О многообразиях упорядоченных полугрупп с операциями цилиндрофикации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДА. Бредихин. О многообразиях упорядоченных полугрупп с операциями цплпндрофпкацпп

МАТЕМАТИКА

УДК 519.4

О МНОГООБРАЗИЯХ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУГРУПП С ОПЕРАЦИЯМИ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

Д.А. Бредихин

Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: bredikhin@mail.ru

В работе находится конечный базис тождеств многообразий упорядоченных алгебр, порожденных упорядоченными полугруппами бинарных отношений с операциями цилин-дрофикации.

Ключевые слова: многообразия, алгебры отношений, полугруппы, операции цилиндро-фикации.

On Varieties of Partially Ordered Semigroups with Operations of Cylindrification

D.A. Bredikhin

Saratov State University, Chair of Geometry E-mail: bredikhin@mail.ru

The finite basis of identities of the varieties of the ordered algebras generated by partially ordered semigroups of binary relations with cylindrifications operations is found in this paper.

Key words: varieties, algebras of relations, semigroups, operations of cylindrification.

В творческом наследии В.В. Вагнера большое место занимают исследования, посвященные теории бинарных отношений [1]. Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности О операций над ними, образует алгебру (Ф, О), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения с. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [2]. Одной из основных проблем в теории алгебр отношений традиционно является изучение их свойств, выраженных на языке тождеств [2-9].

Для заданного множества О операций над бинарными отношениями обозначим через R{0} (R{0, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр) отношений с операциями из О. Пусть Var{0} (Var{0, с}) — многообразие, порожденное классом R{0} (R{0, с}).

Нами будут рассмотрены операции умножения отношений о, объединения U и играющие важную роль в алгебраической логике [3] операции цилиндрофикации Vi и V2. Для всякого бинарного отношения р с X х X положим V1 (р) = pr1 р х X, V2 (р) = X х pr2р, где pr1 р = {x : (3 y)(x,y) £ р} и pr2р = {у : (3 x)(x,y) £ р} — первая и вторая проекции отношения р соответственно.

В работе [9] был найден конечный базис тождеств для многообразий Var{o, V1} и Var{o, V2}. Соответствующие результаты формулируются в теоремах 1 и 2.

Теорема 1. Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, V1} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим тождествам:

© ДА. Бредихин, 2009

3

1) (xy)z = x(yz), 2) (ж*)* = x*, 3) (ж*)2 = x*, 4) (xy)* = xy*, ** * * * * *** * * *

5) xy x = xy , 6) x y z = x z y , 7) x y zy = x zy.

Теорема 2. Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, V2} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам 1)-3) и тождествам

4') (xy)* = x*y (4'), 5') x*y*x = y*x, 6') x*y*z* = y*x*z*, 7')xyx*z* = xyz*.

Под упорядоченной алгеброй мы понимаем алгебру с заданным на ней отношением порядка <, согласованным с операциями этой алгебры. Основными результатами работы являются следующие теоремы, в которых находятся базисы тождеств многообразий Var{o, Vi, с} и Var{o, V2, с}.

Теорема 3. Упорядоченная алгебра (A, •, *, <) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, Vi, с} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам 1)-7) и тождествам

8) x < x*, 9) x < x*x, 10) x*y < x*.

Теорема4. Упорядоченная алгебра (A, •, *, <) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, V2, с} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам 1)-3), 4')-7'), 8) и тождествам

9') x < xx*, 10') xy* < y*.

Следствие 1. Алгебра (A, •, +, *) типа (2,2,1) принадлежит многообразию Var{o, и, V} тогда и только тогда, когда (A, +) — полурешетка, выполняются тождества 1)-7) и тождества

11) x + x* = x*, 12) x + x*x = x*x, 13) x*y + x* = x*, 14) (x + y)z = xz + yz, 15) x(y + z) = xy + xz, 16) (x + y)* = x* + y*.

Следствие 2. Алгебра (A, •, +, *) типа (2, 2,1) принадлежит многообразию Var{o, и, V2} тогда и только тогда, когда (A, +) — полурешетка, выполняются тождества 1)-3), 4')-7'), 11), 14)-16) и тождества

12') x + xx* = xx*, 13') xy* + y* = y*.

Докажем теорему 3 (теорема 4 доказывается аналогично).

Доказательство. Разобьем доказательство на ряд последовательных шагов.

Шаг 1. Доказательство теоремы основывается на результатах работ [5,7]. Приведем ряд определений и обозначений, используемых в дальнейшем изложении.

