ОЦЕНКИ МИНИМУМА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ с ОГРАНИЧЕННЫМ МНОЖЕСТВОМ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА НА ЕВКЛИДОВЫХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

тельных чисел, над которыми задано линейное пространство. Из этого примера наглядно видно, что имея информацию о предикате e и не имея ее об операторе F, мы фактически знаем разбиение плоскости, осуществляемое предикатом e в виде семейства параллельных прямых {Mu}u єEj , т.е. знаем KerF неизвестного оператора, но никак не образ. Точнее, зафиксировав вектор e на оси ОХ, ImF = L можно получить в виде L' =Xe = OX . С другой стороны, зафиксировав другой вектор e'e E2, мы можем найти u ' =а' (x)e ', для которого

E (х,а' (x )e') = 1, т.е. образ оператора будет представлять прямую L'' = Ae', вообще говоря, не совпадающую с L', но изоморфную ей. Это обстоятельство зафиксировано в ходе доказательства теоремы. При этом оператор изменился, поскольку числа а(х) б и а' (х) не равны. Однако для нового оператора F' осталось равен-

ство E(х,y) = Dv(F'х,F'у). Связь междуF иF' осуществляется с помощью некоторого изоморфизма (р: L' ^ L' ' и выглядит F' = cpF . Подобный произвол вполне естественен с точки зрения идентификации компараторным способом и допустим с точки зрения математического моделирования (математическая модель получается с точностью до изоморфизма). Но поскольку выбор вектора e (это видно из примера) неоднозначен, зависит от исследователя и влияет на образ оператора (в данном примере число а(х)), то возникает два вопроса: 1) каким образом осуществлять этот выбор? 2) каким образом может быть найдена связь между ImF и ImF‘ при двух различных выборах? Ответ на первый вопрос можно получить, рассматривая наш пример. Действительно, вектор e в данном случае может быть любым с точностью до одного ограничения: Fe Ф 0, т.е. он должен принадлежать KerF .

Но оператор f нам неизвестен, и при произвольном выборе e наверняка обеспечить это условие невозможно. Однако если выбор e осуществляется наугад, то вероятность события, что Fe ф 0, будет равна 1, поскольку KerF подпространство более низкой размерности, чем l , а следовательно, мера его 0, если считать меру l равной 1. Этот факт наблюдается не только в нашем примере, но и в остальных ситуациях. Поэтому на практике выбор e, а в общем случае базисы e1,e2,...,enє L можно осуществлять произвольно. В этом заключается ответ на первый вопрос. Ответ на второй вопрос выходит за рамки данной статьи.

В заключение отметим, что набор свойств теоремы является необходимым и достаточным, другими словами, характеристическим для линейного предиката e , заданного на < L,P > . Проверка этих свойств в эксперименте позволяет классифицировать произвольный предикат как линейный. В этом смысле центральным результатом данной статьи является теорема существования линейных предикатов и процедура идентификации линейных операторов в произвольном линейном пространстве.

Литература: 1. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Т.3. Харьков: Основа, 1989. 180 с. 2. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

Поступила в редколлегию 02.11.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шабанов-Кушнаренко С.Ю.

Воскобойник Олег Николаевич, соискатель ХТУРЭ. Научные интересы: математические методы анализа сложных систем. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.

Иващенко Валерий Владимирович, соискатель ХТУРЭ. Научные интересы: математические методы анализа сложных систем. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-72.

УДК 519.85

ОЦЕНКИ МИНИМУМА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ с ОГРАНИЧЕННЫМ МНОЖЕСТВОМ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА НА ЕВКЛИДОВЫХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВАХ

ГРЕБЕННИК И.В._______________________

Рассматривается задача оптимизации на комбинаторном множестве, отображенном в евклидово пространство. Для выпуклого продолжения целевой функции задачи, имеющего ограниченное множество точек экстремума, строятся оценки минимума на комбинаторном множестве. Приводятся классы целевых функций и комбинаторных множеств, для которых получены в явном виде решения вспомогательных задач.

