Характеризация спектральных данных матричного оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса w 2> Текст научной статьи по специальности «Математика»

и минимальное значения модулей и построим линейное отображение [amm; amax] ^ [cmin; cmax], где ог - непрерывно занумерованные оттенки одного цвета. Для определённости выберем зелёный цвет в цветовой модели RGB, при этом отступим на 80 вправо от границы минимальной светимости. Указанное оторбажение в данном случае имеет вид [amin; amax] ^ [80; 255]. Предложенного отступа от наиболее тёмных оттенков зелёного цвета вполне достаточно для того, чтобы близкие по цвету тёмные 4-контуры не сливались при изображении в один чёрный ромб. Формализуем описанный алгоритм.

min_m, max_m = min(modules), max(modules) color_min, color_max=80, 255 for contur in conturs_list: k, с = contur.popitemO path = QPainterPathO path.moveTo(QPoint(c[0].x, c[0].y)) for t in c:

path.lineTo(QPoint(t.x, t.y)) path.lineTo(QPoint(c[0].x, с [0].у)) color = (modules[k] - min_m)/(max_m - min_m)* \ (color_max-color_min) + color_min

qp.fillPath(path, QBrush(QColor().fromRgb(0, color, 0)))

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ромакина Л. Н. Ковры на простых 4-контурах гиперболической плоскости положительной кривизны // Дискретная математика. 2014. Т. 26, вып. 1. С. 118-132.

2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 274 с.

УДК 517.984

Н. П. Бондаренко

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ДАННЫХ МАТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА^ЛИУВИЛЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ ИЗ КЛАССА W2

В данной работе дается характеризация спектральных данных краевой задачи L = L(Q(x),h, Н) для матричного уравнения Штурма^ Лиувилля

£У := -У" + Q(x)Y = AY, x е (0,п), (1)

с краевыми условиями

U(У) := У'(0) - hY(0) = 0, V(У) := У'(п) + НУ(п) = 0.

Здесь У(х) = [ук(ж}]к=у"т _ вектор-столбец, Л - спектральный параметр, Q(x) - т х т матрица с элементами из Ж21(0,п), называемая потенциалом, Н и Н - комплексные т х т матрицы. Рассмотрим самосопряженный случай, когда Q = Q*, Н = Н*, Н = Н*.

Ранее характеризация, или, иначе говоря, необходимые и достаточные условия на спектральные данные матричных операторов IIIтур.ми Лиувилля были получены в работах [1], [2] для потенциала из класса Ь2 и в работе [3] для потенциала из класса W-1. Одной из ключевых идей при исследовании матричных операторов является разбиение собственных значений на группы по асимптотике. Чем выше гладкость потенциала, тем более сложную структуру имеют эти группы. В данной работе получен результат для потенциала более высокой гладкости - из класса Соболева W2>.

Пусть ш - некоторая эрмитова т х т матрица. Будем писать Ь^(х), Н, Н) Е А(ш), если Н + Н + 2/0 Q(x) dx = ш. Без ограничения для общности можно считать, что ш принадлежит классу диагональных матриц Р, поскольку ее можно привести к диагональному виду путем применения к задаче Ь стандартного унитарного преобразования.

Лемма 1. Пусть Ь Е Л(ш), ш = (На д{ш1,ш2,... ,шт}. Задач а Ь имеет счетное множество собственных значений {Лщ}, которые с учетом кратностей можно занумеровать таким образом,, чтобы выполнялись асимптотические формулы

у/хПд = n + — + , n > 0, q = 1,m, [кпц}n>o E l2. nn n2

Пусть Ф(х, А) - матричное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям U(Ф) = /то, V(Ф) = 0m. Здесь Im - единичная m х m матрица, 0m - нулевая m х m матрица. Обозначим M(А) := Ф(0,А). Матричные функции Ф(х, А) и M(А) называются решением Вейля и матрицей Вейля задачи L соответственно. Матрица Вейля является мероморфной

А

L

Введем весовые матрицы anq := Res M(А). Величины Л =

= {Ат,anq}n>0q=rm называются спектральными данными краевой за-L

Лемма 2. Пусть L E А(ш), ш E D. Тогда, справедливы асимптоти-

ческие формулы

Еапд = — I(в) +---, 5 = 1,т, п > 0,

7Г П

а _ — гМ .