Пусть Rel(U) — множество всех бинарных отношений на U. Всякая формула p(z0,zi,ri,... ,rm) логики предикатов первого порядка с равенством, содержащая m бинарных предикатных символов ri,.. .,rm и две свободные индивидуальные переменные zo, zi, определяет m-арную операцию на Rel(U):

F^(Ri,..., Rm) = {(x, y) e U x U : ф, y,Ri,..., Rm)},

где (p(x,y,Ri,... ,Rm) означает, что формула ^ выполняется, если z0, zi интерпретируются как x, y и ri,... ,rm интерпретируются как отношения Ri,..., Rm из Rel(U).

Операция над бинарными отношениями называется примитивно-позитивной [10] (в другой терминологии — диофантовой [7]), если она может быть определена формулой, содержащей в своей записи лишь кванторы существования и операцию конъюнкции. Примитивно-позитивные операции могут быть описаны с помощью графов [10].

Обозначим через N множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару G = (V, E), где V = V(G) — конечное множество, называемое множеством вершин, и E = E(G) с с V x N x V — тернарное отношение. Тройку (u, k,v) e E будем называть ребром графа, идущим

из вершины u в вершину v, помеченным меткой k, и графически изображать следующим образом:

k

u ^ •v.

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, т. е. систему вида G = (V, E, in, out), где (V, E) — помеченный граф; in = in(G) и out = out(G) — две выделенные вершины (необязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

ДА Бредпхпн. О многообразиях упорядоченных полугрупп с операциями цплпндрофпкацпп

Понятие изоморфизма помеченных графов и двухполюсников определяется естественным образом. В дальнейшем все графы будут рассматриваться с точностью до изоморфизма.

Пусть F = F9 — примитивно-позитивная операция, задаваемая формулой С этой операцией может быть ассоциирован граф G = G(F) = G(^), определяемый следующим образом: V(G) — множество всех индексов индивидуальных переменных, входящих в формулу in(G) = 0, out(G) = 1, (i,k,j) е E(G) тогда и только тогда, когда атомарная формула rk(zi,Zj) входит в если формула zi = Zj входит в то вершины i и j отождествляются.

Заметим, что графы, соответствующие операции умножения отношений о и операциям цилиндро-фикации Vi, V2, задаются следующим образом:

in- —— • -— •out, in- • • out, in • • -— •out.

Пусть G = (V, E, in, out) и Gk = (Vk ,Ek ,ink ,outk) (k = 1,...,m) — двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник G(G1 ,...,Gm), определяемый следующим образом [10]: возьмем двухполюсник G и заменим каждое его ребро (u,k,v) е E на двухполюсник Gk, отождествляя при этом вершину ink с вершиной u и вершину outk с вершиной v.

Рассмотрим множество примитивно-позитивных операций над отношениями О = {F^1,...,F^n}, и пусть A = (A, fi,..., fn) — универсальная алгебра соответствующего типа. Положим Gi = GM, ..., Gn = G(Vn).

Для всякого терма p алгебры A определим следующим индуктивным образом двухполюсник G(p) = (Vp, Ep,in(p),out(p)):

k

1) если p = xk, то G(p) представляет собой двухполюсник вида in- — •out;

2) если p = fk(p1,... ,pm), то G(p) есть композиция Gk(G(p1),..., G(pm)).

Пусть G1 = (V1 ,E1,in1 ,out1) и G2 = (V2,E2,in2,out2) — двухполюсники. Отображение f : V2 — V1 называется гомоморфизмом из G2 в G1, если f (in2) = in1, f (out2) = out1 и (f(u),k,f (v)) е E1 для всякой тройки (u,k,v) е E2. Мы будем писать G1 -< G2, если существует гомоморфизм из G2 в G1.

Обозначим через Eq{0, с} эквациональную теорию класса R{0, с}. Теперь мы готовы сформулировать основной результат из [5]:

Тождество p < q принадлежит эквациональной теории Eq{0, с} тогда и только тогда, когда G(p) < G(q).

Шаг 2. Обозначим через Е эквациональную теорию алгебр, удовлетворяющих тождествам 1)-10),

и пусть S — множество всех термов алгебры (A, •, *) типа (2,1). Для всякого терма p1 и p2 из S

будем писать p1 -< p2 (p1 = p2), если тождество p1 < p2 (p1 = p2) принадлежит Е. В том случае, когда

эквивалентность термов устанавливается с помощью тождества с номером k), будем использовать k.k запись p1 ^ p2 (p1 = p2).

Пусть Л — множество слов над алфавитом {x1,... ,xn,... }, © — пустое слово, Л = Л U {©}.

