ZHC(t) = -}xT(t)X-1T(x)f(x,x)dx . to
Для открытой области получим
LHC (t) = M-1BT (t) (Zj10 (t)Rx(t0) + 0.5|rZ2C (t)),
dx ...
— = A(t)x +pf (x, t) + dt
+ B(t)(M_1BT (t)(ZjC (t)Rx(t0) + 0.5|rZHC (t))),
x(t) = (x(t) + ZHC(t)R)x(t0) + +^(z2C(t)+0.5zHC(t)),
где
zHC(t) = Jx(t)x_1(T)B(T)M_1BT(T)zHC(t)dT
t0
Z2i(t) = Jx^x-^B^M^B^zf (фх,
t0
z22(t) = Jx^x-^fx, x )ix. t0
6. Заключение
В классе задач AKOP сформулирована задача динамического синтеза для квазилинейного объекта управления. Проведенное исследование позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:
— на основании исследования множества допустимых управлений показано, что синтезированный АУ относится к классу нелинейных, предельнолинейного типа;
— получено аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволит на этапе параметрического синтеза связать аналитической зависимостью параметры оптимизируемого критерия качества (2) и “вторичные” показатели качества.
УДК 519.6:514.1
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ НА
КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗАХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ
ГРЕБЕННИК И.В.__________________________
Исследуются экстремальные свойства выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на композиционных образах комбинаторных множеств
— множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.
Введение. Многие классы задач, возникающих в проектировании, управлении, контроле, описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. Области допустимых решений этих задач часто
36
Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ в рассматриваемом классе задач.
Литература: 1. Радиевский А.Е. Проблематика современного этапа автоматизации технологических процессов // Автоматизація виробничих процесів.2004. №1(18). С.126-132. 2. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. P. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448с. 3. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380с. 4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.712с. 5. Альбрехт Э.Г. О существовании оптимальной функции Ляпунова и непрерывного оптимального управления для одной задачи об аналитическом конструировании регуляторов // ДУ. 1965.Т.1, №10. С. 1301-1313. 6. Garrard W.L, McClamroch N.H., Clark L. G. An approach to suboptimal feedback control for nonlinear system // IntJ.Control. 1967.V.5, No5.P.425-435. 7. Garrard W.L. Additional result on suboptimal feedback control of nonlinear system //Int J.Con-trol. 1969. V.10, No6. P.657-663. 8. Garrard W.L. Suboptimal fe-edback control for nonlinear system // Automatica. 1972. V.8, No2. P.219-221. 9. Колмановский В.Б. Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления // ПММ.1975.Т.39, №15.С.788-796.10. ЛетовА.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360с. 11. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 576с. 12. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ,1970.117с. 13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука,1968.496с.14. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука,1971.240с.
Поступила в редколлегию 01.11.2004
Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.
Радиевский Анатолий Евгеньевич, заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 731-35-67, 731-41-80.
представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Разработка адекватных моделей ряда задач требует построения комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. Это справедливо, в частности, при решении многих экстремальных комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].
Для построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В связи с этим актуальной задачей является анализ различных оптимизационных моделей на k -образах комбинаторных множеств.
Целью настоящей работы является исследование свойств некоторых классов задач оптимизации на k -образах комбинаторных множеств. При этом
РИ, 2005, № 2
(1)
необходимо предварительно сформировать классы k -образов комбинаторных множеств как областей допустимых решений задач оптимизации.
1. Определение множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями
Рассмотрим множества A = ■[a1,a2,..., an} =
= jglp1 , gp2 , ..., g£a } , где Pi Є Jn = {1,2,...,n} , І Є Jka -кратности элементов множества A, Pi +P2 +... + pka = n ; gi < g2 <... <gka и
B = {bbb2,...,bn} , ai є R1, bi є R1. Построим множества Zi,Z2,...,Zn вида Zi = {(a^ty)}, i є Jn . При этом k множеств Zi из n являются различными, ka < k < n . Используя подход, приведенный в [5],
сформируем следующие классы k -образов комбинаторных множеств.
1. Композиционный образ комбинаторных множеств Pjjk , ZbZ2,...,Zn , порожденный множествами {a1,bj^a2,b^,...^an,b^ , где Р^ — множество перестановок из n элементов, k из которых различны [3,4]. Обозначим такой k -образ множеств через PInk(Z1,Z2,...,Zn) или PInk и назовем множеством парных перестановок.
2. Композиционный образ комбинаторных множеств A[Jk , Z1,Z2,...,Zn , порожденный множествами {abb1},{a2,b2},...,{an,bn}. Здесь Am — общее множество размещений из n элементов, k из которых различны, по m [4]. Такой k -образ множеств обозначим через AIjmk(Z1,Z2,...,Zn) или AIjJk и назовем множеством парных размещений.
