CC BY
44
УДК 511.3
ДРОБНЫЕ МОМЕНТЫ РЯДОВ ДИРИХЛЕ ИЗ КЛАССА СЕЛЬБЕРГА
Д.Б. Демидов
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Получена асимптотическая формула и нижняя оценка дробных моментов рядов Дирихле из класса Сельберга.
Ключевые слова: ряд Дирихле, дробные моменты.
1. Введение
Пусть Z(s) - дзета-функция Римана, s - комплексная переменная. В книге [1, с. 155] приведена теорема А.Е. Ингама о том, что
lim Í |С(<7 + it)\2k di = V' Tfc^ , т^<х T / ' n2a
1 n=l
где - < a < 1, 0 < к < 2, Tk(n) - коэффициенты ряда Дирихле для (h'(s) при Res > 1.
В 1981 году Р.Т. Турганалиев [2] доказал асимптотическое равенство со степенным понижением для дробного момента дзета-функции. Результат Турганалиева изложен в нижеследующем утверждении.
Пусть — < сг < 1, 0 < А: < 2, тогда выполняется
T
К(<т + ,t)f dt = TT + 0(Tl-í),
, n2a
1 n= 1
где 0 < £ = £(a, к).
Основная идея его работы заключалась в приближении дробной степени дзета-функции конечным отрезком ряда Дирихле.
D.R. Heath-Brown в своей работе [3] получил правильные по порядку верхнюю и нижнюю оценки для дробных моментов на критической прямой. Его результат представлен в следующих утверждениях.
1. Пусть к -рациональное число, к > 0, тогда
T
J |Z(1/2 + it)|2kdt > Tlogfc2 T. i
2. При к = 1/n, n - натуральное число, тогда справедливо неравенство:
T
J |Z(1/2 + it)|2kdt < Tlogfc2 T.
1
В 1985 году И.Ш. Джаббаров [4] получил асимптотическую формулу для дробных моментов £ (а + И) при а стремящемся к 1/2 с ростом Т.
1 (1п1п1п Т )2
Пусть —|--------------< сг < 1, 0 < А: < 2, Т > 103. Тогда справедлива формула
2 1п 1п Т
т
^ 2 ( \
\((а + г1)\2к М + О (А (т1-^™ +Т1-^{1-к{1~а)^
п= 1
где
( (1п1п1п Т )21
А = ехрг 1„1„г }' с«>0-
В 2007 г. А. Ьаигте1кав и Л. Б1еи^^ [5] изучали свойства дробных моментов от специального вида дзета-функций, ассоциированных с параболическими формами. Для формулировки теоремы А. Ьаигте1кав и Л. Б1еи^^ нам понадобятся следующие определения.
Пусть БЬ2(Ъ) - полная модулярная группа, состоит из целочисленных матриц с определителем равным единице.
Функция f (г) - мероморфная на верхней полуплоскости Кег > 0, г - целое число. Предположим, что f (г) удовлетворяет соотношению
f (7^) = (сг + С)гf (г) для всех 7 = ^ ^ С ) € ^(^ .
Далее предположим, что f (г) обращается в нуль на бесконечности, т.е. f (г) имеет разложение в ряд Фурье
f (г)=1+£ с(п)е'2п“,
п=2
Она называется параболической формой веса г относительно БЬ2(Ъ). Функция
..... ^ с(т)
Ф(з, /) = 1 + ~ , 8 = а + гЬ,
тя
т=2
называется дзета-функция, ассоциированная с параболической формой f(г). Функция ф(э, f) удовлетворяет функциональному уравнению вида:
(2п)-Т(5)ф(5./) = (-1)'/2(2п)*-'Г(г - «)ф(г - в,/),
где Г(з) - гамма-функция Эйлера.
Основное утверждение статьи [5] заключается в следующем.
Пусть к = 1/п, п - натуральное число. Тогда при Т ^ ж
т
I |ф(г/2 + и,/)|2ксИ » Т(1пТ)к2.
