Единственность решения обратной спектральной задачи для пучка матричных дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.984

Н. П. Бондаренко

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПУЧКА МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим пучок операторов Ь = L(Q0, Q1, Н0, Нх, Н0, Н1), порожденный дифференциальным выражением

£(У,р) := У" + (р2 • I + + Qo(x))Y, х е (0,п), (1)

и краевыми условиями

и (У) := У'(0) + (грЬл + Но)У (0) = 0, (2)

V(У) := У'(п) + (грНх + Но)У(п) = 0. (2)

Здесь У(х) = [ук(х)]к=^ — вектор-столбец, I — единичная матрица размера т х ш, Qs(x) = (х)]^к=]т _ т х т матрицы с элементами

Qsjk(х) е [0,п], 5 = 0 Нв = \hsjk}3,к=тт1 Нв = [Н*лкгДе Н^к, На,3к — комплексные числа.

Будем предполагать, что det(/ ± Нх) = 0 и det(/ ± Нх) = 0. Эти условия исключают из рассмотрения задачи типа Редже [1], которые требуют отдельного исследования.

Обратные задачи спектрального анализа для пучков дифференциальных операторов в скалярном случае (т =1) изучались в работах [2, 3]. В данной статье исследуется обратная задача восстановления матричного пучка Ь вида (1)-(2) по матрице Вейля, представляющей собой обобщение функции Вейля скалярного оператора. Получены асимптотические формулы для решений уравнения ¿(У, р) = 0 и теорема единственности решения обратной задачи. Для исследования используется метод спектральных отображений [4], с помощью которого также может быть получена конструктивная процедура решения обратной задачи.

Пусть 5(х,р) = (х,р)]^=тт С(х,р) = [С?к(х,р)]3к=тт и ^>(х,р) = (х, р)]^ к=тт ~ матричные решения уравнения -£(У,р) = 0, удовлетворяющие начальным условиям

5(0, р) = С'(0, р) = и(<^) = 0, 5'(0, р) = С(0, р) = ^(0, р) = I.

При каждом фиксированном х £ [0,п] элементы матриц 5(х,р), С(х,р) и ^>(х, р) являются целыми аналитическими функциями по р.

Лемма 1. При х £ (0,п)7 V = 0,1 |р| ^ то справедливы асимптотические формулы

5и(х,р) = ^^ е^Р_(х)[/] + 1 е-гржР+(х)[1],

С и(х,р) = ^ егрхР_ (х)[1] + ^^^^ е_грхР+(х)[1 [,

где [I] := I + 0(р_т) и матрицы Р±(х) являются решениями задач Коши

Р± (х) = ±фт(х)Р±(х), Р±(0) = I.

Замечание. В скалярном случае (ш = 1)

Р±(х) = е± ^ ^ л.

Будем называть решением, Веиля пучка Ь матричное решение Ф(х,р) = [Ф^к(х, р]уравнення £(У, р) = 0, удовлетворяющее условиям и(Ф) = I, V(Ф) = 0, и матрицей Вейля матрнцу М(р) := Ф(0,р). Нетрудно видеть, что

Ф(х, р) = 5(х, р) + р(х, р)М(р), М(р) = -(V(р))-1 V(5). (3)

Ь

{рп}, которые совпадают с нулями характеристической функции

Д(р) := det V(^>). В силу формул (3) элементы матриц Ф(х,р) и М(р) р

{рп}-

Лемма 2. Справедливо представление

тп м

м (р) = ЕЕ

, (р _ рп)" '

п ^=1 4 7

г<?е шп — кратность собственного значения рп, Мпь/ — некоторые матричные коэффициенты,.

Величины {рп, Mnv} будем называть спектральными данными пучка L. В силу леммы 2 спектральные данные однозначно определяют матрицу Вейля и наоборот. Поэтому следующие две задачи эквивалентны.

Обратная задача 1. По матрице Вейля M(р) построить коэффициенты Qs(x), hs, Hs, s = 0,1, пучка L.

Обратная задача 2. По спектральным данным {рп, Mnv} построить

L

В данной статье ограничимся рассмотрением обратной задачи 1. Наряду с L рассмотрим пучок L = L(Qo, Qi, ho, hi, Ho, Hi) того же L

торый символ 7 обозначает объект, относящийся к L, то y обозначает

L

сти решения обратной задачи 1.

Теорема 1. Если M(р) = M(р)7 то L = L. Таким образом,, задание

L

Доказательство. 1. Введем обозначения т := 1тр, 0± := {р G C: 6 < ± arg р < п — 6}, 6 > 0. Используя лемму 1, получаем асимптотические формулы при v = 0,1, р G 0±, |р| ^ то:

^И(х,р) = (i^eiipxP±(x)(1 ± hi) + 0(р—ielT|х),

Ф(^)(x, р) = — (=ргр)^—ie±ipxP±(x)(P±(0))—i(1 ± hi)—i + 0(р^—2е—|тIх), (4)

где матрицы PJ (x) — решения задач Коши

РГ(х) = iQi(x)P± (x), P± (п) = I.

2. Положим

Г (Z, р) := Z" + Z(р2 • I + 2грф!(х) + Qo(x)), U*(Z) := Z/(0) + Z(0)(гр^ + ho), V*(Z) := Z/(п) + Z(п)(грН! + Ho),

где Z = [zk]T-Ym ~ вектор-строка (T — знак транспонирования). Пусть ^*(x, р) и Ф*(х, р) — матричные решения уравнения £*(Z, р) = 0, удовлетворяющие условияем

р*(0, р) = U*(Ф*) = I, U*(р*) = V*(Ф*) = 0.

Введенные решения обладают аналогичными свойствами с ((х, р) и Ф(х,р). В частности, справедливы асимптотические формулы при

р £ е±, |р| ^ то

(*И(х,р) = Цр^eтгpx(I ± (х) + 0(р-1е|тIх),

Ф*М(х,р) = _(=ргр)^_1е±^^ ± ^1)-1(Р±*(0))-1Р±*(х) + 0(р^_2е_|т|х), (5)

где Р.*(х) и Р±*(х) — решения задач Коши

Р±'(х) = ± Р± (х)^(х), Р± (0) = I, Р±*'(х) = тР±*(х)^1(х), Р±*(п) = I.

Обозначим М*(р) := Ф*(0, р). Нетрудно показать, что М*(р) = М(р). 3. Определим блочные матрицы Р(х, р) = [Р^(х, р)]^к=1?2 по формуле

Р (х,р) Нетрудно видеть, что

(^(х,р) ф(х,р) (х,р) ф'(х,р)

( (х, р) Ф(х, р) ('(х,р) Ф'(х,р)

(6)

Р;1(х,р) = ((^_1)(х,р)Ф *' (х, р) _ Ф(^_1)(х,р)(*' (х, р) , Р^'2 (х, р) = Ф(^'_1)(х, р)(* (х, р) _ _1) (х, р)Ф *(х, р).

(7)

Используя формулы (4) и (5), для р £ е± , |р| ^ то, х £ (0,п) вычисляем

Р11(х, р) = П(х) + 0(р_1), Р12(х, р) = р_1Л(х) + 0(р_2), (8)

1

2

где

ад := 1 (Р_(х)Р+ (х) + Р+(х)Р_(х)) , Л(х) := -1 (Р_(х)Р+(х) _ Р+(х)Р_(х)) . С другой стороны, согласно (7)

Р11 = _ 5<р*' + ((ММ* _ М)(*,

Р12 = 5(* _ + ((М _ М*)(*,

Поскольку М*(р) = М(р) = М(р), для любого фиксированногох £ [0,п] элементы матриц Р11 (х,р) и Р12(х, р) целые фупкции по р порядка не больше 1. Используя теорему Фрагмена - Линделёфа и соотношения (8), получаем Р11 (х,р) = П(х), Р12(х,р) = 0 Л(х) = 0.

6

Нетрудно показать, что П'(х) = 0 и, следовательно, П(х) = П(0) = I, х е [0,п]. Таким образом, Рх1(х,р) = I, х е [0,п]. В силу (6) ^(х,р) = = ^(х,р), Ф(х,р) = Ф(х,р) и Ь = Ь. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты, 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Известия Арм. ССР. Сер. Математика. 1984. Т. 19, № 5. С. 398-409.

2. Гасымов М. Г., Гусейнов Г. Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т. 37, № 2. С. 19-23.

3. Бутерин С. А., Юрко В. А. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале // Вестн. Башкир, ун-та. 2006. № 4. С. 8-12.

4. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: физматлит, 2007. 384 с.

УДК 512.57

Д. А. Бредихин

О ГРУППОИДАХ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности П операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения С. Теория алгебр отношений является существенной составной частью современной общей алгебры и алгебраической логики. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Операция называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают описания с помощью графов см.[3, 4]. Эквациональные и квази-эквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в [5, 6].