Научная статья на тему 'Свойства классов композиционных образов комбинаторных множеств, отображенных в евклидово пространство'

Свойства классов композиционных образов комбинаторных множеств, отображенных в евклидово пространство Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
109
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гребенник Игорь Валериевич

Вводятся новые классы композиционных образов комбинаторных множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями. Исследуются свойства образов этих множеств при их отображении в арифметическое евклидово пространство.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Properties of composition images of classes combinatorial sets under mapping to eucledean space

Combinatorial sets of complex structure to be composition images of combinatorial sets (k-images) are investigated. The classes of k-images of combinatorial sets based on permutations, arrangements and combinations sets of pair permutations, pair arrangements and pair combinations are introduced. Properties of proposed sets of k-images under mapping to Euclidean space are investigated.

Текст научной работы на тему «Свойства классов композиционных образов комбинаторных множеств, отображенных в евклидово пространство»

Порівняння з аналогами

Наведена методика визначення вхідних, проміжних та вихідних показників, що описують взаємодію між процесами СУЯ відповідно до вимог [1], дозволяє оптимізувати загальну систему показників, що в свою чергу робить більш ефективним контроль і управління ключовими процесами, з яких складається діяльність організації.

Висновки і перспективи

1. Запропоновано досить простий і наочний інструмент опису взаємозв’язків між процесами СУЯ за допомогою інформаційного графа системи показників і матриць сумісності та досяжності.

2. Запропонований підхід є універсальним і може бути застосований для будь-якої організації, діяльність котрої складається з великої кількості складних процесів, що в свою чергу характеризуються значною кількістю показників.

Література: 1. ДСТУ ISO 9001-2001. Системи управління якістю. Вимоги. Київ: Держстандарт України. 2001.

23 с. 2. ВіткінЛ.М., ХімічеваГ.І.. Методика оцінювання якості ключових процесів підготовки випускника ВНЗ // Вісник Київського університету технологій та дизайну. 2004. №1. С.123-128.

Надійшла до редколегії 24.09.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Павленко Ю.Ф.

Віткін Леонід Михайлович, заступник ректора з якості ВНЗ “Університет економіки і права “КРОК”. Наукові інтереси: розроблення теоретичних та практичних підходів щодо впровадження систем управління якістю, зокрема у сфері вищої освіти. Захоплення: подорожі, театр, книги, футбол. Адреса: Україна, 03113, Київ, вул. Лагерна, 30-32, тел. роб. (+38 044)455-69-82, тел. моб. (+38 044) 204-55-23.

Хімічева Ганна Іванівна, канд. техн. наук, доцент кафедри метрології, стандартизації, сертифікації Київського національного університету технологій та дизайну. Наукові інтереси: стандартизація, сертифікація у машинобудуванні, інтегровані системи управління. Захоплення: туризм, спорт, книги, театр. Адреса: Україна, 01011, Київ, вул. Немировича-Данченка, 2, тел./факс: 256-21-99.

УДК 519.6:514.1

СВОЙСТВА КЛАССОВ КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗОВ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ, ОТОБРАЖЕННЫХ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

ГРЕБЕННИК И.В.________________________

Вводятся новые классы композиционных образов комбинаторных множеств - парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями. Исследуются свойства образов этих множеств при их отображении в арифметическое евклидово пространство.

Введение

Многие задачи проектирования, управления, контроля описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. При этом во многих случаях области допустимых решений этих задач представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Однако для создания адекватных моделей ряда задач необходимо построение комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. В частности, такая необходимость возникает при решении многих комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].

При моделировании дискретных экстремальных задач геометрического проектирования в качестве областей допустимых решений выступают комбинаторные множества, порождающие элементы которых сами являются элементами других комбинаторных множеств. В целях построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится

новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В работе [5] приводится и анализируется способ описания k -образов комбинаторных множеств на языке отображений. В связи с этим важной задачей является построение и анализ различных k -образов комбинаторных множеств для использования их в математических моделях задач различных классов.

1. Постановка цели и задач исследования

Опираясь на результаты работы [5], необходимо выделить и описать классы k -образов комбинаторных множеств для использования их в оптимизационных моделях задач со сложной комбинаторной структурой.

Цель данной работы—описание и исследование k -образов комбинаторных множеств, построенных на основе перестановок, размещений и сочетаний как областей допустимых решений комбинаторных задач оптимизации.

Задачи исследования состоят в формулировании и изучении свойств классов k -образов комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.

