m , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V :

РИ, 2005, № 2

41

1) min ф(у) >ф(х)-Х| |Уф(х)||2 +р-(m(a0 + b0) + yeSlS1 4p 11

XI xi - 2 -

i=l V 2P 5xi

1 5ф(х) ^ v

+ 2X

i—1

x , 1 Зф(х)

Xi T"

2p 9xi

, (36)

где a0,b0 удовлетворяют (30), x0 є Sim определяется соотношением (31);

yeSC v (

+x

i=1 V

1 ^(x) i 2p 9xi

-X||v9(x)||2 +p-(i m(ao+bo)

f 41-* m X—' —*

+ an

i=1

i=S1 +1

s2

+bmin X di + bmax X di i=1 i=S2 +1

где ao,bo удовлетворяют (30),

-г*

d =

x2i—1 ■

1 cty(x) 2P ax2i-1 J

di =

x2i

1 cty(x) 2p 9x

2i;

(37)

, i Є Jm ,

amin , amax, bmin , bmax определяются соотношением (15), S1 и S2 — системами неравенств:

t _ t _

X d*1+1-j ^ 0 vt Є Js1, X d*1+j ^ 0 vt є Jk-s1;

j=1 j=1

tt X d*2 +1-j ^ 0 Vt є Js2 , X d*2 + j ^ 0 Vt є Jk-s2 .

j=1 j=1

Доказательство проведем на основании леммы 4 при E = SIm , N = v, v = 2m . Для задачи оптимизации в правой части неравенства (33) получим оценки минимума двумя способами [16]. Эти способы аналогичны рассмотренным при доказательстве теоремы 8 и приводят к справедливости оценок (36) и (37).

Лемма 5 [15]. Для того чтобы точка

x* = (x*, x2,..., xN) є E была точкой минимума на множестве e сильно выпуклой с параметром р > 0 дифференцируемой на выпуклом замкнутом множестве V функции ф^), где E с V с RN , достаточно, чтобы

* 22 * 1 *

Уф^ ) = 4p min y - x +—Уф^ )

yeE 2p

(38)

Теорема 12. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EInk , где множество EInk с Rw , w = 2n , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Для того чтобы точка x* є EInk была точкой минимума ф^) на EInk , достаточно, чтобы

Vф(x )

( n

= 4р°

X (a2 + b2)-

V i=1

+Х

i—1

w ( 1 д / *, A2 w

* 1 ^(x )

xi —

2p 9xi

, * 0 + 2X cixi

i—1

0

(39)

, * 1 ^(x) . T 0 ,

где ci = - xi +--—, і є Jw, а x є EI^ удовлет-

2p 9xi

воряет (22).

Доказательство проведем на основании леммы 5 при E = EInk , N = w = 2n . Задача минимизации в правой части равенства (38) может быть решена с помощью формулы, доказанной в [16]. При этом используем подход, аналогичный примененному при доказательстве теоремы 9. В результате приходим к справедливости равенства (39) и теоремы 12.

Теорема 13. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EIj^ , где множество ECk с Rv , v = 2m , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Чтобы точка x* є EIjmk была точкой минимума ф^) на EIjJk , достаточно, чтобы

Уф^*) 22 = 4p2 0*1 * y0 - x + —Уф^ )

2p

2

(40)

где y0 є EIjJk удовлетворяет соотношению (24) при

* 1 * d = x----Vф(x )

2Р

Доказательство утверждения проведем на основании леммы 5 при E = EC , N = v . Задачу минимизации в левой части равенства (38) можно решить на основе формулы (24). В результате придем к справедливости равенства (40) и утверждения теоремы 13.

5. Оценки минимума выпуклых функций с ограниченным множеством точек экстремума на множествах EInk, EIjm

Пусть в задаче (4) выпуклая на множестве V с RN функция цели ф^) имеет на множестве V з convE ограниченное множество точек минимума U*. Обозначим:

U* = |x є V 9(x) = ф(у*)}, y* = argminф(x). (41) 1 ’ xeV V '

В [17] доказана следующая теорема.

