Вложения упорядоченных множеств в упорядоченные векторные пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 5. Алгебра (A, •, *, *) типа (2,1,1) принадлежит, многообразию Varjo, Vi, V2} если, и только если она удовлетворяет тождествам 1)-5), 9)-17) и следующим тождествам:

21) x** = x*, 22) x** = x*, 23) (xy*)* = x*y*, 24) (x*y*)* = x*y*, 25) (x*yz*)* = x*(yz*)*, 26) (xy*z)* = (xy*)*(y*z)*.

Теорема 6. Алгебра (A, •, *, *, <) типа (2,1,1) принадлежит, многообразию Varjo, V1, V2, с} если, и только если она удовлетворяет тождествам 1)-5), 7), 10)-16), 18)-26).

Следующая теорема дает ответ на вторую проблему.

Теорема 7. Многообразия Varjo, V1} Varjo, V1, с} Varjo, V2} Varjo, V2, с} Varjo, V1, V2^ Varjo, V1, V2, с} не являются конечно базируемыми.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений е диофантовыми операциями // Сиб, мат, журн, 1997, JV2 1, С, 29-41,

2, Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений е диофантовыми операциями // Сиб, мат. Докл. РАН 1998. С. 594-595.

3, Boner F., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991, Vol, 7, P. 50-70,

4, Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений е операцией идентификации неподвижной точки // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : Межвуз, сб. науч. тр. Саратов 2010, С, 90-98,

5, Бредихин Д. А., Попович, А. В. Об частично упорядоченных полугруппах отношений с операцией идентификации неподвижной точки // Вестн, Сарат, гос. техн. ун-та. 2011. Вып. 1. № 4. С. 53-56.

6, Бредихин Д. А., Попович, А. В. Тождества полугрупп отношений с операцией двойной рефлексивной цилиндрофикации // Изв. вузов. Сер. Математика. 2014. JV2 8. С. 90-96.

УДК 519.4, 519.8

В. В. Розен

ВЛОЖЕНИЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ В УПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В данной работе рассмотрена проблема вложнмостн произвольного (в общем случае - бесконечного) частично упорядоченного множества в

упорядоченное векторное пространство. Используемый здесь метод «погружения» упорядоченного множества в упорядоченное векторное пространство состоит из двух этапов: первый этап - вложение упорядоченного множества в упорядоченное множество вероятностных мер, определенных на специальным образом подобранной а-алгебре, и второй -расширение множества вероятностных мер до векторного пространства счетно-аддитивных функций с продолжением упорядоченности, построенной на множестве вероятностных мер, до упорядоченности этого векторного пространства. При этом используется следующий критерий продолжимости упорядоченности, заданной на выпуклом подмножестве векторного пространства, до упорядоченности всего векторного пространства [1].

Лемма 1. Пусть р - отношение порядка, заданное на выпуклом подмножестве С векторного пространства V. Для того чтобы порядок р был продолжимым до конического порядка на все npocmpaнcmвoV, необходимо и достаточно, чтобы для него выполнялись следующие аксиомы.

(81) При, любых х,у,г € С, а, в > 0, а + в = 1 имеет место равносильность:

х <р у & (ах + ) <р (ау + вz). (1)

(82) При, любых х,у,г € С, а, в > 0, а + в = 1 из условии,

XI <р уг,

Х2 <р т, (2)

ахг + вх2 = ауг + ву2

следует хг = уг,х2 = у2.

Вероятностные меры на бесконечном упорядоченном множестве (А, ш) вводятся следующим образом. Вначале необходимо зафиксировать некоторую а-алгебру (А) измеримых подмножеств, па которых определяются вероятностные меры. В качестве (А) здесь берется наименьшая а-алгебра, содержащая все мажорантно стабильные подмножества упорядоченного множества (А,ш). Это условие обеспечивает, во-первых, при любом а € А включение {а} € ^ш(А) и, во-вторых,

а

ющейся изотонным отображением упорядоченного множества (А,ш) в числовую прямую.