2. Определение множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями

Ориентируясь на известные модели задач с дискретными параметрами [1,3,4], рассмотрим k -образы комбинаторных множеств, в которых в качестве базовых выступают евклидовы комбинаторные множества перестановок, размещений и сочетаний.

Учет погрешностей при решении задач геометрического проектирования вызывает необходимость

66

РИ, 2005, № 1

построения адекватных математических моделей задач этого класса. Основой для построения моделей задач геометрического проектирования, учитывающих погрешности метрических характеристик и параметров размещения объектов, являются методы интервального анализа [6]. Один из способов анализа интервальных математических моделей основан на их отображении в евклидово пространство [7]. При этом образом каждого интервала в Rn является пара чисел, характеризующих центр и радиус интервала. Для моделирования образов интервальных комбинаторных множеств в Rn построим k -образы комбинаторных множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний.

Рассмотрим множество A = |ai,a2,an} = = IgiPl, g22, •••’ gka / , где Pi є Jn , і є Jka - кратности элементов множества A, Pi +P2 + ••• + Pka = n ; gi < g2 <••• <gka , и множество B = {bP, b2, •••, bn} , ai є RP, bi є RP. Построим множества Zp,Z2,...,Zn вида Zi = {(apty)}, і є Jn . При этом k множеств Zi из n являются различными, ka < k < n .

Используя подход, приведенный в [5], сформируем следующие классы k -образов комбинаторных множеств.

1. Композиционный образ комбинаторных множеств Pjjk , Zp,Z2,...,Zn , порожденный множествами {aP,bP},{a2,b2},...,{an,bn}, где Р^ — множество перестановок из n элементов, k из которых различны [4]. Обозначим такой k -образ множеств через PInk(Zp,Z2,...,Zn) или PInk и назовем множеством парных перестановок. Следуя [5], представим множество PI„k в виде PI^ = TPnk (x) с параметрами

Zi(a1,b1) , Z2(a2,b2),...,Zn(an,bn) ,

X = (Xp,X2,...,Xn) .

Композиционный образ PInk представляет собой множество перестановок пар (a^ ,b^), т.е. упорядоченных наборов вида h є PInk ,

h = (aip,bii,ai2,bi2’...,ain’bin) , is, Js є Jn , is ^ js ,

s є Jn . Элементы множества PInk отличаются друг от друга только порядком следования пар в наборах. Поскольку каждое множество Zi, i є Jn , содержит единственный элемент, то мощность множества PInk равна мощности базового комбинаторного множества Pnk .

2. Композиционный образ комбинаторных множеств A[Jk , ZpZ2,...,Zn , порожденный множествами {abbi},{a2,b2},...,{an,bn}.Здесь A|fk представляет собой общее множество размещений из n элементов, k из которых различны, по m [4]. Его элементами являются упорядоченные m -выборки из n элементов, k из которых различны. Такой k -

образ множеств обозначим через AIm (Zi ,Z2,..., Zn) или AI[Jk и назовем множеством парных размещений. На основании [5] представим множество AI|fk в виде AIJJj, = Г m (x) с параметрами Z1 (a1 ,b1), Z2(a2 ,b2),...,Zn(an,bn), x = (xp,X2,...,Xn) .

Композиционный образ AI|fk представляет собой общее множество размещений пар (aij,bij), т.е. упорядоченных наборов вида h є AI[Jk ,

h = (aii,bii,ai2,bi2,...,aim,bim) , is, js є Jn , is ^ js ,

s є Jm. Как и в предыдущем случае, мощность множества AI|fk равна мощности базового общего комбинаторного множества размещений Am .

3. Композиционный образ комбинаторных множеств Cm, Zi,Z2,...,Zn, порожденный множествами {abbi},{a2,b2},...,{an,bn} , где Zi = {(apfy)} различны, i є Jn . Здесь cm представляет собой множество сочетаний с повторениями из n различных элементов по m [4], причемдлялюбого h = (gii,gi2,...,gim) єC[f справедливо gii ^ gi2 ^... ^ gim . Предположим при этом, что кратности Pi элементов gbg2>—>gka множества a равны

Pi =Р2 = ... = Pka = m , (1)

а множество в имеет вид:

в = {bb b2’ — bn} = {elPi > e22 > — ,

Pi =Р2 =... = pka = m . (2)

При этом множества Zi можно представить как

Zi = Z2 = ... = Zm = {(gi>ei^ ,

Zm+i = Zm+2 = ... = Z2m = {(g2,e2^ , ... ,

Zn-m+i = Zn-m+2 = ... = Zn = |(gka ,eka ^ .

