Декомпозиция множества допустимых решений и экстремальные свойства целевых функций в задачах оптимизации с булевыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.85

ДЕКОМПОЗИЦИЯ МНОЖЕСТВА ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ С БУЛЕВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

ГРЕБЕННИК И.В.

Рассматривается задача оптимизации на множестве булевых переменных в евклидовом пространстве. Исследуется выпуклая оболочка множества допустимых решений, проводится его декомпозиция, в основе которой лежит понятие смежности. Строится семейство параллельных гиперплоскостей, содержащих подмножества множества допустимых решений задачи оптимизации. На этих подмножествах формулируются экстремальные свойства функций цели.

Рассмотрим задачу дискретной оптимизации следующего вида:

i^(x) ^ min, (1)

x є B— c Rk; B— = \^x1 є {0,l},i є J—, J— = k}.

Отметим, что множество Bk , его свойства и некоторые задачи оптимизации на множестве Bk исследованы в [1,2].

Осуществим выпуклое (сильно выпуклое с параметром р> 0) дифференцируемое продолжение ф функции cp(x) на выпуклое замкнутое множество X 3 Q— = conv Bk которое может быть получено, например, способом, описанным в [2]. Учтем, что точки множества Вк и только они удовлетворяют системе

0 < Xi < l, і є Jk,

k

Ё (xi I i=1

{>2

k

4

Тогда задаче (1) можно поставить в соответствие эквивалентную задачу оптимизации:

>k IIx- с||2 = — ,0 < xi < l, і є J—

4 i k

p{x) ^ min, x є R

k,

c = (

l I

2’■"’2

) є R

k

(2)

Для разработки подходов к решению задач (1), (2) исследуем некоторые их свойства.

Пусть X0 = (Xj0, x0 ,■■■, x—0) Є Bk, а x1,x2,...xk єBk

являются вершинами многогранника Q— , смежны-

02

ми с x .

Многогранник Q— - выпуклая оболочка множества 2k

Bk - представляет собой куб в Rk , описываемый системой неравенств [3]:

0 < xt < 1, і є Jk . (3)

РИ, 2001, № 3

Справедлива теорема—критерий вершины многогранника .

Теорема 1. Вершинами многогранника q— являются точки x = (xj,x—,...x—}, xi є {0Д}, і є J—, и только они.

Доказательство. Необходимость. Рассмотрим описание многогранника Q— в следующем виде [4]. Пусть

x = x0 +aa • ta (4)

— векторное уравнение, в котором aa ■ ta задает линейную комбинацию единичных базисных векторов ej,e2, Уek пространства Rk с числовыми параметрами t ,t2,...tk . Если в векторном уравнении (4) придавать всем параметрам ta только значения 0 < ta < 1, а x0 є Rk задать в виде x0 = (0,0,... ,0), то получим k - параллелепипед с вершинами

x0, x0 + ej, x0 + ej + e—, ...,x0 + ej +... + ek .

Иначе говоря, получим многогранник q| , описываемый системой (3). Как следует из [4], придавая всем числовым параметрам ta только значения 0 или 1, получим вершины (0-грани) параллелепипеда Q— . Поскольку x0 = (0,0,... ,0), а координаты базисных векторов ej є {0Д} и ta є {0Д}, то координаты любой вершины x, полученной таким образом, также примут значения из множества {0Д}.

Достаточность. Пусть x є Rk, xt є {0Д}, і є Jk .Такая точка x удовлетворяет уравнению (4), в котором x0 = (0,0,... ,0), а параметры t1 задаются следующим образом: tl = j, если xt = j, и t1 = 0 , если x1 = 0. Но тогда x представляет собой вершину параллелепипеда Q— , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вершины x1 и x2 многогранника Q— являются смежными тогда и только тогда, когда они различаются между собой значениями только одной координаты.

Доказательство. Достаточность. Рассмотрим уравнение (4). Как следует из [4], ребро (1-грань) параллелепипеда получают, придавая одному из параметров t1 все значения 0 < t1 <! и фиксируя значения остальных параметров tJ (j ф і) как tJ = j или tJ = 0 . Выберем произвольную вершину xj многогранника Q— . Она удовлетворяет уравнению (4) при фиксированном наборе значений параметров tj, t2, ...tk . Зададим произвольно і є J— и, оставив неизменными все значения параметров tJ , J ф і, будем изменять t1. При этом, если t1 = 0 , изменим его значение от 0 до 1; если t1 =!, то изменим его от 1 до 0. В результате этого изменения согласно теореме 1 будет получена новая вершина

93

2 2 1 x . По построению x отличается от x значением

только одной координаты xi . С другой стороны, х1 и x 2 лежат на концах одного ребра параллелепипеда. Следовательно, x1 и x2 - смежные вершины.

