Эффективный модуль упругости слоистого тела Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 621.01:621.81 Огар Петр Михайлович,

д. т. н., профессор кафедры «Машиноведение, механика и инженерная графика»,

Братский государственный университет, тел. 89025619756, e-mail: [email protected] Горохов Денис Борисович, к. т. н., доцент кафедры «Информатика и прикладная математика», Братский государственный университет, e-mail: [email protected] Кожевников Артем Сергеевич, аспирант, Братский государственный университет

ЭФФЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ УПРУГОСТИ СЛОИСТОГО ТЕЛА

P. M. Ogar, D. B. Gorokhov, A. S. Kozhevnikov

EFFECTIVE ELASTIC MODULUS OF A LAYERED BODY

Аннотация. Приведены результаты использования жесткостной модели слоистого упругого тела, нагруженного осе-симметричной распределенной нагрузкой, для определения его эффективного модуля упругости и эффективного коэффициента Пуассона в зависимости от упругих характеристик основного материала, материала покрытия и относительной толщины покрытия. Аналогичные результаты приведены для внедрения в слоистое тело сферического индентора. Относительная погрешность при сравнении полученных результатов не превышает 1 %. Приведены выражения для эффективного модуля упругости и коэффициента Пуассона слоистого тела с двухслойным покрытием. Представлены соответствующие графические зависимости. Определены контактные характеристики при внедрении жесткой сферы в слоистое упругое тело. Указаны примеры использования представленных результатов при контактировании жесткой шероховатой поверхности через слой покрытия при разных видах контакта.

Ключевые слова: топокомпозит, слоистое полупространство, слоистое упругое тело, эффективный модуль упругости, сферический индентор, контактные характеристики.

Abstract. The results of the using the stiffness model of a layered elastic body loaded by axisymmetric distributed load are given for determining its effective elastic modulus and effective Poisson ratio depending on other characteristics of the base material, the coating material and the relative coating thickness. The analogous results are given for indentation of spherical indenter into the layered body. The relative error in the comparison of the results does not exceed 1 %. The expressions of the effective elastic modulus and Poisson ratio of layered body with two-layer coating are given. The contact characteristics by indentation of a rigid sphere into the layered elastic body are determined. The examples of using presented results for contact of a rigid rough surface through the coating layer for different types of contacts are given.

Keywords: topocomposite, layered half-space, layered elastic body, effective elastic modulus, spherical indenter, contact characteristics.

Введение

Повышение эксплуатационных показателей уплотнений и узлов трения за счет нанесения на их рабочие поверхности антифрикционных материалов и покрытий, а также за счет формирования модифицированных слоев является весьма перспективным направлением [1] и находит широкое практическое применение. Тела с тонкими покрытиями было предложено называть топокомпозита-ми [2, 3]. Опыт эксплуатации узлов трения и уплотнений с такими покрытиями показывает, что их герметизирующая способность и антифрикционные свойства определяются не только свойствами материала покрытия, но и его толщиной. Известные рекомендации по выбору толщины покрытия основаны на экспериментальных данных, нередко противоречивых. Отсутствие теории контактного взаимодействия шероховатых поверхностей через слой покрытия не позволяет разработать надежные методы прогнозирования характеристик трения трибосопряжений и герметичности уплотнений на стадии проектирования, что требу-

ет проведения дорогостоящих и трудоемких испытаний.

Одним из направлений для решения этой проблемы является представление топокомпозита как конструкции с особыми механическими свойствами, зависящими от механических свойств основного материала и материала и толщины покрытия, предложенное Н.А. Ворониным в работах [47]. В настоящей работе рассмотрим определение эффективного модуля упругости топокомпозита (слоистого тела).

Состояние вопроса

Рассмотрим слоистое упругое тело (рис. 1), которое состоит из покрытия толщиной 8j с упругими характеристиками Vj и Ex и основного материала с упругими характеристиками v 0 и E0 и нагружено осесимметричной нагрузкой. Точное решение этой задачи при осесимметричном нагружении приведено в [8, 9], однако оно трудоемко для инженерных расчетов. В работе [4] для этой цели предложено использовать теорию Герца. На основе достоверных результатов для край-

них значений 51 = 0 и 51 = да и с использованием двухточечной аппроксимации Паде получено выражение для безразмерного упругогеометрическо-го параметра, с помощью которого определяется упругая постоянная слоистого полупространства и все основные характеристики при его осесиммет-ричном нагружении.

