Классы композиционных образов комбинаторных множеств в математических моделях задач геометрического проектирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

320с. 10. Петров Э.Г., Булавин Д.А., Петров К.Э. Использование генетических алгоритмов для решения задачи структурно-параметрической идентификации модели индивидуального многофакторного оценивания //Проблемы бионики. 2004. №60. С. 17-27. 11. Руденко О.Г., Бодянский Е.В. Основы теории искусственных нейронных сетей. Харьков: ТЕЛЕТЕХ, 2002. 317 с. 12. Петров Э.Г., Батий Л.В. Модель выбора многокритериального решения при интервальном задании весовых коэффициентов // Вестник Херсонского государственного технического университета. 2002. № 1 (14). С. 28-31.

Поступила в редколлегию 30.06.2005

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Петорв Э.Г.

Петров Константин Эдуардович, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики Национального университета внутренних дел. Научные интересы: многокритериальная оптимизация, методы принятия решений. Адрес: Украина, 61080, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 50-36-33.

Колесник Людмила Владимировна, ассистент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: методы принятия решений и оптимизация. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 702-10-06.

УДК 519.85

КЛАССЫ КОМПОЗИЦИОННЫХ ОБРАЗОВ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

ГРЕБЕННИК И.В._________________________

Рассматривается классификация специальных классов комбинаторных множеств — композиционных образов. Основой классификации служат введенные базовые комбинаторные множества. Подробно исследуется один из классов — композиции перестановок. Анализируются возможности его использования в моделях задач геометрического проектирования.

Актуальность

Для моделирования задач, имеющих сложную комбинаторную природу, необходимо использование соответствующих классов комбинаторных множеств, адекватно описывающих области допустимых решений указанных задач [1-4]. К описываемому классу относятся многие экстремальные задачи геометрического проектирования с дискретными параметрами [4]. При построении математических моделей требуется определение и конструктивное описание комбинаторных множеств, обладающих необходимыми комбинаторными свойствами. Во многих случаях для этого нужно построить комбинаторные множества, выходящие за рамки известных классов комбинаторных множеств. Следовательно, необходимо создание конструктивных средств описания комбинаторных множеств с заданными свойствами и их классификация.

Один из способов описания комбинаторных множеств, обладающих заданными свойствами, связан с понятием конфигурации, т.е. определенным образом заданного отображения, введенным в работах К.Бержа [3]. Другой способ основан на применении теории перечисления Пойа [3], в рамках которой производится формальное описание конфигураций и построение соответствующих производящих функций, результатом чего является общая комби-

наторная схема. Она позволяет с единых позиций описывать многие комбинаторные множества.

Являясь универсальным средством описания широкого класса комбинаторных множеств, общая комбинаторная схема дает эффективные решения только для ряда простых классов комбинаторных множеств. Применение данной схемы для описания конфигураций, имеющих сложную комбинаторную структуру, приводит к громоздким построениям, неприменимым на практике [3].

Еще один способ построения описаний комбинаторных множеств с заданным набором свойств связан с понятием поликомбинаторного множества [5]. При описании поликомбинаторных множеств необходимо задание и учет конкретных комбинаторных свойств, которыми должно обладать множество. Для сложных комбинаторных конструкций это также приводит к громоздким результатам.

Альтернативой указанным подходам для описания и исследования достаточно широкого класса комбинаторных множеств может служить метод построения композиционных образов (k -образов) комбинаторных множеств, описанный в [6]. Идея метода состоит в следующем. Путем задания конфигураций или с помощью общей комбинаторной схемы формируется описание конечного набора базовых комбинаторных множеств. На этой основе строятся k -образы комбинаторных множеств, т.е. комбинаторные множества, порождающие элементы которых сами являются элементами других комбинаторных множеств. Это дает возможность получения приемлемых на практике описаний при построении математических моделей различных классов задач, имеющих комбинаторную структуру.

В отличие от общей комбинаторной схемы, метод построения k -образов комбинаторных множеств обладает меньшей универсальностью. Он позволяет строить классы комбинаторных множеств, определяемые заданным набором базовых комбинаторных множеств.

Целью настоящей работы является формирование набора базовых комбинаторных множеств и описание на его основе множества классов k -образов комбинаторных множеств.

