Порівняння з аналогами
Наведена методика визначення вхідних, проміжних та вихідних показників, що описують взаємодію між процесами СУЯ відповідно до вимог [1], дозволяє оптимізувати загальну систему показників, що в свою чергу робить більш ефективним контроль і управління ключовими процесами, з яких складається діяльність організації.
Висновки і перспективи
1. Запропоновано досить простий і наочний інструмент опису взаємозв’язків між процесами СУЯ за допомогою інформаційного графа системи показників і матриць сумісності та досяжності.
2. Запропонований підхід є універсальним і може бути застосований для будь-якої організації, діяльність котрої складається з великої кількості складних процесів, що в свою чергу характеризуються значною кількістю показників.
Література: 1. ДСТУ ISO 9001-2001. Системи управління якістю. Вимоги. Київ: Держстандарт України. 2001.
23 с. 2. ВіткінЛ.М., ХімічеваГ.І.. Методика оцінювання якості ключових процесів підготовки випускника ВНЗ // Вісник Київського університету технологій та дизайну. 2004. №1. С.123-128.
Надійшла до редколегії 24.09.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Павленко Ю.Ф.
Віткін Леонід Михайлович, заступник ректора з якості ВНЗ “Університет економіки і права “КРОК”. Наукові інтереси: розроблення теоретичних та практичних підходів щодо впровадження систем управління якістю, зокрема у сфері вищої освіти. Захоплення: подорожі, театр, книги, футбол. Адреса: Україна, 03113, Київ, вул. Лагерна, 30-32, тел. роб. (+38 044)455-69-82, тел. моб. (+38 044) 204-55-23.
Хімічева Ганна Іванівна, канд. техн. наук, доцент кафедри метрології, стандартизації, сертифікації Київського національного університету технологій та дизайну. Наукові інтереси: стандартизація, сертифікація у машинобудуванні, інтегровані системи управління. Захоплення: туризм, спорт, книги, театр. Адреса: Україна, 01011, Київ, вул. Немировича-Данченка, 2, тел./факс: 256-21-99.
УДК 519.6:514.1
СВОЙСТВА КЛАССОВ КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗОВ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ, ОТОБРАЖЕННЫХ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
ГРЕБЕННИК И.В.________________________
Вводятся новые классы композиционных образов комбинаторных множеств - парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями. Исследуются свойства образов этих множеств при их отображении в арифметическое евклидово пространство.
Введение
Многие задачи проектирования, управления, контроля описываются моделями комбинаторной оптимизации [1]. При этом во многих случаях области допустимых решений этих задач представляются классическими комбинаторными множествами [2]. Однако для создания адекватных моделей ряда задач необходимо построение комбинаторных множеств с более сложной структурой, отражающей комбинаторную природу решаемой задачи. В частности, такая необходимость возникает при решении многих комбинаторных задач геометрического проектирования [3,4].
При моделировании дискретных экстремальных задач геометрического проектирования в качестве областей допустимых решений выступают комбинаторные множества, порождающие элементы которых сами являются элементами других комбинаторных множеств. В целях построения эффективных моделей задач указанного класса в [5] вводится
новый класс комбинаторных множеств со сложной структурой — композиционные образы (k -образы) комбинаторных множеств. В работе [5] приводится и анализируется способ описания k -образов комбинаторных множеств на языке отображений. В связи с этим важной задачей является построение и анализ различных k -образов комбинаторных множеств для использования их в математических моделях задач различных классов.
1. Постановка цели и задач исследования
Опираясь на результаты работы [5], необходимо выделить и описать классы k -образов комбинаторных множеств для использования их в оптимизационных моделях задач со сложной комбинаторной структурой.
Цель данной работы—описание и исследование k -образов комбинаторных множеств, построенных на основе перестановок, размещений и сочетаний как областей допустимых решений комбинаторных задач оптимизации.
Задачи исследования состоят в формулировании и изучении свойств классов k -образов комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.
2. Определение множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями
Ориентируясь на известные модели задач с дискретными параметрами [1,3,4], рассмотрим k -образы комбинаторных множеств, в которых в качестве базовых выступают евклидовы комбинаторные множества перестановок, размещений и сочетаний.