12

Необходимость. Пусть x и x - смежные вершины параллелепипеда q| . Значит, они лежат на концах одного ребра Qk . Каждое ребро q2 получается при фиксированном наборе параметров t1,t2,...tk путем изменения одного из них от 0 до 1. Отсюда следует, что x1 и x 2 отличаются значениями только одной координаты.

Следствие 2. Каждая вершина x eQ^ имеет к смежных с ней вершин.

Построим гиперплоскость в Rk , проходящую через

1 к 0

точки x ,...,x и отделяющую x от точек множества Вк . Для этого докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Уравнение гиперплоскости a, проходящей через вершины многогранника Q2, смежные с вершиной x0 = (x0, x0,..., x0) є Bk , имеет следующий вид:

c1 x1 + c2 x2 + ... + ckxk + dk = 0 (5)

где

ci

1, если х0 = 1,

0 , iЄ Jk

-1, если х0 = 0, ,

(6)

dk получается с помощью подстановки в (5) произвольной вершины q2 , смежной с x0 .

Доказательство проведем по индукции. Проверим истинность утверждения для случая к = 2 . При этом вершинами q2 будут точки (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Принимая за x каждую из этих точек поочередно, убеждаемся, что уравнение гиперплоскости, проходящей через смежные вершины многогранника, удовлетворяет утверждению теоремы. Например, при x0 = (0,0) смежными вершинами будут x1 = (1,0), x2 = (0,1). Уравнение плоскости в R 2 , проходящей через них, будет -x1 - x2 +1 = 0 .

Пусть теперь утверждение теоремы истинно при к = п . Покажем его справедливость для к = п +1.

Пусть x0 = (x{\ x 0,... xj°), а смежные вершины xl принадлежат множеству X и имеют вид:

x1 = (x° , x20,.. •, x°„)

x2 = (xl x2,.. ., x0)

O^H II R * x20,.. •, x°„)

Здесь с помощью верхней черты обозначено

t =

1, если t = 0 , 0, если t = 1 .

Рассмотрим точку у0 є Вп+1 с координатами у0 = (x0, x°,..., x0,уП+1). При этом возможны два случая. В первом у°п+х = 0 , во втором — у°п+у = 1. Вершины Qn+1, смежные с у0 , принадлежат множеству Y и имеют вид:

1 ,-0 0 0 0 ч

у = (x1 , x2,..., xn,уп+1).,

у2 = (x0, x0,..., xn,у°+1).,

уп = (x10, x2 ;...; уП+1). ,

уп+1 = (x0, xl,..., xlуп0+1).

Покажем, что точки множества y удовлетворяют уравнению гиперплоскости а вида

С1 у1 + c2у2 + • • • + сп+1 уп+1 + бп+1 = 0 ,

где коэффициенты c1,... cn совпадают с коэффициентами в (5):

_ J 1, если у°+1 = 1,

Сn+1 І і 0 «.

I - 1, если уп+1 = 0 .

Для этого покажем вначале, что

c1 x° + c 2 x° +... + СnX^0 + бп = 1, (7)

где с^ удовлетворяют (6).

Действительно, x0 отличается от любой смежной

l

вершины x значением только одной координаты xi. Поскольку точка xl лежит в плоскости а, то c1x1l + c2x2 +... + cnxln + бп = 0. Если в векторе xl координата xt = 0 , то xl = 1. По построению плоскости а в этом случае ci = 1. Значит сумма (7) отличается от суммы (6) только слагаемым ctxt: в выражении (6) ctxt = 0 , а в (7) cxl = 1. Если же в векторе xl координата xt = 1, то xl = 0 . Но тогда ct =-1, ctxt =-1, а cх0 = 0 . А так как суммы (6) и (7) различаются в одном слагаемом

п п 0

ctxi, а £cixi + бп = 0 , то £cixi + бп =1. В силу

i=1 i=1

того, что точка x0 и смежная с ней вершина xl выбраны произвольным образом, тождество (7) доказано.

Рассмотрим теперь точку у0 . Подставляя вершины Q2?+1, смежные с ней, в уравнение плоскости а в пространстве R^1, получаем:

1) Для вершин у1, у 2,..., уп

(c1 x1 + c2x2 +... + cnxln + бп ) _ бп + cn+1 уп0+1 + бп+1 =

= cn+1 уп+1 + бп+1 ~ бп .

94

РИ, 2001, № 3

В случае, если у)п+х = 1, то по утверждению теоремы сп+1 = 1 .

Тогда для выполнения условия

сп+1уп+1 + dn+1 _ dn ~ 0

положим dn+1 = dn -1.

Если у00+1 = о , то по построению сп+1 =-1. Тогда dn+1 = dn .

2) Для вершины уп+1

(с1 + с2х<0 +... + спх'° + dn ) _ dn + сп+1 у0+1 + dn+1 =

-0

= 1 - dn + dn+1 + сп+1 уп+1 •

В случае у0+1 = 1, учитывая, что dп+1 = dn -1,

ИЖЄЄМ 1 -dn + dn+1 + сп+1 уп+1 = 1 _dn + dn ~1 = 0 ,

т.е. уп+1 удовлетворяет уравнению плоскости при у0+1 = 1. Если же у0+х = 0 , то так как dn+1 = dn и сп+1 =—1, имеем

1 - <1п + dn+1 - сп+1 уп+1 =

— 1— dn + dn ~ 1= 0 ,

т.е. уп+1 удовлетворяет уравнению плоскости а и при у0+1 = 0 . Таким образом, уравнение плоскости а, проходящей через вершины g°+1, смежные с произвольной вершиной у Є вп+1 , имеет вид (5).

Теорема 2 доказана.

12

Определение. Две точки x и x є Bk назовем п — смежными, если они различаются значениями точно п своих координат.

Из определения следует, что если точки X1 и

X.2 є Bk являются п-смежными, то

k 1 2

. Кроме того, легко показать, что

12 Е xi - xi

i=1

для точки

Є Bk имеется ровно ( )

смежных вершин многогранника g| (п < k). Действительно, точек Xі, п -смежных с точкой

x0, можно найти ровно столько, сколько способов выбрать наборов по п из k. А таких

. Множество

способов всего N = (k ) ~

k!

n!(k - п)!

вершин многогранника gf , п — смежных с верши-0

ной x0 , обозначим Х^п[х0]. Таких множеств 0), ]

X- , обоз^ачим X ' '\х

X ), как следует из определения п -смежности, всего k .

0

п

X

Рассмотрим точку X0 є Bk . Проведем гиперплоскости a(i) через множества вершин многогранника g| , i — смежных с X 0 , i Є Jk .

Теорема 3. Уравнение гиперплоскости a(i), проходящей через вершины многогранника g|, i -смежные с

вершиной X0 = (x0, X0,..., X0) є Bk , имеет следующий вид:

с^1 + с2Xf +...+CkXk dk — 0, (8)

где с1 удовлетворяют условию (6), а d^ = dl + i -1, d! получается подстановкой в (8) произвольной вершины gk , 1-смежной с X0 .

Доказательство теоремы проведем по индукции. Справедливость утверждения для i = 1 (т.е. случая 1-смежных вершин) следует из доказанной выше теоремы 1.

Покажем теперь, что из справедливости теоремы для i = п < k следует ее справедливость для i = п +1.

Пусть X є X (п)(X0) — множество вершин g| , п -

r k Л

0

смежных с X , Хк ’ =

'W- Е X 2....XN}, N = (п).

Пусть для всех X є X(п) справедливо соотношение

с^1 + с2Xf +... + CkXk do — 0, (9)

где сі , i є Ik и d° удовлетворяют условиям теоремы 3. Рассмотрим множество X м X 0)= = {x1 , X2,..., Xм I M = (п+1), содержащее вершины gk , (п +1 -смежные с x0 . По определению п -

i (п) 0

смежности для всякой точки x є Х (x ) существует точка xj є X(п+1)(x0), которая отличается

0 i

от x значениями тех же координат, что и x , а, кроме того, еще одной координаты xt. Поскольку для xi е X(п)(x0) справедливо соотношение (9), то

^X1 + с2X2 +... + CtXl +... + CkXk + d]° — 0 . тт І V (п+1) ( 0^ 0

Но xJ є Xv y\x J отличается от x значениями тех же координат, что и xi є X(п), за исключением xt. Тогда с1 x1 + с2x2 +... + Ctxj +... + Ckxk ьdk = k . ,

= Е clxll + d° ^t^t - сА = сі(xt - xt).

l=1

В случае, если x0 = 1, а значит и xlt = 1, так как по значению t -й координаты xi и x0 совпадают, то сі = 1 и xj = 0 . Если же xt = xi = 0, то сі =-1 и xj = 1. Тогда сх (xj - xi) = -1. Следовательно,

Е с^і + dk = -Е

i=1

k k.

Е ^xj + d^ +1 =Е сX + dkn+1 = 0.

i=1 i=1

А это значит, что точка xJ є X(п+1) (x0) є Bk лежит

на плоскости a(n+1), описываемой уравнением

k

Е <:lxi + dk = 0 . В силу произвольности выбора

l=1

І ту (п+1)/ 0\ ^

x е X (x ) утверждение теоремы 3 доказано.

РИ, 2001, № 3

95

Рассмотрим теперь некоторые экстремальные соотношения для функций, заданных на множестве вершин Qk , n -смежных с вершиной х0 :

X(n)(х0) = Bk na(l).

Рассмотрим класс функций вида

к

f (х) = X CiXi

i=1

(10)

Определим минимум функции Дх) на множестве X(п)(х0).Введем обозначения: I = {ц,ik,--,ip }сIk

- множество индексов таких, что х0 = о и cis < 0 ,

1s 0 ,

а также таких, что Xis -1 и

CiS > 0, S Є Jp . J = [/1, j2,..., jq\c Jk — множество

индексов таких, что х0 = 0 и c /S > 0, и таких, 0 JS JS

что хJS = 1 и C/S < 0, s є Jq . Пусть, кроме того,

множества I и J таковы, что

Ы < Ы ^ ^ Ы ,

J1

> C/2 > ... >

Jq

Очевидно, I u J = Jk,I n J = 0, p + q = к .

Лемма 1. Минимум функции f(^ вида (6) на множестве х(П{х0] достигается в точке

х* = (хь х*,..., х*)с X(n)(х0)

такой что

хт1

х°,, l = 1,2,..., к -n; 1 - х°,, l = к - n +1,.

ml

1 є Jk к;

а последовательность {тьm2,...,m^определяется как

jl, I = 1,2,...,q; il_q, l = q +1,...,k;.

Доказательство проведем по индукции. Покажем вначале справедливость утверждения для множества Х^Цх0] при i = 1. Рассмотрим точку х * є X <0(х °), такую что

*

хтк

хи , l = 1,2,...

mL’ ’ ’

1 - х° , l = k.

mL

k -1;

Пусть у є 0], у Ф х* , yі = х0 , i є Jk , і Ф i1 ,

УІ1 = 1 - х11 , i1 ф mk . Покажем, что минимум функции Ах) вида (10) достигается в точке х*. Рассмотрим разность

f (х*) - f (У) = cmk (х*k - ymk ) + Ci1 (х*1 - Уі1 ) . (11)

Пусть I ^0 . Тогда mk є I и имеет место

хmk 1, Cmk ^ 0, ymk 1 хmk 0 , иёи X:mk ~ 0, cmk — 0, ymk ~ 1 _ хmk ~ 1.

Подставляя эти значения в первое слагаемое, получаем cmk (Xmk ~ ymk ) _ _ICmk I ^ 0 .

Отметим, что по построению множества I и последовательности {mb m2,..., m^: VmA = max Cl.

ieI

Рассматривая второе слагаемое правой части (11), имеем 2 случая:

1) І1 є I. Это значит, что

хі1 = 0 Ci1 < 0 Уі1 = 1 - хі1 = 1, или х* = 1, ci1 > 0, yi1 = 1 - х* = 0 .

Тогда Ci1 (х* - Уі1 ) = k I.

* *

2) І1 є J . В этом случае х^ = 1, c^ < 0, y^ = 1 - х^ = 0 , или х* = 0, ci1 > 0, Уі1 =1 - х* = 1,

сі

1

В обоих случаях f (х*) - f (y) < 0 .

Пусть теперь I = 0 . Тогда mk є J, ц є J,

xmk ~ 1, Cmk — 0, ymk ~ 0 ,

иёи xmk ~ 0, Cmk ^ 0, ymk ~ 1.

Первое слагаемое правой части (11) равно

* I I

Cmk (X:mk ~ ymk ) _ jCmkj .