3. Композиционный образ комбинаторных мно-
жеств Cm, ZbZ2,...,Zn , порожденный множествами {abb1},{a2,b2},...,{an,bn}, где Zi = {(abbi)} различны, i є Jn . Здесь Cm — множество сочетаний с повторениями из n различных элементов по m [4], причем для любого h = (gi1, gi2,.. , gim) є Cm справедливо gi1 ^ gi2 ^ ... ^ gim . Предположим при этом, что кратности Pi элементов g1,g2, . ,gka множества A равны Р1 =Р2 = .. = Pka = m , а
B - {bl, b2,..., bn} = jef1, e22,..., eka^ . При этом множества Zi можно представить как
Z1 = Z2 = ... = Zm = {(g1,e1^ , Zm+1 = Zm+2 = ... =
= Z2m = {(g2,e2^ , ... , Zn-m+1 = Zn-m+2 = ... = Zn =
= \(gka, eka ) j . Этот k -образ множеств обозначим Cl[f (Z1,Z2,...,Zn) или Cl[f и назовем множеством парных сочетаний с повторениями.
2. Постановка задачи
Пусть X — k -образ комбинаторных множеств [5], X є I PInk, AIJJJ,, Cljfj. Рассмотрим задачу оптимизации
РИ, 2005, № 2
®(h) ^ min , h є X ,
где Ф :X ^ R1 — некоторый функционал.
В результате погружения f множества X в RN [3, 4] сформулируем задачу оптимизации функции ф(х), эквивалентную (1):
ф(х) ^ min , х є E , (2)
где ф: E ^ R1 — функция N переменных, определенная на множестве E с RN , E = f (X) — образ множества X в пространстве RN , ф(х) = ®(h) при х = f(h), Vh є H .
Исследуем случай, когда в задаче (2) ф(х) — выпуклая (сильно выпуклая с параметром р > 0) на выпуклом замкнутом множестве V з convE функция, а в качестве множества e выступают образы множеств парных перестановок EInk , парных размещений EIjJk , парных сочетаний с повторениями SIjf в RN .
Вопросы исследования и решения задач оптимизации выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах рассматривались во многих публикациях. Так, работы [610] посвящены описанию теории и конструктивных методов построения выпуклых и сильно выпуклых дифференцируемых продолжений для классов функций, заданных на различных комбинаторных множествах. В работах [4, 6, 11-15] исследуются декомпозиционные методы оптимизации, использующие оценки минимума выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах и их подмножествах. Распространим некоторые результаты, приведенные в этих работах, на множества EInk, ши, sIm.
3. Построение выпуклых продолжений функций, заданных на множествах EInk, EIjJk, SI^1
Из комбинаторных свойств множеств EI^ , EIjJk , SIm , порожденных множествами Zi ={a^bj , i є Jn, следует, что множества EInk , EI[Jk , SIm являются подмножествами соответственно множеств перестановок Е^ , размещений еЦ и сочетаний с повторениями sm , порожденных множеством D = {a1, a2,..., an,b1,b2,..., bn}. Другими словами, EInk с Ewk1, EI!fk c EWk1, SIm c sv , где w = 2n , v = 2m , k1 - количество различных элементов множества d . Это значит, что методы построения выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на множествах Ewk1 , Ewk1 и SW, порожденных множеством D , справедливы и для функций, заданных на их подмножествах EI„k , EIjJk , SIm , порожденных множествами
Zi _ {ai,bi} , i є Jn .
Рассмотрим задачу оптимизации вида:
Ф(х) ^ min , х є Е с Rn , (3)
37
где ф: E ^ R1 — произвольная функция, e — k -образ комбинаторных множеств, порожденный множествами Zi,Z2,...,Zn , E є {EInk,Eimk,Sim} •
Перейдем от задачи оптимизации (3) к эквивалентной задаче с выпуклой (сильно выпуклой с параметром р > 0, дифференцируемой) целевой функцией. Для этого необходимо выполнить следующие действия.
1. Построить множество Е* є {Ewk1 ,Е^ , S^}, порожденное множеством D , соответствующее множеству Е, причем Е с Е* •
* _________________________
2. Для всех x є Е \ Е доопределить функцию ф(х).
При известном аналитическом виде <p(x) это можно сделать с сохранением выражения для <p(x).
3. Используя известные методы [6-10], построить, если это возможно, выпуклое (сильно выпуклое с параметром р > 0, дифференцируемое) продолжение 9 = conv ф функции 9(x) на выпуклое замкнутое множество V с R . При этом conv Е с V, а значит Е с V .
Построенная таким образом функция ф^) будет выпуклым (сильно выпуклым с параметром р > 0, дифференцируемым) продолжением функции цели 9(x) задачи (3) на выпуклое замкнутое множество
V с Rn , Е с V . Задача оптимизации, эквивалентная (3), примет вид:
Ф^) ^ min , x є Е , (4)
где ф^) выпукла (сильно выпукла) на V с RN, Е с V .