Учет погрешностей при решении задач геометрического проектирования вызывает необходимость
66
РИ, 2005, № 1
построения адекватных математических моделей задач этого класса. Основой для построения моделей задач геометрического проектирования, учитывающих погрешности метрических характеристик и параметров размещения объектов, являются методы интервального анализа [6]. Один из способов анализа интервальных математических моделей основан на их отображении в евклидово пространство [7]. При этом образом каждого интервала в Rn является пара чисел, характеризующих центр и радиус интервала. Для моделирования образов интервальных комбинаторных множеств в Rn построим k -образы комбинаторных множеств парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний.
Рассмотрим множество A = |ai,a2,an} = = IgiPl, g22, •••’ gka / , где Pi є Jn , і є Jka - кратности элементов множества A, Pi +P2 + ••• + Pka = n ; gi < g2 <••• <gka , и множество B = {bP, b2, •••, bn} , ai є RP, bi є RP. Построим множества Zp,Z2,...,Zn вида Zi = {(apty)}, і є Jn . При этом k множеств Zi из n являются различными, ka < k < n .
Используя подход, приведенный в [5], сформируем следующие классы k -образов комбинаторных множеств.
1. Композиционный образ комбинаторных множеств Pjjk , Zp,Z2,...,Zn , порожденный множествами {aP,bP},{a2,b2},...,{an,bn}, где Р^ — множество перестановок из n элементов, k из которых различны [4]. Обозначим такой k -образ множеств через PInk(Zp,Z2,...,Zn) или PInk и назовем множеством парных перестановок. Следуя [5], представим множество PI„k в виде PI^ = TPnk (x) с параметрами
Zi(a1,b1) , Z2(a2,b2),...,Zn(an,bn) ,
X = (Xp,X2,...,Xn) .
Композиционный образ PInk представляет собой множество перестановок пар (a^ ,b^), т.е. упорядоченных наборов вида h є PInk ,
h = (aip,bii,ai2,bi2’...,ain’bin) , is, Js є Jn , is ^ js ,
s є Jn . Элементы множества PInk отличаются друг от друга только порядком следования пар в наборах. Поскольку каждое множество Zi, i є Jn , содержит единственный элемент, то мощность множества PInk равна мощности базового комбинаторного множества Pnk .
2. Композиционный образ комбинаторных множеств A[Jk , ZpZ2,...,Zn , порожденный множествами {abbi},{a2,b2},...,{an,bn}.Здесь A|fk представляет собой общее множество размещений из n элементов, k из которых различны, по m [4]. Его элементами являются упорядоченные m -выборки из n элементов, k из которых различны. Такой k -
образ множеств обозначим через AIm (Zi ,Z2,..., Zn) или AI[Jk и назовем множеством парных размещений. На основании [5] представим множество AI|fk в виде AIJJj, = Г m (x) с параметрами Z1 (a1 ,b1), Z2(a2 ,b2),...,Zn(an,bn), x = (xp,X2,...,Xn) .
Композиционный образ AI|fk представляет собой общее множество размещений пар (aij,bij), т.е. упорядоченных наборов вида h є AI[Jk ,
h = (aii,bii,ai2,bi2,...,aim,bim) , is, js є Jn , is ^ js ,
s є Jm. Как и в предыдущем случае, мощность множества AI|fk равна мощности базового общего комбинаторного множества размещений Am .
3. Композиционный образ комбинаторных множеств Cm, Zi,Z2,...,Zn, порожденный множествами {abbi},{a2,b2},...,{an,bn} , где Zi = {(apfy)} различны, i є Jn . Здесь cm представляет собой множество сочетаний с повторениями из n различных элементов по m [4], причемдлялюбого h = (gii,gi2,...,gim) єC[f справедливо gii ^ gi2 ^... ^ gim . Предположим при этом, что кратности Pi элементов gbg2>—>gka множества a равны
Pi =Р2 = ... = Pka = m , (1)
а множество в имеет вид:
в = {bb b2’ — bn} = {elPi > e22 > — ,
Pi =Р2 =... = pka = m . (2)
При этом множества Zi можно представить как
Zi = Z2 = ... = Zm = {(gi>ei^ ,
Zm+i = Zm+2 = ... = Z2m = {(g2,e2^ , ... ,
Zn-m+i = Zn-m+2 = ... = Zn = |(gka ,eka ^ .
Этот k -образ обозначим CI[f(Zi,Z2,...,Zn) или CIm и назовем множеством парных сочетаний с повторениями. С помощью [5] представим множество CIm в виде CIm = rC m (x) с параметрами
CIn
Zi(abbi),Z2(a2,b2),...,Zn(an,bn), x = (xi,x2,...,Xn).