В этом случае по построению множества J и последовательности {m1,m2,. .,m^:

\Cmk\ = min |C^ .

i&J

*

Так как і є J , то х„ = 0, Ct > 0,yi = 1, или * 1

хі1 = 1> Ci1 < 0, Уі1 = 0 .

Второе слагаемое правой части (7) при этом равно

Ci1(х*1 -Уі1) = -|C4\.

Тогда f (х*) - f (y) = |Cmk | - Ц | ^ 0 .

Приведенные рассуждения доказывают лемму 2 для случая i=1.

Покажем теперь, что из истинности утверждения для і = n < k следует его справедливость для і = n +1.

Пусть минимум функции f(x) вида (10) на множестве X (n)(х0) достигается в точке х*, такой что

х° , l = 1,2,..., k - n,

ml

1 - х° , l = k - n +1,..., k, ml

*

х — < ^ml

Ijl, l = 1,2,...,q, ml = і

[il-q, I = q + p..^k.

Так как функция f{y) вида (10) является сепарабельной, то поиск ее минимума на множестве X(п)(х0) заключается в выборе n коэффициентов Ct и изменении значений соответствующих n координат точки х 0 таким образом, чтобы f{y)

РИ, 2001, № 3

96

достигла минимума. По сравнению с поиском минимума ffy на множестве X (n)(x0) поиск ее минимума на множестве X (n+1)(x0) предполагает выбор еще одного коэффициента ci и изменение значения соответствующей координаты точки x 0 . Так как по предположению n координат точки x0 уже изменены, необходимо выбрать и изменить n +1 координату. Для этого рассмотрим множества / и j , которые определим следующим образом: I с I — множество индексов из I, соответствующие значения координат которых не изменены при изменении n значений координат точки x0 . J с J — аналогичное подмножество индексов из j . Тогда соответствующие соотношения для коэффициентов ct имеют вид:

ы ^ ы - ••• -

С71 * с72 * ••• *

p = card I = ^/'i ,•• •,

, q = cardJ = jjb-,j_

c

c

Далее задача становится аналогичной рассмотренной в первой части леммы 1. Необходимо выбрать один коэффициент ct и изменить значение соответствующей координаты.

Приводя рассуждения, сходные с приведенными в первой части леммы 1, получаем, что необходимо изменить значение координаты с индексом /р в

случае, если I ^0 , и координаты с индексом /-, — q если I = 0. Но из этого следует, что минимум

функции ffy вида (10) на множестве X(n+1)(x0)

достигается в точке x* с координатами:

x° , l = L2V„,k -n -1,

ml

1 - x0 , l = k - n,_,k,

k mP

где последовательность {mbm2,--,m^ такова, что

\jl, l = 1,2,•••,q, mi = і

[/l—q, I = q +1,•••,k

*

x — <

ml

Проведенные рассуждения доказывают лемму.

Замечание 1. Рассматривая задачу отыскания максимума f(x) вида (10) на множестве X (n)(x0), аналогичным образом можно доказать следующее утверждение.

Максимум функции f(x) вида (10) на множестве достигается в точке x*= (x*,x*,-,x*)є X(n)(x0), такой что

x

Sl

1 - x

0

Sl

l = 1,2V„, k - n; , l = k - n +1,,

k;

а последовательность {S1, S2 ,•••, S^ определяется как

РИ, 2001, № 3

Sl =■

\il, l = 1,2,•••,p;

[jl-p, l = p+C-k; p = card I, q = card J, p + q = k •

Рассмотрим теперь функцию вида

g (x) = | |x - c|| 2, (12)

где c = (cbc2,^,ck) Є Rk , x є Rk .

Определим минимум функции g(x) вида (12) на множестве X (n)(x0).

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Минимум функции g(^ вида (12) на множестве X (n)(x0) достигается в точке

* ( * * *\ v(n)/ 0Ч

x = 0*1, x2v, xk Іє Xу \x ),

такой что xSl - '

x0 , l = 1,2V„,k -n;

Sl

1 -x0 , l = p +1,•••,k;

Sl

Sl =■

а последовательность {S1, S2,•••, S^ определяется как

p1, l = 1,2v,p;

\jl-p, l = p +C-k;. Доказательство:

2 k 2 k 2 k

||x - c\ = E xt +Ect - 2E ctxt .