Рассмотрим задачу оптимизации вида

9>(х) ^ min, х є E с Rn, (1)

где E — евклидово комбинаторное множество [1],

отображенное в пространстве Rn. Элементами множества являются векторы, значения

координат которых представляют собой упорядоченные наборы из элементов множества

A = {«і,а2,---,am\ ai < ^ ^ ат. Примерами ев-

клидовых комбинаторных множеств являются множества перестановок, размещений с повторениями и без повторений, сочетаний и др. Элементы евклидовых комбинаторных множеств — это вершины комбинаторных многогранников, исследованию которых посвящены, в частности, работы [24].

Предположим, что существует выпуклое продолжение р{х) функции <р(х) на выпуклое замкнутое

множество X з conv E , где conv E — выпуклая оболочка множества e • В ряде случаев оно может быть

сделано с сохранением выражения ср(х). В то же время, для некоторых классов множеств удается

РИ, 2001, № 2

111

осуществить выпуклое (сильно выпуклое с параметром р> 0) продолжение на X з convE для

любых (р(х). В работе [5] доказывается существование такого продолжения для множеств, совпадающих с множеством вершин своей выпуклой оболочки, т.е. удовлетворяющих условию

E = vert convE . (2)

Заметим, что условию (2) удовлетворяют евклидовы комбинаторные множества перестановок, сочетаний, размещений без повторений из n элементов по n -1 , размещений с повторениями из 2 элементов по n и др. Евклидовы множества размещений с повторениями и без повторений общего вида путем декомпозиции могут быть разбиты на множества, удовлетворяющие условию (2). Методы построения выпуклых и сильно выпуклых продолжений для классов множеств, удовлетворяющих условию (2), приведены в работах [6-8].

В результате построения выпуклого продолжения может быть сформулирована задача оптимизации, эквивалентная (1):

і'p{x) ^ min, x є E c Rn, (3)

где i^(x) — выпуклая (сильно выпуклая) на выпуклом замкнутом множестве X з conv E функция, такая что p[x) = p(x) Vx є E.

Исследуем некоторые экстремальные свойства задачи (3). Заметим, что оценки минимума выпуклых функций на классах евклидовых комбинаторных

множеств рассмотрены в [7,9]. Пусть <p(x) — выпуклая функция, множество точек её минимума обозначим U* :

U* = {г є Rn\ ^x) = <?(/)}, у* = argminp(x). (4)

xeX ( )

Рассмотрим случай, когда множество U* ограничено. Справедлива следующая теорема.

где <pR = min 9>(x), SS* — граница множества S* ,

xedS*

x* = argmin||x-y||, xєX\ S*.

xsE

Доказательство. Получим вначале следующую оценку для ip(x):

Ax) ^

x - у

Vr -ф

R

У+,(Д,

(6)

где x є X \ S*, <pR — минимум 0>(x) на границе множества S* . Доказательство справедливости оценки (6) проведем по схеме доказательства теоремы в [10], приведенного там для аналогичной оценки в

случае, когда ^(x) выпукла на Rn .

Предположим, что множество S*, содержащее U* , построено и не пусто. Предположим также, что не пусто множество X \ S*. Случай X = S* свидетельствует либо о том, что p{x) = const на X, либо о том, что множество S* з U* может быть уменьшено и тогда X \ S* ^0. Возьмем любую точку x є X \ S*. Рассмотрим точку у є 5S* :

* п

у = у + R

x - у

R

x - у

x - у

• x +

1 -

R

x - у

• у

С учетом выпуклости cp{x) на X

имеем

у) <

R

x - у

р(x)-

1 -

R

x - у

4у*).

Отсюда сразу получаем неравенство (6). В обеих его частях возьмем минимум по x є E . Имеем

min 0^x) ^

xsE

min

xsE

x - у

Vr -¥

R

V*).

Теорема. Пусть cp(x) — выпуклая на выпуклом

замкнутом множестве X з conv E функция, U* — множество точек ее минимума, удовлетворяющее условию (4), причем U* ограничено, т.е. существует такое число R > 0, что

U *3 S*

x є Rn

*

x - у

< R

с X,

где у* — какая-либо фиксированная точка из множества U* . Тогда справедлива оценка

min'Кx) ^

xeE

*

x

*

- у

Vr

R

И+44

(5)

Отсюда непосредственно следует справедливость утверждения теоремы.