4. Оценки минимума выпуклых функций на множествах EInk , EIm , SI|f
В работах [4, 6, 7, 11-15] излагается общий подход к построению оценок минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах. В рамках этого подхода получены оценки минимума функций, заданных на множествах перестановок, размещений, сочетаний и других. Эти результаты используются при реализации декомпозиционных методов решения задач оптимизации на указанных классах комбинаторных множеств. Применяя данный подход, построим оценки и достаточные условия минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах EInk , EI[]k , SIm . При этом будем опираться на утверждения, доказанные в [15].
Лемма 1 [15]. Пусть функция ф^) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V, где Е с V с Rn . Тогда Vx є V
minф(у) >ф^) - C^(x),x) + min. (5)
yeE yeE i_1 Ox. v ;
Теорема 1. Пусть функция ф^) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве
V з EInk , где множество EInk с Rw, w = 2n, порождено множествами Z. = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V
^(x) *
min ф(у)>ф^)-(Vф(x),x) + ^ —— у, (6)
y^EInk -Ті Sx, J , (6)
где
y2j-l = aij, y*2j = bij , ij * it , i * j, ij є Jn , j є Jn ,(7) а {ii,i2,...,i^} удовлетворяет соотношению
(ail,bil)^(ai2,bi2)-^...-^(ain,bin) , (8)
где ((aij ,ьі, )-<(aik ,bik )) «• ((c2j—1 - c2k-1)(aij - aik ) +
+(c2j _ c2k)(bij _ bik ) - 0) При c = Vф(x) . Доказательство. Оценку (6) получим из соотношения (5) при Е = EInk , N = w , w = 2n . Тогда задачу оптимизации в правой части неравенства (5) можно решить с помощью утверждения, доказанного в [16], поскольку минимизируемая функция является линейной с коэффициентами
^(x) . лг
ci =------,i є Jw . Упорядочивая пары (a. ,bj ) в
Sx. J J
соответствии с соотношением (8) на основании [16] при c = Vф(x), приходим к справедливости утверждения теоремы 1.
Теорема 2. Пусть функция ф^) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве
V з EIm * где множество EI[fk с Rv, v = 2m, порождено множествами Z. = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V:
^(x) *
1) min ф(у) >9(x) - C^(x),x) + ^—— yj , (9)
yeEImk j=1 dxj
* . ^ ^(x) i
где y = argmin — yj , (10)
ieJM j=1 cxj
У = arg
min
y -Mx»
yeEImmk. (G(i))j=15xj
[Ml O'l 7](aj1 ,bj1 ),(aj,,bj2),.
а G (i) имеет вид ,(aj ,bj )] c
Jm Jm J
C {(a1,b1),(a2,b2),-..,(an,bn^ , y2r-1 = ajtr , y2r = bjtr , jtr * jts при s Ф r , jtr є Jn , tr Є Jm , r Є Jm
а{jt1 Jt2 >—Jtm} c Jn таково, что
(a: ,bj )x(aj ,bj )x...^(a; ,bj )
jt1 jt1 c jt2 jt2 c c jtm jtm
при c = Vф(x);
(11)
m m
2) min ф(у) > ф(x) - (Vф(x), x) + E ciy* + Eciz* ,(12)
xeEC i=1 i=1
где q=^<xi, v.
dx
c _S^(x) . T
ci _ , 1 Є Jm ,
2i-1
dx
2i
38
РИ, 2005, № 2
y - (УьУ2>->Уш) ’ yPi ali , 1 є Js , yPj aln_r+1 , i є Jr , s + r = m , {lj,l2,...,l^} удовлетворяет
a^ < ai2 <...< ain , а {pbp2,...,pm} таково, что
cp, > cL >... > cp > 0 > cp , >... > cp ,
p1 m2 ps ^s+1 pm ’
z* = (z*,z2,...,£), zji = bhi, 1 є J, zJi = bhn_d+i , i є Jd , t+d = m , {hbh2,...,hn} удовлетворяет условию bh1 < bh2 <... < bhn , а{qbq2,...,qm} таково, что
“Я1
> cqo >... > cq > 0 > cq , >... > cq
q2 qt qt+1 qn
Доказательство. Оценки (9) и (12) получим из соотношения (5) при E = EImk , N = v, v = 2m . Задача оптимизации в правой части неравенства (5) может быть решена с помощью теорем 2 и 3 о минимуме линейной функции на множестве ElJJk с Rv [ 16], поскольку функция цели является
линейной с коэффициентами c =-------- ,i є Jv .
9xi
Применение результатов теоремы 3 [16] приведет к точному определению минимума в правой части соотношения (5) и справедливости оценки (9). На основании теоремы 4 [16] можно получить оценку минимума линейной функции в правой части неравенства (5), что сделает справедливой оценку (12).
