Локальная разрешимость обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.984

Н.П. Бондаренко

ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ШТУРМА^ЛИУВИЛЛЯ

Рассматривается обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения Штурма Лиупилля. являющаяся обобщением хорошо изученной скалярной задачи [1]. Обратная задача в матричном случае изучалась в работах [2-5]. В данной статье получена локальная разрешимость обратной задачи и устойчивость ее решения.

Рассмотрим краевую задачу L(Q(x), h, H) для матричного уравнения Штурма Лиуиилля:

lY := -У'' + Q(x)Y = AY, x E (0,п), (1)

U(У) := У'(0) - hY(0) = 0, V(У) := У'(п) + НУ(п) = 0.

Здесь У = [ук}к=тт - вектор-столбец, Q(x) = [Qjk(x)]j,k=T^, причем Qjk(x) E L2(0,n) — комплекспозпачпые функции, A —

Q(x)

потенциалом. Краевые условия задаются матрицами h = [hjk jk=тт? Н = [Hjk}jk=T"^5 hjk и Hjk — комплексные числа. В данной статье будем рассматривать самосопряженный случай, когда Q = Q*, h = h*, Н = Н *.

Обозначим {Ap}p>o — собственные значения задачи L с учетом кратностей, A0 < AT < ... < Ap < ....

Пусть Ф^^) = [Фjk(x,A)]j, k=T~m ~ решение уравнения (1) при условиях U(Ф) = /то, V(Ф) = 0m (/m — единичпая m х m матрица, 0m — пулевая m х m матрица). Положим M(A) := Ф(0, A) ^етрицу M(A) = = [Mjk(A)]j , k=Tm матрицей Вейля задачи L. Нетрудно

M(A) A

{ A p }

Положим

ap := Res M(A).

X=Xp

Величины Л := {Лр, ар}р>о будем называть спектральными данными задачи Ь.

Рассмотрим следующую обратную задачу.

Задача 1. По заданным спектральным данным Л постройть Ц, Н и И.

Пусть [рк}к>о = {0} и {р: р > 1,Лр > Лр-х}, т.е. {Лрк}к>о — все различные собственные значения задачи Ь, Лр0 < ЛР1 < ... < Лрк < .... Введем {а'р} следующим образом:

а'рк := аРк, к > 0, а'р = 0т, р ф {рк}к>о.

Будем говорить, что некоторые величины {Лр, ар}р>0 Е Яр, если Лр — вещественные числа, Л0 < Лх < ... < Лр < ..., ар = (ар)* > 0, ар = ад, ее л и Лр = Лд и ранги мат риц ар совпадают с кратностями соответствующих Лр. В этом случае можно ввести а', как описано выше.

Введем в рассмотрение задачу Ь = Ь(Ц(х),Н,И). Условимся, что если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче Ь, то символ 7 будет обозначать аналогичный объект, относящийся к Ь.

Пусть дана задача Ь и Л — ее спектральные данные. Пусть Л Е Бр — некоторые величины. Разобьем числа {Лр} и {Ар} на группы

Сп {Лmn, Лmn+1, . . . , Лm(n+1) — 1, Аmn, Аmn+1, . . . , Ат(га+1)-1} : {Лng, Апд}5=1 ,щ.

Тогда верны асимптотические формулы (см. [3

А°пЯ =\^А% = п + 0(п-1), д = 1 ,т,п > 0, (2)

поэтому можно выбрать и фиксировать п*, зависящее только от задачи

пд

Ь, такое, что при п,к > п* равенство АПд = Ау возможно только при

п = к.

Рассмотрим разбиение чисел {Лр} и {Ар} на группы Св, в = 0,1, 2,..., удовлетворяющие следующим условиям.

1. Каждая группа Св содержит одинаковое количеств о чисел из Лр и Ар с учетом кратностей. Введем нумерацию Оа = {Лвд,7вд}д=гт, тв — размер группы, 0 <та < т, {авд, авд}д=хт7_ соответствующие вычеты.

2. Каждая группа кратных значений из {Лр} (или из {Ар}) целиком содержится в некоторой группе С8.

в* п*-1

3. Существует в* такое, что У = У СП и для люб ого в > в*

в=0 п=0

группа Св целиком содержится в пекоторой группе С°П. В свою очередь

СП = и Св при всех п > п*.

0«с 02

Определим диаметр группы

шя

ds := Ipsq - PsqI + S Ipsq - Psil + S iPsq - Psi| + ||as - as|

"в

9=1 9=1 9=1

где ав = ^авг Здесь и далее ||.|| — некоторая матричная норма. Для разбиения {Ов} введем величину О

в* /то \ 1/2

О:= ^ йа + ^ ((п + , ^п = ^ п > п*.

в=0 \п=п* /

Будем говорить, что величины Л д-близки со спектральными данными Л задачи Ь, если существует такое разбиение чисел {Ар}р>0 и {Ар}р>0 на группы Ов, в = 0,1, 2,..., удовлетворяющие условиям 1-3, что О < д.

Замечание. Согласно Щ, верны более точные, чем (2), асимптотические формулы

= \/= n + — + , }n>o G ¿2, q =l,m, (3)

где Ш := {wq}q=rm, ш1 < Ш2 < ... < wm — вещественные числа, зависящие от задачи L. Нетрудно видеть, что из условия 5-близости для А и А при некотором 5 < то следует выполнение соотношений, аналогичных (3), для А^, причем ш = Ш.

Следующая теорема утверждает локальную разрешимость обратной задачи 1 и устойчивость ее решения.

Теорема 1. Пусть дана, задача, L = L(Q(x),h, H) и А — ее спектральные данные. Существует 5 > 0 (зависящее от L) такое, что если величины А = {Ap,ap}p>0 G 5-близки с А7 то существует единственная краевая, задача L(Q(x),h, H), для которой А являются спектральными данными, причем,

||Q(x) - Q(x)||L2((o,n),c™) = max 11Qjk(x) - Qjk(x)||L2(o,n) < Cft,

1<j,k<m

||h - h|| <Cfi, ||H - H|| <Cfi, CL

Для доказательства теоремы 1 используется развитие идей метода спектральных отображений [1].

Работа выполнена при, финансовой поддержке гранта, РФФИ (проект 10-01-00099).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007.

2. Yurko V.A. Inverse problems for matrix Sturm—Liouville operators // Russian J. of Mathematical Physics. 2006. Vol. 13, №1. P. 111-118.

3. Yurko V.A. Inverse problems for the matrix Sturm—Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems.2006. Vol. 22. P. 1139-1149.

4. Бондаренко Н.П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма—Лиувилля // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 3-5.

5. Chelkak D., Korotyaev Е. Wevl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm— Liouville operators on the unit interval // J. of Functional Analysis. 2009. Vol. 257, is. 5. P. 1546-1588.

УДК 519.4

Д.А. Бредихин

О КЛАССАХ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЯМИ

ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности П операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения С. Теория алгебр отношений является существенной составной частью современной алгебраической логики. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Им были рассмотрены алгебры отношений вида (Ф, о, -1, и, П, А, 0, U) , где о, -1 - операции умножения и обращения отношений; U, П, - - булевы операции объединения, пересечения и дополнения; А - тождественное, 0 и U -пустое и универсальное отношения, рассматриваемые как нульарные операции. Существует ряд других важных операций над отношениями. К таковым, в частности, относятся операции цилиндрофикации [3], играющие существенную роль в алгебраической логике и определяемые следующим образом:

Vi(p) = {(x,y) : (3z)(x,z) G p}, V2(p) = {(x,y) : (3z)(z,y) G p}.

Для заданного множества П операций над бинарными отношениями обозначим через Я{П} (Я{П, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр),