Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма - Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.984

Н.П. Бондаренко

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

Рассмотрим краевую задачу Н, Н) для матричного уравнения

Штурма — Лиувилля:

¡У := -У'' + Q(x)Y = АУ, x е (0,п), (1)

и (У) := У '(0) - НУ (0) = 0, V (У) := У'(п) + НУ (п) = 0.

Здесь У = [ук]к=гт ~ вектор-столбец, А — спектральный параметр и Q(x) = [Qjk(х)]^ к=тт^ причем Qjk(х) е Ь2(0,п) — комплекснозначные функции. Матрицу Q(x) в дальнейшем будем называть потенциалом. Краевые условия задаются матрицами Н = [Нjk^ к=тт? Н = [Hjk]j к=у—, где Н^ и Hjk — комплексные числа.

Изучается обратная спектральная задача восстановления потенциала и коэффициентов краевых условий по спектральным данным, которая представляет собой обобщение известной обратной задачи в скалярном случае, при т = 1 [1]. В работах [2, 3] доказана единственность решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма — Лиувилля и получена конструктивная процедура восстановления. Результатом данной статьи являются необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи в самосопряженном случае, то есть при Q(x) = Q*(x), Н = Н*, Н = Н*. Отметим, что ранее необходимые и достаточные условия были получены в статье [4] для случая с существенным ограничением, заключающемся в асимптотической простоте спектра, которое не требуется в данной статье.

Основным методом исследования является метод спектральных отображений [1].

Пусть р^, А) = [(fljkА)^ k=Tm является решением уравнения (1) при начальных условиях ^(0, А) = /т, ^>'(0, А) = Н, где 1т — единичная матрица т х т. Функция Д(А) := det[V(^)] называется характеристической функцией краевой задачи Ь. Она является целой по А и имеет не

более чем счетное множество нулей, причем все нули вещественные. Нули характеристической функции совпадают с собственными значениями краевой задачи Ь с учетом кратностей.

Пусть и = Н + Н + 2/0п Q(x) йх. Без ограничения общности будем считать, что и = diag{u1,..., ито}. Выполнения этого условия можно добиться применением унитарного преобразования, приводящего самосопряженную матрицу и к диагональному виду. Тогда справедлива

Лемма 1. Краевая задача Ь имеет, счетное множество собственных значений Л = {Апд}п>0д=гт- ПРи этом

Рид = л/АП^ = П + — + —, {ят}п>0 е ¡2, Я = 1,т. (2)

пп п

Пусть Ф(х,Л) = [ф-к(x, A)]j,k=i;m — решение уравнения (1) при условиях U(Ф) = Im, V(Ф) = 0m (0m — нулевая матрица m х m). Положим M(Л) := Ф(0,Л). Матрица M(Л) = [Mjk(Л)]^к=1-т называется матрицей Вейля задачи L. Матрица-функция M(Л) мероморфна по Л и имеет простые полюса в точкых |ЛП(?}.

Положим

anq := Res M(Л).

A=Anq

Величины Л0 := {Апд, апд}и>0,д=х;т называются спектральными данЬ

Считаем, что Апд = Ак/ может выполняться только при п = к, когда {Апд„, 1 < Яп1 < Яп2 < • • • < Япг„ < т,Тп < т, — все различные

собственные значения из {Апд}д=ц-т- Обозначим

^д^- := апд„^ , ^ = T^U, о4д = ^ 1 < Я < Ш, Я е {Яп.

Пусть {иТОа — все различные числа из набора {ид}д=1т- Введем обозначение а^ = а4д, 5 = 1,р.

Лемма 2. Справедливо соотношение

2 >) _

^ = -1(5) + —, {кп5)}п>0 е ¡2, 5 = 1,Р, (3)

п п

где

г (в) Гг (*)] _ г (в) Г1, .7 = к,и3 = ит8 , 7 7 0, иначе.

Рассмотрим следующую обратную задачу.

Задача 1. По заданным спектральным данным Л0 постройть Q, h и H.

Сформулируем необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи 1.

Теорема 1. Для того чтобы величины {Anq,anq}n>0 q=im были спектральными данными самосопряженной краевой задачи L(Q, h, H) с потенциалом Q(x) = [Qjk(x)]jk=Tm} Qjk(x) ^ L2(0,n) и такой, что

П

h + H + If Q(x) dx является диагональной матрицей, необходимо и до-0

статочно выполнение следующих условий:

1) Anq = АЫ при n = к. Если, Xnq = An/, rnо ащ = aw;

2) верны, асимптотические формулы (2) и (3);

3) все Anq вещественные. Ранги матриц anq равны кратноетям Anq и anq = (anq)% anq > 0 при всex n > 0 q = 1,m;

4) для любого вектора-строки y(X)7 который является целой функцией и имеет асимптотику y(А) = O(exp(|/mл/А|п)) при |А| ^ из выполнения условия y(Anq)anq = 0 при всexn > 0 q = 1,m следует, что Y (A) = 0.

Данная теорема является обобщением известного результата для скалярного случая (см. [1, с. 72]). Однако отметим, что в матричном случае вводится дополнительное условие 4. Нетрудно показать, что в скалярном случае оно вытекает из условий 1 3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

2. Yurko V.A. Inverse problems for matrix Sturm — Liouville operators // Russian J. of Mathematical Physics. 2006. Vol. 13, №1. P. 111-118.

3. Yurko V.A. Inverse problems for the matrix Sturm — Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems. 2006. Vol. 22. P. 1139-1149.

4. Chelkak D.. Korotyaev E. Wevl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm — Liouville operators on the unit interval // J. of Functional Analysis. 2009. Vol. 257, iss. 5. P. 1546-1588.

УДК 519.4

Д.А. Бредихин

О ПОЛУГРУППАХ ОТНОШЕНИЙ С УНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности О, операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена