О нулях рядов Дирихле из класса Сельберга, лежащих на коротких промежутках критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 511.3

О НУЛЯХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ ИЗ КЛАССА СЕЛЬБЕРГА, ЛЕЖАЩИХ НА КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Д.Б. Демидов

Белгородский гоударственный университет,

ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Получена нижняя оценка числа нулей на коротких промежутках критической прямой для ряда Дирихле из класса Сельберга степени 2.

Ключевые слова: ряды Дирихле, класс Сельберга, нули функций.

1. А. Сельберг в работе [2] определил класс S рядов Дирихле F(s), удовлетворяющих условиям:

1) F(s) = ±^s>l-,

п=1

2) существует неотрицательное целое число m такое, что функция (s — 1)mF(s) целая;

3) коэффициенты Дирихле a(n) удовлетворяют неравенствам

a(n) n£

для любого положительного е, причем a(1) = 1;

4) существует функция yf (s) вида

к

Yf(s) = eiQ'H r(Ais + щ), (1)

i=i

где |е11 = 1, Q > 0 , Ai > 0 , Re^i > 0, и такая, что для функции $(s) = yf(s)F(s) справедливо тождество

Ф(в) = Ф(1 - s);

5) при а > 1 функция F(s) раскладывается в эйлерово произведение

F(s) = [](1 + a(p)p-s + a(p2)p-2s + ■ ■ ■),

p

где p пробегает простые числа.

В статье [3] для функции F(s) из класса Сельберга S определена следующая характеристика, которая называется ее степенью:

к

dF = 2 £ Ai. i=i

Пусть F(s) - функция из класса S. Нули функции F(s), совпадающие с полюсами функции Yf(s), называются тривиальными, а остальные - нетривиальными. Известно, что нетривиальные нули находятся в полосе 1 — A < Res < A, A = A(F) > 0 (см. [2]). Одним из направлений исследований в теории рядов Дирихле является изучение распределения их нетривиальных нулей. В частности, это относится к распределению нулей дзета-функции Римана. Она является функцией из класса Сельберга степени 1.

Пусть No(T) - число нулей ((1/2 + it) на промежутке (0,T]. В 1921 году Харди и Литтлвуд [4] доказали, что

No(T) » T .

В 1942 году А. Сельберг [5] получил правильную по порядку оценку No(T):

No(T) » TlnT.

В 2010 году И.С. Резвякова в своей работе [6] рассмотрела задачу о нулях L-функций, соответствующих автоморфным параболическим формам. Была получена правильная по порядку нижняя оценка числа нулей на критической прямой следующего вида:

No(T,Lf) » TlogT,

+ ^ r(n^z) 1_k

где функция Lf при Res > 1 определяется рядом Дирихле Lf(s) = ^ ——, г(п) = а(п)п ~,

п

n= 1

а(п) - коэффициенты параболической автоморфной формы f (z) = ^ a(n)e2ninz, Re z > 0

n=1

целого веса k > 1 относительно группы To(D) с характером % по модулю D, которая является собственной функцией всех операторов Гекке Tn, п = 1, 2,....

2. Пусть F(s) - примитивная функция из класса Сельберга степени 2, то есть не представляется в виде G1(s)G2(s), где G1(s) € S, G2(s) € S. Введем обозначение N0(T, F) - число нулей F(1/2 + it) на промежутке (0,T ]. Предположим, что коэффициенты Дирихле функции F(s) удовлетворяет трем гипотезам:

I). При Y — то справедлива асимптотическая формула

lai-ч- — ' ' ■ • |--4

|а(п)|2 = AfY + O(Y ln-4 Y) ,

n<Y

где Ар > 0 - постоянная, зависящая только от F.

II). Пусть е > 0 - сколь угодно малое число, Y > 10, а и Ь - натуральные числа, 1 < а, Ь < Ye, (а, Ь) = 1, Н - натуральное число, меньше Y. Тогда при Y — то справедлива оценка

Y^ a(n)ä(m) < Yl~& , 5 > 0.

an-bm=h nY

III). Пусть ni и П2 - произвольные натуральные числа. Тогда

|a(nin2)| < |a(ni)||a(n2)|.

Сформулируем наш результат.

Теорема. Пусть е > 0 - произвольно малое число, 5 - число из условия I), Т > То > 0, Т 1-&/2+£ ^ Н < Т. Пусть Т(в) - примитивная функция из класса Сельберга степени 2. Коэффициенты Дирихле Т(в) удовлетворяют условиям 1)-111). Тогда справедлива оценка

N0(Т + Н,Т) - N0(Т,Т) » Н 1пТ.