Лемма 1. Для любого терма p е s существуют такие ао,а1,... ,an е Л (n ^ 0), что p = («1 )* ... (an)*ao.

Доказательство леммы 1 содержится в работе [9].

Лемма 2. Следующие тождества принадлежат Е

17) (ав)* < «*, 18) а*(вт)* < «*Y*.

4 8 10 4 10

Доказательство. Действительно, (ав )* ^ «в * ^ а* в * ^ а* и а*(вт)* ^ а* в!* < a*Y *. Лемма доказана.

Шаг 3. Согласно определению графы G(p) = (Vp, Ep, in(p), out(p)) для p е S могут быть построены следующим образом.

Если p = а = ©, то положим по определению Vp = Va = {v0}, Ep = Ea = 0, и in(p) = т(а) = = out(p) = out(а) = v0.

Математика

5

Пусть р = а = Хг!Хг2 ... Х^ е Л. Тогда Ур = Уа = (уо,...,уп}, Ер = Еа = {(Ук-1 ,гк,Ук) : к е [1,п]}, и т(р) = т(а) = у0, опЬ(р) = опЬ(а) = уп:

• / \ ¿1 ¿2 ¿п </ \

т(а) = у0■ ^ ■ ^ ■... ■ ^ -уп = опЬ(а).

Пусть р = (а)*. Тогда ^ = Уа* = и {Уп+1}, Ер = Еа* = Еа, и т(р) = т(а*) = т(а) = уо, опЬ(р) = опЬ(а*) = г>п+1:

/ *\ ¿1 ¿2 ¿п ,{ *\

т(а ) = у0■ ^ ■ ^ ■... ■ ^ ■ ■ уп+1 = опЬ(а ).

Пусть р = (а1 )* (а2)* ..., (ап)*а0 и п > 1. Будем предполагать, что множества Уа**,..., Уа*, Уа0 попарно не пересекаются. Возьмем в качестве Ур объединение этих множеств, в котором отождествлены следующие вершины: опЬ(а1) и гп(а2), опЬ(а2) и гп(а3), ... , опЬ(ап) и гп(а0). Положим Ер = Еа1 и ... и Еап и Еа0, и т(р) = т(а1), опЬ(р) = опЬ(ао).

Лемма 3. Пусть а, в е Л и существует такое отображение / из Ур в Уа, что (/(п),к, /(у)) е е Еа для всякого (п,к,у) е Ер. Тогда найдутся такие в1 ,в2 е Л, что а = в1вв2. При этом в1 = ©, если /(гп(в)) = гп(а), и в2 = ©, если /(гп(в)) = гп(а).

Доказательство. Пусть а = Х^ Хi2 ...Х1п, в = х^ х^2 .. .х^-т и Уа = {уо, ... ,Уп}, Ув = {у0 ,..., у'т}. Предположим, что /(у'0) = VI. Тогда /(у'к) = у^ и Х^к = Х^, где Ь = I + к. Следовательно, достаточно положить в1 = Хi1 .. .Хгв (или в1 = ©, если I = 1, т. е. /(т(в)) = гп(а)) и в2 = Х^ .. (или в2 = ©, если I + т = п, т. е. /(гп(в)) = гп(а)), где 5 = I и т = I + т + 1. Лемма доказана.

Шаг Легко проверить выполнимость тождеств 8)-10). Откуда следует, что Е с Eq{o, У1}. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что Ед{о, У1} с Е.

Предположим, что тождество р1 < р2 принадлежит Ед{о, У1, с}. Тогда согласно сформулированному выше результату из работы [5] имеем С(р1) ^(р2), т.е. существует гомоморфизм / из С(р2) в ^(р1). Согласно лемме 1 можно предположить, что р1 = (а1 )* ... (ап)*а0 и р2 = (в1)* ... (вт)*в0.

Рассмотрим следующие возможные случаи.

1. т = п = 0. Тогда согласно лемме 3 имеем р1 = а0 = в0 = р2.

2. п = 0, т > 0 и в0 = ©. Тогда по лемме 3 имеем а0 = в1 А1 и а0 = ^квкАк для к = 2,.. .т, откуда

р1 = ао а* 3 а0 ...а* = (в1А1 )* (^2 в2 А2)* ... (ц.т вт Ат )* 17

-в* (Д2 вк )* . . . (Цт вт)* в*в2* ...вт = р2 .