апд

П п

шп=шя

"д—"-"я

где

' — Л Р Кп \

У а-д = - 1т + + -у , п > 0, п V п2 п2 /

д=1 4 х

(1т - I(в))а-д = Кп, п > 0, 5 = 1,т, q: шч = ш8,

1 (*) = [г(в)1 _ Л*) Г 1, 3 = k, шз = 1 ]^,к=1,т, ^0, иначе,

„.о о / 1 1 \ ш3 _ „ 1 ГП

Q(t) АЪ,

Р = 1 Q(0)+WН-НШ-Ш2-ш2(1 + ^ -—, Ш := Н+ 1 /

— \п — / 3 — Уо

символ Кп обозначает различные последовательности т х т матриц, таких что {||Кп||}п>0 Е 12. Штрих над суммами означает, что при, наличии кратных собственных значений соответствующие им одинаковые весовые матрицы учитываются в сумме только один раз (подробности см. в [2]).

Будем писать Л Е Яр, если из Лпд = Лк1 следует апд = ак1.

Теорема 1. Пусть ш = ш* Е V. Для того чтобы величины Л Е Яр были спектральными данными некоторой задачи Ь Е А(ш) с потенциалом, из класса Ш2>, необходимо и достаточно выполнение следующих условий.

1. Справедливы асимптотические формулы лемм 1 и 2.

2. Все числа Лпд вещественны. Ранги матриц апд совпадают с крат-ностями соответствующих значений Лпд (под кратностью в данном случае мы понимаем количество раз, которое значение встречается в наборе), и апд = (апд)*7 апд > 0 для всех п > 0 q = 1, т.

3. Для любого вектора-строки 7(Л)7 который является целой функцией и удовлетворяет оценке

7 (Л) = 0(ехр(|/т^Л|п)), |Л|

,

из выполнения условия 7 (Лпд )апд = 0 для вс ех п > 0 q = 1,т следует, что 7(Л) = 0.

Л

условиям теоремы 1, можно однозначно восстановить Q, Н и Н. Чтобы показать принадлежность построенного потенциала ^ ^тассу Ш21, нужно выбрать модельную задачу Ь = Ь((^(х),Н,Н) Е А(ш), Q Е Ш1, для

спектральных данных которой верны асимптотические формулы лемм 1 и 2 с теми же константами, что и для данных Л. Такую задачу можно подобрать в виде Q(x) = Cx7 h = H = 0m, где C - некоторая константная m x m матрица.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проекты № 13-01-00134 и № Ц-01-31042).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm—Liouville operator on a finite interval // Tamkang J. Math. 2011. Vol. 42, № 3. P. 305-327.

2. Bondarenko N. An inverse problem for the non-self-adjoint matrix Sturm—Liouville operator. URL: http://arxiv.org/abs/1407.3581 (дата обращения: 15.07.2014).

3. Mykytyuk Ya. V., Trush N.S. Inverse spectral problems for Sturm—Liouville operators with matrix-valued potentials // Inverse Problems. 2010. Vol. 26. P. 015009.

УДК 517.51

Jl. В. Борисова

О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ ЛЕБЕГА РЯДОВ ФУРЬЕ—ЛЕЖАНДРА

Пусть {Ln(x)},n = 1, 2,3,... - последовательность многочленов Лежандра, ортонормированных на отрезке [-1;1] с единичным весом.

n

Для любой функции f Е L[-1; 1] через Wn(f,x) = ^ akLn(x), где

k=о

1

ak = J f (t)Lk(t)dt, обозначим n-ю частную сумму ряда фурье^ -1

Лежандра.

Цель статьи - найти необходимые и достаточные условия сходимости ряда Фурье Лежиндри суммируемой с весом функции в точке Лебега этой функции. Отметим, что вопрос о сходимости в точке Лебега сингулярных интегралов и рядов Фурье суммируемых функций исследован в работах [1-4]. Аналогичный вопрос для рядов Фурье Лежиндри не решался.

Для рядов Фурье Лежиндри имеет место следующая лемма. Лемма 1 [5, с. 154]. Для всякого x из интервала (-1; 1) выполняется условие

lim [Wn(f,x) - (1 - x2)(-1/4)Sn(F, arccos x)] = 0, (1)

причем, сходимость равномерная на всяком сегменте [-1 + е;1 - е], где £> 0.