Этот k -образ обозначим CI[f(Zi,Z2,...,Zn) или CIm и назовем множеством парных сочетаний с повторениями. С помощью [5] представим множество CIm в виде CIm = rC m (x) с параметрами

CIn

Zi(abbi),Z2(a2,b2),...,Zn(an,bn), x = (xi,x2,...,Xn).

Композиционный образ CI[f представляет собой множество сочетаний с повторениями различных

пар (aij,bij), т.е. упорядоченных наборов вида

h є CIm , h = (aii>bii>ai2>bi2>...,aim>bim), is,Js є Jn , is Ф js, s є Jm . При этом выполняется условие ОЧрЦН (ai2,bi2)^ ...^ (aim,bim), где ^ - некоторое бинарное отношение, заданное на множестве пар (ai,bi), i є Jm .

Элементы множества CI[f отличаются друг от друга составом пар в наборе h. Мощность множества CI[f равна мощности комбинаторного множества сочетаний с повторениями Cm .

РИ, 2005, № 1

67

3. Погружение композиций комбинаторных множеств в евклидово пространство

Осуществим отображение k -образов комбинаторных множеств X є IPInk, Aink,CI“J в арифметическое евклидово пространство RN . Здесь N — количество элементов, составляющих один упорядоченный набор h є X • Согласно [3,4] указанное отображение (называемое погружением) зададим в виде:

f : X ^ Rn , Vh = (h1,h2,...,hN) є X , (3)

где x = f(h) = (xi,X2,...,xn) є E c Rn , x; = h;, i є Jn •

В результате погружения f каждому множеству X можно поставить во взаимно-однозначное соответствие подмножество e евклидова пространства Rn . Исследуем свойства образов введенных выше комбинаторных множеств в евклидовом простран -стве, которые обозначим EInk = f(PInk) , EIS = f(AIjfk), SI[f = f(CI|f) •

4. Свойства множества парных перестановок PInk

Рассмотрим о браз множества парных перестановок PInk в пространстве Rn , N = w = 2n, при отображении f вида (3): EInk = f(PInk), EInk c R2n • Элементами множества EInk являются векторы x є R2n вида x = (xbx2,...,x2n) є EInk ,

xj = av xJ+1 = bis , j є {1,3,.,2n - l} , is * ir при s Ф r , is,ir є Jn, s, r є Jn • Из способа построения множества PInk следует, что все его элементы являются также элементами множества перестановок Pwk1 , порожденного множеством

D = {a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}, w = 2n , k1 >k , где k1 - количество различных элементов во множестве D • Это значит, что справедливы следующие соот-

Н°ШеНия: PInk *— Pwkj 9 EInk *— Ewkj , где

Ewkj = f(Pwk1) •

Последние соотношения позволяют распространить на множество EI^ ряд свойств, которыми обладает множество Е^ [3,4] •

2

1 n n ( іП

т = —X(aj +bj) ; r2 = X ai + bi-X(aj + bj)

2n

j=1

i=1

n

V

j=1

/

Исследуем свойства множества EInk , отличные от свойств евклидова множества перестановок Обозначим Iw = {1,3,...,w-1, Iw = {2,4,..., w} , w = 2n •

3^ Множество EI„k симметрично относительно гиперплоскостей вида

xi - xj = 0 , i,j є Iw, i * j , xi - xj = 0 , i,j є Iww, i Ф j • Доказательство проведем на основе доказательства утверждения о симметрии множества Ewk относительно гиперплоскостей

xi - xj = 0 , i,j Є Jw, i * j , (4)

приведенного в [4] В точках множества EI^ координаты х; , i є I'w , принимают значения всевозможных перестановок элементов множества A = {ab a2,..., an} , а координаты х;, i є Iw , - значения всевозможных перестановок элементов множества B = {bb b2,..., bn} • Проводя доказательства, аналогичные доказательству симметрии Ewk относительно гиперплоскостей вида (4), отдельно для координат х; , i є I'w и для х; , i є Iw , приходим к справедливости утверждения•

4^ Точки множества EI^ принадлежат семействам параллельных плоскостей j Ta |, j Tb j вида

{To}: Іxlt = Xajt ,

1 ' t=1 t=1

где it Є I'w , jt є Jn, CT = {i1,i2,...,iJ ; ;t *ip,jt * jp при t Ф p ; t,p є Js, s є Jn ,