о
Пусть, далее, выполняется аналог гипотезы Римана для Ф(з,/) и п - натуральное чётное число. Тогда
т
[ |ф(г/2 + й,/)|2ка < Т(1пТ)к2.
В настоящей работе выводится асимптотическая при Т ^ ж формула для интеграла
т
4(^,Г) = у ^(а + ^
1
и правильная по порядку нижняя оценка для интеграла /&(1/2,Т), где ^(в) - функция из класса Сельберга степени 2. Этот класс был определен в 1992 году А. Сельбергом [6] следующим образом:
Определение 1. Рядом Дирихле из класса Б называется функция ^(в), в = а + И, удовлетворяющая следующим условиям: а(п)
Ее.5>1;
П=1
2) существует неотрицательное целое число т такое, что функция (в — 1)т^(в) целая;
3) коэффициенты Дирихле а(п) удовлетворяют неравенствам
для любого положительного £, причем а(1) = 1;
4) существует функция 7^(в) вида
к
7^(в) = Д Г(А^ + щг) ,
1=1
где
|е1| = 1, О> 0 , А^ > 0 , Ке щ > 0 , и такая, что для функции Ф(з) = 7^(з)^1 (в) справедливо тождество
ф(з) = ф(1-з)- (1)
5) при а > 1 функция ^(в) раскладывается в эйлерово произведение:
^(в) = П(1 + а(р)р- + а(р2)р-25 +-------),
р
здесь и далее, р обозначает простые числа;
Ь(п)
ОО
[в)
п= 1
п5
где Ь(п) = 0 , если п не равно положительной степени простого числа, причем Ь(п) ^ п® для некоторого в < 1/2.
Определение 2. Степенью функции ^(в) из класса Сельберга называется число 4, которое определяется следующим образом:
df — 2 Xi.
i=i
Определение 3. Примитивной функцией из класса Б степени 2 называется функция ^(в), которая не представляется в виде С^з^^з), где С^з), С2(з) € Б.
Для примитивных функций Сельберг сформулировал в [6] ряд гипотез, в частности нам понадобится в дальнейшем следующая.
Гипотеза 1. При х ^ ж справедлива асимптотическая формула
Нр)1
^ p
p<x
2
- = lnlnx + 0(1), (2)
где а(п) - коэффициенты Дирихле примитивной функции ^(з).
Пусть в дальнейшем коэффициенты Дирихле функции ^(з) удовлетворяют гипотезе, которая представлена в [7]:
Гипотеза 2. При х ^ ж справедлива асимптотическая формула
^^|a(n)|2 — Afx + O (xln 4 x) , (3)
n<x
где a(n) - коэффициенты Дирихле примитивной функции F (s). u
Пусть A: = —, 0 < A: < 1, u,v - взаимно простые натуральные числа, Т > 10, F (s) v
- примитивная функция Дирихле из класса Сельберга степени 2, s = a + it. Определим мультипликативную функцию dk(n) следующим образом:
4 (п)
иЛ
Р П= 1
где з = а + И, а > 1. Основной результат работы изложен в следующей теореме.