РИ, 2005, № 3

69

Дадим определение понятия конфигурации, введенное К.Бержем и приведенное в [3].

Пусть X = , Y = {Уі,У2,-,Уп) и пусть на

Y задан строгий линейный порядок: Уі < У2 <... <Уп . Отображение ф: X ^ Y, удовлетворяющее заданному комплексу ограничений Л , называется конфигурацией. Ограничения Л определяют некоторый класс конфигураций, составляющих конкретное комбинаторное множество.

Постановка задачи

Основываясь на понятии конфигурации, сформируем описание набора базовых комбинаторных множеств. В этот набор включим классы конфигураций, соответствующие наиболее распространенным комбинаторным множествам, которые могут быть эффективно описаны с использованием указанных средств. Исходя из этого, рассмотрим конфигурации, соответствующие перестановкам, размещениям, сочетаниям и кортежам. Отметим, что построение данных конфигураций, включающее задание отображений Ф и набора ограничений Л , проведено, например, в [3]. Таким образом, в набор базовых классов комбинаторных конфигураций (базовых комбинаторных множеств) включим следующие множества: множество перестановок Pjjk из п элементов, k из которых различны; общее множество размещений AП из п элементов по k; множество сочетаний ck из п элементов по k; кортеж Tnm из п элементов, m из которых различны [4]. При этом будем считать сформированный набор базовых комбинаторных множеств открытым, допуская возможность его расширения при построении новых k - образов комбинаторных множеств.

Используя подход, описанный в [6], построим всевозможные композиционные образы базовых комбинаторных множеств. Приведем определение введенного в [6] понятия k - образа комбинаторных множеств.

Пусть A = {хі,Х2,...,хп} . Рассмотрим множество X, состоящее из всех подмножеств множества A . Выберем х = (хаі, ха2,..., хak) є X . Построим базовое комбинаторное множество Yx, порожденное набором х. Yx представляет собой множество конфигураций, определяемое многозначным отображением Г y : X ^ Y , где Y = у Y^ х є X . Пусть базовые комбинаторные множества Yj = ^ (zij) порождены наборами zij = |z^,zi2,...,zjjJ є Zi и построены по аналогичной схеме [6], где ^ : Z i ^ Yi, Yi = U Yj(ziJ), ziJ є Zi, i є Jr. Предположим, что каждый элемент xi є A сам представляет собой элемент некоторого базового комбинаторного множества Yj = (zsij). Обозначим комбинаторное

множество Yx с учетом этого через Wz . Множество

Wz можно представить с помощью композиции отображений

Wz =ГW ° Гy (х) , (1)

где Гy : X ^ Y , Гw : Y ^ W , W = U Wz ,

zij є Zi, xi є Yji(zij) .

Комбинаторное множество Wz вида (1) называется композиционным образом (k - образом) комбинаторных множеств Yx, Yj*1, Yj52 , ... , Yj*k , порожденным множествами zSlJ, zs2j, ..., zsmj .

Назовем комбинаторное множество Yx множеством первого уровня, а Y*, Yj2 ,..., Yjk - множествами второго уровня. Классы базовых комбинаторных множеств первого и второго уровней положим в основу классификации k - образов комбинаторных множеств.

Композиционные образы комбинаторных множеств, в которых множества второго уровня относятся к одному классу (например, перестановок), назовем основными; k - образы, в которых множества второго уровня относятся к различным классам, назовем смешанными. Если множества первого и второго уровня относятся к одному классу, то такие k - образы назовем однородными.

Далее рассмотрим классификацию основных композиционных образов комбинаторных множеств, порожденных сформированным выше набором базовых комбинаторных множеств. Классы k -образов комбинаторных множеств определим в зависимости от комбинаторных множеств первого и второго уровней. Результаты классификации занесем в таблицу.

Отметим, что комбинаторные свойства базовых комбинаторных множеств, которые являются классическими комбинаторными множествами, исследованы во многих работах, например, [1-4]. В монографиях [2,4] изучаются свойства базовых комбинаторных множеств при их отображении в евклидово пространство. Указанные комбинаторные множества рассматриваются в качестве областей допустимых решений ряда задач комбинаторной оптимизации. Методы решения этих задач во многом определяются структурой и комбинаторными свойствами их множеств допустимых решений.