Теорема 14. Пусть ф^) — выпуклая на выпуклом

замкнутом множестве V з convE функция, U* — множество точек ее минимума, удовлетворяющее условию (41), причем U* ограничено, т.е. существует такое R > 0, что

U *с S* = <x є Rn

x - y

< R\с V,

РИ, 2005, № 2

42

где y* — какая-либо фиксированная точка из множества U*. Тогда справедлива оценка

min ф(х) >

хеБ

* * х - У

9r ~ф(У*) R

+ ф(У*),

(42)

где 9R = min ф(х), 5S* — граница множества S*,

xeSS*

а х = arg min

хе Б

х - У

хє V\S*, S* пБ = 0 . (43)

Используя теорему 14, получим оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах парных перестановок EI^ и парных размещений Eimk • Отметим, что при этом для каждого из множеств б необходимо решить задачу оптимизации (43). Для этого могут быть использованы приведенные выше соотношения. Покажем, что справедливо условие

( Л ( . \

, (44)

х* = arg min ||х -< f х* = arg min ||х - d||

v хєБ J V хе Б )

где Б с RN — произвольное евклидово комбинаторное множество, d є RN . Предположим противное. Пусть минимум || х - df на множестве Б достигается в точке х* є Б, а минимум ||х - d|| на множестве Б — в точке х є Б , х ф х . Тогда

* 2 и ц2 і—

х - d <| х - d . Поскольку функция y = уz при

z > 0 является монотонно возрастающей, то отсюда

*

следует неравенство х - d <||х - d||. Это неравенство противоречит предположению о достижении минимума ||х - d|| в точке х ф х* и доказывает справедливость соотношения (44). Таким образом, для решения задачи (43) можно использовать решение задачи минимизации функции y(y) = | |y - d||2 на множествах EInk , EIjJk. Представим общий вид оценки (42) для множества Б є jEInk, EI[]k | с учетом решения задачи (43). Пусть функция ф( х) удовлетворяет условиям теоремы 14, а Б є jEInk,EInk|, где множество Б с V с RN порождено множествами

Z; = (а; ,Ъ;}, і є Jn . Тогда справедлива оценка (42),

*

где х определяется

1) из соотношения о минимуме нормы разности [16] при y = х, d = y*, если Б = EInk ;

2) соотношением (24) при y = х, d = y*, если

б=EImk.

При этом построение множества S* и решение задачи минимизации ф( х) на 5S* можно проводить способами, описанными в [17].

6. Повышение эффективности оценок минимума функций на множествах EInk, EImk, SIm

Оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах EInk , EIjJk , SIm , представленные выше, получены на основании утверждений лемм 1,3 и 4. При этом соотношения (5) и (33) справедливы для всех х є V з Б. С другой стороны, конструктивные методы построения сильно выпуклых продолжений функции ф(х) на V з convE позволяют получить сильно выпуклое продолжение с заданным значением параметра р > 0 . Поэтому в соотношениях (20), (33) имеется возможность выбора значения р. При построении нижних

оценок минимума функции ф(х) естественно стремиться к получению возможно более точных, а значит, возможно больших по величине оценок. Рассмотрим способ повышения эффективности оценок, полученных на основании лемм 1, 3 и 4, за счет выбора значений хє V и р>0 .Отметим, что задачи, связанные с повышением эффективности оценок минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах, рассматривались в работах [18, 19]. Распространим результаты, изложенные в [ 19], на оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах EInk , EIjJk , SIjf . Введём обозначения

Єї (х) = ф(х) - (Уф(х), х) + min^W, y),

ye Б

Є2(р) = 9(y ) +Рmin

yeE

y - y

Єз(х) = Ф(х)--1 ||Уф(х)||

+р min

yeE

4р

y - х + —Уф(х) 2Р

2

2

(45)

(46)

(47)