и
Теорема 1. Пусть Т > То > 0, 0 < А: < 1, к = —, и, V - взаимно простые натуральные
V
числа, ^(з) - функция из класса Сельберга степени 2, в = а + И, и пусть коэффициенты Дирихле а(п) функции F(з) удовлетворяют формулам (2), (3). Тогда для функции /^(а, Т) выполняется:
“ 14(п)|2 / Т
Т ( rT1\ rrST' UkV't' , ^
4(а,Т)=Т^——— + 0
n=1
п2ст \(lnln T )k
1 c ln ln T 2 1
пр,,2 + ^РГ-',<1’с=ги+2-
Для Ik(1/2, T) справедлива оценка
1
4 тг,Т Т (1пТ)
2. Вспомагательные результаты
Лемма 1 (см. [8, с. 112]). Пусть f (в) - регулярная в полосе а < Ке в < в и конечная для а < Ке в < в- Кроме того, f (в) ^ 0 при |1т в| ^ ж, а < Ке в < в- Тогда для а < 7 < в и д > 0 выполняется:
/З-a ( ОС
|/(y + it)|q di < I / І/(а + it)|qdi
І/(в + it)|q dt
Лемма 2 (см. [9]). Пусть сп - произвольная последовательность комплексных чисел
ОО
такая, что ряд У ' п|сп|2 сходится. Тогда
n=1
T
N
Е
П=1
СпП
it
N
dt = ^ |cn|2(T + O(n))
n=1
Лемма 3 (см. см. в [7]). Пусть е - произвольно малое положительное число, F(s) -функция из класса Сельберга степени 2, s = a + it, 0, 5T < t < 2, 5T и T > T0 > 0. Тогда справедлива следующая асимптотическая формула
р^ = а(») ехР (~»/г) ,
П=1
ns
где
+ sl(Qit)1 2s exp (2it — ‘2iQ-2 Ini) (l-exp(-^r))) +°(ТЄ ")
( ( k k N
є2 = Єї exp ( % ( ^(bn jU*) In А/ + - ^2 Re^ - j (k ~ 1)
1=1
.1=1
1=1
£1, ф, Аг, щ - постоянные из функционального уравнения (1) для функции F(з).
1п 1п Т
Лемма 4. Пусть Р(в) - функция из класса Сельберга степени 2, в = о + й, —:--------- <
а < 1. Справедливо неравенство
2 ln T
T
IF(a + it)\2clt Т ( a — -
T/2
2
в
а
— ОО
2
1п 1п Т
□ Применяя лемму 3 к функции ^(з), 5 = а + й, а > ——— , имеем
Т
т
J |F(а + ¿¿)|24 С J
Т/2 Т/2
а(п)
/ -/ па+г^ пт
т
1-2а
т/2
Е
пт
а(п)
п
1—а—И
где
^2
т
/2
т/2
т
т/2
т/2
пт
\ - а(п) /х / -I гр о+а V
- е т
а(п)
Е-^е_г
а+И
п>Т
и3 = Т1—2а
1-2а
Т
/2
т/2
Т
/2
Т/2
Е
п<Т
а (/?.)
гв пТ
1—а—г£
п
1—а—И
п>Т
Повторяя рассуждения работы [7, с. 11] для интегралов [Д, [/2, [73, [/4, получим
Т Т
I ^(а + й)|24 С J
Т/2 Т/2
Е
пТ
а(п)
п
а+г£
Т
1 2а
Т/2
Е
пТ
а(п)
п
1—а—г£
Пользуясь равенством
Е
пТ
а(п)
п
а+г£
х - а,(/г) х - а(/г)
/ -/ па+И п^а—
п Т п Т
имеем
Т
№ + «)! 2<й«гЕ^ + Е Е
Т/2
пТ
п<Т т<Т,т=п
|а(?г)| |а(?в)| (пт)а 1п(п/т)
+
+гм’£^+г-*£ Е
пТ
п<Т т<Т,т=п
|а(?г)| |а(?в)| (пт)1—а
+Т.
