Оценки минимума функций в задачах условной оптимизации на евклидовых комбинаторных множествах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85

ОЦЕНКИ МИНИМУМА ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ЕВКЛИДОВЫХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВАХ

ГРЕБЕННИК И.В., ЛАПКО Д.А.___________

Исследуются задачи оптимизации функций на евклидовых комбинаторных множествах, отображенных в пространство R n , при наличии дополнительных ограничений. Предлагается способ формирования оценок минимума функции цели на основе решения вспомогательных задач. Приводятся примеры, обсуждаются результаты вычислительных экспериментов.

Введение. Многие задачи геометрического проектирования, управления и др. описываются комбинаторными оптимизационными моделями [1-3]. Решению задач комбинаторной оптимизации посвящены многие публикации [3-8].

Один из распространенных подходов к решению таких задач связан с использованием различных схем ветвления с оценками [3-4]. Однако в большинстве случаев эти подходы применялись в задачах без дополнительных ограничений на переменные.

Высокая вычислительная сложность методов комбинаторной оптимизации, различие комбинаторных свойств множеств, составляющих области допустимых решений, являются причинами отсутствия единого подхода к решению задач комбинаторной оптимизации. В связи с этим актуальной является проблема разработки методов оптимизации различных классов функций на комбинаторных множествах.

Целью настоящей работы является построение и исследование оценок минимума функций на различных комбинаторных множествах с дополнительными ограничениями на переменные и применение этих оценок в задачах комбинаторной оптимизации.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу условной оптимизации следующего вида:

<p(x) ^ min, (1)

gi(x) < °, i є Js, (2)

hj(x) = 0, j є Jt, (3)

x є E c Rn , (4)

где Jr = {1,2,...,r} — множество индексов; E є Rn — евклидово комбинаторное множество [1], порождённое действительными числами ai < a2 <... < as. Эле-

n

ментами множества E являются векторы x є R , координаты которых принимают значения упорядоченных наборов из {ai,a2,...,as} . При этом элементы множества E отличаются между собой как значени-РИ, 2003, № 4

ями своих координат, так и порядком их следования. Примерами евклидовых комбинаторных множеств служат множества перестановок, размещений с повторениями и без, сочетаний и др. Евклидовы комбинаторные множества являются вершинами (а в ряде случаев и внутренними точками) комбинаторных многогранников. Исследованию этих множеств и задач оптимизации на них посвящены многие работы, например [2-4].

Сложность задачи оптимизации (1)-(4) и отсутствие эффективных методов её решения приводят к необходимости дальнейших исследований её свойств. Для разработки подходов к решению этой задачи попытаемся получить оценки минимума функции ф(х) на множестве e с учётом ограничений (2)-(3). С этой целью рассмотрим некоторые случаи задачи (1)-(4).

Задача 1.

n

jxj ^ min, (5)

і=1

Cx < d , (6)

n x є E c R , (7)

где aj є R, і є Jn , С - [Су ]mxn — матрица, элементами которой являются действительные числа, d є Rn.

Решению задачи оптимизации линейной функции с линейными ограничениями на евклидовых комбинаторных множествах вида (5)-(7) посвящён ряд работ, в частности [5-8]. В результате применения предлагаемых в них методов покрытия , отсечения и других удаётся, часто за приемлемое время, получить точное решение задачи.

Результаты решения задачи 1 могут быть использованы при получении оценки минимума функции цели 9(x) в задаче (1)-(4).

Задача 2.

<p(x) ^ min , (8)

Cx<d , (9)

x є E с R , (10)

где 9(x) — действительная функция, заданная в точках евклидового комбинаторного множества

n

E є R , матрица C и вектор d определяются так же, как и в задаче 1.