Композиционный образ CI[f представляет собой множество сочетаний с повторениями различных
пар (aij,bij), т.е. упорядоченных наборов вида
h є CIm , h = (aii>bii>ai2>bi2>...,aim>bim), is,Js є Jn , is Ф js, s є Jm . При этом выполняется условие ОЧрЦН (ai2,bi2)^ ...^ (aim,bim), где ^ - некоторое бинарное отношение, заданное на множестве пар (ai,bi), i є Jm .
Элементы множества CI[f отличаются друг от друга составом пар в наборе h. Мощность множества CI[f равна мощности комбинаторного множества сочетаний с повторениями Cm .
РИ, 2005, № 1
67
3. Погружение композиций комбинаторных множеств в евклидово пространство
Осуществим отображение k -образов комбинаторных множеств X є IPInk, Aink,CI“J в арифметическое евклидово пространство RN . Здесь N — количество элементов, составляющих один упорядоченный набор h є X • Согласно [3,4] указанное отображение (называемое погружением) зададим в виде:
f : X ^ Rn , Vh = (h1,h2,...,hN) є X , (3)
где x = f(h) = (xi,X2,...,xn) є E c Rn , x; = h;, i є Jn •
В результате погружения f каждому множеству X можно поставить во взаимно-однозначное соответствие подмножество e евклидова пространства Rn . Исследуем свойства образов введенных выше комбинаторных множеств в евклидовом простран -стве, которые обозначим EInk = f(PInk) , EIS = f(AIjfk), SI[f = f(CI|f) •
4. Свойства множества парных перестановок PInk
Рассмотрим о браз множества парных перестановок PInk в пространстве Rn , N = w = 2n, при отображении f вида (3): EInk = f(PInk), EInk c R2n • Элементами множества EInk являются векторы x є R2n вида x = (xbx2,...,x2n) є EInk ,
xj = av xJ+1 = bis , j є {1,3,.,2n - l} , is * ir при s Ф r , is,ir є Jn, s, r є Jn • Из способа построения множества PInk следует, что все его элементы являются также элементами множества перестановок Pwk1 , порожденного множеством
D = {a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}, w = 2n , k1 >k , где k1 - количество различных элементов во множестве D • Это значит, что справедливы следующие соот-
Н°ШеНия: PInk *— Pwkj 9 EInk *— Ewkj , где
Ewkj = f(Pwk1) •
Последние соотношения позволяют распространить на множество EI^ ряд свойств, которыми обладает множество Е^ [3,4] •
2
1 n n ( іП
т = —X(aj +bj) ; r2 = X ai + bi-X(aj + bj)
2n
j=1
i=1
n
V
j=1
/
Исследуем свойства множества EInk , отличные от свойств евклидова множества перестановок Обозначим Iw = {1,3,...,w-1, Iw = {2,4,..., w} , w = 2n •
3^ Множество EI„k симметрично относительно гиперплоскостей вида
xi - xj = 0 , i,j є Iw, i * j , xi - xj = 0 , i,j є Iww, i Ф j • Доказательство проведем на основе доказательства утверждения о симметрии множества Ewk относительно гиперплоскостей
xi - xj = 0 , i,j Є Jw, i * j , (4)
приведенного в [4] В точках множества EI^ координаты х; , i є I'w , принимают значения всевозможных перестановок элементов множества A = {ab a2,..., an} , а координаты х;, i є Iw , - значения всевозможных перестановок элементов множества B = {bb b2,..., bn} • Проводя доказательства, аналогичные доказательству симметрии Ewk относительно гиперплоскостей вида (4), отдельно для координат х; , i є I'w и для х; , i є Iw , приходим к справедливости утверждения•
4^ Точки множества EI^ принадлежат семействам параллельных плоскостей j Ta |, j Tb j вида
{To}: Іxlt = Xajt ,
1 ' t=1 t=1
где it Є I'w , jt є Jn, CT = {i1,i2,...,iJ ; ;t *ip,jt * jp при t Ф p ; t,p є Js, s є Jn ,
{t^} : і xk = Xbjt ,
1 1 t=1 t=1
где it є Iw , jt є Jn , ;t * V jt * jp при t Ф p ; t,p є Js,
1 Точки множества EI^ принадлежат гиперплос-
2n n
кости вида X х; = ^ (aj + bj) в пространстве R2n • i=1 j=1
2^ Точки множества EI^ принадлежат (2n -1) -сфере W , описываемой системой
s Є Jn •
При этом существует 2n -1 семейство каждого вида, а в каждом из семейств содержится не более,
f n ^ й
чем I I гиперплоскостей •
2n n
X х; =Х (aj+ bj);
i=1 j=1
2n
X (X-*)2 = r2,
где
Доказательство, как и в предыдущем случае, может быть построено на доказательстве утверждения о распределении элементов множества Ewk по семействам гиперплоскостей вида [4]:
І І
X xa,j = X gPj , j=1 j=1
68
РИ, 2005, № 1
где Oj, Pj6 Jw, Oj Ф at, Pj t при t Ф j; t,j є Ji,
i є Jw, а множество Ewk порождено элементами {g1,g2,...,gw}. Проводя аналогичные доказательства отдельно для координат xk і є iw и для Хі, і є I^ , точек множества EInk , приходим к справедливости утверждения.