Исследование приведенных выше классов k - образов комбинаторных множеств может быть проведено на основе известных свойств базовых комбинаторных множеств. На задачи, связанные с описанием и исследованием k -образов комбинаторных множеств, можно распространить значительную часть подходов, связанных с анализом задач на классических комбинаторных множествах [2,4]. Так, множества кортежей перестановок и кортежей размещений, известные как множества полиперестановок P(*k(G,H) и полиразмещений A^^H)

70

РИ, 2005, № 3

[4], исследованы на основе комбинаторных множеств перестановок и размещений.

Рассмотрим класс k - образов комбинаторных множеств — композицию перестановок. Пусть композиционный образ комбинаторных множеств ,

Р

Mnjkj , {a1,a2

РР

m2k2 , ••• , mnkn

'••’a1m1} , {aba2>-

порожден множествами

am2>, {an,a2,...,amn} •

Здесь P„k — множество перестановок из n элементов, k из которых являются различными, a. є R1,

і є Jm. , j є Jn . Такой k -образ комбинаторных множеств назовем композицией перестановок и обозначим Wp . Согласно [6], мощность множества Wp

составляет Card WP = CardPnk • CardPmjkl • ...x

xCardPmnkn . При этом мощность множества перестановок зависит от кратностей порождающих элементов и определяется соотношением

M = Card P„k =

n!

ni !• n2 !•... • nk!,

где nbn2,...,nk — кратности различных порождающих элементов множества P^ .

Множество Wp состоит из элементов w є Wp вида w = (wbw2,...,wn) , где w. = (aJ aS ,...,aS ),

51 52 5mj

і є Jm., j e Jn . В наборе wb w2,..., wn k элементов являются различными, среди элементов aS ,aS ,...,aS ровно kj различных. Последова-

S1 S2 Smj J

тельность ицдексов (S1,S2,...,Smj) Є Lmj , где через Lk обозначим множество всевозможных перестановок элементов индексного множества Jk .

Осуществим отображение множества Wp в евкли-

N n

дово пространство RN , где N = £ ш. . Согласно [4]

i=1

отображение зададим в виде:

f: W ^ Rn V w = (w1,w2,...,wn) , x = f(w) = (x1,x2,...,xN) є Rn , х. = wi, . є jn .

Образ множества Wp в пространстве RN обозначим EWn,m1m2...mn или для краткости EWn . Исследуем свойства композиции перестановок Wp при отображении f в пространство RN : EWn = f (Wp), EWn c Rn . Элементами множества EWn являются векторы x є Rn вида:

x = (x1,x2,...,xN) = (ei1 ,e.2 ,...,Єіп ) , (2)

где (i1,i2,...,in) Є Ln , Єі " (alS1,aS2’...’aSmi) ,

(S1,S2,...,Smj ) Є Lmj , і є Jn , j є Jn . Из способа построения множества Wp следует, что его элементы

являются также элементами множества перестановок P^o, порожденного множеством

G = = {g1,g2,...,gN} ,

содержащим k0 различных элементов. Это значит, что справедливы соотношения Wp с P0 ,

Ewn с ENko , где ENk0 = f (PNk0). Отсюда следует, что множество EWn обладает рядом свойств, которые справедливы для множества Е 0 [2,4].

1. Точки множества EWn принадлежат плоскости вида

N n mj .

2 xi = ZZ a. (3)

i=1 i=1j=1

nN

в пространстве R .

2. Точки множества EWn принадлежат (N -1) -сфере SN-1 вида

Z (xi -T)2 = r , (4)

i—1

n mj . 2 n mJ . 2

где T = £ Z a. , r2 = Ё Z (a. -R)2 , i=1j=1 i=1j=1

и (N - 2) -сфере Sn _2, описываемой системой соотношений (3)-(4).

3. Точки множества EWn принадлежат системе параллельных плоскостей вида

Ь, = £gjt,

t=1 t=1

где gj Є G, it, jtЄ Jn , .q * ip,jq * jp при q * p ; q,p є Js, t є jn .

