CC BY
24
КОМПЬЮТЕРНЫЕ^
УДК: 519.85
ИССЛЕДОВАНИЕ ОЦЕНОК МИНИМУМА ВЫПУКЛЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ЕВКЛИДОВЫХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВАХ
ГРЕБЕННИК И.В., ЛАПКО ДА.____________
Исследуется задача оптимизации на евклидовом комбинаторном множестве, отображенном в пространство Rn . Для выпуклого и сильно выпуклого продолжения целевой функции задачи строятся и исследуются оценки минимума на комбинаторном множестве. Подробно рассматриваются оценки в задаче оптимизации квадратичной функции на евклидовом множестве перестановок. Приводятся результаты вычислительных экспериментов.
Рассмотрим задачу дискретной оптимизации следующего вида:
(р(x) ^ min, x є E c Rn , (1)
где E — евклидово комбинаторное множество [1], отображенное в пространство Rn. Элементами множества E являются векторы, координаты которых принимают значения упорядоченных наборов из элементов множества
E , совпадающих с вершинами своей выпуклой оболочки, т.е. удовлетворяющих условию
E = vert convE . (2)
Условию (2) удовлетворяют евклидовы комбинаторные множества перестановок, сочетаний, размещений без повторений из n элементов по n-1, размещений с повторениями из 2 элементов по n и др. Евклидовы множества размещений с повторениями и без повторений произвольного вида путём декомпозиции могут быть разбиты на множества, удовлетворяющие условию (2). Конструктивные методы для построения выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на классах множеств, удовлетворяющих (2), приводятся в работах [6-8].
В результате построения выпуклого продолжения сформулируем задачу оптимизации, эквивалентную задаче (1):
ф(x) ^ min, x є E c Rn , (3)
где ф(x) = conv cp(x) — выпуклая (сильно выпуклая с параметром р> 0) функция, удовлетворяющая условию
<р(x) = (р(x), Vx є E . (4)
В целях разработки методов решения задач оптимизации (1), (3) исследуем экстремальные свойства их целевых функций ср(x), (р(x) на евклидовых комбинаторных множествах. Рассмотрим оценки минимума функций, заданных на евклидовых комбинаторных множествах, полученные в работах [7,9]. В их основе лежат известные теоремы об экстремальных свойствах выпуклых функций на выпуклых замкнутых множествах. Приведём выражения для оценок.
A = {ay, an }, al — a2 — ■■■ — an .
Примерами евклидовых комбинаторных множеств являются комбинаторные множества перестановок, размещений с повторениями и без повторений, сочетаний и др. Элементы евклидовых комбинаторных множеств — это вершины комбинаторных многогранников, исследованию которых посвящены, в частности, работы [2-4].
Осуществим выпуклое продолжение ср( x) функции <р(x) на выпуклое замкнутое множество
X з convE, где convE — выпуклая оболочка множества E . В некоторых случаях выпуклое продолжение может быть построено с сохранением выра-
Пусть ф( x) — функция цели задачи (1), а (р( x) — её выпуклое дифференцируемое продолжение на выпуклое замкнутое множество X з convE. Тогда для любого x є X
mmP(x) > p(x) - (V?(x),x) + min(V^(x),y) (5)
yeE yeE
В случае, если ф( x) — сильно выпуклое с параметром р> 0 продолжение ср(x) на выпуклое замкнутое множество X з convE, а у0 = argmin^(y), то
yeX
minP(y) ^Ф(y0) + P min
yeE yeE
y - y 0
2
(6)
жения cp(x). В то же время, для некоторых классов евклидовых комбинаторных множеств удаётся построить выпуклое (сильно выпуклое с параметром р> 0) продолжение X з convE на множество для
произвольных ср(x). В работе [5] доказывается существование такого продолжения для множеств
Если ф(x) — сильно выпуклое с параметром р> 0 дифференцируемое продолжение ф^) на
X з convE, то V x є X :
_ l 2
minP( y) >P( x) - — ||Vp( x)|| +
yeE 4P
РИ, 2002, № 1
109
2
+ P min
уєЕ
y - x + — V<p(x)
2P
(7)
Задача отыскания минимума по у є Е в правых частях неравенств (5)-(7) решается в зависимости от вида множества е • Решения задач об отыскании минимумов линейных функций и функций вида
g(x) =||x - С||2 на классах евклидовых комбинаторных множеств приведены в [7,9] •
Отметим, что оценки минимума (р(х) (5), (7)
справедливы для произвольной точки х є X . С другой стороны, конструктивные методы построения сильно выпуклых продолжений ф(х) на X з convE позволяют получить сильно выпуклое продолжение с заданным значением параметра р> 0. Поэтому в (6), (7) имеется возможность выбора значения р . Оценивая снизу минимум функции, естественно стремиться к получению возможно более точной, а значит, возможно большей по величине оценки. Рассмотрим задачу её получения. Введём обозначения
в! (х) = ф( х) - (V ф( х), х) + min (Vp( х), у) (8)
уеЕ , ( )
в2 (Р) = ф(У ) + Р min
уеЕ
У - У0
2
(9)
1 2
вз( х) = ф( х) - — \\Уф( х)\\
+ Р min
уеЕ
У - х + — Уф(х)
2р
(10)
2
Задачу отыскания максимальных значений ві( х), в2 (р), вз( х, р) можно решить только после
определения минимумов в правых частях соотношений (8)-(10). Как отмечалось ранее, эти задачи решаются по-разному для разных классов множеств е . Их решение определяется структурой и комбинаторными свойствами соответствующих комбинаторных множеств.