{t^} : і xk = Xbjt ,

1 1 t=1 t=1

где it є Iw , jt є Jn , ;t * V jt * jp при t Ф p ; t,p є Js,

1 Точки множества EI^ принадлежат гиперплос-

2n n

кости вида X х; = ^ (aj + bj) в пространстве R2n • i=1 j=1

2^ Точки множества EI^ принадлежат (2n -1) -сфере W , описываемой системой

s Є Jn •

При этом существует 2n -1 семейство каждого вида, а в каждом из семейств содержится не более,

f n ^ й

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

чем I I гиперплоскостей •

2n n

X х; =Х (aj+ bj);

i=1 j=1

2n

X (X-*)2 = r2,

где

Доказательство, как и в предыдущем случае, может быть построено на доказательстве утверждения о распределении элементов множества Ewk по семействам гиперплоскостей вида [4]:

І І

X xa,j = X gPj , j=1 j=1

68

РИ, 2005, № 1

где Oj, Pj6 Jw, Oj Ф at, Pj t при t Ф j; t,j є Ji,

i є Jw, а множество Ewk порождено элементами {g1,g2,...,gw}. Проводя аналогичные доказательства отдельно для координат xk і є iw и для Хі, і є I^ , точек множества EInk , приходим к справедливости утверждения.

5. Свойства множества парных размещений AI

Рассмотрим множество ElJJk — образ множества Al[j, в пространстве RN , N = 2m = v при отображении f вида (3): Eimk = f(Aimk), Eimk c R2m .

Элементами множества El^Jk являются векторы

Х Є R2m вида Х = (x1;X2,...,X2m) Є El^k , xj = ais , Xj+1 = bis , jє Iv = {1,3,..., v -1}, is ф ir при s Ф r , is,ir є Jn , s,r є Jm . Элементы множества AIjJk, как следует из его построения, являются также элементами множества A^ , порожденного множеством

D = {а1, а2,..., an,b1, b2,..., bn}, v = 2m , k1 > k , где k1 - количество различных элементов во множестве D. Следовательно, справедливы соотношения

AImk с ^, EImk

^ , где Ewkj = f(AVwk1) -

Это значит, что для множества EIjJk справедливы некоторые свойства множества Ew^ [4]. Опираясь на них и используя подход, аналогичный рассмотренному выше для множества парных перестановок EInk , можно доказать следующие утверждения.

1. Множество EIm симметрично относительно гиперплоскостей вида

x - xj = 0 , i,j є Iv, i * j, Iv = {1,3,...,v -1},

x - xj = 0 , i,j є Iv, i * j , Iv = {2,4,...,v} ,

где v = 2m .

2. Точки множества EI^Jk принадлежат семействам параллельных гиперплоскостей j |, j | вида

{Ta}: іxit =іajt ,

1 ' t=1 t=1

где it є Iv , jt є Jn , o = {i1,i2,...,iJ ; it * ip, jt * jp при

t Ф p ; t,p є Js, s є Jm,

{T«b} : І xit =tbjt ,

1 ' t=1 t=1

где it Є IV, jt Є Jn , CT = {i1,i2,...,i^ ;it * ip, jt * jp при t Ф p ; t,p є Js, s є Jm.

При этом существует 2m -1 семейство каждого вида, а в каждом из семейств содержится не более,

чем

m

гиперплоскостей.

6. Свойства множества парных сочетаний с повторениями CIJJ1

Пусть SIm — образ множества CIjf в пространстве RN , N = 2m = v при отображении f вида (3): SIjf = f(CI[f), SIjf c R2m . Элементами множества SIm являются векторы x є R2m вида

x = (x1,x2,...,x2m) Є SI[f , xj = ais, xj+1 = bis , j є Iv , is Фir при s Ф r , is,ir є Jn , s,r є Jm , причем для любого x є SIm выполняются неравенства:

x1 < x3 < ... < x2m-1.

Из способа построения множества CI|f следует, что все его элементы принадлежат множеству Cw, порожденному множеством

D = {a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}

при выполнении соотношений (1), (2). Следовательно, справедливы соотношения: CIjf с Cw , SIm С sv , где sw = f(Cvw).

Основываясь на исследованных свойствах евклидова множества сочетаний с повторениями [4] и используя схему, аналогичную описанной выше для множества парных перестановок, сформулируем следующие свойства множества SIjf .

1. Точки множества SI[f лежат на гиперсфере

£(x-х)2 = r2,

i=1

где r _ '4(hmax _ hmin) , т 2 (hmin ^hmax) ,

hmax = ,max hi hmin = ,min hi hieD , hieD .