р(г) = р0 (1 - г2/а2)°'5, О < г < а .

(1)

р(г) = р° (1 - г Vа2 )р,

(2)

,(1 + Р),

= Р.

'/(па2)

где О <Р< °,5, р° = рт, среднее давление.

Однородное упругое полупространство

Следуя классическому подходу, основанному на применении потенциальных функций Бус-синеску [14], для перемещения любой точки по оси симметрии внутрь однородного полупространства для случая его нагружения распределенной нагрузкой (2) перемещения определяются выражениями:

1 + у

и„ =■

2 пЕ

2 (1 -V),-г £

(3)

Ц р (г) -1 гёгёф, Я = л/Т2Т"г2

С учетом выражения (2) и того, что р = г/а

и г = г/а,

4 р° а

О О

1 + р\1Г+г2 2 ^12

1 (1 -р2 )Рро?роф

р

ТР2 + х

После интегрирования имеем пр0а 1 „( 1

1+ Р; 2 + Р;

1 + г'

(4)

(5)

где (а, Ь; с; х) - гипергеометрическая функция Гаусса.

Подставляя выражение (5) в (3), получим

иг = рак (г ,Р, V), (6)

Е

К (г,р, ^=7+1 < 2Д+р;2)-

л/Т

[1,1 + Р;2 + Р; 1

+ г

1 + г2

(7)

Рис. 1. Схема нагружения слоистого тела

Авторами [10, 11] на основании жесткост-ной модели определена упругая характеристика полупространства с однослойным покрытием для любых значений 8; при нагружении слоистого полупространства (рис. 1) нормальными напряжениями в круговой области:

(1 + р)-1 г 2(1 - ц) & Е

где Е =-

1 - V

Для Р = О и Р = 0,5 выражение (7) можно представить через элементарные функции:

2 '

к (г ,О, V) = -

2

-л/Г

г + л/1 + г

В дальнейших работах [12, 13] рассмотрена нагрузка более общего вида

1 +

_J__^

2(1

, (8)

К (г ,О,5, V) = агсс1§г +--г (1 - гагсс1§г ). (9)

1 - V

Упростим обозначения, приняв 81 =8 /а ,

К, (О,р, Vг ) = К, (О), К, (81,р, Vг )= К, (81).

На рис. 2 представлены зависимости (9) для V = О,3 и V = О,5 (верхняя линия).

1.5

0.5

0

5 10 15

Рис. 2. Зависимость К (г, V) при разных V

1

Механика

Эффективный модуль упругости Аналогичные результаты с использованием

Для эффективного модуля упругости и ко- жесткостной модели слоистого тела получены при

эффициента Пуассона топокомпозита в работах внедрении жесткого сферического индентора: [12, 13] получено:

Е =

Е = Е • Е • Е01 Е1 11 •

К (0)

К (0)-К, (51 ))2

К 01 (0)-К 01 (51) + К (5) К 01 (51)

К о (51)

^Ч • Е

'01

= У1 + (у 0 -у1 )

1 - Е

1 - 1е

2

(10) (11)

(12)

где 1е = Е*/Е* , 1е = I^, I = Е1/Е0 .

1

Примеры расчета зависимости Е (5) представлены на рис. 3.

Рис. 3. Зависимости Е (5 ) при а) I = 0,1; б) I = 0,4. Линии соответствуют выражению (11), точки - данным работы [4], приведенным к обозначениям настоящей статьи

Е * = Е * • Е •

Е01 Е1 Е 1Е ;

Ет =

К (0)

(К1 (0)-К1 (5 1 ))53 + К1 )2 • 1е

-+ К1 £ )

(К01 (0)-К01 (§1))3 К01 (51)

(13) ;(14)

= у1 +(у0 -у1 )

1 - Е

1Я

1 - Е

(15)

Рис. 4. Зависимость эффективного коэффициента Пуассона от относительной толщины покрытия: у0 = 0,25, у1 = 0,35

Сравнение зависимостей Е (5) и Е1Д (5), полученных при нагружении слоистого тела осе-симметричной распределенной нагрузкой и при внедрении в него сферического индентора, представлено на рис. 5.

12 3 4

Рис. 5. Сравнение зависимостей Е ) и Ел (^ )

-1

у

01

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Для двухслойного покрытия:

E * _ E *. F • e02 _ E2 1 2 •

F2 _ K2 (0)

(к 2 (0)-K 2 (sJ

K 02 (0)-K 02 ¡8 2

+к 2 fc) Ä

K02 (8 2 ) E01

E*

_V 2 +(V 01 -V 2 ) 1 F02

1 E2 / E01

(16)

(17)

(18)

-2 1 2 W01 _ W • F1 3, a01 _ a Fl 3, Pol _ Po Fl 3. (19)

Для случая контакта гладкой жесткой сферы со слоистым полупространством сближение тел, радиус контакта и максимальное давление определяются выражениями:

При контактировании шероховатой поверхности с упругим слоистым полупространством для

отдельной неровности параметр 81, можно представить в виде:

8, = ^=Гц-О>,5, (20)

аг ас аг

где у = 8 /а - относительная толщина покрытия;

2/2

ц, = аг / ас - относительная площадь контакта для отдельной неровности; а - радиус площадки, приходящийся на одну неровность (параметр дискретной модели шероховатости).

Таким образом, для каждой контактирующей неровности согласно выражениям (13) и (19) имеем:

Е*1 (у, в, и) = Е* • Fll (у, в, и) ; (21)

Заключение

1. Аналитически определена зависимость перемещения любой точки по оси симметрии внутрь однородного полупространства от величины распределенной нагрузки вида (2), которая положена в основу жесткостной модели слоистого упругого тела.

2. Эффективный модуль упругости и коэффициент Пуассона определен с использованием жесткостной модели слоистого тела для любых значений толщины покрытия, в отличие от данных [4], где использована двухточечная аппроксимация Паде для крайних значений толщин покрытия. При этом результаты, полученные для нагружения слоистого тела осесимметричной распределенной нагрузкой и при внедрении в него сферического индентора, отличаются не более чем на 1 %.

3. Предложенный подход позволяет определить эффективный модуль упругости и коэффициент Пуассона слоистого упругого тела с двухслойным покрытием.

4. Характеристики контакта гладкой жесткой сферы со слоистым телом: сближение, радиус контакта и максимальное давление - определяются соответствующими характеристиками контакта материала покрытия и параметром ^ .

5. При использовании представленных результатов для описания контактирования жесткой шероховатой поверхности со слоистым полупространством следует учитывать, что каждой контактирующей неровности соответствует свой эффективный модуль упругости.

Работа выполнена при поддержке Минобр-науки России в рамках государственного задания на выполнение НИР № 2014/10 на 2016 г. (проект № 1754).

Ц, ^ В и) = Цц (В и) • 3 ^ В и) , (22) где Ец (у, ц,) определяется выражением (14) с

учетом (15).

Такой подход позволил определить относительную площадь контакта при взаимодействии жесткой шероховатой поверхности через слой упругого покрытия [14-16], вязкоупругого [17] и упругопластического [18, 19], а также плотности зазоров при упругом [20, 21] и упругопластиче-ском контактах [22, 23].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Твердосмазочные покрытия для машин и механизмов, работающих в экстремальных условиях : обзор / Е.П. Ковалев и др. // Трение и износ. 2004. Т. 25. № 3. С. 316-336.

2. Воронин Н.А. Топокомпозиты - новый класс конструкционных материалов триботехниче-ского назначения Ч. 1 // Трение и износ. 1999. Т. 20. № 3. С. 313-320.

3. Воронин Н.А. Топокомпозиты - новый класс конструкционных материалов триботехниче-

-1

v

02

2

Механика

ского назначения. Ч. 2 // Трение и износ. 1999. Т. 20. № 5. С. 533-544.