должения для функций, заданных на множестве Епк . Пусть ср(х) — результат построения выпуклого продолжения функции (р(х), заданной на множестве Епк, на выпуклое замкнутое множество X з Епк [8]. Предположим, что (р(х) сильно выпукла на X с параметром ро > 0 . Тогда функция f(х) вида
п 2 п 2
f(х) = ф(х) + р\(Ех -Еai ) (12)
i=1 i=1
сильно выпукла на X с параметром р = р1 + р0. Кроме того, из (12) следует, что для всех х є Епк f (х) = ф( х) . При этом значение р1 > -р0 можно выбирать произвольным образом . Это следует из справедливости следующего утверждения.
Теорема 1. Функция f (х) вида (12)является сильно выпуклой с параметром р = Ро + Ръ (Ро ^ 0) при всех значениях р1 > -р0.
Доказательство. Рассмотрим два случая. При р1 > 0 утверждение теоремы легко вытекает из того, что f (х) — неотрицательная линейная комбинация двух сильно выпуклых функций (р(х) и
п 2 2
g(х) = Р1Е(хі + а1 ) . Рассмотрим случай, когда
i=1
-р0 < р1 < 0 . Доказательство приведём по аналогии с доказательством теоремы о сильной выпуклости функции в [10].
Так как функция ср(х) сильно выпукла с параметром р0 на X , то для неё справедливо неравенство:
р(ах + (1 - а)у) < а<р(х) + (1 - а)р(у) - а(1 - а)р0\х - у\\2,
Ух, у є X ,0 <а< 1. (13)
п 2 2 ||2
Функция g(х) = р1 Е (хi + at ) = Р]\Ц -р1С , где
i=1
п 2
С = Е ai , является сильно выпуклой с параметром
i=1
р1. Для g(х) неравенство (13) превращается в тождественное равенство:
Рассмотрим оценки (8)—(10) на примере комбинаторного множества Епк перестановок из n элементов, k из которых различны, порожденного числами а1 < а2 <... < ап. Оценки (5)-(7) для этого случая получены в работе [9] и их правые части (8)-(10) имеют следующий вид :
в1(х) = ф(х) - (Уф(х), х) + Е ^(х а . (11)
j=1 дхш] j , (11)
где последовательность {ту,m2,...,тп} такова, что др(х) > дф(х) > > дф(х)
дх,
т1
дх.
т2
дх
тп
Р1 (|\&х + (1 - а)у||2 -С) =ар1 (|Щ2 - С) +
+ (1 - а)р1 (|у||2 - С) -а(1 - а)р11|х - у||2,
V х, у єХ, 0 <а< 1 . (14)
Справедливость равенства (14) может быть проверена непосредственно. Сложим почленно равенство (14) и неравенство (13). Имеем:
ф(ах + (1 - а)у) + р1 (||ах + (1 - а)у||2 - С) <
< аф(х) + орДЦх2 - С) + (1 - а)р(у) +
В выражениях для в2(Р) и вз(х,Р) необходимо + (1 _ а)р1(іуу|2 _ с) _ а{1 _ а)(р0 + р1)1 х _ у||2 .