/=1

i=1 i=1 i

Так как для всех x є Bk xi = xi,

2

min x -c :

xeX (n)( x0)

f k 2 k

= min iE ci - 2E (ci -

xeX(n)(x0) h=1 i=1

k2 ( k

= E ci + 2 min 1-Е (ci

i=1 xeX (n)( x0) 1 i=1

2

Очевидно,

arg min 1-Е(c/ -x)x/ \ =

xeX(n)(x0) I /=1 2

k1

= arg max E(c/ —) x/ •

xeX (n)( x0) /=1 2

В соответствии с леммой 1 и замечанием к ней указанные экстремумы достигаются в точке

x* є X(n) (x0), такой что

xSl =

x0 , l = 1,2V„,k - n;

Sl

1 - xS°i , l = p +1,•••,k;

а последовательность {S1,S2,•••,Sk} имеет вид:

\il, l = 1,2,•••,p;

Sl -•

I ji-p, l = p+C-k;.

97

1

1

Опираясь на доказанные леммы 1 и 2, исследуем некоторые экстремальные свойства функции p(x), р(х) на множествах X ^(x0), Bk .

Теорема 4. Пусть функция p(x) задана на множестве Вк , а р(х) — ее выпуклое дифференцируемое продолжение на выпуклое замкнутое множество X з Bk . Тогда Vx є X

min Р(У) > p(x) - (Vp(x),x) +

xe.X (n)( x0)

, V dP(x) У*

^ xm ,

i=l илШі

где

x =

Лml

x , l = 1,2,..., k - n;

ml

1 - x0 , l = к - n +1,...,к;

ml

(13)

последовательность \m\_m2,...,m^j определяется как (ji, I = ^T..^q,

ml ='

ц—q, l = q +1,...,k.

(14)

= 1

{j'i, j2,•••, jq) таковы,что x°s = 0 и CjS >0; x0S и cjs < 0 , S є J q ; {б ,І2,...,ip] таковы, что x% = 1 и

cls > 0; x° = 0 и CJS < 0 , S є Jp;

а также

dp( x) dp( x) dp( x)

dxu dxlr. dxl

lp

dp( x) dp( x) dp( x)

dx dx.,. dx.

j1 j2 q

(15)

(16)

Доказательство. Воспользуемся теоремой, доказанной в [1] для произвольного дискретного множества E с Rk . В соответствии с ней для p(x), заданной на E с Rk , и для р = convp на выпуклом замкнутом множестве х з E , справедливо: Vx є X

min ф(У) ^ ф(x)- (Др(x), x) +

yeE

, ■ k др(x)

+ mln £ —---У і .

yeE і=1 dxi

Так как X^^(x0) — дискретное множество в Rk , X(n) (x0) c Bk с X c Rk, аX - выпуклое замкнутое множество, то

min ф(У) >ф(x) - (Ур(x), x) +

yeX (n)( x°)

, ■ k dp(x)

+ min У —---------yl.

yeX (n)( x0) l=1 dxi

X з Bk . Для того чтобы точка x = (x1, x2,..., xk ]є Bk была точкой минимума функции p(x) на множестве X (n)(x0), достаточно, чтобы

'Z^^-x* -(Vp(x),x) = 0

l=1 dxmi

где x* удовлетворяет (13), а последовательность \m1m2,...,mk) определяется с помощью соотношений (14) — (16).

Доказательство проведем на основании доказанной в [1] теоремы о том, что если р определена на дискретном множестве E с Rk , а р — ее выпуклое дифференцируемое продолжение на X з E , то для того, чтобы x є E была точкой минимума p(x) на e , достаточно, чтобы

k др(x)

min Z-^-Уі - (v^(x), x) = 0.

yeEt=1 dxi

Используя результат этой теоремы, а также лемму 1 о минимуме линейной функции на множестве X(n)(x0), приходим к справедливости утверждения теоремы 5.

Пусть теперь р(x) — сильно выпуклое с параметром р> 0 продолжение функции ср\ Bk ^ R1 на выпуклое замкнутое множество X з Bk . Обозначим

у* = wgmlnp(y).

yeX

(17)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть р(x) — сильно выпуклое с параметром р> 0 продолжение функции р: Bk ^ R1 на выпуклое замкнутое множество X з Bk . Тогда

min V(y) >P(y*) + p||x*_у *\\2

xeX(n)(x0) ,

где y* определяется соотношением (17), а x * определяется как

xs, =

x0 , l = 1,2,...,k - n; 1 - x0 , l = k - n +1,.