4. Воронин Н.А. Применение теории упругого контакта Герца к расчету напряженно-деформированного состояния слоистого упругого тела // Трение и износ. 1993. Т. 14. № 2. С. 250-258.

5. Воронин Н.А. Инженерный метод решения контактной задачи о взаимодействии цилиндрического штампа с двухслойным полупространством // Трение и износ. 1994. Т. 15. № 5. C.754-763.

6. Воронин Н.А. Расчет параметров упругого контакта и эффективных характеристик топоком-позита для случая взаимодействия последнего со сферическим индентором // Трение и износ. 2002. Т. 23. № 6. С. 583-596.

7. Воронин Н.А. Особенности и прикладной аспект механики контактного взаимодействия жесткого сферического штампа с упругопла-стическим слоистым полупространством // Механика и физика процессов на поверхности и в контакте твердых тел, деталей технологического и энергетического оборудования : сб. тр. Тверь, 2006. № 2. С. 32-55.

8. Макушкин А.П. Исследование напряженно-деформированного состояния полимерного слоя при внедрении в него сферического ин-дентора // Трение и износ. 1984. Т. 5. № 2. С. 823-832.

9. Макушкин А.П. Полимеры в узлах трения и уплотнениях при низких температурах. М. : Машиностроение, 1993. 288 с.

10. Огар П.М., Максимова О.В., Автушко А.Н., Устюжанин Е.В. К расчету напряженно-деформированного состояния слоистого упругого тела // Труды Брат. гос. ун-та. Сер.: Естественные и инженерные науки. 2006. № 2. С. 297-302.

11. Огар П.М, Ключев Е.А., Максимова О.В. Инженерная методика определения упругих характеристик топокомпозитов // Системы. Методы. Технологии.2009.№ 1. С. 19-22.

12. Ogar P.M., Tarasov V.A. Determination of the Elastic Characteristics of Bodies with Thin Coatings // Advanced Materials Research. Vol. 677 (2013). pp. 267-272.

13. Огар П.М., Тарасов В.А., Федоров И.Б. Управление жесткостью контактных систем уплотни-

тельных соединений // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 1. С. 22-27.

14. Контакт шероховатой поверхности со слоистым упругим полупространством / П.М. Огар и др. // Труды Брат. гос. ун-та. Сер.: Естественные и инженерные науки. 2006. № 2. С. 302307.

15. Огар П.М., Максимова О.В., Тарасов В.А. Относительная площадь контакта при взаимодействии шероховатой поверхности с упругим слоистым полупространством // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 3(19). С. 49-51.

16. Огар П.М., Максимова О.В., Тарасов В.А. Влияние толщины покрытия на относительную площадь контакта сопряжений деталей машин // Системы. Методы. Технологии. 2009. № 2. С. 13-15.

17. Огар П.М., Беляева О.В., Алпатов Ю Н. Контактное взаимодействие жесткой шероховатой поверхности с упругим полупространством через слой вязкоупругого покрытия // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 2(10). С. 10-14.

18. Огар П.М., Тарасов В.А., Турченко А.В. Контактирование жесткой шероховатой поверхности с через слой упругопластического покрытия // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3. С. 42-45.

19. Огар П.М., Тарасов В.А., Турченко А.В. Влияние толщины упругопластического покрытия на относительную площадь контакта // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 4. С. 14-17.

20. Горохов Д.Б., Кожевников А.С. Плотность зазоров при контактировании жесткой шероховатой поверхности со слоистым упругим полупространством // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 1(25). С. 60-65.

21. Горохов Д.Б., Кожевников А.С. Герметичность уплотнительных соединений с тонкослойными упругими покрытиями // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 3(47). С. 34-40.

22. Горохов Д.Б., Кожевников А.С. Плотность зазоров при контактировании жесткой шероховатой поверхности через слой упругопластического покрытия // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 4 (48). С. 74-79.

23.Алпатов Ю.Н., Кожевников А.С. Герметичность уплотнительных соединений с упруго-

пластическим покрытием // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 4(28). С. 29-35.