учесть способ построения сильно выпуклого про-
110
РИ, 2002, № 1
С учетом выражения для f (x)
f (ax + (1 - a) y) < of (x) + (1 - a) f (y) +
+ a(l -a)(po +pi)|x - y\\2 .
(15)
ства Enk :
0 П 0 2 П 2 ei(p) = v(y0) + Pi(Ёy0i - Ё2) +
+ ( A + Po)
i=1
0 *
y - y
i=1
(16)
Д - У°2 - - - yhn • ОчевИДНо, что y0 = yQ(p) :
n 2 2
e3 (x, p) = ф(x) + P1E(x2 - a2) -i=1
1 2
~~--------\\уф( x)+2 xa|| +
4(P1 + A>)
+ (P1 + P0)
y * +:
1
2(P1 + A))
j, j = 1>->n {^1, m2,..., mn } такова, что
Уф( x)---—— x
P1 + P0
(17)
+ (P1 + A))
y
1 (xp„
A + P0 2
12
- (<p( x) - —||v^( x)|| +P
y - x +
Уф( x)
2
) =
В силу предположения теоремы Р0 + Р1 > 0 . Это означает, что f (x) сильно выпукла на Xс параметром (Р0 +Р1) .
Отметим, что при Р0 =~Р1 функция f (x) является выпуклой на X.
Заменим в соотношениях (9),(10) (р(x) на f (x) и получим выражение для в2(р),Є3(x,р), для множе-
2Р0
= Д (x22 - a2) -1(1 lYy( x) + 2 -llVy( x f') +
i=1 4 Р1+ Р0 Р0
+ ((Р1 + Р0 )
y
■Р0
1
Р1 +Р0
y - *x -
(xP0 2
2
Уф(x) ).
2Р0
2
(19)
где y0 = argmin f(y), ymt0 = a., j = l,...,n , псюле-yeX J
довательность {m1, m2,..,mn} такова, что
Рассмотрим отдельно каждое из двух последних слагаемых.
Приводя к общему знаменателю и раскрывая скобки, получаем:
1(||vp(x)+2xa||2 ||v^cx^ p1 дф(x) ,
4 P1 +P0 P0 P1 +P0 i=1 dxi
, P 1 || II2 h----------------x --
P1
P1 + A) 4 A) (A + A))
\\Уф( x)f
Упрощая и раскрывая скобки в последнем слагаемом (18), получаем
( , Л * 1 ( Vp(x)f II * * Vp(x)f
(Р1 +Л)!y-------(xP0---г— 1 “A) y - *x г =
Р1 + Р<0 2 2Р<0
2
= я| И2++bl^b>i и2-(1 --
Здесь y* = a., j = 1,...,n , последовательность
mj j
Р1 +Р0
* дФ(x) Р1
i=1 1 Sxi 4Р0(Р1 +А))
Р° ) *
Р1 +Р0
\\Уф(x)|2 .
С учётом полученных выражений имеем
2
)
2
2
1 , ^Ф( xm\ 1
— ----(Р0 xm1----^ ) ^ —;-----
Р\+ Р0 2 А + А
Уф( xm2)
(Р0xm2 2 ) _
„ 1 , V^(xmn \
• ^------(Р0xmn----------) . (18)
Р1 +Р0
2
Докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Для оценки e3 (x, р) справедливо тождество e2 (x, Р1 + А)) = Є3 (x, р0) при всех x є X, где р0 > 0 — параметр сильной выпуклости функции Ф(x) вида (4).
Доказательство. Рассмотрим последнее слагаемое в соотношении (17). Из (18) следует, что y* не зависит от р1 при условии р1 + р) > 0 . Докажем, что разность Є3(x,р) + р{) - ез(x,р)) = 0 :
ез(x,P0 +Р\) - ез(x,P0) = Ф(x) + Р1Ё(xi - ai) -
i=1
1
4(Р0 +Р\)
||v^( x) + 2 xp1f
+
nn
е3( x, Р0 +Р1) - е3( x Р0) = Р1 Z xi -Р1Е а1 -
i=1 i=1
Р1 vx дФ(x) Р21 IIxi2 +
, ^ xi ^ , x ^
Р1 + Р0 i=1 dxi р1 + А)
А
4Р0(Р1 +А))
||V^( x)\\2 +р11 y||
2 , PQ
Р1 + P0
^)| Ы12 + (1 -
P0 )£x дф(x)
. ) ^ xi -v
P1 + P0 i=1 dxi
P1
4P0(P1 +P0)
\\Уф( x)f =
=1 x 2(P1
(P22-Pp) $—) + ix d-^1 = 0.
P\ +P0 Pv + P0 i=1 dxi P1 + P0
Из произвольности выбора точки x є X и значения Р1 > ~Р0 следует справедливость утверждения теоремы.
Следовательно, оценка е3(x) принимает вид
РИ, 2002, № 1
111
i 2
Єз( x) = Р( x) — ||Vp( x)||
4 A)
+ A)
У - x +
2A)
V^( x)
(20)
где у = a ■ j = 1 n , а последовательность
J mj J ’c/ ’ ’
{mi, m2,..., mn } такова, что
2
1
'mi
— V^Am^ < xm2 -—^V(xm) < ■■■ < xmn ~—^V(xmn ).
2P0
m2
2Д)
m2J
2P0
Полученные соотношения для оценок минимума функций на евклидовом множестве перестановок
Enk (11), (16), (20) дают возможность выполнить в явном виде постановку следующих задач оптимизации:
ei (x) ^ max, x є X , (21)
e2(A) ^ max,р > А), (22)
e3 (x) ^ max, x є X . (23)
Результатом решения поставленных задач будут искомые эффективные значения оценок (5)-(7) минимума выпуклых продолжений функций, заданных на множестве перестановок. Сложность
зависимостей ei(x),в2(р),..., e3(x,p), не позволяет решить задачи оптимизации (21)-(23) аналитически. Однако они могут быть успешно решены одним из численных методов недифференцируемой оптимизации. Опишем решение этих задач на множестве Enk .
Рассмотрим поведение оценок ei( x), Є2 (р), Єз( x,p) на примере квадратичной функции (р(x) вида
Функция достигает своего минимума 609 на перестановке x* = (3 2 4 1). Вычислим значения оценок e1, е3 в характерных точках множества X, а затем решим задачи оптимизации (21), (23).
Для оценок ei, ез в качестве таких точек выберем значения в точках множества E4 , а также значение
в точке минимума (р(x) на X: у0 = argmin^(x).
xe X
Сравним полученные значения с результатом решения задач оптимизации (21),(23).
Для заданных С и В у0 = (0.03 0 0.24 - 0.02)
Для оценки ei (x) получены следующие результаты:
max ei(x) = 577 в точке x = x* = (3 2 4 i),
xeE4
min ei(x) = 29i в точке x = (i 4 2 3),
xeE4
ei(У0) = -0.39 ,
maxei(x) = 602.6 в точке x = (3 i.6 4 i.4).
xe X
Для оценки e3(x) получены следующие результаты: maxe3(x) = 589 3 в точке x = x* = (4 2 i 3),
xeE4
min e3(x) = 345 в точке x = (i 4 2 3),
xeE4
e3(У0) = 82.77 ,
maXei(x) = 603.9i вточке x = (3.53 i.79 i.47 2.24).
xeX
Для вычисления эффективного значения оценки e2(а) решим задачу (22).Её решению соответствует e2 (р) = i02.09 при р1 = 25000.
n n n
Ф(x) = Е Е Cj xi xj + Е bi xi , (24)
i=ij=i i=i
где С — положительно-определённая симметричная матрица размерности n х n, B є Rn, x є Rn. С функциями вида (24) проведём вычислительные эксперименты. В качестве тестового примера выберем
(р(x) с матрицей С вида
i0 2 3 4
2 30 4 5
С= 3 4 6 7
4 5 7 20
которая является положительноопределённой с минимальным собственным числом А) ~ 2.74 . B = (i 2 3 4). Переменная X принимает значения из множества E4 = E44, порождённого числами (i 2 3 4) .
В табл. 1 приведены результаты 100 опытов с квадратичной функцией вида (19) при различных C и B, все матрицы C являются симметричными положительно-определёнными. Для каждой тестовой задачи вычислялась числовая характеристика di, характеризующая степень приближения оценки ei к точному решению задачи. В нижней строке приведены значения среднего арифметического Д по каждой строке.