Теорема 3. Пусть функция ф(х) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з Sljf, где множество Sljf с Rv, v = 2m, порождено множествами Zi = {ai,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V :
yeSin
где y0 , = a0
(aj,bj)eZj,
JeJn
■+Е ciy0, (13)
1=1
= b0 , (a0,b0)=
1 є Jm ;
2) min ф(У) ^ ф(х) - (V<p(x), x) + amin X ci + y^m i=1
m s2 m
+amax У ci +bmin Уci + bmax У ci , (14)
i—S1 +1
i=1
i—S2 +1
где q = g^(x) c = ^(x) i є J amin = min {ai}
CL/C- 1 ^ •> '■'i ~ •> A c J m ’ min • T ^ i y ?
5x21-1 5x2i ieJn
amax = max {ai} , bmin = min {bi} , bmax = max {bi} ,(15) J ’ ieJn ’ ieJn ,v '
а S1 и S2 определяются системами неравенств
tt
У cs1 +1-j - 0 Vt є Js1 , У cS1+ j - 0 Vt є Jk-s1
j=1 j=1
t t
У, cs2 +1-j - 0 Vt є Js2 , У c S2 +j - 0 Vt є Jk-s2
j=1 j=1
РИ, 2005, № 2
Доказательство. Оценки (13) и (14) получим из соотношения (5) при E = Sljf, N = v, v = 2m . Задача оптимизации в правой части неравенства (5) может быть решена с помощью теорем 5 и 6 [ 16], так как функция цели является линейной с коэффициентами ci = d^(x), i є Jv . В обоих случаях будет полу-9xi
чена оценка минимума линейной функции на множестве SC • Непосредственное применение теоремы 5 приведет к справедливости оценки (13). С помощью неравенства из теоремы 6 получим оценку (14).
Лемма 2 [15]. Для того чтобы точка
x* = (x*, x2,..., xN) є E была точкой минимума на множестве E выпуклой дифференцируемой на выпуклом замкнутом множестве V функции 9(x), где E с V с Rn , достаточно, чтобы
N*
min X - У1 - (Vф(x ), x ) = 0. (16)
УЄЕ 1=1
Теорема 4. Пусть функция <p(x) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EInk , где множество EInk с Rw, w = 2n , порождено множествами Zx = {ai ,bi}, i є Jn . Для того чтобы точка x* є EI^ была точкой минимума <p(x) на EInk , достаточно, чтобы
І^У* - ^(x*),x*) = 0. 1=1 5x1
(17)
где у* є EInk определяется соотношениями (7).
Доказательство проведем на основании леммы 2 при E = EInk , N = w . Задачу минимизации в левой части равенства (16) можно решить на основе теоремы 1 [16] с помощью подхода, аналогичного подходу, примененному при доказательстве теоремы 1. В результате приходим к справедливости равенства (17) и утверждения теоремы 4.
Теорема 5. Пусть функция <p(x) выпукла и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EIm , где множество EI[fk с Rv, v = 2m, порождено множествами Zx = {akbi}, і є Jn . Для того чтобы точка x* є EIm была точкой минимума <p(x) на EIjJk , достаточно, чтобы
Z-^Т^У* - (V9(x*),x*) = 0 , (18)
1=1 dxi
где у* є EIjJk определяется соотношениями (10).
Доказательство проведем на основании леммы 2 при E = EImk , N = v . Задача минимизации в левой части равенства (16) может быть решена на основе теоремы 3 [16] с помощью подхода, аналогичного подходу, примененному при доказательстве первой части теоремы 2. В результате приходим к справедливости равенства (18) и утверждения теоремы 5.
39
Рассмотрим теперь случай, когда функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V с RN, E с V . Обозначим
y = argmin ф(у)
yeV
(19)
Лемма 3 [15]. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V, где E с V с Rn . Тогда
min ф(х) > ф(у*) + р- min
хєЕ уєЕ
х - у
где у* определяется из (19).
2
(20)
Теорема 6. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V з ЕІдк , где множество EInk с Rw, w = 2n, порождено множествами Zi = {а;,Ъ;}, і є Jn . Тогда
min ф(х) >ф(у*) +
xeEInk
+р
(a2+b2)+i(y*)2+2]Tc*x0 '
^ i=1 i=1 i=1
(21)
где c* = -y*, i є Jw , x0 є EInk ,
x2j-1 = aij, x2j = bij, ij * it при i * j, ij є Jn, j є Jn ,
(i1,i2,-,i^ : (ai1,bi1)c-*(ai2,bi2)c1-c1(ain’bin) . (22) Доказательство. Оценку (21) получим на основании леммы 3 при E = EInk , N = w = 2n . Задачу минимизации в правой части неравенства (20) решим с помощью соотношения, полученного в [16]. Непосредственная подстановка минимально-
го значения нормы
х - у
на множестве EInk в
(20) приведет к справедливости оценки (21).