(4)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Применяя формулу частного суммирования к первой и третьей суммам из правой части последнего неравенства и пользуясь гипотезой 2, получим
тЕ!^+Тм'Е^«^-1/2)-‘+Т. п< Т п п< Т п
Теперь рассмотрим сумму
|а(??.)| |а(?в)| \ - 1 ч - \а(т + к)\\а(т)\т
\и\'Ч\\и'\"Ч\ с у ^ у (пт)а 1п(п/т) к ((т + к)т)а
п<Т т<Т,т=п ' 1<Н<Т т<Т ' '
« £
1
к
\
|а(т)|2 |а(
\ " \и\"Ч\ \ "
/ J ¡Т12а—2 ^
т<Т КТ
1<Н<Т
Применим к последним суммам формулу частного суммирования и гипотезу 2. Тогда
У у |«(п)||«(т)| <<; т2_ъ ыт
, (пт)а 1п(п/т)
п<Т т<Т,т=п
Таким же образом можно оценить следующую сумму
Т1_2сту- у- |а(п)||а(т)| ^Т2-2*ЫТ , Ыт)1~а
п<Т т<Т,т=п
Подставляя получившиеся неравенства в соотношение (4), получаем утверждение леммы. в
Лемма 5 (см. [3, с. 70].) Пусть F(з) - функция из класса Б степени 2, з = а + И,
— < сг < 1 и Т > То > 0. Тогда для рационального числа 0 < к < 1 справедливо неравенство
</(<т) < Та~1/2,1( 1/2)3/2_<т + е-Т ,
где
СЮ
3(а) ^ У |F(а + й)|2ки>(£)4, (5)
— Ю
2Т
™(*) = У е—2к(1—т )2 Жг, (6)
Т
Лемма 6. Пусть F(з) - функция из класса Сельберга степени 2 и з = а + П. Пусть далее 1/2 < ао < а < 1,к = u/v, где и < V с натуральными числами и^ и Т > Т0 > 0, N < Т15/16. Тогда выполняется неравенство
5—4сг 5 4(7—4(7о 5—4(7
К (а) «С АГ(<т0) б-4-°(ТЖ“) б-4сто + А'(1/2) Б-4стое“~(<7_<7о) ,
2
где
СЮ
К (а) = У \д(а + й)\^т(Ь)(И, (7)
— Ю
^(¿) - определяется формулой (6),
д(а + И) = + И) - (^ , (8)
\п<М /
^к (п) - коэффициенты Дирихле для функции Fк(з).
□ Пусть F(з) - функция из класса Сельберга степени 2, тогда существует неотрицательное число т такое, что функция (з — 1)mF(з) - целая. Мы будем пользоваться леммой 1. Возьмем
/(з) = (з — ^д^в^^2 ,
7 = а, а = а0,в = 5/4 и д = 2^ в лемме 1, получим
4ст—4сгд
5—4сго / \ 5—4сго
|/(а + й)|2^4 < I / |/(ао + й)|2/и4) ( [ |/(5/4 + ¿¿)|2/г’4 | . (9)
Рассмотрим отдельно интегралы в формуле (9)
Ю Зт/2
J \д(а+ й)\2/г’е~'щ*~т)2сЫ <. ! \д(а + й)\2/г’е~'щ*~т)2сЫ + е~^ <
—Ю т/2
ЗЮ
<.т~2тк [ а(а + г1)\2/г'сЫ + е-^ ,
ЗЮ
)2
|/(а0 + й)|2/г’(й < т2тА' \д(<т0 + й)|2/г’е-2А;(*-г)^ + е"^
аналогично
|/(5/4 + Й)|2/г,сИ < т2тА' |.<7(5/4 + '¿¿)|2/г’е_2А-(*_г)"4 + е"^ . (10)
Для подынтегральной функции в формуле (10) справедливо
^ А (п)
д(5/4 + ¿0 =
/ ^ п5/4+г^ : п>М
— ос
— ос
2
— оо
— 'ОС'
— 'ОС'
— 'ОС'
где
Лк (п)
Е
П\^...^Пъ=П 3 = 1
П<4 (пз) - ^ п* (пз)
Е
П\^...^Пъ =п, 3=1
П!<МЪ
п <N1
|Ак(п)| < п£, £ > 0 .
