О многобразии дистрибутивных решеток с опрациями цилиндрофикации Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.4

Д.А. Бредихин

О МНОГОБРАЗИИ ДИСТРИБУТИВНЫХ РЕШЕТОК С ОПЕРАЦИЯМИ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

В статье находится базис тождеств многообразий дистрибутивных решеток и инволютированных дистрибутивных решеток, порожденных классом решеток бинарных отношений, оснащенных операциями цилиндрофикации и инволюции.

Дистрибутивной решеткой называется алгебра (А, + , •) типа (2, 2), удовлетворяющая тождествам

х+х = х, х+у = у+х, (х+у)+г = х+(у+х), хх = х, ху = ух, (ху)г = х(уг),

х(х + у) = х, х + ху = х, х(у + г) = ху + хх.

Инволютированной дистрибутивной решеткой назовем алгебру (А, +, •, -1) типа (2, 2,1), где (А, +, •) — дистрибутивная решетка и -1 — унарная операция, удовлетворяющая тождествам

(х-1)-1 = х, (х + у)-1 = х-1 + у-1, (ху)-1 = х-1у-1.

Булева алгебра (А, +, •, -) — это алгебра типа (2, 2,1) , где (А, +, •) —

-

дествам

(х + у)- = х-у-, (ху)- = х- + у-.

Теория булевых алгебр является алгебраической версией логики высказываний. Рассмотрение позитивной части логики высказываний (совокупности предложений, в записи которых используются только операции конъюнкции и дизъюнкции) сводится к изучению класса дистрибутивных решеток. Однако булевых операций оказывается недостаточно для алгебраиза-ции логики предикатов. Это приводит к необходимости рассмотрения ряда

дополнительных операций над отношениями. К таким операциям, в частности, относятся операции цилиндрофикации, являющиеся алгебраическими аналогами кванторов существования. Изучение возникающих таким образом алгебр может быть осуществлено в рамках теории булевых алгебр с дополнительными операциями [1]. Классическим примером таких алгебр являются так называемые цилиндрические алгебры [2].

Обозначим через Яв1(Х) множество всех бинарных отношений, заданных на базисном множестве X. Множество бинарных от ношений Ф С Яв1(Х), замкнутое относительно некоторой совокупности О операций над ними, образует алгебру (Ф, О), называемую алгеброй отношений. Основы теории алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [3, 4] и в дальнейшем были развиты в работах многочисленных авторов [5, 6].

Обозначим Я{О} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из О. Пусть ^{О} и Уат{О} — квазимногообразие и многообразие, порожденное классом Я{О}.

Нами будут рассмотрены операции объединения и, пересечения П , обращения -1 отношений, а также операции цилиндрофикации 0\ ж , определяемые следующим образом:

А(р) = рт1р х X и В<1 (р) = X х рт2р,

где рт1 р = {х : (Зу)(х,у) £ р} и рт2р = {у : (Зх)(х,у) £ р} — первая и вторая проекции отношения р £ Яв1(Х) соответственно.

Общеизвестно, что класс Л{и, П, -} совпадает с классом всех булевых алгебр, класс Л{и, П} — с классом всех дистрибутивных решеток, а класс Л {и, П, -1} — с классом всех инволютированных дистрибутивных решеток. Квазимногообразие ^{и, П, порожденное классом цилиндриче-

ских алгебр бинарных отношений, является многообразием, которое может быть задано с помощью конечной системы тождеств (см. [2]). Замети также, что операции цилидрофикации отношений находят применение в модальной логике [7].

Нами будут рассмотрены классы Л{и, П, Уат{и, П, Л2},

Я{и, П, Л1, Л2} и Л{и, П, -1, Л1, Л2}. Основные результаты статьи формулируются в следующих теоремах.

Теорема 1. Многообразия Уат{и, П, Л1} и Уат{и, П, Л2} совпадают. Алгебра (А, +, •, °) типа (2,2,1) принадлежит, многообразию Уат{и, П, Л1} тогда и только тогда, когда (А, +, •) — дистрибутивная решетка и выполняется следующая система тождеств:

/ , \о о , о / о\о о о

(х + у) = х + у (х ) = х , х х = х.

Теорема 2. Алгебра (A, +, •, 0, *) типа (2, 2, l, l) принадлежит, многообразию Var{U, П, D1, D2} тогда и только тогда, когда (A, +, •) — дистрибутивная решетка и выполняется следующая система тождеств:

(x + y)0 = x0 + y0 (l), (x + y)• = x• + y*; (2), (x°)° = x0(3), (x*)* = x*(4),

x0x = x = xx* (5), (x0)* = (x*)0 (б).

Теорема 3. Алгебра (A, +, •, -1 0, *) m,una, (2, 2, l, l, l) принадлежит, многообразию Var{U, П, -1, D1, D2} тогда и только тогда, когда (A, +, •, -1) — инволютированная дистрибутивная решетка, выполняются тождества (1-6) и тождество

(x0)-1 = (x-1)*.

Идея доказательства теорем состоит в использовании результатов работ [8, 9, 10], дающих описание эквациональных теорий классов алгебр отношений с позитивными операциями, и некоторых теоретико-графовых методов. В заключение сформулируем ряд проблем, касающихся рассмотренных алгебр отношений.

Проблема 1. Являются ли классы R{U, П, D1}, R{U, П, D2}) R{U, П, D1, D2} и R{U, П, -1, D-\_, D2} квазимногообразиями?

Проблема 2. Являются ли квазимногообразия Q{U, П, D1}, Q{U, П, D2}, Q{U, П, D]^, D2} и Q{U, П, -1, D]^, D2} многообразиями?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Jónsson В., Tarski A. Boolean algebras with operations, II // Amer. J. Math. 1952. V. 74. P. 127-162.

2. Henkin L., Monk J.D., Tar-ski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam. Part I, 1971.

3. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. V. 6. P. 73-89.

4. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of rela-tions // J. Symbolic Logic. 1953. V. 18. P. 188-189.

5. Вагнер B.B. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория полугрупп и ее приложения. Саратов, 1965. Вып. 1. С. 3-197.

6. Schein В.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. V. 1. P. 1-62.

7. Venema Y. Many-Dimensional Logic. Universitiet van Amsterdam, 1989.

8. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. Вузов. Сер. Матем. 1993. 3. С. 23-30.

9. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирск. мат. журн, 1997. Т. 38. С. 29-41.

10. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.