Теорема 7. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V з EI]m , где множество EI[fk с Rv, v = 2m, порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда
1)
min ф(х) >ф(у*) + p-
xeEIm,
2
где у0 є EI[]k определяется соотношением
(23)
у = argmin
ieJi
yi - d
M
■, y(i) = arg min ||y - d|2 ,(24)
yeEImrnk,(G(i))
здесь y2r-1 - ajtr , y2r - bjtr , jtr * jts при s Ф Г ,
jtr Є Jn , tr Є Jm , r є Jm , а {.itjdv-Jv} c Jn удовлетворяет (11) при d = у*;
2) min ф(х) >ф(у ) +
xeEI:
nk
+Р-
( m v m A
E (a2 + b2) + X (у*)2 + 2X (y*y0 + у *z0)
^ i=1 i i i=1 i=1
, (25)
где {kbk2,...,kn} и {s!,s2,...,sn} удовлетворяют неравенствам
|akJ ^ |ak21 ^ ... ^ |akn | , |bsJ ^ |bsJ ^ ... ^|bsn I, (26)
Уі =-У2і-1 , Уі =-У2і , i є Jm , у = (y1,y2,...Pym) ,
УРі _ ali , i Є Js , УРі _ aln-r+i , i є Jr , s + r = m ,
ai1 * ai2 <... < ain , (27)
{P1,P2,...,Pm} таково, что yp1 > yp2 > ... > yps > 0 >
> у > > у 70 — (z° z0 70 ) Z = bh
•yPs+1--•'Pm ’ 7 _ (71 ,72,...,7mO qi hi ,
І є Jt , 7qi = bhn-d+i , i є J6 , t + 0 = m ,
N ^bh2 ^... ^bhn , (28)
а {qbq2,...,qm} удовлетворяет неравенствам
yщ ^ yq2 ^ ... ^ У*qs ^ 0 > У*qs+1 ^ ... ^ Уqm . Доказательство проведем на основании леммы 3 при E = ECk , N = v, v = 2m . Задачу оптимизации в правой части неравенства (20) можно решить двумя способами. Точное решение этой задачи можно найти с помощью соотношения, полученного в [16]. Применение этой формулы позволит прийти к оценке (23). Оценка минимума нормы в правой части неравенства (20) может быть получена с помощью соотношения, выведенного в [16]. Используя его, получим неравенство (25), что приведет к доказательству теоремы 7.
Теорема 8. Пусть функция ф(х) сильно выпукла с параметром р > 0 на выпуклом замкнутом множестве V з SIm, где множество sI[f с Rv, v = 2m, порождено множествами Zi = {ai ,bi}, і є Jn . Тогда
*
1) min (х) > ф(у ) +
xesIm
+р-
f m(a2 + b0) + ]Г(у*)2 + 2]Гу*х10'
V i=1 i=1
где ao,bo удовлетворяют соотношению
II ц2 2 2
min ф(х) = min х-d >m(ao + bo) +
xesIm xesIm
+У d2 + 2 min У d*xi i=1 xesIm i=1
(29)
(30)
где ao = mmH , bo = min|b^ , d* =-di,i є Jv ,
* * iJ _ ieJn
у* = -у*, і є Jv , x0 є SIjf определяется соотношением
min IIх - dll2 ^ m(ao +b2)+Ed2 + 2 E d*x0, (31)
xesIm i=1 i=1
здесь ao,bo и d* удовлетворяют (30), x2i_1 = a0, x°i = b0 , (a0,b0) = arg min (c2i_1aj -fc^),
(aj,bj)eZj,jeJn
40
РИ, 2005, № 2
2) min (x) >ф(у*) + p-(m(a0 + b°) +
xesim
v si so m
+E (y*)2 + amin E y* +bmin Ёy* + bmax E y*) , (32) i=1 i=1 i=1 i=So +1
a0 = min laJ , b0 = min IbJ , d* = —di, i є Jv,
ieJn ieJn
__* * ^,* * .
yi = y2i-1 ’ yi = y2i ’ i є Jm , amin , amax , bmin , bmax
удовлетворяют (15), константы si и so определяются системами неравенств:
Еy*i+i-j - 0 vt є Js1, Еy*1+j - 0 Vt є Jk-s1 ;
j=1 j=i
t t
E ys2 +1-j - 0 Vt Є J , E ys2 +j - 0 Vt Є Jk .
j=1 2 j=1 2
Доказательство выполним на основании леммы 2 при E = SI[f, N = v, v = 2m . Минимум нормы в правой части неравенства (20) можно оценить двумя способами, полученными в [16]. Применение для этого первого из способов приведет к справедливости соотношения (29). Использование второго дает возможность получить оценку (32).
Лемма 4 [15]. Если функция <p(x) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V, где E с V с RN , то для любого x є V
1 2
min9(y) ^(x)|^(x)|| +
yeE 4р
+р min
yeE
y - x +—Уф^) 2P
2
(33)
Теорема 9. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EInk , где множество EInk с Rw , w = 2n , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V
min ф^) > ф^)
xeEInk
1 2 ^-||V9(x)| +р
Е(a2 +b2)+
V i=1
+Е
i—1
w f 1 бф^)Л
i 2p 5xi
2
2 w
+ 2E ci xi
i—1
0
, * 1 ^(x) . T 0
где Ci = - xi +---—, і є Jw, а x є EI^ удовлет-
2p 3xi
воряет (22).
