О классах алгебр отношений с операциями цилиндрофикации Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007.

2. Yurko V.A. Inverse problems for matrix Sturm—Liouville operators // Russian J, of Mathematical Physics. 2006. Vol. 13, №1. P. 111-118.

3. Yurko V.A. Inverse problems for the matrix Sturm—Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems.2006. Vol. 22. P. 1139-1149.

4. Бондаренко Н.П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма—Лиувилля // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 3-5.

5. Chelkak D., Korotyaev Е. Wevl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm— Liouville operators on the unit interval // J. of Functional Analysis. 2009. Vol. 257, is. 5. P. 1546-1588.

УДК 519.4

Д.А. Бредихин

О КЛАССАХ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЯМИ

ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними, образует алгебру (Ф, Q), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения С. Теория алгебр отношений является существенной составной частью современной алгебраической логики. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Им были рассмотрены алгебры отношений вида (Ф, о, -1, и, П, А, 0, U) , где о, -1 - операции умножения и обращения отношений; U, П, - - булевы операции объединения, пересечения и дополнения; А - тождественное, 0 и U -пустое и универсальное отношения, рассматриваемые как нульарные операции. Существует ряд других важных операций над отношениями. К таковым, в частности, относятся операции цилиндрофикации [3], играющие существенную роль в алгебраической логике и определяемые следующим образом:

Vi(p) = {(x,y) : (3z)(x,z) e p}, V2(p) = {(x,y) : (3z)(z,y) e p}.

Для заданного множества Q операций над бинарными отношениями обозначим через R{Q} (R{Q, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр),

изоморфных алгебрам отношений с операциями из Q. Пусть (Var{^, с}) - квазимногообразие и (Var{^, с}) - многообразие,

порожденное классом (Я{П, с}). Одной из основных задач теории

алгебр отношений является аксиоматизация указанных классов алгебр для различных совокупностей операций над алгебрами отношений. Нами будут рассмотрены классы алгебр отношений с множеством операций

Ü с {о, n, и, Vi, V2}.

Введем ряд определений, необходимых для формулировки основных результатов. Под упорядоченной алгеброй мы будем понимать алгебру, на базисном множестве которой задано отношение порядка <, согласованной с операциями этой алгебры. Полурешеточно упорядоченной полугруппой называется алгебра (A, •, Л) типа (2,2),

где (A, •) - полугруппа и (A, Л) - полурешетка, каноническое

<

этой полугруппы. Решет,очно упорядоченной полугруппой называется алгебра (A, •, V, Л) типа (2,2,2) , где (A, •, Л) - полурешеточно упорядоченная полугруппа и (A, •, V, Л) - решетка. Элемент 0 называется нулевым элементом упорядоченной полугруппы, (A, •, <), если x0 = 0x = 0и0 < x для любого x из A. Заметим, что если такой элемент существует, то он определяется однозначно.

Сформулируем ряд ранее полученных результатов для классов алгебр отношений с множеством операций Q с {о, n, U, Vi, V2}. Общеизвестно, что класс R{o} совпадает с многообразием всех полугрупп. В работе [4] показано, что класс R{o, n} совпадает с классом всех полурешеточно упорядоченных полугрупп. Конечные базисы тождеств для многообразий V{о, U, П}, V{о, Vi} Q{o, V2}, V{о, Vi, с }, V{о, V2, с} V{о, Vi, U}, V{о, V2, U} были найдены в работах [5-11].

Основные результаты статьи формулируются в следующих теоремах.

Теорема 1. Квазимногообразие ^{о, Vi, с} образует многообразие в классе всех упорядоченных алгебр типа (2,1). Упорядоченная алгебра (A, •,*, <) типа (2,1) принадлежит, квазимногообразию ^{о, Vi, с} тогда и только тогда, когда (A, •) - полугруппа и выполняются следующие тождества:

(x ) = x ,

(xy)* = ХУ "N ^ *

гр <Г гр гр <

x y < Х .

(1) (2)

(3)

(4)

Теорема 2. Квазимногообразие ^{о, У2, с} образует многообразие в классе всех упорядоченных алгебр типа (2,1). Упорядоченная алгебра (А, •,*, <) типа (2,1) принадлежит, квазимногообразию ^{о, У2, с} тогда и только тогда, когда (А, •) - полугруппа и выполняются следующие тождества:

(х* )* = х*, (1')

(ху)* = х * у, (2;)

х < хх*, (3')

ху* < у *. (4')

Теорема 3. Класс Л{о, VI, с} ие является квазимногообразием. Упорядоченная алгебра (А, •,*, <) принадлежит, классу Л{о, VI, с} тогда и только тогда, когда она принадлежит, квазимногообразию ^{о, V:, с} и удовлетворяет аксиоме

у, г = 0 ^ х * у = х *г. (5)

Теорема 4. Класс Я{ о, V2, с} ие является квазимногообразием. Упорядоченная алгебра (А, •,*, <) принадлежит, классу Л{о, V2, с} тогда и только тогда, когда она принадлежит, квазимногообразию ^{о, V2, с} и удовлетворяет аксиоме

х, у = 0 ^ хг * = уг *. (5')

Теорема 5. Квазимногообразие ^{о, П, V:} является многообразием. Алгебра (А, •, Л, *) типа (2, 2,1) принадлежит, квазимногообразию ^{о, П, V:} тогда и только тогда, когда (А, •, Л) полурешет,очно упорядоченная полугруппа, выполняются тождества

(1)-(4) и

(х * Л у= х Л уг), (6)

х(у Л г*) = ху Л г *). (7)

Теорема 6. Квазимногообразие ^{о, П, V2} является многообразием. Алгебра (А, •, Л, *) типа (2, 2,1) принадлежит, квазимногообразию ^{о, П, V2} тогда и только тогда, когда (А, •, Л)

полурешеточно упорядоченная полугруппа, выполняются тождества

W-U) «

x(y Л z*)z = xy Л z*, (6')

(x* Л y)z = x*z Л yz. (7')

Теорема 7. Алгебра (A, •, Л, *) типа (2, 2,1) принадлежит, классу R{o, П, V1} тогда и только тогда, когда (A, •, Л) принадлежит, квазимногообразию Q{o, П, V1} и выполняется аксиом,а, (5).

Теорема 8. Алгебра (A, •, Л, *) типа (2, 2,1) принадлежит, классу R{o, П, V2} тогда и только тогда, когда (A, •, Л) принадлежит, квазимногообразию Q{о, П, V2} и выполняется аксиом,а, (5Г).

Следствие 8. Алгебра (A, •, V, Л, *) т,и,па, (2, 2, 2,1) принадлежит многообразию R{o, U, П, V1} тогда и только тогда, когда (A, •, V, Л) -

(A, V, Л)

решет,ка, (A, •, Л)принадлежит многообразию V{о, П, V1} и выполняются тождества

(x V y)z = xy V yz, (8)

x(y V z) = xy V xz, (9)

(x V y)* = x* V y*. (10)

Следствие 9. Алгебра (A, •, V, Л, *) m,u,na, (2, 2, 2,1) принадлежит многообразию R{o, U, П, V2} тогда и только тогда, когда (A, •, V, Л) -

(A, V, Л)

решет,ка, (A, •, Л) принадлежит, многоо бразию V {o, П, V2} и выполняются тождества (8)-(10).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tarski A. On the calculus of relations // J, Symbolic Logic, 1941, Vol, 6, P. 73-89,

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J, Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. C. 188-189.

3. Henkin L, Monk J.D., Tarski A. Cylindrie algebras I, II. North-Holland. Amsterdam, 1971, 1985.

4. Bredikhin D.A., Schein B.M. Representations of ordered semigroups and lattices by binary relations // Colloq. Math. 1978. Vol. 49. P. 2-12.

5. Andreka H., Bredikhin D.A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 516-532.

6. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. Математика. 1993. JV2 3. С. 23-30.

7. Bredikhin D.A. On varieties of semigroups of relations with operations of evlin-drofieation // Contributions to General Algebra. 2005. Vol. 16. P. 1-6.

8, Бредихин Д-А. О квазитождествах алгебр отношений е диофантовами операциями // Сиб, мат, журн, 1997, Т. 38, С, 29-41,

9, Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений е диофантовыви операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

10. Бредихин Д.А. О редуктах алгебр отношений Тарекого // Алгебра и логика.

1998. № 1. С. 3-16.

11. Bredikhin D.A. On classes of Omega-semigroups // Semigroups with Applications, Including Semigroup Rings / St-Petersburg State University of Technology. St-Patersburg,

1999. P. 59-62.

УДК 514.763

A.B. Букушева, C.B. Галаев

УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ МЕТРИКИ БЕРВАЛЬДА—МООРА

В работах [1, 2] было положено начало исследованиям пространств вида (Рп,#), где Рп - алгебра поличисел с заданной на ней п-линейной симметрической формой. На пути обобщения заложенных в этих работах идей естественно было бы рассмотреть гладкие многообразия с подходящей полиаффинорной структурой. Довольно развитая сейчас геометрия пространств над алгебрами имеет обширную библиографию [3]. В обзоре [4], подготовленном В.В. Вишневским, содержатся сведения по интегрируемым аффинорным структурам. В настоящей статье излагаются условия, при которых метрика Верви. п>ди Моора (БМ), согласованная с полиаффинорной структурой, заданной на гладком многообразии, задается с помощью интегрируемой полиформы.

1. Алгебраические метрики, согласованные с полиаффинорной структурой АНп

Рп

В алгебре поличисел Рп существует базис (е:, е2,..., еп) такой, что

еаев = Ьавеа.

Рп

специальным образом вводится согласованная с алгебраической структурой метрика БМ. В результате задания метрики БМ, алгебра поличисел становится финслеровым пространством, обозначаемым Нп . Пусть М - связное Ото-многообразие размерности п. Все встречающиеся на М функции и геометрические объекты будем считать бесконечно дифференцируемыми.