Задачу максимизации еДх),Є2(р),Єз(х, р) можно решить только после определения минимумов в правых частях соотношений (45)-(47). Как отмечалось ранее, эти задачи решаются по-разному для разных классов множеств б . Их решения, которые определяются структурой и комбинаторными свойствами соответствующих комбинаторных множеств, являются результатами теорем 1-3 и 6-10. Отметим, что поскольку справедливо соотношение EInk с Ewk1, на множество EInk можно распространить результаты теоремы о независимости оценки Є3 (х, р) от параметра р для евклидова множества перестановок, доказанной в [19]. Полученные соотношения для оценок минимума функций на множествах EInk , EIjJk , SIjf дают возможность выполнить в явном виде постановку следующих задач оптимизации:

Єї (х) ^ шах, х є V,

Є2 (р) ^ Щах, р > 0,

РИ, 2005, № 2

(48)

(49) 43

Єз(х, р) ^ max, x є V. (50)

Результатом решения поставленных задач будут искомые эффективные значения оценок (45)-(47) минимума выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями. Сложность зависимостей еДх), e2(p), ез(х, р) не позволяет решить задачи оптимизации (48)-(50) для различных классов множеств e аналитически. Однако они могут быть успешно решены с помощью численных методов недифференцируемой оптимизации. В [19] приводятся результаты вычислительных экспериментов с задачами (48)-(50) для случая, когда в качестве множества E выбрано евклидово множество перестановок.

Выводы

Получены новые теоретические результаты, касающиеся экстремальных свойств функций на композиционных образах комбинаторных множеств.

Сформулированы новые оценки и достаточные условия минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на классах композиционных образов комбинаторных множеств — множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.

Исследованы способы повышения эффективности предложенных оценок минимума функций на k -образах комбинаторных множеств.

Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных методов анализа моделей задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.

Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с изучением экстремальных свойств функций на новых классах k -образов комбинаторных множеств и с разработкой на основе описанных результатов эффективных методов комбинаторной оптимизации.

Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 558 с. 3. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании.

// В кн.: Сб. тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” Харьков-Туапсе - 2004. С. 253-254. 6. Яковлев С.В., Гребенник И.В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах / / Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С.74-86. 7. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике// ДАН УССР, Сер А. 1988. №5. С.68-70. 8. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 1994. Т.34, №7. С. 1112-1119. 9. СтоянЮ.Г, Яковлев С.В, Емец О.А., Валуйская О.А. Построение выпуклых продолжений для функций, заданных на гиперсфере// Кибернетика и системный анализ. 1998. №2. С.27-36. 10. Валуйская О.А., Емец О.А., Романова Н.Г. Выпуклое продолжение многочленов, заданных на полиперестановках, модифицированным методом Стояна-Яков-лева // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2002. Т. 42, №4. С.591- 596. 11. Стоян Ю.Г, Яковлев С.В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике// ДАН УССР, Сер. А. 1988. №3. С.238-240. 12. Емец О.А. Множество сочетаний с повторениями, отображенное в Rk , и свойства задач оптимизации на нём // ДАН УССР, Сер А. 1991. № 4. С. 69-72. 13. Гребенник И.В, Лапко Д.А. Исследование оценок минимума выпуклых продолжений функций, заданных на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №1. С. 109-113. 14. Гребенник И.В, Лапко Д.А. Оценки минимума функций в задачах условной оптимизации на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С. 61-64. 15. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В., Гребенник И.В. Экстремальные задачи на множестве размещений . X., 1991. 35 с. (Препр. АН УССР/Ин-т пробл. машиностр., 347). 16. Гребенник И.В. Модели оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств в системах поддержки принятия решений // Бионика интеллекта. 2005. № 1. С. 20-27. 17. Гребенник И.В. Оценки минимума выпуклых функций с ограниченным множеством точек экстремума на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 2. С. 111—114. 18. Ємець О. О., Роскладка А. А. Про оцінки мінімумів цільових функцій при оптимізації на сполученнях // Український матем. журнал. 1999. Т. 51, №8. С. 1118 -1121. 19. Гребенник И.В, Лапко Д.А. Исследование оценок минимума выпуклых продолжений функций, заданных на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 1. С.109-113.

Поступила в редколлегию 13.01.2005

Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10-06.

44

РИ, 2005, № 2