Доказательство проведем на основании леммы 4 при E = EInk , N = w = 2n . Задачу минимизации в правой части неравенства (33) решим с помощью
соотношения о минимуме нормы разности [16] способом, аналогичным примененному при доказательстве теоремы 6.
Теорема 10. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EIjJk , где множество EI[]k с Rv , v = 2m , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V :
1 2
1) min ф(у) >фМ - —|^(x)||
y-EImk 4р"
+Р'
y0 - x + тт-^4*(x) 2Р
(34)
где y0 є EIm находится из (24) при d = x-Vф(x);
°Р
1 2 ( m
2) min ф(у) ^ ф^)- —ЦУф^Ц +р- Е(a2 + b2) +
yeEImk 4Р I i=1 i i
w
+E
i=1
1 бф^) m
i 2p 3xi
2X (d*y0 + d *z?)
i=1
(35)
где последовательности {kbk2,...,kn} и {sl5 s2sn} удовлетворяют (26),
—г* 1 бф^) з * 1 бф^) .
di _ x2i—1 T , di _ x2i ^ і, , i є Jm,
°P Sx2i_1
2p 9x
2i
y° є EInk , У° = (y!,y2,-,ym) , Урі = aii , i є Js,
y Pi ain-r +i , i є Jr , s + r = m ,
последовательность {l1,l2,...,l^ удовлетворяет(27), а {p1,P2,...,pm} такова, что
d*1 > dp2 > ... > dps > 0 > dPs+1 > ... > dpm , z0 Є EImk ,
z0=(z0,z22,...,zm),
z0 = bh i є j z0 = bh ,
qi hi ’ 1 Jt ’ qi hn-d+i ’
i Є J0 , t + 9 = m :
2
где последовательность {hbh2,...,hn} удовлетворяет (28), а {qbq2,...,qm} такова, что
dq, > dq, >... > dq > 0 > dq >... > dq .
q1 q2 qs qs+1 qm
Доказательство проведем на основании леммы 4 при E = EIjJk, N = v, v = 2m . Получение оценок (34) и (35) связано с двумя различными способами решения задачи оптимизации в правой части неравенства (33) [16]. Оба эти способа аналогичны рассмотренным при доказательстве теоремы 7.
Теорема 11. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з SI[f, где множество SIjf с Rv , v = 2m , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Тогда для любого x є V :
РИ, 2005, № 2
41
1) min ф(у) >ф(х)-Х| |Уф(х)||2 +р-(m(a0 + b0) + yeSlS1 4p 11
XI xi - 2 -
i=l V 2P 5xi
1 5ф(х) ^ v
+ 2X
i—1
x , 1 Зф(х)
Xi T"
2p 9xi
, (36)
где a0,b0 удовлетворяют (30), x0 є Sim определяется соотношением (31);
yeSC v (
+x
i=1 V
1 ^(x) i 2p 9xi
-X||v9(x)||2 +p-(i m(ao+bo)
f 41-* m X—' —*
+ an
i=1
i=S1 +1
s2
+bmin X di + bmax X di i=1 i=S2 +1
где ao,bo удовлетворяют (30),
-г*
d =
x2i—1 ■
1 cty(x) 2P ax2i-1 J
di =
x2i
1 cty(x) 2p 9x
2i;
(37)
, i Є Jm ,
amin , amax, bmin , bmax определяются соотношением (15), S1 и S2 — системами неравенств:
t _ t _
X d*1+1-j ^ 0 vt Є Js1, X d*1+j ^ 0 vt є Jk-s1;
j=1 j=1
tt X d*2 +1-j ^ 0 Vt є Js2 , X d*2 + j ^ 0 Vt є Jk-s2 .
j=1 j=1
Доказательство проведем на основании леммы 4 при E = SIm , N = v, v = 2m . Для задачи оптимизации в правой части неравенства (33) получим оценки минимума двумя способами [16]. Эти способы аналогичны рассмотренным при доказательстве теоремы 8 и приводят к справедливости оценок (36) и (37).
Лемма 5 [15]. Для того чтобы точка
x* = (x*, x2,..., xN) є E была точкой минимума на множестве e сильно выпуклой с параметром р > 0 дифференцируемой на выпуклом замкнутом множестве V функции ф^), где E с V с RN , достаточно, чтобы
* 22 * 1 *
Уф^ ) = 4p min y - x +—Уф^ )
yeE 2p
(38)
Теорема 12. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EInk , где множество EInk с Rw , w = 2n , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Для того чтобы точка x* є EInk была точкой минимума ф^) на EInk , достаточно, чтобы
Vф(x )
( n
= 4р°
X (a2 + b2)-
V i=1
+Х
i—1
w ( 1 д / *, A2 w
* 1 ^(x )
xi —
2p 9xi
, * 0 + 2X cixi
i—1
0
(39)
, * 1 ^(x) . T 0 ,
где ci = - xi +--—, і є Jw, а x є EI^ удовлет-
2p 9xi
воряет (22).