Построим выпуклое продолжение 9(x) функции 9(x) на выпуклое замкнутое множество X з convE, где convE — выпуклая оболочка множества E . В некоторых случаях выпуклое продолжение может быть построено с сохранением выражения <p(x). В то же время для некоторых классов евклидовых комбинаторных множеств удаётся построить выпуклое (сильно выпуклое с параметром р > 0 ) продолжение X з convE на множество для произ-

61

вольных ф(х) . В работе [9] доказывается существование такого продолжения для множеств E, совпадающих с вершинами своей выпуклой оболочки, т.е. удовлетворяющих условию

E = vertconvE . (11)

Условию (11) удовлетворяют евклидовы комбинаторные множества перестановок, сочетаний, размещений без повторений из n элементов по n-1, размещений с повторениями из 2 элементов по n и др. Евклидовы множества размещений с повторениями и без повторений произвольного вида путём декомпозиции могут быть разбиты на множества, удовлетворяющие условию (11). Конструктивные методы для построения выпуклых и сильно выпуклых продолжений функций, заданных на классах множеств, удовлетворяющих условию (11), приводятся в работах [4,10,11].

В результате построения выпуклого (сильно выпуклого с параметром р > 0) продолжения ф(х) в точках множества e выполняется условие ф(х) = ф(х) Vx є E . Перейдём от задачи (8)-(10) к эквивалентной ей задаче оптимизации:

ф(х) ^ min , (12)

Cx < d , (13)

n х є E c R . (14)

Оценим минимум выпуклой (сильно выпуклой с параметром р > 0) на X з convE функции ф(х) на множестве

P = {х|х є E с Rn, Сх < d} . (15)

Для этого используем оценки минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах без дополнительных ограничений на переменные, полученные в работах [3,4,12,13].

Исследования этих оценок в целях повышения их эффективности проведены в [14].

Приведём выражения для оценок, исследованных в указанных работах. Учтём при этом, что из соотношения (15) следует включение conv P с conv E с X .

Пусть ф(х) — функция цели задачи (8)-(10), а ф(х) - её выпуклое дифференцируемое продолжение на выпуклое замкнутое множество X з convE . Тогда для любого х є X

min ф(у) >ф(х) - (Уф(х),х) + тіп(Уф(х),у). (16)

yeE yeE

Если ф(х) — сильно выпуклое с параметром р > 0 продолжение функции ф(х) на выпуклое замкнутое множество X з convE , то

_ 0 0 2 minф(у) >ф(у ) +р-min|| y-y || . (17)

yeE yeE

В случае, если ф(х) — сильно выпуклое с параметром р > 0 дифференцируемое продолжение ф(х) на X з convE , то

_ 1 2

minф(у) >ф(х)- —1| Уф(х)|| +

yeE 4р

1 2

+ р-min||y-х+—УфСх)! . (18)

yeE 2р 4 '

Для получения числовых значений оценок (16)-(18) необходимо в их правых частях решить задачи об отыскании минимума линейной функции вида l(y) = (Уф(х), у) и квадратичной функции вида g(y) =|| у - C ||2, C є Rn , на множестве E .

Решение таких задач на различных множествах E без дополнительных ограничений на переменные проводилось в [3,4,12].

В рассматриваемом случае необходимо получить оценки минимума ф(х) при наличии дополнительных линейных ограничений на переменные, т.е. на множестве p вида (15). Тогда оценки (16)-(18) примут следующий вид:

min ф(у) > ф(х) - (Уф(х), х) + min(Vф(x), у), (19)

yeP yeP

_ 0 0 2 min ф(у) >ф(у ) +р-min || у - у || , (20)

yeP yeP

_ 1 2

minф(у) >ф(х) - —1| Уф(х)|| + yeP 4р

12

+ Р- min||y - х +—Уф(х)У . (21)

yeP 2р 4 '

Задача об определении минимума (Уф(х),у) на множестве р в соотношении (19), очевидно, представляет собой задачу оптимизации вида (5)-(7). Решая её одним из методов, предложенных в работах [5-8], можно получить числовое значение оценки (19) и, следовательно, оценить минимум функции цели задачи 2 с учётом линейных ограничений на переменные.