4. Множество EWn симметрично относительно плоскостей вида x. - xj = 0 , i,j є Jmo или i,j Є JN \ JN-m0 , і * j , m0 = min Ш;.

ieJn

Основой доказательства является теорема о симметрии множества Е 0 относительно гиперплоскостей

xi _xj = 0 , i,jє Jn, і * j, (5)

доказанная в [4]. В точках множества EWn координаты x., і є Jm0 , і є JN \ JN_m0 принимают значения, определяемые элементами только одного множества перестановок из Pm1k1 , Pm2k2 , ..., Pmnkn . Количество координат x., равное наименьшей из длин кортежей, входящих в множества Pmik. , і є Jn, гарантированно определяется одним множеством

71

РИ, 2005, № 3

перестановок Pm;k; . Эго значит, что для координат X; , xj, где У Є Jm0 или У Є JN\JN-m0 , точек множества EWn справедлива схема доказательства

теоремы о симметрии множества Е 0 относительно плоскостей вида (5). Из этого следует справедливость свойства симметрии множества EWn .

5. Рассмотрим соотношение (2). Зафиксируем последовательность индексов (ibi2 ,...,in) є Ln . Сфор -мируем множества индексов вида:

Kij = {l,2,...,mi1}, Ki2 = {mi1 + l,mi1 + 2,...,mij + mi2},

..., Kin = {mi1 + mi2 +...+min_1 +1 ...,mi1 + mi2 +

+... + min} .

Введем множество H , состоящее из элементов вида

[4]: п = (я(1),л(2),...,tc(N)) = (л1,л2,..., л11), где У — произвольная перестановка элементов множества Kij , j є Jn . Упорядочим элементы множества G . Определим множество

={a11,a2

in) = {І1.І 2,...,g n} =

...,a‘1 ,a.2 ,a22 ,...,a‘2

m4 1 2 mi2

Q Q

a1 , a2

Рассмотрим множество Ер; (G(i1, i2,..., in), H) c EWn вида:

EP;(G(i1,i2,...,in),H) =

_ {gя(1),gл(2),...,gn(N) є H} . (6)

Множество EP;(G(i1,i2,...,in),H) включает в себя все элементы множества EWn , соответствующие порядку (i1,i2,..., in) следования множеств Pm. k; ,

Pmi2ki2 , ..., Pminkin при построении композиции перестановок Wp . Как следует из [4], множество

EP;(G(i1,i2,...,in),H) вида (6) представляет собой евклидово множество полиперестановок ENk(G(i1,i2,...,in),H), структура и комбинаторные свойства которого исследованы.

Выбирая различные последовательности индексов (І1,І2,...,in) є Ln , можно построить всевозможные подмножества EP; (G(i1, І2,..., in), H) с EWn , количество которых равно M = Card Pnk . Таким образом, справедливы следующие соотношения:

M

EWn = U EP;(G(i1,i2,...,in),H) =

1=1

= UEP;(G(i1,i2,...,in),H),(i1,i2,...,in) eLn , (7)

EWn = UENk(G(i1,i2,...,in),H),(i1,i2,...,in) eLn . (8)

Следовательно, множество EWn можно рассматривать как объединение м евклидовых множеств полиперестановок, соответствующих различным последовательностям (ibi2,...,in) є Ln . Соотношения (7)-(8) позволяют использовать свойства евклидова множества полиперестановок для исследования множества EWn .

В монографии [4] описан многогранник полиперестановок n(G(i!,i2,...,in ),H), который представляет собой выпуклую оболочку множества ENj (G(i1, i2,..., in), H), и исследованы некоторые его свойства. На основании доказанных в [4] утверждений сформулируем свойства множества EWn .

Классы композиционных образов комбинаторных множеств

Множества второго уровня Множества первого уровня

Перестановки Р^ Размещения jA і Сочетания c1 Кортеж Tnm

Перестановки Р^ Композиция перестановок Wp Размещения перестановок AP(n, k, N, K) Сочетания перестановок CP(n,k,N,K) Кортеж перестановок (полиперестановки) P^(G,H)

Размещения A k An Перестановки размещений PA(n,k,N,K) Композиция размещений Wa Сочетания размещений CA(n,k, N,K) Кортеж размещений (полиразмещения) AkSn(G,H)

Сочетания Ck n Перестановки сочетаний PC(n,k, N,K) Размещения сочетаний AC(n, k, N,K) Композиция сочетаний Wc Кортеж сочетаний (полисочетания) TC(n,k,N,K)

Кортежи T nm Перестановки m кортежей PT^ Размещения кортежей ATnmk Сочетания кортежей CTnmk

Кортежи из двух элементов T2 Парные перестановки PlJJk Парные сочетания ATm Парные размещения CTjfk

72

РИ, 2005, № 3

6. Точки множества EWN и только они являются

вершинами многогранников полиперестановок П(G(i1,i2,...,in),H) V є Ln .