Рассмотрим решение задачи об отыскании миниму-

ма нормы разности

в правой части соотно-

x - у

шения (5). Решение задачи нахождения

* . II ||2 „n

x = arg min I|x - c|| , c є R определяется структу-

xsE

рой и комбинаторными свойствами класса множеств e , для которого решается задача. Решения ее для различных классов множеств Дт) приведены, например, в [7,9]. Так, для множества перестановок Enk из n элементов, k из которых различны,

порожденного числами aj < a2 <... < an, решение x* имеет вид [9]:

112

РИ, 2001, № 2

Xmj = °lj , mj , lJ Є Jn , J Є Jn ,

последовательности {mbm2,...,m^ и {lbI2,...,ln} таковы, что

.^m 1 ^ 2 ^ ••• ^ y*mn,

all ^al2 ^•••^aln,

a Jn = {l,2,..., n}.

Остановимся подробнее на способе построения множества S* и на определении минимума ^(х) на его границе (p*R . Отметим вначале, что если функция ^(х) строго выпукла (сильно выпукла), то множество U* состоит из единственного элемента у* . Такое множество U* можно получить, если построить сильно выпуклое с параметром р продолжение функции ^>(х) на выпуклое замкнутое множество X з convE , воспользовавшись способами, описанными в [6-8].

В случае, если U* n convE = 0иК, содержит более одного элемента, в качестве S* может быть принят любой шар с центром в точке u є U* , содержащий U* и имеющий с множеством E пустое пересечение. Если U* , содержащее более одного элемента, полностью содержится внутри многогранника convE, то в качестве S* может быть взят шар, границей которого является описанная вокруг многогранника сфера, если ее центр u0 є U*. В случаях, когда эти условия не выполняются или необходимо варьировать границы множества S* , всегда можно добиться сокращения количества элементов U* до одного путем построения сильно

выпуклого продолжения ср(х) на X з convE . Поэтому можем считать далее, что U* состоит из одного элемента у* . Случай, когда у* є E, не представляет интереса, так как тогда у * — решение задачи (3). В случае y*eE в качестве S* может быть

выбрана внутренность шара с центром в точке у*

и радиусом,

не превышающим r = m]n

xsE

*

х - у

Очевидно, что внутри такого шара не будет ни одной точки множества e и условие х є X \ S*, для которого получена оценка (5), будет выполнено. При этом остается свобода выбора значения R для

оценки (5) из интервала [є,r[, где е> 0 — близкое

к нулю число, минимальный радиус шара S* .

Задачу определения (pR — минимума ^(х) на сфере

S — границе шара S* — рассмотрим для двух случаев. В первом случае будем считать, что задача ір(х) ^ min, х є S может быть решена непосредственно. Решение такой задачи для случая, когда <р(х) — квадратичная функция вида

ір{х) = (W.х, х)+(v, х), где W — положительно-определенная эрмитова матрица n х n, а v є Rn, приведено в [7]. При этом отыскиваются локальные

экстремумы ^(х) на сфере ||х||2 = R2 , которые имеют следующий вид:

х=- І £ІХ i

2 £1Л-^ і

Я Ф X , і є

где ?i,hi,^Xn — собственные числа матрицы W ; li,і2,...,ln — соответствующие им собственные векторы, а 2 определяется как решение уравнения

2

= 4 Rz

(7)

На каждом из интервалов (-™Л\ {лъ (Лп ,+”)

функция, стоящая в левой части уравнения (7), является выпуклой. Поэтому корни уравнения, которых существует не более, чем 2n , могут быть легко определены.

Если v i = 0 для всех і є Jn, то точки локальных экстремумов ^(х) на сфере определяются как

хк) = ±ltR .

В случае, когда решение задачи отыскания минимума функции 0>(х) на сфере S затруднено, можно воспользоваться оценкой величины q)*R, которая может быть получена следующим образом. В сферу

S = 5S* впишем гиперкуб П * с центром в точке у*

у

таким образом, чтобы единичные базисные векторы пространства Rn были ортогональны его граням. Длина ребра такого гиперкуба р связана с радиусом описанной вокруг него сферы S соотношением [11]:

Р =

2 • R ■Jn

где r — радиус сферы S. Поскольку минимум ф{х) на X — точка у* — является центром гиперкуба П * , то отыскание минимума ^(х) на границе П * сведется к решению 2n задач оптимизации. Каждая из них представляет собой задачу определения