□ Определим функцию / (Ь) равенством

/(*) = + г^ ^ ^ + > гДе РН^ + = 7^(1 " " +

(^ + И) определяется формулой (1). Функция /(Ь) принимает вещественные значения при Ь € М. При этом нули нечетного порядка функции /(Ь) являются нулями функции Т(в) на критической прямой.

Определим числа а(у) равенством

= П (1

У=1

2р

где а(р) - коэффициенты Дирихле функции Т(в), и положим

( 1п V

р(г/) = а(у) тах I 1 — |——, 0

Определим аналитическую функцию <^(в) формулой

X = Т£

<^(в) = ^ в(v)V-

^=1

Пусть 1г = С1/1пТ, /?1 = 1г \/Ъ 1п 1п Т, с\ - положительная постоянная. Рассмотрим два интеграла

/и

Ш= I е-(^)2 ¡(г + и)^2 + ^ +

-/1 /1

т =

У + и)

1

( \ + + и)

du,

(ч

Положим Е - множество точек Ь € (Т, Т + Н) таких, что выполняется: ^(Ь) > ]2(Ь), ^(Е) -мера множества Е. Справедливо неравенство /3 < /1 + /2 , где

т+н

т+н

/1 = 1 л(Ь)(Ь, /2 = ^ ;'2(Ь)(Ь, /3 = I

т

т

Дословно повторяя соответствующее рассуждение из [1, §6.3], приходим к неравенству /3 > С2НН, С2 > 0 - абсолютная постоянная.

Для получения верхних оценок интегралов 1\ и /2 мы будем пользоваться следующим приближенным функциональным уравнением. Пусть М > Т, Т < t < Т + Н. Справедливо равенство

( \ + it

/'1 \^А(\)\и ( Qb2\ /м^+Л

F[\ + it

2 7 л/а V J \ ^3/4

Л \

= Y^ ЖЫЖ^М»)

f ^ П _д ^^

v2 ~

Доказательство последнего факта проводится аналогично тому, как было получено уравнение для F (1/2 + it) в работе [7]. Оценим 1\ сверху. Применяем к F (1/2 + it) уравнение (2) и пользуемся неравенством Коши. Затем выделяем «диагональные» и «недиагональные» слагаемые, которые оцениваем при условии справедливости гипотез I)-III), получим Ii < C3j(E)1/2hH1/2 , C3 > 0 - абсолютная постоянная. Интеграл I2 состоит из «диагональной» и «недиагональной» частей. Пользуясь рассуждениями из [1, §6.3] с учетом гипотез I)-III), находим, что I3 > 2I2, j(E) ^ H. Поэтому число нулей нечетного порядка функции f (t) и, следовательно, функции F(1/2 + it) на отрезке T < t < T + H оценивается снизу величиной порядка

j(E)h-1 » H lnT. ■

Литература

1. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / М.: Физматлит, 1994. - 376 с.

2. Selberg A. Old and new conjectures about class of Dirichlet series / Collected papers. - 1991. -2. - P. 47-63 / Berlin: Springer-Verlag, 1991.

3. Conrey J.B., Ghosh A. On the Selberg Class of Dirichlet Series: small degrees // Duke Math. J. - 1993. - 72l;3. - P.673-695.

4. Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeroes of Riemann's zeta-function on the critical line // Math. Z. - 1921. - 10. - P.283-317.

5. Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid.Akad.Oslo. - 1942. -10. - P.1-59.

6. Резвякова И.С. О нулях на критической прямой L-функций, соответствующих авто-морфным параболическим формам // Математические заметки - 2010. - 88;3. - С.456-474.

7. Гриценко С.А. О нулях линейных комбинаций специального вида функций, связанных с рядами Дирихле из класса Сельберга // Труды математического института им. В.А. Стеклова. - 1996. - 60;4.

ON ZEROS OF LINEAR COMBINATIONS OF DIRICHLET's SERIES OF SELBERG's CLASS BEING ON SHORT INTERVALS OF CRITICAL LINE

D.B. Demidov Belgorod State University, Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. New estimate from below for the number of zeros on short intervals on the critical line connected with Dirichlet's series of Selberg's class with the power 2 is found.

Key words: Dirichlet's series, Selberg's class, zeros of functions.