5. Свойства множества парных размещений AI
Рассмотрим множество ElJJk — образ множества Al[j, в пространстве RN , N = 2m = v при отображении f вида (3): Eimk = f(Aimk), Eimk c R2m .
Элементами множества El^Jk являются векторы
Х Є R2m вида Х = (x1;X2,...,X2m) Є El^k , xj = ais , Xj+1 = bis , jє Iv = {1,3,..., v -1}, is ф ir при s Ф r , is,ir є Jn , s,r є Jm . Элементы множества AIjJk, как следует из его построения, являются также элементами множества A^ , порожденного множеством
D = {а1, а2,..., an,b1, b2,..., bn}, v = 2m , k1 > k , где k1 - количество различных элементов во множестве D. Следовательно, справедливы соотношения
AImk с ^, EImk
^ , где Ewkj = f(AVwk1) -
Это значит, что для множества EIjJk справедливы некоторые свойства множества Ew^ [4]. Опираясь на них и используя подход, аналогичный рассмотренному выше для множества парных перестановок EInk , можно доказать следующие утверждения.
1. Множество EIm симметрично относительно гиперплоскостей вида
x - xj = 0 , i,j є Iv, i * j, Iv = {1,3,...,v -1},
x - xj = 0 , i,j є Iv, i * j , Iv = {2,4,...,v} ,
где v = 2m .
2. Точки множества EI^Jk принадлежат семействам параллельных гиперплоскостей j |, j | вида
{Ta}: іxit =іajt ,
1 ' t=1 t=1
где it є Iv , jt є Jn , o = {i1,i2,...,iJ ; it * ip, jt * jp при
t Ф p ; t,p є Js, s є Jm,
{T«b} : І xit =tbjt ,
1 ' t=1 t=1
где it Є IV, jt Є Jn , CT = {i1,i2,...,i^ ;it * ip, jt * jp при t Ф p ; t,p є Js, s є Jm.
При этом существует 2m -1 семейство каждого вида, а в каждом из семейств содержится не более,
чем
m
гиперплоскостей.
6. Свойства множества парных сочетаний с повторениями CIJJ1
Пусть SIm — образ множества CIjf в пространстве RN , N = 2m = v при отображении f вида (3): SIjf = f(CI[f), SIjf c R2m . Элементами множества SIm являются векторы x є R2m вида
x = (x1,x2,...,x2m) Є SI[f , xj = ais, xj+1 = bis , j є Iv , is Фir при s Ф r , is,ir є Jn , s,r є Jm , причем для любого x є SIm выполняются неравенства:
x1 < x3 < ... < x2m-1.
Из способа построения множества CI|f следует, что все его элементы принадлежат множеству Cw, порожденному множеством
D = {a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}
при выполнении соотношений (1), (2). Следовательно, справедливы соотношения: CIjf с Cw , SIm С sv , где sw = f(Cvw).
Основываясь на исследованных свойствах евклидова множества сочетаний с повторениями [4] и используя схему, аналогичную описанной выше для множества парных перестановок, сформулируем следующие свойства множества SIjf .
1. Точки множества SI[f лежат на гиперсфере
£(x-х)2 = r2,
i=1
где r _ '4(hmax _ hmin) , т 2 (hmin ^hmax) ,
hmax = ,max hi hmin = ,min hi hieD , hieD .