Задачи оптимизации в правых частях соотношений (20) и (21) связаны с2 определением минимума функции g(y) =|| у - C || на множестве P . Решение таких задач является более сложным, чем определение минимума линейной функции на р , и должно проводиться с учётом особенностей конкретных множеств E . Для определения минимума функции g(y) =|| у - C || на множестве р или хотя бы его оценки можно использовать результаты решения такой задачи на множествах e , приведенные в [4,12,13]. Опишем решение этой задачи для случая, когда E представляет собой евклидово комбинаторное множество Enk перестановок из n элементов, k из которых различны, порождённое числами a1 < a2 <... < as . Согласно [12], на множестве Enk

62

РИ, 2003, № 4

2

g(y) =!ly - C|| =

n 2 n n2n2n2 n = EУі - 21СіУі + ECi = Ea; + ECi - 2E СіУі; і=1 і=1 і=1 і=1 і=1 і=1

С є R

n 2 n 2 n

Тогда ming(y) = min(Еаі +ЕСі -2ЕСіУі) =

уєР уєР і=1 і=1 і=1

n 2 n 2 n

= Еаі +ЕСі + rnin(-2ЕСіУі). (22)

і=1 і =1 УєР і=1

Задача оптимизации в правой части (22) представляет собой задачу оптимизации линейной функции

на Enk с линейными ограничениями, т. е. задачу вида (5)-(7). Её решение в правых частях соотношений (20) и (21) при С = у 0 и С = x н—— Уф(х)

2Р

соответственно позволяет получить оценки минимума функции цели задачи 2.

Отметим, что подобный подход к получению значений оценок (20) и (21) можно применить и в

случае, когда минимум функции g(y) =|| у - С ||

удаётся лишь оценить. Так, для комбинаторных

k

множеств размещений En можно построить оценку

k

минимума g(y) на En [4]. Такая оценка сводится

к определению минимума линейной функции на

k

множестве En . Оценку g(y) на множестве р для

nk

множества размещений E в этом случае можно получить путём решения задачи вида (5)-(7). Поскольку минимум g(y) на р будет только оценен, а не определён точно, то соответствующие оценки

минимума ф(х) вида (20) и (21) будут более слабыми.

Рассмотрим возможность усилить оценки минимума функции цели задачи (8)-(10). Применим для этого подход, изложенный в [14]. Введём обозначения для правых частей оценок (19)-(21):

Є1 (х) = ф(х) - (Уф(х), х) + тіи(Уф(х), у),

уєР

(23)

минимума функции снизу, то естественно стремиться к получению возможно более точных, а значит, возможно больших по величине оценок. Используя введенные обозначения (23)-(25), рассмотрим следующие задачи оптимизации [ 14]:

Є1(х) ^ шах, х є X, (26)

Є2(р) ^ шах, р>р0 , (27)

ез(х,р) ^шах, х єX, р>р0 . (28)

Сложность зависимостей в поставленных задачах на позволяет получить их решения аналитически. Однако их можно решить численно с использованием известных методов недифференцируемой оптимизации. Результатом их решения станут эффективные в смысле выбора х и р значения оценок минимума функций цели в задачах типа (8)-(10).

Отметим, что получение эффективных в указанном смысле оценок представляет собой трудоёмкую в вычислительном отношении задачу. Каждый шаг любого из численных методов решения задач (26)-(28), связанный с вычислением выражений (23)-(25) в новой точке х или с новым значением р ,

требует решения задачи оптимизации функции вида l(y) = (Уф(х),у) или g(y) =|| у - С || на множестве Р . Это обстоятельство делает возможным вычисление эффективных оценок минимума функции цели в задаче (8)-(10) только на верхних уровнях дерева решений или при сравнительно небольшой размерности задачи.

Проиллюстрируем изложенный выше подход к построению оценок минимума в задачах условной оптимизации на евклидовых комбинаторных множествах результатами вычислительных экспериментов.

Рассмотрим задачу оптимизации квадратичной функции вида ф(х) = (С1х,х) + Вх ^шш , где

"10 2 3 4

С1 = 2 30 4.5 5

3 4 6 7

4 5 7 20

_ 0 0 2

Є2(х) = ф(у ) +р-min || у - у || , (24)

уєР

_ 1 2 e3(x) = ф(х) - —1| Уф(х)|| + 4р

1 2

+ р-min || у - х + — V9(x)y

уєР 2р

(25)

Отметим, что оценки (19)-(21) справедливы для любого х є X з convE . Кроме того, конструктивные методы построения выпуклых продолжений функций, заданных на множестве e , на выпуклые замкнутые множества позволяют получить сильно выпуклые продолжения с заданным параметром р > 0 . Поскольку оценки (19)-(21) — это оценки

B =[ 100, -10, 1, 100], x принимает значения перестановок без повторений на множестве у ={1, 2, 3, 4}, при ограничениях вида С2х < d, где

" 1 1 2 3"

2 1 -1 4

С2 = 1 - 5 1 5

1.2 3 - 3.6 1

0 0 1 0

1 0 0 0

d =[ 20 36 2.2 60 3 3 ].