Доказательство проведем на основании леммы 5 при E = EInk , N = w = 2n . Задача минимизации в правой части равенства (38) может быть решена с помощью формулы, доказанной в [16]. При этом используем подход, аналогичный примененному при доказательстве теоремы 9. В результате приходим к справедливости равенства (39) и теоремы 12.
Теорема 13. Пусть функция ф^) сильно выпукла с параметром р > 0 и дифференцируема на выпуклом замкнутом множестве V з EIj^ , где множество ECk с Rv , v = 2m , порождено множествами Zi = {ai ,bi}, i є Jn . Чтобы точка x* є EIjmk была точкой минимума ф^) на EIjJk , достаточно, чтобы
Уф^*) 22 = 4p2 0*1 * y0 - x + —Уф^ )
2p
2
(40)
где y0 є EIjJk удовлетворяет соотношению (24) при
* 1 * d = x----Vф(x )
2Р
Доказательство утверждения проведем на основании леммы 5 при E = EC , N = v . Задачу минимизации в левой части равенства (38) можно решить на основе формулы (24). В результате придем к справедливости равенства (40) и утверждения теоремы 13.
5. Оценки минимума выпуклых функций с ограниченным множеством точек экстремума на множествах EInk, EIjm
Пусть в задаче (4) выпуклая на множестве V с RN функция цели ф^) имеет на множестве V з convE ограниченное множество точек минимума U*. Обозначим:
U* = |x є V 9(x) = ф(у*)}, y* = argminф(x). (41) 1 ’ xeV V '
В [17] доказана следующая теорема.
Теорема 14. Пусть ф^) — выпуклая на выпуклом
замкнутом множестве V з convE функция, U* — множество точек ее минимума, удовлетворяющее условию (41), причем U* ограничено, т.е. существует такое R > 0, что
U *с S* = <x є Rn
x - y
< R\с V,
РИ, 2005, № 2
42
где y* — какая-либо фиксированная точка из множества U*. Тогда справедлива оценка
min ф(х) >
хеБ
* * х - У
9r ~ф(У*) R
+ ф(У*),
(42)
где 9R = min ф(х), 5S* — граница множества S*,
xeSS*
а х = arg min
хе Б
х - У
хє V\S*, S* пБ = 0 . (43)
Используя теорему 14, получим оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах парных перестановок EI^ и парных размещений Eimk • Отметим, что при этом для каждого из множеств б необходимо решить задачу оптимизации (43). Для этого могут быть использованы приведенные выше соотношения. Покажем, что справедливо условие
( Л ( . \
, (44)
х* = arg min ||х -< f х* = arg min ||х - d||
v хєБ J V хе Б )
где Б с RN — произвольное евклидово комбинаторное множество, d є RN . Предположим противное. Пусть минимум || х - df на множестве Б достигается в точке х* є Б, а минимум ||х - d|| на множестве Б — в точке х є Б , х ф х . Тогда
* 2 и ц2 і—
х - d <| х - d . Поскольку функция y = уz при
z > 0 является монотонно возрастающей, то отсюда
*
следует неравенство х - d <||х - d||. Это неравенство противоречит предположению о достижении минимума ||х - d|| в точке х ф х* и доказывает справедливость соотношения (44). Таким образом, для решения задачи (43) можно использовать решение задачи минимизации функции y(y) = | |y - d||2 на множествах EInk , EIjJk. Представим общий вид оценки (42) для множества Б є jEInk, EI[]k | с учетом решения задачи (43). Пусть функция ф( х) удовлетворяет условиям теоремы 14, а Б є jEInk,EInk|, где множество Б с V с RN порождено множествами
Z; = (а; ,Ъ;}, і є Jn . Тогда справедлива оценка (42),
*
где х определяется
1) из соотношения о минимуме нормы разности [16] при y = х, d = y*, если Б = EInk ;
2) соотношением (24) при y = х, d = y*, если
б=EImk.
При этом построение множества S* и решение задачи минимизации ф( х) на 5S* можно проводить способами, описанными в [17].