2. Точки множества SI[f принадлежат семействам
параллельных гиперплоскостей j T£}, | | вида
{Ta}: Іxit =Іajt ,
1 ’ t=1 t=1
где it є IV , jt Є Jn , CT = {i1,i2,...,i^ ; it * ip,jt * jp при t * p ; t,p є Js, s є Jm,
(aj1 ,Vaj2 ,bj2 —ajs ,bjs , ”, ajm , bjm ) Є SC ,
{Tob} : Іxit =ibjt ,
1 1 t=1 t=1
где it Є IV , jt Є Jn , a = {i1,i2,...,iJ ; it * ip,jt * jp
при t Ф p ; t, p є Js, s є Jm,
(a, ,b; ,a; ,b; ,...,aj ,bj ,...,aj ,bj )є SIjf.
v j1 ’ j1 ’ j2 ’ j2 ’ ’ js ’ js ’ ’ jm ’ jm' n
При этом семейств каждого вида существует не (n + s -1)!
более, чем Card Cn =---------.
n (n - 1)!s!
РИ, 2005, № 1
69
Выводы
Таким образом, получены новые теоретические результаты, касающиеся свойств композиционных образов комбинаторных множеств.
Введены новые классы композиционных образов комбинаторных множеств — множества парных перестановок, парных размещений и парных сочетаний с повторениями.
Исследованы некоторые свойства введенных комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство.
Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных моделей и методов решения задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.
Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с постановкой и решением на основе описанных результатов классов задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств.
Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. 558 с. 3. СтоянЮ.Т.,Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклі-дової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании // Сборник тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” Харьков-Туапсе. 2004. С. 253254. 6. KaucherE. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR // Comp. Suppl. 1980. №2. P.33—49. 7. Гребенник И.В., Романова ТЕ. Отображение интервальных комбинаторных множеств в евклидово пространство // Пробл. машиностроения. 2002. № 5, №2. С. 87—91.
Поступила в редколлегию 27.12.2004 Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.
Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10- 06.
УДК 519.854
БЕЗУМОВНА ЗАДАЧА ОПТИМІЗАЦІЇ ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЇ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ НА ПОЛІПЕРЕСТАВЛЕННЯХ: ЗВЕДЕННЯ ДО ЛІНІЙНОЇ УМОВНОЇ НА СПЕЦІАЛЬНІЙ КОМБІНАТОРНІЙ МНОЖИНІ
Потреби практики математичного моделювання, зокрема відносних показників, в яких допустимі конфігурації мають вигляд елементів поліперестав-ної множини, роблять актуальним і необхідним вивчення таких задач, тобто задач оптимізації з дробово-лінійною цільовою функцією на поліпе-реставленнях.
Мета дослідження — вивчення властивостей множини допустимих розв’язків з метою використання їх для розробки методів розв’язування таких задач.
2. Виклад основного матеріалу дослідження
ЄМЕЦЬ О.О, РОМАНОВА Н.Г.
Досліджуються властивості множини допустимих розв’язків, що одержана при переході від задачі макси-мізації дробово-лінійної функції на множині поліпе-реставлень без додаткових обмежень до задачі з лінійною цільовою функцією.
1. Постановка проблеми в загальному вигляді
Розвиток сучасної теорії оптимізації привів до виокремлення в дискретній оптимізації напрямку, який можна назвати ’’евклідова комбінаторна оп-тимізація” (див., напр.[1-4]). Дослідження задач в цьому аспекті відбуваються як за типами цільових функцій та обмежень [1-14], так і за видами комбінаторних множин, що беруть участь в утворенні допустимої області комбінаторної оптиміза-ційної задачі.
Серед великої кількості досліджень останніх років з евклідової комбінаторної оптимізації можна виділити ряд публікацій, в яких, з одного боку досліджуються комбінаторні оптимізаційні задачі з дробово-лінійною цільовою функцією [8,9,11], а з іншого — вивчаються і розв’язуються задачі на поліпереставних множинах [7, 14].
Введемо в розгляд задачу максимізації дробово-лінійної функції на множині поліпереставлень без додаткових обмежень.
Задача. Знайти пару < F(x*),x* > , таку, що
F(x*) = max
xeRk
k
Zcixi +co
i=l_________
k
Z dixi + do ’ i=l k
Zcixi +co
* i=l
x* = arg max
xeR
kk
Z dixi + d0 i=l
(1)
(2)
За комбінаторної умови
x = (xi,...,xk) Є Ekn(G,H) c Rk, (3)
де ci,di є R* 1 Vi є Jk = {0,l,2,...,k}, Rk -k -вимірний евклідів арифметичний простір; ц, n, k,s — задані натуральні сталі; Ejkn(G,H) — множина поліпереставлень [1-4], що утворена з мультимно-
жини G за допомогою спеціальної множини H k —
70
РИ, 2005, № 1