Для иллюстрации эффективности оценок с учётом их оптимизации рассмотрим их применение в схеме метода ветвей и границ. В качестве правила деком-
Таблица 1
min^(x) xgE Р0 ei( x ) e2(P) e3( x)
692.83 7.74 656.54(94.76) 257.0i(37.i0) 69i.08(99.75)
458.74 6.73 448.35(97.35) 227.82(49.66) 458.74(i00.00)
48i.72 7.5i 472.30(98.04) 254.i6(52.76) 478.95(99.42)
di 97.30 43.78 99.83
112
РИ, 2002, № 1
позиции выберем простейшее, заключающееся в том, что на каждом i-м уровне будем фиксировать i-ю координату x и присваивать ей поочерёдно одно из оставшихся после предыдущих фиксаций возможное решение. Пример дерева для оценки ei (x) приведен в табл. 2. Здесь Yt — множество, на котором строятся перестановки на i-м уровне. При n=4 Y0 = (1 2 3 4). На n-2 уровне спуск заканчивается, так как мощность Y2 равна 2.
В качестве показателя эффективности работы оценок было выбрано число отсечённых ветвей дерева методом ветвей и границ на каждом из уровней, по которому можно определить число отсечённых вершин. Так, в лучшем случае значение показателя будет равно для n=2 (1,1).
При n=8 получены следующие результаты: значения показателя эффективности и время работы программы в секундах для оценок еь Є2, Є3 соответственно равны
(8, 25, 64, 51, 44, 4), 288 с,
(8, 56, 336, 1619, 3716, 1588), 172 с,
(3, 6, 6, 6, 6, 6), 164 с
при числе ветвей на каждом из уровней
(8, 56, 336, 1680, 6720, 20160).
Таким образом, в результате анализа вычислительных экспериментов можно сделать следующие выводы.
1. Оптимизация оценок ei(x), Є2 (р), ез(x) приводит к их существенному улучшению по сравнению с оценками, вычисленными при произвольных x и Р .
2. Для сильно выпуклых дифференцируемых функций наиболее эффективной является оценка ез( x). Оценку Є2 (р) целесообразно применять при недифференцируемой функции f (x).
3. Использование оценок ei (x), Є2 (р), Є3 (x) в методе ветвей и границ с тривиальной схемой ветвления показывает следующее. С одной стороны, вычисление оценок позволяет отсечь значительное число
ветвей дерева и существенно сократить перебор. С другой стороны, попытки решить задачи более высокой размерности приводят к значительному увеличению затрат времени, что требует применения более эффективных схем ветвления и проведения дальнейших исследований.
Литература: 1. Стоян Ю.Г. Некоторые свойства специальных комбинаторных множеств. X., 1980. 22с. (Препринт АН УССР/Ин-т пробл. машиностроения, 85).
2. Емеличев В.А., Ковалёв М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М:. Наука, 1981. 344с.
3. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В., Емец О.А. Комбинаторные множества размещений и их свойства. X., 1990. 38с. (Препринт АН УССР\Ин-т пробл. машиностроения, 342). 5. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников //ЖВМ и МФ. 1994. Т.34, №7. С. 1112-1119. 6. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В., Емец О.А.. Валуйская О.А. Построение выпуклых продолжений для функций, заданных на гиперсфере// Кибернетика и системный анализ. 1998. №2. С.27-36. 7. Яковлев С.В., Гребенник И.В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах// Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С.74-86. 8.Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике // ДАН УССР, Сер А. 1988. №5. С.68-70. 9. СтоянЮ.Т, Яковлев С. В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике// ДАН УССР, Сер.А. 1988. №3. С.238-240. 10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552с.
Поступила в редколлегию 16.10.2001
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Новожилова М.В.
Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: комбинаторная оптимизация, вычислительные методы, математическое моделирование. Увлечение: волейбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.
Лапко Дмитрий Александрович, студент 4-го курса ХНУРЭ. Научные интересы: комбинаторная оптимизация, вычислительные методы, математическое моделирование. Увлечение: классическая гитара. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.
Таблица 2
x1 i 2 3 4
Yi (2 3 4) (i 3 4) (i 2 4) (i 2 3)
ei( x) 782 680 604 6i5
x2 2 3 4 i 3 4 i 2 4 i 2 3
Y2 (3 4) (2 4) (2 3) (3 4) (i 4) (i 3) (2 4) (i 4) (i 2) (2 3) (i 3) (i 2)
ei( x) 783 803 960 708 720 879 6i7 609 875 627 62i 728
p( x3) 888 989 i04i 8i3 963 i0i7 803 852 932 708 759 785
p( x3) 783 803 960 708 720 879 6i7 609 875 627 62i 728
min 783 803 960 708 720 879 6i7 609 875 627 62i 728
РИ, 2002, № 1
113