Определение 1. Под вероятностной мерой на упорядоченном, множестве (А,ш) будем понимать неотрицательную счетно-аддитивную

а

(А), порожденной семейством мажорантно стабильных в (А,ш) подмножеств.

Множество вероятностных мер на (А,ш) обозначается далее через Рш (А).

Определение 2. Вырожденная вероятностная мера, сосредоточенная в точке а € А, есть вероятностная мера 5а, которая определяется следующим образом. Для произвольного подмножества В € ^ш (А) полагаем:

ш ) = {1> ес-та €В (3)

I 0, если а € В.

При, отождествлении вырожденной вероятностной меры 5а, сосредоточенной в точке а, с элементом а множество А можно рассматривать как подмножество множества Рш(А).

Лемма 2. Пусть С0(ш) - множество всех изотопных отображений упорядоченного множества (А, ш) в действительную прямую Я. Для любой функции, € С0(ш) и вероятностной меры ц € Рш(А) существует интеграл / ^¿ц по множеству А.

А

Далее полагаем Тр(ц) = J ^¿ц. Поставим в соответствие каждому

А

подмножеству Б С С0(ш) отношение квазипорядка на Рш(А), полагая

£

Ц1 <ш Ц2 & (У^ € Б)7р(щ) < ^(Ц2)(Ц1,Ц2 € Рш(А)). (4)

Для квазипорядков вида ш^, где Б С С0(ш), существует наименьший - им является квазипорядок шСо(ш\ Так как множество изотопных отображений Со(ш) аппроксимирует квазипорядокш, то расширение шС°(ш) будет продолжением порядкаш; будем называть его каноническим

ш

чать через ш. Можно показать, что каноническое продолжение порядка на множество вероятностных мер является отношением порядка. Основной результат данной работы представляет следующая теорема.

Теорема 1. Всякое упорядоченное множество может быть изоморфно вложено в некоторое упорядоченное векторное пространство.

(А, ш)

жество. В качестве искомого векторного пространства возьмем векторное пространство У^(А), элементами которого являются действительные счетно-аддитивные функции, определенные наа-алгебре (А), порожденной семейством мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества (А, ш). Множество вероятностиых мер Рш(А) представляет собой выпуклое подмножество векторного пространства^(А). Сле-

дующий шаг в доказательстве данной теоремы состоит в продолжении порядка си на все векторное пространство Уш(А). Для этого используется лемма 1: непосредственно проверяется, что каноническое продолжение с удовлетворяет условиям (1) и (2) леммы 1. Таким образом, согласно лемме 1 порядок с продолжается до конического порядка с на векторном пространстве Уш(А). Искомое изоморфное вложение упорядоченного множества (А, с) в упорядоченное векторное пространство (У^(А),сС) осуществляет отображение, которое каждому а € А ставит в соответствие вырожденную вероятностную меру 5а.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розен В. В. Упорядоченные векторные пространства и их приложения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. -216 с.

УДК 514.133

Б01: 10.13140/110.2.1.4888.0801

Л. Н. Ромакина

АНАЛОГИ ФОРМУЛЫ ГЕРОНА ДЛЯ ТРЕХРЕБЕРНИКОВ ТИПОВ еее(/), еее(Ш) ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

По типу ребер, типу углов и типу расположения на абсолюте несобственных точек сторон все трехвершинники гиперболической плоскости Н положительной кривизны можно отнести к 22 типам [1], инвариантным относительно фундаментальной группы О данной плоскости. Трехвершинники десяти типов обладают внутренностью и по этому свойству названы трехреберниками. В статье [2] доказана формула

^ = р2(А + В + С - гп) (1)

выражения площади трехреберника плоскости Н через величины А В, С

ков с неизмеримыми углами. В данной работе, применяя тригонометрические соотношения плоскости Н (см. [1]), получим формулы выражения площадей трехреберников с тремя эллиптическими ребрами через длины ребер.