О полугруппах отношений с унарными операциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрим следующую обратную задачу.

Задача 1. По заданным спектральным данным Л0 постройть Q, h и H.

Сформулируем необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи 1.

Теорема 1. Для того чтобы величины {Xnq,anq}n>0q=rm были спектральными данными самосопряженной краевой задачи L(Q, h, H) с потенциалом Q(x) = [Qjk(x)]jk=im, Qjk(x) E L2(0,n) и такой, что

П

h + H + 1 f Q(x) dx является диагональной матрицей, необходимо и до-20

статочно выполнение следующих условий:

1) Kq = Xki при n = к. Если, Xnq = Xni, то ат = ащ;

2) верны, асимптотические формулы (2) и (3);

3) все Xnq вещественные. Ранги матриц anq равны кратноетям Xnq и anq = (anq)*; anq > 0 при всex n > 0 q = 1,m;

4) для любого вектора-строки y(X), который является целой функцией и имеет асимптотику y(X) = O(exp(|Im\fX\n)) при |X| ^ из выполнения условия y(Xnq)anq = 0 при всexn > 0 q = 1,m следует, что

Y (X) = 0.

Данная теорема является обобщением известного результата для скалярного случая (см. [1, с. 72]). Однако отметим, что в матричном случае вводится дополнительное условие 4. Нетрудно показать, что в скалярном случае оно вытекает из условий 1 3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

2. Yurko V.A. Inverse problems for matrix Sturm — Liouville operators // Russian J. of Mathematical Physics. 2006. Vol. 13, №1. P. 111-118.

3. Yurko V.A. Inverse problems for the matrix Sturm — Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems. 2006. Vol. 22. P. 1139-1149.

4. Chelkak D.. Korotyaev E. Wevl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm — Liouville operators on the unit interval // J. of Functional Analysis. 2009. Vol. 257, iss. 5. P. 1546-1588.

УДК 519.4

Д.А. Бредихин

О ПОЛУГРУППАХ ОТНОШЕНИЙ С УНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности О, операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена

как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения С. Для заданного множества О операций над бинарными отношениями обозначим через Я{О} (Я{О, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр) отношений с операциями из О. Пусть Уат{О} (Уат{О, с}) — многообразие, порожденное классом Я{О} (Я{О, с}).

Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А.Тарского [1]. Им были рассмотрены алгебры отношений со следующими операциями: булевы операции объединения и, пересечения П и до тол пения — операции произведения о и обращения -1 отношений; нульарные операции 0 (пустое множество), I (тождественное отношение), и (универсальное отношение). Существует ряд других важных операций над отношениями [2 — 6]. Как правило, такие операции могут быть выражены через операции алгебр отношений Тарского. Алгебра отношений с указанным типом операций называются редуктами алгебр от,ношений Тарского.

Одной из основных проблем при рассмотрении классов алгебр отношений является проблема нахождения базиса тождеств порожденных ими многообразий, а также выяснения вопроса об их конечной базируемости.

о

пия и отношений, а также двух унарных операций А и V, определяемых формулами

А(р) = {(Хх) : (ЗУ, z)(y, *) е р}, V(p) = {(Хх) : (3y)(y, у) е р}.

Согласно определению А(р) = I ^(р) = I), если р = 0 (отношение р содержит неподвижную точку (у, у) е р), следовательно, опера-А

операцпя V - как индикатор того, что отношение содержит неподвижную точку.

Заметим также, что операции А и V могут быть выражены через операции алгебр отношений Тарского следующим образом: А(р) = = (и о р о и) П /и V(р) = (U о ( р П I) о и) П I.

Общеизвестно, что класс Д{о} совпадает с классом всех полугрупп, поэтому алгебры отношений, в сигнатуру которых входит операция умножения отношений, могут быть рассмотрены как полугруппы отношений с дополнительными операциями [4].

Основные результаты статьи формулируются в следующих теоремах. Их доказательство существенным образом использует описание экваци-ональных теорий алгебр отношений с позитивными и примитивно позитивными операциями, полученное автором в работах [7 — 10].