Подставляя все полученные оценки в формулу (9) и интегрируя по промежутку Т < т < 2Т, получаем
К [а) К (<то) Б~4<т°
/ зт
\т/2
Лк
Лк (п)
/ п^/4+г^
n>N
2/и \
4
+ Є
-З^Ч^о)
(11)
Применяя лемму 2 к следующему интегралу, имеем
зт
т/2
Е
n>N
Лк (п)
п5/4+гі
|Лк(п)|2 , V. |Лк(п)|
n>N
п
5/2
+ Е
n>N
п
з/2
(12)
Воспользуемся неравенством Гёльдера и формулой (12). Тогда
зт
т/2
Е
n>N
Лк (п)
п5/4+г£
2/^
3 3є
сіі < .
Пусть выполняется неравенство £ < (6v) 1. Подставляя последнюю оценку в формулу (11), получаем утверждение леммы. В
Лемма 7. Пусть к - рациональное число и Ск > 0. Тогда
1
а~2
-к2
n<N
-к2
при
Более того,
1 Ск
2 + ЇІТЛГ “ а < 1
logkl N « £
|4(п)|2
n<N
п
«logk N,
где 4 (п) - коэффициенты Дирихле функции Fк(а + И), F(а + И) € Б.
□ Выбирая и = —Ь — и замечая, что 1 2 1пЛГ
111
п п2а п
0
5 —4а
0
2
2
мы видим, что второе утверждение леммы следует из первого.
Справедливо неравенство:
у |4(»-)|2 ^ |4(»-)|2
2-^ п2а — 2п2а ' ^ '
п<М п=1
Ряд, стоящий справа в последнем неравенстве, можно записать в виде:
оо
2
Е“=ад+о(и
п=1
Д 5(2.) = П (1 + ^
Р
произведение ведется по простым числам р.
Пусть щ(п) - функция Мебиуса. Следовательно,
Е»> Е (1 - (£Г‘) = ^ (I+„). (14,
п<М п=1 ' ' ^ ^
Преобразуем сумму 5(1 + г), в которой число г принимает значения 2а — 1 или и —
Для функции 1п Б(1 + г) выполняется:
Ю2
1п5(1+г)=А,£^М!^+0(1)
п= 1
где
, , 11, если п - простое число,
а(п) =
10, если п - составное число.
Применим преобразование Абеля к сумме из правой части последнего равенства.
1
в г ОО
о:(7г)|а(/г)|2 1 \ - \а(р)\2 [ 1а(р)|2 [ \ - |«(р)|2 с1х
2.^ П1+Г е 2-^/ р Г J р хг+1 Г J р х;г+1
,г~1 р<ег 1 ‘т 1 ег <р<:х
Пусть для коэффициентов Дирихле функции F(з) справедлива гипотеза Сельберга. Тогда
СЮ
^ а(п)|а(п)|2 1 / А, /* 1п у
Е = -е1пг- (1 - е) 1пг+У ^<г!/+0(1)-
п=1 о
Из определения гамма-функции следует
ЗЮ
7=-Г'(1 ) = -/1^<%.
где y - постоянная Эйлера. Таким образом,
1п Б(1 + г) = —к2 1п г + 0(1).
Первое утверждение леммы сразу следует из неравенств (13) и (14). В
Лемма 8. Пусть 4(п) - коэффициенты функции Fk(а + И), F(а + И) € Б, число к
1 15
рациональное, Т > То > 0, Тй < N < Т« , ск > 0. Тогда выполняются соотношения:
т«вд«г(<7-±'
при
Кроме того,
1 , Ck / 1
2 lrTiv —
где
L(a)
dk
dk (n)
/ n^+it
n<N
w(t)dt,
(15)
и w(t) определяется равенством (6).
□ Из определения функции w(t) следует, что
3T
L(a)
Е
nN
dk (n)
n
a+it
w(t)dt + O(1)
(16)
Кроме того, w(t) ^ t для каждого t и w(t) ^ 1 при 4T/3 < t < 5T/3. Используя лемму
1 „„ 15
2 при Tie < N < Tте, имеем
3T 2
dk(n)
nN
n
a+it
|dk(n)|2
nN
n
2a
и
5T/3 2
4 (/?.)