2. Точки множества SI[f принадлежат семействам

параллельных гиперплоскостей j T£}, | | вида

{Ta}: Іxit =Іajt ,

1 ’ t=1 t=1

где it є IV , jt Є Jn , CT = {i1,i2,...,i^ ; it * ip,jt * jp при t * p ; t,p є Js, s є Jm,

(aj1 ,Vaj2 ,bj2 —ajs ,bjs , ”, ajm , bjm ) Є SC ,

{Tob} : Іxit =ibjt ,

1 1 t=1 t=1

где it Є IV , jt Є Jn , a = {i1,i2,...,iJ ; it * ip,jt * jp

при t Ф p ; t, p є Js, s є Jm,

(a, ,b; ,a; ,b; ,...,aj ,bj ,...,aj ,bj )є SIjf.

v j1 ’ j1 ’ j2 ’ j2 ’ ’ js ’ js ’ ’ jm ’ jm' n

При этом семейств каждого вида существует не (n + s -1)!

более, чем Card Cn =---------.

n (n - 1)!s!

РИ, 2005, № 1

69

Выводы

Таким образом, получены новые теоретические результаты, касающиеся свойств композиционных образов комбинаторных множеств.

Введены новые классы композиционных образов комбинаторных множеств — множества парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.

Исследованы некоторые свойства введенных комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.

Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных моделей и методов решения задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.

Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с постановкой и решением на основе описанных результатов классов задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств.

Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 558 с. 3. СтоянЮ.Т.,Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклі-дової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании // Сборник тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” Харьков-Туапсе. 2004. С. 253254. 6. KaucherE. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Comp. Suppl. 1980. №2. P.33—49. 7. Гребенник И.В., Романова ТЕ. Отображение интервальных комбинаторных множеств в евклидово пространство // Пробл. машиностроения. 2002. № 5, №2. С. 87—91.

Поступила в редколлегию 27.12.2004 Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10- 06.

УДК 519.854

БЕЗУМОВНА ЗАДАЧА ОПТИМІЗАЦІЇ ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЇ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ НА ПОЛІПЕРЕСТАВЛЕННЯХ: ЗВЕДЕННЯ ДО ЛІНІЙНОЇ УМОВНОЇ НА СПЕЦІАЛЬНІЙ КОМБІНАТОРНІЙ МНОЖИНІ

Потреби практики математичного моделювання, зокрема відносних показників, в яких допустимі конфігурації мають вигляд елементів поліперестав-ної множини, роблять актуальним і необхідним вивчення таких задач, тобто задач оптимізації з дробово-лінійною цільовою функцією на поліпе-реставленнях.

Мета дослідження — вивчення властивостей множини допустимих розв’язків з метою використання їх для розробки методів розв’язування таких задач.

2. Виклад основного матеріалу дослідження

ЄМЕЦЬ О.О, РОМАНОВА Н.Г.

Досліджуються властивості множини допустимих розв’язків, що одержана при переході від задачі макси-мізації дробово-лінійної функції на множині поліпе-реставлень без додаткових обмежень до задачі з лінійною цільовою функцією.

1. Постановка проблеми в загальному вигляді

Розвиток сучасної теорії оптимізації привів до виокремлення в дискретній оптимізації напрямку, який можна назвати ’’евклідова комбінаторна оп-тимізація” (див., напр.[1-4]). Дослідження задач в цьому аспекті відбуваються як за типами цільових функцій та обмежень [1-14], так і за видами комбінаторних множин, що беруть участь в утворенні допустимої області комбінаторної оптиміза-ційної задачі.

Серед великої кількості досліджень останніх років з евклідової комбінаторної оптимізації можна виділити ряд публікацій, в яких, з одного боку досліджуються комбінаторні оптимізаційні задачі з дробово-лінійною цільовою функцією [8,9,11], а з іншого — вивчаються і розв’язуються задачі на поліпереставних множинах [7, 14].

Введемо в розгляд задачу максимізації дробово-лінійної функції на множині поліпереставлень без додаткових обмежень.

Задача. Знайти пару < F(x*),x* > , таку, що

F(x*) = max

xeRk

k

Zcixi +co

i=l_________

k

Z dixi + do ’ i=l k

Zcixi +co

* i=l

x* = arg max

xeR

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

kk

Z dixi + d0 i=l

(1)

(2)

За комбінаторної умови

x = (xi,...,xk) Є Ekn(G,H) c Rk, (3)

де ci,di є R* 1 Vi є Jk = {0,l,2,...,k}, Rk -k -вимірний евклідів арифметичний простір; ц, n, k,s — задані натуральні сталі; Ejkn(G,H) — множина поліпереставлень [1-4], що утворена з мультимно-

жини G за допомогою спеціальної множини H k —

70

РИ, 2005, № 1

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.