Справедливость этого утверждения следует из соотношения (8) и из того, что точки множества ENk(G(ii,i2,...,in),H) совпадают с множеством вершин многогранника полиперестановок П (G(ii,i2,...,in),H).

7. Для множества EWN справедливы соотношения:

EWn с conv (Un(G(ii,i2,...,in),H), (ii,i2,...,in) є Ln), EWn = ( Un(G(ii,i2,...,in),H),(ii,i2,...,in) є Ln)П П SN-2 5

где Sn _2 — сфера, определяемая соотношениями

(3)-(4).

Доказательство этих соотношений непосредственно вытекает из выражений (3), (4) и (8).

Выводы

Таким образом, получены новые теоретические результаты, касающиеся свойств композиционных образов комбинаторных множеств.

В работе введены классы композиционных образов комбинаторных множеств, построенные с помощью конструктивных средств, описанных в [6]. Описание и исследование свойств сформированных классов k - образов комбинаторных множеств в рамках предложенного подхода позволяет получать результаты, менее громоздкие и более удобные для применения в математических моделях задач, чем результаты, получаемые в соответствии с общей комбинаторной схемой. Исследован класс k - образов комбинаторных множеств — композиции перестановок. На основе отображения в евклидово пространство сформулированы свойства композиции перестановок, касающиеся распределений по плоскостям, симметрии, представления в виде объединения множеств с известными свойствами.

УДК 681.3 + 519.65

ПОЛИГОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЦ НЕВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ

ЛЕСНАЯ Н. С, СМЕЛЯКОВА А. С._________________

Предлагается метод полигональной аппроксимации границ звездчатых областей с заданной точностью, определяемой среднеквадратичным отклонением или метрикой Чебышева. Даются оценки трудоемкости метода.

1. Введение

Актуальную проблему в области обработки данных [husdal.com/index.htm] и решения задач распознавания и классификации в диапазоне от медицины

Научная ценность полученных результатов состоит в построении классификации k - образов комбинаторных множеств и формировании основы для разработки математических моделей многих задач, имеющих сложную комбинаторную природу.

Практическая значимость заключается в том, что результаты могут быть использованы при моделировании и решении дискретных оптимизационных задач геометрического проектирования.

Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с постановкой и решением на основе описанных результатов классов задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств.

Литература: 1. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. К.: Наук. думка, 1988. 472 с. 2. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268 с. 3. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1977. 320 с. 4. Стоян Ю.Г., Ємець О. О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 5. Емец О.А., Роскладка А.А., Роскладка Е.В. Применение евклидовых поликомбинаторных множеств к построению моделей оптимизационных задач // Abstracts Second International School on Actuarial and Financial Mathematics (June, 812, 1999, Kyiv). Kyiv, 1999. P 20. 6. СтоянЮ.Г, Гребенник И.В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании. // В кн.: Сборник тезисов докладов по материалам 10-й юбилейной меж-дунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”. Харьков-Туапсе, 2004. С. 253-254.

Поступила в редколлегию 12.07.2005

Рецензент: д-р техн. наук, с.н.с. Романова Т.Е.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, докторант кафедры системотехники ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057)702-10-06.

до наук о земле [1, 2, 3] представляет векторизация границ объектов по их цифровым снимкам. Ее возникновение связано с тем, что использование растровых изображений, занимающих до 12 МБ, снижает эффективность как самого анализа, так и хранения и использования его результатов. Поэтому после сегментации изображений земной поверхности, облачности, солнечных пятен, радужки и иных объектов образы анализируемых объектов представляют в виде замкнутых контуров или линий [1]. Однако их попиксельное описание также обладает чрезмерной избыточностью, в связи с чем возникает задача их аппроксимации ломаными [4] и реже, из-за сложности их использования, — гладкими кривыми. Выдвигаемое при этом требование оперативной автоматизации обусловлено ограниченной возможностью привлечения специалистов для оперативного анализа больших объе-

РИ, 2005, № 3

73