О многообразиях полугрупп отношений с унарными диофантовыми операциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

2. Борисова Л. В. Критерий сходимости рядов Фурье - Лагерра в точке Лебега. Саратов, 1988. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1988, №5892-В88.

3. Борисова Л. В. К вопросу о сходимости рядов Фурье - Эрмита // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2.

УДК 519.4

Д. А. Бредихин

О МНОГООБРАЗИЯХ ПОЛУГРУПП ОТНОШЕНИЙ С УНАРНЫМИ ДИОФАКТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

В статье находятся базисы тождеств мног ообразий, порождённых алгебрами отношений с операциями умножения отношений и унарными диофантовыми операциями, задаваемыми с помощью логических формул специального вида.

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности О операций над ними, образует алгебру отношений. Основы абстактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Одной из основных проблем в теории алгебр отношений традиционно является изучение их свойств, выраженных на языке тождеств, т.е. рассмотрение соответствующих многообразий, порождённых различными их классами.

Мы будем использовать следующие обозначения: — много-

образие, порожденное классом алгебр, отношений с операциями из С/{П} - клон операций, порожденный П (множество всех операций, выразимых через операции из О).

В теории алгебр отношений обычно рассматриваются операции, задаваемые с помощью логических формул и, в частности, формул различного специального вида. Операция называется диофантовой [3, 4] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана формулой <р(х,у) с двумя свободными переменными хи у, содержащей лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. К числу таких операций, например, относятся операции умножения о, обращения 1 отношений и операции цилиндрофикации [6]. Всякой диофантовой операции со, задаваемой формулой ф(х,_>'), может быть сопоставлен двухполюсник [3, 4, 5] (фаф с двумя выделенными вершинами). Вершины этого графа соответствуют переменным формулы ф(х,>'), две вершины и и V соединены ребром, если атомарная формула вида («,у)е р входит в запись формулы ф(х, у), выделенными вершинами являются вершины хну.

Предметом нашего рассмотрения будут алгебры отношений с операцией умножения отношений о и унарными диофантовыми операциями, задаваемыми формулами, содержащими в своей записи лишь одну атомарную формулу. Существуют девять таких операций (исключая тождественную). Остановим наше внимание на тех из них, двухполюсники которых не содержат петель. Таковыми являются:

р"1 = {(х,у) :(у,х) е р} - операция обращения отношений;

Z)(p) = {(x,y):(3z)(x,z)ep} и Д(р) = {(х,у): (3z)(z,y) е р} - операции цилиндрофикации;

D(р) = {(х,у): (3z)(z,x) 6 р}; Д(р) = {(x,y):(3z)(y,z) е р};

0(Р) = : (Зм, v)(x, у) е р}.

Существуют девять различных клонов Cl{Q) с множеством операций {о} с: Q с {о,"' ,D,R,D,R,Q}. Это следующие клоны операций: ОД (1); С/К"1} (2); C/{o,D} (3);

Cl{°,R} (4); Cl{°,R,D) = Cl{°,Q) (5); C!{o,D} (6);

Cl{o,R} (7); CI{o,D,R} (8); Cl{°:\Q} (9).

Соответствующие алгебры отношений могут быть рассмотрены как полугруппы отношений (относительно операции умножения отношений) с некоторыми дополнительными унарными операциями.

Общеизвестно, что многообразие Var{°} совпадает с классом всех

полугрупп. Многообразие Var{о,-1} было охарактеризовано в [7]. Оно совпадает с классом всех инволютированных полугрупп. В приводимых ниже результатах находятся базисы тождеств для многообразий, соответствующих клонам (3) - (5) и (9). Задача описания многообразий, соответствующих клонам (6) - (8), остается открытой.

ТЕОРЕМА 1. Алгебра (А,-,*) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{°,D} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам:

(xy)z = x(yz) (1), (х')'=х* (2), (х*)2=х* (3),

(ху)*=ху' (4), ху*х* = ху* (5), x'y'z' = x'z'y" (6),

x'yzy = x'zy (7).

ТЕОРЕМА 2. Алгебра (А,-,') типа (2,1) принадлежит многообразию Var{°,D} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам:

(1)-(3), (ху)' = х'у (8), х*у*х = у*х (9), x'y'z* = y'x'z* (10), xyx'z* - xyz* (11).

ТЕОРЕМА 3. Алгебра (А,-,",') типа (2,1,1) принадлежит многообразию Var{°,D,R} тогда и только тогда, когда алгебры (Л,-, *, *) и (А,-,*, ')

удовлетворяют условиям теорем 1,2 соответственно, и выполняется тождество ху' = х'у' = х* у (12).

ТЕОРЕМА 4. Алгебра (А,-,*) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{°,Q} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам;

(1)-(3), х'у* = у*х* (13), (х*у)" = х*у* = (ху*)* (14), xyz*=xyx*z* (15), x'yz=x*z*yz (16), (ху)* у* = х* (ху)* = (ху)* (17), х* у* z* = x'yz* (18).

ТЕОРЕМА 5. Алгебра (А,-,~\ *) типа (2,1,1) принадлежит многообразию Var{°,~] ,Qj тогда и только тогда, когда алгебра(/!,-, *, *) удовлетворяет условиям теоремы 4, и выполняются тождества: (х ')"' = х (19), (ху)-^у-]х'1 (20), (**)-'=(*"')*=** (21), («"')* = х* (22), (хуу-])*=(хуУ (23).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. TarskiA. On the calculus of relations// J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 6. P. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. P. 188- 189.

3. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирск. мат. журн. 1977. Т. 38. С. 29 - 41.

4. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594 - 595.

5. Boner F., Poschel R. Clones of operations on binary relations. Contributions to general algebras. Wien, 1991. Vol. 7. P. 50 - 70.

6. Henkin !.., Monk J. D., Tarski A. Cylindric algeras I, II. Amsterdam, 1971, 1985.

7. Schein В. M. Representation of involuted semigroups by binary relations // Fundamenta Math. 1974. Vol. 82. P. 121 - 141.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ ПО СПЕКТРУ*

В [1] рассматривалось возмущение оператора Штурма - Лиувилля оператором свёртки, и исследовалась обратная задача восстановления свёрточной компоненты по спектру в предположении, что потенциал оператора Штурма - Лиувилля известен априори. Доказана теорема единст-

"Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007) и гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).