3. п = 0, т > 0 и в0 = ©. Тогда по лемме 3 имеем а0 = Ц0в0, а0 = в1А1 и а0 = цквкАк для к = 2,...т, откуда

9 3 17

р1 = ао - а*ао - а* ... а*ао = (в1А1)*(ц2в2А2)*... (цтвтАт)*Цово --в**(Ц2вк)* . . . (Цтвт)*Ц0во ^ в*в* ■ ■ ■ в*тЦово ^ в*в2* . . . в*тво = р2-

4. п > 0, т > 0 и в0 = ©. Тогда, учитывая, что компонента связанности графа С(р2) отображается в некоторую компоненту связанности графа й(р1), по лемме 3 получаем а1 = в1 А1 и ад(к) = цквкАк для к = 2,...т, где д — функция, отображающая множество {2, ...,т} во множество {0, ...,п}. Следовательно,

* * 3 * * * 6,10 * * *

р1 = а* ... а*па0 — а*а* ... а*па0 — а*а*(2) ... а*(т) = = (в1 А1)*(Ц2 в2А2 )* . . . (ЦтвтАт)* в*(Ц2вк )* . . . (Цт вт )* в1* в2* ■ ■ ■ в*т = 12 •

5. п > 0, т > 0 и в0 = ©. Так как в0 = ©, существует ребро в С(р2), входящее в вершину опЬ(р2). Значит существует ребро в С(р1), входящее в вершину /(опЬ(р2)) = опЬ(р1), откуда а0 = ©. Далее, учитывая, что компонента связанности графа С(р2) отображается в некоторую компоненту связанности графа С(р1), по лемме 3 получаем а1 = в1 А1, а0 = Ц0в0 и ад(к) = цквкАк для к = 2,...т,

С.С. Волосивец. Абсолютная сходимость простых и двойных рядов Фурье

где g — функция, отображающая множество {2,... , m} во множество {0,... ,n}. Поэтому

* * 3 ** * 7 *** * 6'10

pi = а* ... a*nao — а*а* ... а*пао — а*а0а* • • • а*пао —

17

-а*а*(2) ... а*(т)ао = (в^1)* (р2в2A2)* ... (РтвтAm)*Рово --в** (Р2вк)* . . . (Ртвт)* Рово - в** в* . . . в*тРово - в**в2* . . . в*тво = Р2 .

Таким образом, тождество р1 < р2 принадлежит Е, т. е. Eq{o, VI} С Е. Теорема доказана. Следствия 1, 2 непосредственно вытекают из теорем 1, 2 и следствия 2 работы [5].

Библиографический список

1. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория полугрупп и ее приложения. Саратов, 1965. Вып. 1. С. 3-197.

2. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. V. 6. P. 73-89.

3. Henkin L, Monk J.D., Tarski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam, 1971. 311 p.

4. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. V. 1. P. 1-62.

5. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Математика. 1993. № 3. С. 23-30.

6. Andreka H, Bredikhin D.A. The equational theory of

union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. V. 33. P. 12-25.

7. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирск. мат. журн. 1997. Т. 38. С. 29-41.

8. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. АН. 1998. Т. 360. С. 594595.

9. Bredikhin D.A. On varieties of semi-groups of relations with operations of cylindrofication // Contributions to General Algebra. 2005. V. 16. P. 1-6.

10. Boner F, Poschel F.R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. V. 7. P. 50-70.

УДК 517.518

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ПРОСТЫХ И ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

С.С. Волосивец

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: VolosivetsSS@mail.ru

Устанавливаются двумерные аналоги известных условий Зигмунда и Саса для абсолютной сходимости рядов Фурье - Ви-ленкина. Также доказывается, что двумерное условие Саса является неулучшаемым в определенном смысле.

Ключевые слова: абсолютная сходимость, ряды Фурье -Виленкина, модуль непрерывности, функции ограниченной p-флуктуации.

Absolute Convergence of Single and Double Fourier Series on Multiplicative Systems

S.S. Volosivets

Saratov State University,

Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: VolosivetsSS@mail.ru

Two-dimensional analogs of famous Zygmund and Szasz tests for absolute convergence of Fourier - Vilenkin series are established. Also it is proved that two-dimensional Szasz test is the best possible in the certain sense.

Key words: absolute convergence, Fourier - Vilenkin series, modulus of continuity, functions of bounded p-fluctuation.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть P={pj }°=1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 < р. < N при всех ] е N и Zj = {0,1,... — 1}. По определению полагаем т0 = 1, тп = р1.. .рп при п е N. Тогда каждое число х е [0,1) имеет разложение

те

х = 1] xjт—, xj е ^. (1) .7 = 1

© С.С. Волосивец, 2009

7