Теорема 1. Алгебра (А, •, *) типа (2,1) принадлежит, многообра-

зию Уат{о, А} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам

(ху)* = х(у*) (1), (ж*)* = х* (2), ху* = у*х (3), (ху*)* = ж*у* (4), хх* = х (5).

Теорема 2. Упорядоченная алгебра (А, •, *, <) типа (2,1) принадлежит многообразию Уат{о, А, с} тогда и только тогда, когда она удов-

ху* < х

Теорема 3. Алгебра (А, •, •) типа (2,1) принадлежит, многообразию Уат{о, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождеству (1) и тождествам:

(ж*)2 = х* (7), ху^ = у • х (8),

(ху> = (ух> (ху^> = х • у^ (10),

х • (хр)^ = х^ (11) для любого простого р.

Теорема 4. Упорядоченная алгебра (А, •, •, <) типа (2,1) принадлежит многообразию Уат{о, V, С} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет, тождествам (1), (7) — (11) и тождеству ху^ < х (12).

Теорема 5. Алгебра (А, •,*, •) типа (2,1,1) принадлежит, многообразию Уат{о, А, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам (1) — (5), (7) — (11) и тождествам

(х> = х* (13), (х^)* = х^ (Ц).

Теорема 6. Упорядоченная алгебра (А, •,*, •, <) типа (2,1,1) принадлежит, многообразию Уат{о, А, V, С} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам (1) — (Ц)-

Теорема 7. Алгебра (А, •, +, *) типа (2, 2,1) принадлежит, многообразию Уат{о, и, А} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам (1) — (5) и тождествам (х + у) + * = х + (у + *) (15), х + х = х (16), х + у = у + х (17), (х + у)* = х* + у* (18), х(у + *) = ху + х* (19), (х + у)* = х* + у* (20), х + ху* = х (21).

Теорема 8. Алгебра (А, •, +, •) типа (2, 2,1) принадлежит, многообразию Уат{о, и, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам (1), (7) — (И), (15) — (19) и тождествам (х + у)^ = х • (22), х + ху• = х (23).

Теорема 9. Алгебра (А, •, +,*, •) типа (2, 2,1,1) принадлежит, многообразию Уат{о, и, А, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет, тождествам (1) — (5), (7) — (И), (13) — (23).

Теорема 10. Многообразия Уат{о, V} Уат{о, V, С} Уат{о, А, V}, Уат{о, и, V} и Уат{о, и, А, V} не являются конечно базируемыми.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tarski A. On the calculus of relations // J, Symbolic Logic, 1941, Vol, 6, P. 73-89,

2. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория полугрупп и ее приложения: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1965, Вып. 1, С. 3-197.

3. Henkin L., Monk J.D., Tarski A. Cylindrie Algebras, North-Holland, Amsterdam, part I, II, 1971, 1985.

4. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. Vol. 1. P. 1-62.

5. Boner F, Poschel F.E. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

6. Bredikhin D.A. On varieties of semi-groups of relations with operations of cylindrofieation // Contributions to General Algebra. 2005.

7. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. математика. 1993. JV2 3. С. 23-30.

8. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // ('но. Мат. журн, 1997. Т. 38. С. 29-41.

9. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

10. Andreka Н., Bredikhin D.A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 12-25.

УДК 517.984

С.А. Бутерин

О КОНСТРУКТИВНОМ РЕШЕНИИ НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

1. Пусть {Xn}n>0 — спектр краевой задачи Штурма^Лиувилля L = L(q(x),h,H) :

—y" + q(x)y = Xy, 0 < x < п, (1)

U(y) := y'(0) — hy(0) = 0, V(y) := y'(n) + Hy(n) = 0, (2)

где q(x) E L(0, п) — комплекснозначная функция, a h, H — комплексные числа.

В статье исследуется одна неполная обратная спектральная задача для L. Обратные задачи заключаются в восстановлении операторов по некоторым их спектральным характеристикам [1]. Известно, что коэф-L

носильно, например, заданию спектров двух краевых задач для уравнения (1) с одним общим краевым условием. В неполных обратных задачах требуется восстановить оператор по части спектральных данных при наличии о нем априорной информации. Рассмотрим следующую неполную обратную задачу.