4T/3
nN
n
a+it
|dk(n) |2
nN
n
2a
Применим последние оценки и лемму 7 к формуле (16). В результате, получаем утверждение леммы. В
2
— ОС
2
3. Доказательство теоремы
I. Получение асимптотической формулы.
и 1 с 1п 1п Т 2и 1
Пусть к = —, и < V с натуральными числами ь,щ —I------------ ---- < и < 1, с =-------1—;
V 2 1п Т 3 2
N = Т9/10. Справедливо равенство:
З2Т З2Т З2Т
J ^ (а + ¿¿)|2к 4 = J |Б^ (а + й)|24 + О у! |д(а + й)|2/^ 4 ] , (17)
Т Т Т
где
~(~ ' *'+) = ^ ■ іі) SN
д(а + іі) = Т“(а + іі) — ^ (а + іі)
С ( , \ " ¿к(п)
+ гі) = ^ ^ .
Для оценки главного члена в (17) мы воспользуемся леммой 2, в результате чего, находим
2Т
1 “'I ^ п2а 1 ” \ /72сг-1
Т n<N \n<N
Остаток можно с помощью преобразования Абеля и леммы 7 записать следующим образом:
о(е*0)=о^Г).
\n<N /
Следовательно, неравенство (18) переписывается в виде
2Т оо
1 |5ЛГ(СТ + Й)|2Л = ГЕ^^-ГЕ]^^ + 0(Л,(1ПЛ')‘'1) .
п2и *—' п2
Т п=1 n>N
Далее, посредством преобразования Абеля и леммы 7, оценим вторую сумму, стоящую справа в последнем неравенстве
Е ^ « (2- - 1) (1-4) £ = (* - 1)-^-Г (*» + 1) .
n>N N
В итоге, для главного члена формулы (17) справедливо соотношение
2Т
[ |^(<т + гі)\2сІІ = Т^2 + 0 (^(ІпЛО*2) +0 1)“А'2)
Т п— 1
Нам осталось оценить остаточный член в (17). Рассмотрим два случая:
1. В первом случае выполняется:
З2Т
[ |#(сг + а)\2^’ <
1п 1п Т
Т
2. Во втором случае имеет место неравенство:
З2Т
/ ^ + а)^м>Шт-
Т
Воспользовавшись леммой 6 и последним неравенством, имеем
З2Т З2Т
-а,
\д(а + й)\2^г’ сИ N з*>0 \д(а0 + й)\2^г’(И .
ТТ
где
1п 1п Т
а° = 21п Т '
Из неравенства
З2Т З2Т З2Т
У |д(ао + й)\2/’и 4 ^y'|F(ао + й)|2к4 + J |БМ(ао + й)|24
Т Т Т
следует, что
З2Т
6(<7-<70)
Т
З2Т З2Т
J |F(ао + й)|2к4 + J |БМ(ао + й)|24
ТТ
На основании неравенства Гельдера, имеет место
З2Т З2Т к
У |F (ао + й)|2к 4 < Т1—к (у ^ (ао + й)|24 ТТ
1п 1п Т
Далее из оценки второго момента при <то = ——— (лемма 4) получим
2Т
,2к,- 1п Т \к
Т
(19)
Исполвзуя лемму 8 и последнее неравенство, соотношение (19) при N = Т9/10, с > |и + | оцениается следующим образом:
2Т к
Г \д(о + иГ'М « М-^Т (А1^)
Т
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ к^Я Серия Математика. Физика. 2010. №17(88). Выпуск 20 62
Следовательно, в обоих случаях выполняется:
З2Т
\д(а + й)\2/г' сЫ С
Т
(1п 1п Т) к
Подставляя получившиеся соотношения для главного члена и остатка в (19) при N = Т9/1°, имеем
2Т
I№ + Й)1“Л = + О (Г(1„Г)*’-¥) + О .