В результате полного перебора были найдены следующие допустимые значения х:

РИ, 2003, № 4

63

Допустимые вершины Значение целевой функции

3 4 2 1 1220

2 4 3 1 1125

3 4 1 2 1373

1 4 3 2 1203

2 4 1 3 1455

1 4 2 3 1380

Приведём значения оценок ej и е3 для различных значений точки х0, в которой рассчитывались оценки:

х0 Оценка е^ Оценка Є3

2 4 3 1 1117 1122.41

3 1 2 4 762 816

Допустимые точки

2 3 1 2 1069 1085

1 3 1 2 1051 1070

2 4 1 3 1073 1094

Недопустимые точки

4 3 1 2 1045 1072.57

1 1 1 1 746.5 784.40

4 4 4 4 799 836.9

1 4 4 1 1117 1122.41

Ниже приведены результаты расчёта оценки Є2 для различных значений параметра р :

Р е2(Р)

1 -138.43

10 30.14

100 264.65

1000 334.57

10000 343.23

100000 344.08

Выводы

1. Эксперименты подтверждают, что значения оценок существенным образом зависят от выбора точки хо , но требуют значительных затрат машинного времени

2. Использование этих оценок без оптимизации по хо возможно в методах типа ветвей и границ, а с оптимизацией—для однократной оценки приближенного решения, полученного другим методом, из-за высоких вычислительных затрат на получение оптимизированной оценки.

3. Результаты экспериментов соответствуют теории в том, что точка хо , в которой вычисляется оценка, может быть недопустимой в смысле линейных ограничений задачи, т.е. может и не принадлежать области P.

Литература: І.Стоян Ю.Г. Некоторые свойства специальных комбинаторных множеств. X., 1980. 22с. (Препринт АН УССР/Ин-т пробл. машиностроения, 85). 2. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268с. 3. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: ІСДО, 1993. 188 с. 4. Яковлев С.В., Гребенник И.В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах // Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С.74-86. 5.Яковлев С.В., Валуйская О.А. О минимизации линейной функции на вершинах перестановочного многогранника с учётом линейных ограничений // Доп. НАНУ. 1999, №11. С. 103-107. 6. Гребенник И.В. Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №1. С. 55-59. 7. Гребенник И.В. Оптимизация линейной функции на перестановочном многограннике с линейными ограничениями //В кн. Материалы 6-й международной конференции «Теория и техника передачи, приёма и обработки информации». X., 2000. С. 257-259. 8. Ємець О.О., Ємець Є.М. Відсікання в лінійних частково комбінаторних задачах евклідової оптимізації // Доповіді НАН України. 2000. №9. С. 105-109. 9. Яковлев С.В. Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников //ЖВМ и МФ. 1994. Т.34, №7. С.1112-1119. 10. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В., Емец О.А.. Валуйская О.А. Построение выпуклых продолжений для функций, заданных на гиперсфере // Кибернетика и системный анализ. 1998. №2. С.27-36. 11.СтоянЮ.Г., Яковлев С.В. Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике// ДАН УССР, Сер А. 1988. №5. С.68-70. 12. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике // ДАН УССР, Сер. А. 1988. №3. С.238-240. 13. Емец О.А. Множество сочетаний с повторениями, отображенное в Rk , и свойства задач оптимизации на нём // ДАН УССР. 1991. № 4. С.69-72. 14. Гребенник И.В., Лапко ДА. Исследование оценок минимума выпуклых продолжений функций, заданных на евклидовых комбинаторных множествах // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №1. С. 109-113.

Поступила в редколлегию 29.05.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Новожилова М.В.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: комбинаторная оптимизация, вычислительные методы, математическое моделирование. Увлечение: волейбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

Лапко Дмитрий Александрович, студент 5-го курса ХНУРЭ. Научные интересы: комбинаторная оптимизация, вычислительные методы, математическое моделирование. Увлечение: классическая гитара. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

64

РИ, 2003, № 4