О многообразиях полугрупп бинарных отношений с операциями идентификациями неподвижной точки и рефлексивной двойной цилиндрофикации Текст научной статьи по специальности «Математика»

каждую функцию pal(p, x) преобразовывать в автомат Ap с конкретным множеством состояний. Следовательно, в рассматриваемой композиции все компоненты - автоматы, и результат композиции - автомат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной механики и управления : сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. -183 с.

2. Трахтпман Л. Л/.. Трахтпман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М, : Советское радио, 1975. -208 с.

3. Поликарпов С. И. Представление автомата рядом Фурье в задачах диагностирования и управления //Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2013, Вып. 15, С, 64-66,

УДК 501.1

А. В. Попович

О МНОГООБРАЗИЯХ ПОЛУГРУПП БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЯМИ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И РЕФЛЕКСИВНОЙ ДВОЙНОЙ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная (Ф, Q, с) отношением теоретико-множественного включения с. Одной из важнейших операций над отношениями является операция умножения о. Алгебры отношений вида (Ф, о) и (Ф, о, с) образует соответственно полугруппу и упорядоченную полугруппу отношений, и всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе отношений. Вместе с операцией умножения отношений могут быть также рассмотрены и другие операции, несущие дополнительную информацию об этой полугруппе.

о

идентификации неподвижной точки Vi и рефлексивной двойной цилин-дрофикации V2. Операции Vi и V2 определяются следующим образом:

Vi(p) = {(x,x) : (3y)(y,y) е р}, V2(р) = {(x,y) : (3z)(z,z) е р}.

Для заданного множества П операций над бинарными отношениями обозначим через R{ü} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из П. Пусть Var{Q} - многообразие, порожденное классом R{^}.

При рассмотрении могообразий, порожденных классами алгебр отношений с операциями умножения отношений, идентификации неподвижной точки и двойной рефлексивной цилиндрофикации, возникают следующие проблемы.

Проблема 1. Нахождение базисов тождеств для многообразий Var{o, Vi} Var{o, Vi, с} Var{o, V2} Var{o, V2, с}, Var{o, Vi, V2}, Var{o, Vi, V2, с}, порожденных соответствующими классами алгебр отношений.

Проблема 2. Являются ли эти многообразия конечно базируемыми.

Следующие шесть теорем дают решение первой проблемы для соответствующих многообразий.

Теорема 1[4]. Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит, многообразию Var{o, V1} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим, тождествам:

1) (xy)z = x(yz), 2) (x*)2 = x*, 3) xy* = y*x, 4) (xy)* = (yx)*,

5) (xy*)* = x*y*, 6) x*(xp)* = x* для любого простого числа p.

Теорема 2[5]. Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит, многообразию Var{o, V1} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам 1)-5) из теоремы 1 и следующим двум тождествам:

7) xy* < x, 8) x* < (xp)* для любого простого числа p.

Теорема 3[6]. Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит, многообразию Var{o, V2} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим, тождествам:

1) (xy)z = x(yz), 9) (x*)2 = x*, 10) x*xx* = x*, 11) (x*y)2 = x*y,

12) (xy*)2 = xy*, 13) (xy)* = (yx)*, 14) x*yz* = z*yx*, 15) (xy*z)* = y*zxy*, 16) x*yx*zx* = x*zx*yx*, 17) x*(xp)* = x* для любого простого числа p.

Теорема 4. Частично упорядоченная алгебра (A, •, *, <) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, V2, с} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам 1),10)-16) и следующим трем тождествам:

18) xy* < y*, 19) x*y < x*, 20) x* < (xp)* для любого простого числар.

Теорема 5. Алгебра (A, •, *, *) типа (2,1,1) принадлежит, многообразию Varjo, Vi, V2} если, и только если она удовлетворяет тождествам 1)-5), 9)-17) и следующим тождествам:

21) x** = x*, 22) x** = x*, 23) (xy*)* = x*y*, 24) (x*y*)* = x*y*, 25) (x*yz*)* = x*(yz*)*, 26) (xy*z)* = (xy*)*(y*z)*.

Теорема 6. Алгебра (A, •, *, *, <) типа (2,1,1) принадлежит, многообразию Varjo, V1, V2, с} если, и только если она удовлетворяет тождествам 1)-5), 7), 10)-16), 18)-26).

Следующая теорема дает ответ на вторую проблему.

Теорема 7. Многообразия Varjo, V1} Varjo, V1, с} Varjo, V2} Varjo, V2, с} Varjo, V1, V2} w Varjo, V1, V2, с} не являются конечно базируемыми.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений е диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн, 1997. JV2 1. С. 29-41.

2. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений е диофантовыми операциями // Сиб. мат. Докл. РАН 1998. С. 594-595.

3. Boner F., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

4. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений е операцией идентификации неподвижной точки // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : Межвуз, сб. науч. тр. Саратов 2010. С. 90-98.

5. Бредихин Д. А., Попович, А. В. Об частично упорядоченных полугруппах отношений с операцией идентификации неподвижной точки // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2011. Вып. 1. № 4. С. 53-56.

6. Бредихин Д. А., Попович, А. В. Тождества полугрупп отношений с операцией двойной рефлексивной цилиндрофикации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2014. JV2 8. С. 90-96.

УДК 519.4, 519.8

В. В. Розен

ВЛОЖЕНИЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ В УПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В данной работе рассмотрена проблема вложимости произвольного (в общем случае - бесконечного) частично упорядоченного множества в