Положив 2—3 Т вместо Т и суммируя по ] = 1, 2, 3, • • •, мы получаем первое утверждение теоремы.
II. Получение нижней оценки I(1/2, Т).
1 п
Пусть а = — + -——, // - положительная постоянная. Справедливы следующие неравенства
(20)
¿(а) ^ / (а) + К (а) , (21)
где функции К (а), ¿(а), / (а) определяются формулами (7), (15) и (5) соответственно. Рассмотрим два случая:
1. Пусть К(1/2) < Т. Тогда мы воспользуемся леммами 8 и 5 при а = -—Ь ;—и
неравенством (21). В результате, имеем
т(штГ «¿(I)-л-(!)«/(!
Следовательно,
^1) »Т1}пТ)к\
2 1п Т
1 п
2. Пусть А”(^) > Т. Сначала мы применим лемму 6 при N = Т9/10, ао = 1/2, а = — +
2 2 1п Т
к неравенству (21):
¿(а) < 7(<т) + А" Т-3^1 .
Далее, воспользуемся неравенством (20)
Ца) « ./(а) + (.7 + Ь (0) е-ё .
Теперь применим к функции /(а) лемму 5 при (7=1/2+ ^
1пТ
1Л Л3/2_ст _з3//1\ /1
1/((т) « еЧ ( ^ ( 2 ) ) +еI '7 I 2 ) + 2 ) )• (22)
Возможны два различных случая. В первом из них имеет место
ВД«е-§^0.
Тогда из леммы 8 видно, что
Т(1пТ)А'2?ГА'2 < Ь(а) < е~^Ь ^ < Т(1пТ)А'2е-^ .
Последнее неравенство при больших п не выполняется.
Во втором случае выполняется
п
Применим лемму 8 при а = 1 /2 + -----, п > с.\. Тогда
1п Т
•/(0 >>г<1пТ)‘^
Таким образом, в обоих случаях
/(0 >Т(1пТ)А'2. (23)
Для получения второго утверждения теоремы мы будем пользоваться оценкой (23). Из формулы (6) видно, что и>(£) ^ 1 для всех Ь < 0 и Ь > 3Т. Поэтому выполняется следующая цепочка неравенств:
Т(1пТ)‘3 « .] (0 « Л {\'ЗТ) •
Теорема доказана. В
Литература
1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана / Е.К. Титчмарш. - М.: ИЛ, 1953.
2. Турганалиев Р.Т. Асимптотическая формула для средних значений дробной степени дзета-функции Римана / Т.Р. Турганалиев // Тр. МИАН СССР. - М.:Наука, 1981.
3. Heath-Brown D.R. Fractional moments of the Riemann zeta-function // J. London Math. Soc. - 1981. - 2,24. - P.65-78.
4. Джаббаров И.Ш. Дробные моменты Z-функции // Математические заметки. - 1985. -38,4.
5. Laurincikas A., Steuding J. On Fractional Power Moments of Zeta-Functions Associated with Certain Cusp Forms //Acta Appl. Math. - 2007. - P.25-39.
6. Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proc. of the Amalfi Conf. on Anal. Number Theory. Univ. di Salerno. - 1992. - P.367-385.
7. Гриценко С.А. О нулях линейных комбинаций специального вида функций, связанных с рядами Дирихле из класса Сельберга // Тр.матем. ин-та им. В.А. Стеклова. -1996. - 60,4.
8. Gabriel R.M. Some results concerning the integrals of moduli of regular functions along certain curves // J. London Math. Soc. - 1927. - 2. - P.112-117.
9. Ivic A. The Riemann zeta-function / A. Ivic. - N.Y.: John Wiley and Sons, 1985.
ON FRACTIONAL MOMENTS OF DIRICHLET’S SERIES OF THE SELBERG CLASS D.B. Demidov
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. It is obtained the asymptotic formula and the lower estimate on fractional moments of the Dirichlet series of the Selberg class.
Key words: Dirichlet’s series, fractional moments.