Sr

(18)

последовательность {S1S2,...,S^ имеет вид

\ч, l = 1,2,..x p;

Si — {

\ji_p, I = p + \..xk; .

последовательности \\)2,...,ip\, {дj2,...,jq\ тако

(19)

вы, что

Определив минимум в правой части последнего соотношения в соответствии с леммой 1, приходим * y1 < * Уі2 <... < * ylp ,

к справедливости утверждения теоремы 4. * ул > * ул >... > * y *1

Теорема 5. Пусть функция p(x) задана на множе- а также x0s II .-V ^ 0

стве Bk , а р(x) — ее выпуклое дифференцируемое = 0 и y js > 0;

продолжение на выпуклое замкнутое множество II

Js

98

РИ, 2001, № 3

x0 = 1 иу*is > 0; xl = 0 и у*is < 0, S = 1,2,...,p .

Доказательство следует из доказанной в [1] теоремы о том, что если <p(x) - сильно выпуклое с параметром р> 0 продолжение функции <р(х), заданной на дискретном множестве e , на выпуклое замкнутое множество х з E , то

її Ii2

min^(У) ^Р(У*) + Pmin||х - У * .

xsE xsE

її її 2

Определив с помощью леммы 2 минимум x - у * , докажем справедливость теоремы 6.

Опираясь на утверждения о свойствах выпуклых и сильно выпуклых функций на дискретных множествах, доказанные в [1], а также на леммы 1 и 2, можно доказать следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть (р(x) - сильно выпуклое с параметром р> 0 дифференцируемое продолжение функции (р: Bk ^ R1 на выпуклое замкнутое множество X з Bk . Тогда для любого x є X

1 2

min ф(у) ^ ф(x) Ыx)|| +

уєХ («)(x0)

где

+ P

у * -x +—Vp(x)

2p

2

^i

x0 , l = 1,2,...,k - n;

1 - x° , l = k - n +1,...,k;

Sr ’ ’ ’

(20)

последовательность {S), S2,..., S^ удовлетворяет (15), а ^'1,i2,...,ip } и |/1,j2,...,jq\ таковы, что

1 1

x„ -—Ур(x) 1 7р < xi ~—Ур(x) 2 7р

xi------V®( x)

lp 2p

1 1

x / ~ — ^р(x) 1 Lp > x/2 ~ — Ур(x) 2 Lp

xjq - x)

(21)

а также x° = 1 и x^ V^(x) > 0, x° = 0 и

iS

2p

iS

xiS -2-Vp(x) < 0, S = 1,2,...,p (22)

x0 = 0 и xjQ —— V®(x) > 0, x0 = 1 и

jS jS 2p * /S

xjv —— V®(x) <0, S = 1,2,...,q

JS 2p •

Теорема 8. Пусть cp: Bk ^ R1, ар(x) - ее сильно выпуклое с параметром р> 0 дифференцируемое продолжение на выпуклое замкнутое множество X з Bk . Для того чтобы

x* = (x*, x2,...,x*)є X(n)(x0)

была точкой минимума функции р (x) на множестве X(n)(x0), достаточно, чтобы

||V^(x*)||2 > 4р:

у * -x * +-Vp(x*)

2р

2

где у * удовлетворяет (20), а последовательность

К S 2,..., Skj из (20) — соотношениям (21) — (22) при

*

x = x .

Отметим, что утверждения теорем о свойствах функций на множествах вершин многогранника Qk , n -смежных с данной, могут быть использованы при реализации различных методов оптимизации. С их помощью можно получать оценки минимума функций на множествах X(n)

при работе различных алгоритмов, использующих схемы ветвления.

Литература: 1. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В., Гребенник ИВ. Экстремальные задачи на множестве размещений. X., 1991. 37с. (Препринт АН УССР/Ин-т пробл. машиностроения; 347). 2. Яковлев С.В., Гребенник И.В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах//Изв. вузов. Математика. 1991. №11. С.74-86. 3. Стоян Ю.Г., Гребенник И.В, Емец О.А. Комбинаторные множества размещений и их свойства. X., 199о. 38с. (Препринт АН УССР/Ин-т пробл. машиностроения; 342). 4. РозенфельдБ.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648с.

Поступила в редколлегию 14.03.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Новожилова М.В.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: дискретная оптимизация, вычислительные методы. Увлечение: волейбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел. 40-93-06.

РИ, 2001, № 3

99