минимума выпуклой функции на грани П * - куба

113

РИ, 2001, № 2

в пространстве размерности n -1. Решение этих задач не представляет принципиальных трудностей. В результате получим <~>п - минимум ^(х) на границе гиперкуба П * . Ввиду выпуклости ^(х) и

того, что сфера с центром у* = arg min <р(х) описана

хеХ

значение матрицы W и рассмотрим в качестве Е

множество перестановок Е3 , порожденное числами 1,2,3:

10 1 2

1 9 -1

2 -1 10

вокруг гиперкуба П * , справедлива следующая оценка:

• (8)

Тогда найденное значение минимума <~п можно использовать для получения более слабой оценки, чем (5):

min ^(х) ^

хєХ

*

х

<Рп-<Р'

R

kl,(v*),

(9)

Матрица W является положительно-определенной. Подставим в соотношение (10) значения

= ■>114, R = 3.74 <-J14 и вычислим оценку для собственного вектора матрицы W , отвечающего минимуму на сфере радиуса R с центром в

нуле. Имеем тіп^(х) ^ 98 74 . При этом мини-

хеЕ3

мум R на множестве W достигается при х = (1,3,2) и равен 133.

которая непосредственно следует из (5) и полученного соотношения (8).

Рассмотрим вопрос выбора величины R радиуса шара S* в правых частях оценок (5) и (9). Как следует из доказанной теоремы, эти оценки справедливы при любых значениях R є [є, r[, а значит R можно выбрать таким образом, чтобы правые части неравенств (5) и (9) обратились в максимум.

Значение R , максимизирующее эти величины, выбирается неоднозначно. Его выбор зависит, в частности, от вида функции х). Так, если правая часть неравенства (5) или (9) является возрастающей или убывающей функцией r , то следует принять соответственно R = r или R = е. Для выяснения характера такой зависимости желательно иметь ее в явном виде, что далеко не всегда возможно. В качестве примера рассмотрим квадратичную функцию 0>(х) вида р{х) = ^х, х), где матрица W является положительно-определенной n х n матрицей. Подставим 0>(х) в правую часть соотношения (5). Учтем при этом, что точки экстремумов ф{х) на сфере радиуса r в этом случае имеют вид = ±JiR,

а безусловный минимум ^(х) достигается в точке у * = 0 и равен нулю. Тогда правая часть выражения (5) примет следующий вид:

*

х

(WRl,,Rlt) R

• rW , h),

х

(10)

где lt — собственный вектор матрицы W , соответствующий точке минимума р{х) на сфере, а х* є Е — ближайшая к у* = 0 точка множества Е. Зависимость оценки от R здесь возрастающая, так что можно принять R = r -є. Зададим конкретное

Полученные оценки минимума выпуклых функций с ограниченным множеством точек экстремума могут быть использованы при реализации различных методов оптимизации на евклидовых комбинаторных множествах.

Литература: 1. Стоян Ю.Г. Некоторые свойства специальных комбинаторных множеств. X., 1980. 22с. (Препринт АН УССР/Ин-т пробл. машиностроения; 85). 2. ЕмеличевВ.А., КовалевМ.М., КравцовМ.К Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981. 344с. 3. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 4. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В., Емец О.А. Комбинаторные множества размещений и их свойства. X., 1990. 38с. (Препринт АН УССР\Ин-т пробл. машиностроения; 342). 5. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников // ЖВМ и МФ. 1994. Т.34, №7. С. 1112-1119. 6. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В., Емец

О.А., Валуйская О.А. Построение выпуклых продолжений для функций, заданных на гиперсфере // Кибернетика и системный анализ. 1998, №2. С.27-36. 7. Яковлев С.В., Гребенник И.В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах / / Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С.74-86. 8. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике / / ДАН УССР, Сер .А. 1988. №5. С.68-70. 9. Стоян Ю.Г, Яковлев С.В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике // ДАН УССР, Сер.А. 1988. №3. С.238-240. 10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552с. 11. Розен-фельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648с.

Поступила в редколлегию 03.04.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Новожилова М.В.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ. Научные интересы: комбинаторная оптимизация, вычислительные методы, математическое моделирование. Увлечение: волейбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

114

РИ, 2001, № 2