6. Повышение эффективности оценок минимума функций на множествах EInk, EImk, SIm
Оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах EInk , EIjJk , SIm , представленные выше, получены на основании утверждений лемм 1,3 и 4. При этом соотношения (5) и (33) справедливы для всех х є V з Б. С другой стороны, конструктивные методы построения сильно выпуклых продолжений функции ф(х) на V з convE позволяют получить сильно выпуклое продолжение с заданным значением параметра р > 0 . Поэтому в соотношениях (20), (33) имеется возможность выбора значения р. При построении нижних
оценок минимума функции ф(х) естественно стремиться к получению возможно более точных, а значит, возможно больших по величине оценок. Рассмотрим способ повышения эффективности оценок, полученных на основании лемм 1, 3 и 4, за счет выбора значений хє V и р>0 .Отметим, что задачи, связанные с повышением эффективности оценок минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах, рассматривались в работах [18, 19]. Распространим результаты, изложенные в [ 19], на оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на множествах EInk , EIjJk , SIjf . Введём обозначения
Єї (х) = ф(х) - (Уф(х), х) + min^W, y),
ye Б
Є2(р) = 9(y ) +Рmin
yeE
y - y
Єз(х) = Ф(х)--1 ||Уф(х)||
+р min
yeE
4р
y - х + —Уф(х) 2Р
2
2
(45)
(46)
(47)
Задачу максимизации еДх),Є2(р),Єз(х, р) можно решить только после определения минимумов в правых частях соотношений (45)-(47). Как отмечалось ранее, эти задачи решаются по-разному для разных классов множеств б . Их решения, которые определяются структурой и комбинаторными свойствами соответствующих комбинаторных множеств, являются результатами теорем 1-3 и 6-10. Отметим, что поскольку справедливо соотношение EInk с Ewk1, на множество EInk можно распространить результаты теоремы о независимости оценки Є3 (х, р) от параметра р для евклидова множества перестановок, доказанной в [19]. Полученные соотношения для оценок минимума функций на множествах EInk , EIjJk , SIjf дают возможность выполнить в явном виде постановку следующих задач оптимизации:
Єї (х) ^ шах, х є V,
Є2 (р) ^ Щах, р > 0,
РИ, 2005, № 2
(48)
(49) 43
Єз(х, р) ^ max, x є V. (50)
Результатом решения поставленных задач будут искомые эффективные значения оценок (45)-(47) минимума выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями. Сложность зависимостей еДх), e2(p), ез(х, р) не позволяет решить задачи оптимизации (48)-(50) для различных классов множеств e аналитически. Однако они могут быть успешно решены с помощью численных методов недифференцируемой оптимизации. В [19] приводятся результаты вычислительных экспериментов с задачами (48)-(50) для случая, когда в качестве множества E выбрано евклидово множество перестановок.
Выводы
Получены новые теоретические результаты, касающиеся экстремальных свойств функций на композиционных образах комбинаторных множеств.
Сформулированы новые оценки и достаточные условия минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на классах композиционных образов комбинаторных множеств — множествах парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.
Исследованы способы повышения эффективности предложенных оценок минимума функций на k -образах комбинаторных множеств.
Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных методов анализа моделей задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.
Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с изучением экстремальных свойств функций на новых классах k -образов комбинаторных множеств и с разработкой на основе описанных результатов эффективных методов комбинаторной оптимизации.
Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 558 с. 3. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании.
// В кн.: Сб. тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” Харьков-Туапсе - 2004. С. 253-254. 6. Яковлев С.В., Гребенник И.В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах / / Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С.74-86. 7. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике// ДАН УССР, Сер А. 1988. №5. С.68-70. 8. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 1994. Т.34, №7. С. 1112-1119. 9. СтоянЮ.Г, Яковлев С.В, Емец О.А., Валуйская О.А. Построение выпуклых продолжений для функций, заданных на гиперсфере// Кибернетика и системный анализ. 1998. №2. С.27-36. 10. Валуйская О.А., Емец О.А., Романова Н.Г. Выпуклое продолжение многочленов, заданных на полиперестановках, модифицированным методом Стояна-Яков-лева // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2002. Т. 42, №4. С.591- 596. 11. Стоян Ю.Г, Яковлев С.В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике// ДАН УССР, Сер. А. 1988. №3. С.238-240. 12. Емец О.А. Множество сочетаний с повторениями, отображенное в Rk , и свойства задач оптимизации на нём // ДАН УССР, Сер А. 1991. № 4. С. 69-72. 13. Гребенник И.В, Лапко Д.А. Исследование оценок минимума выпуклых продолжений функций, заданных на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №1. С. 109-113. 14. Гребенник И.В, Лапко Д.А. Оценки минимума функций в задачах условной оптимизации на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С. 61-64. 15. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В., Гребенник И.В. Экстремальные задачи на множестве размещений . X., 1991. 35 с. (Препр. АН УССР/Ин-т пробл. машиностр., 347). 16. Гребенник И.В. Модели оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств в системах поддержки принятия решений // Бионика интеллекта. 2005. № 1. С. 20-27. 17. Гребенник И.В. Оценки минимума выпуклых функций с ограниченным множеством точек экстремума на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 2. С. 111—114. 18. Ємець О. О., Роскладка А. А. Про оцінки мінімумів цільових функцій при оптимізації на сполученнях // Український матем. журнал. 1999. Т. 51, №8. С. 1118 -1121. 19. Гребенник И.В, Лапко Д.А. Исследование оценок минимума выпуклых продолжений функций, заданных на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 1. С.109-113.
Поступила в редколлегию 13.01.2005
Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.
Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10-06.
44
РИ, 2005, № 2