Асимптотические формулы для дробных моментов дзета-функции Римана Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 11S40

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДРОБНЫХ МОМЕНТОВ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА

С.А. Гриценко, Л.Н. Куртова

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. Пусть v - натуральное число, Ф(Т) - сколь угодно медленно стремящаяся

к при Т ^ функция. Получена асимптотическая формула для дробных моментов

2T

дзета-функции Римана вида J |Z(а + it)|2/vdt при 1/2 + Ф(Т)/log T < а < 1.

T

Ключевые слова: дзета-функция Римана, дробные моменты дзета-функции Римана, асимптотическая формула.

1. Введение

Пусть к — неотрицательное вещественное число, |<сг<1,Т>2. Интеграл вида

2 Т

4(а,Т) = ! |С(а + г^)|2кМ

Т

будем называть моментом дзета-функции Римана степени 2к.

Определим мультипликативную функцию йк(п) из равенства

сьм = П(1-^Г = Е^ («**>1)-

р п=1

В 1981 году Р.Т. Турганалиев [1] на основе одной идеи С.М. Воронина доказал, что при 0<А:<2,|<(7<1 справедливо равенство

2 Т оо

к (<7 + Й)|“'Л = ^ + сцг1-), (1)

П= 1

где к = к(а, к) > 0. В этой формуле параметр а > | фиксирован, то есть не зависит от основного параметра Т.

Для приложений особый интерес вызывает случай, когда а равно | или хотя бы стремится к ^ справа с ростом Т. В 1985 году И.Ш. Джаббаров [2] доказал, что равенство (1) справедливо при | < <т < 1.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт 14.A18.21.0357

В настоящей статье получена асимптотическая формула для /к (а, Т) в частном случае, когда к = т Е N. Важно отметить, что параметр к фиксирован (не зависит от Т). Наша формула справедлива при весьма близких к 1/2 значениях а ив этом смысле представляет собой уточнение цитированных выше теорем.

Теорема 1. Пусть т — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к +оо при Т —>• +оо функция. Тогда при ^ + -^г < а < 1 справедлива асимптотическая формула

2Т

/го м2 (п)

|<(<7 + 11)\2/тсИ г]Г ^ + 0 - 1/2)“1/т2е-°дф(Т)) .

Т п^ 1

Возникает вопрос о существовании асимптотических формул для дробных моментов других функций, представимых в виде ряда Дирихле.

В 1991 году А. Сельберг [3] определил класс 5 рядов Дирихле

ОО

п=1

удовлетворяющих следующим условиям:

1) функция (в — 1)тЬ(в) целая конечного порядка при некотором т > 0;

2) коэффициенты Дирихле а(п) удовлетворяют соотношениям

а(1) = 1, а(п) ^£ п£

для любого положительного е и всех п > 1;

3) при И,е в > 1 функция Ь(в) раскладывается в эйлерово произведение:

£(в) = ]^[(1 + а(р)р-3 + а(р2)р-23 +---) ,

р

Ь(п)

где р пробегает простые числа, logL(s) = ——, где Ь(п) = 0, если п не равно поло-

п= 1

жптельной степени простого числа, причем Ь(п) «С пв для некоторого 9 > 1/2;

4) Ь(в) удовлетворяет функциональному уравнению вида: А(з) = А(1 — в), где

Л(в) = пА ]^[ Г(Л3-в + )Ь(в) и |п| = 1, А> 0, Л3- > 0, Яе> 0 .

3 = 1

к

В статье [4] для любой функции Ь(в) из Б определена ее степень: = 2 Л3- .

3 = 1

Для примитивных (не представляющихся в виде Ь1(в)Ь2(в), Ь1(в) Е Б, Ь2(в) Е Б) функций из класса Б А. Сельберг высказал в работе [3] ряд гипотез, в частности следующую.

Гипотеза. При x ^ то справедлива асимптотическая формула

^|a(n)|2n-1 = log x + O(1), (2)

nx

где a(n) — коэффициенты Дирихле функции L(s). Интеграл вида

2 T

12 k.

II(°,Т) = J |Ь(а + гг)Гі

т

будем называть моментом функции Ь(э) из класса Сельберга Б степени 2к.

Определим мультипликативную функцию аь (п) из равенства

ь»м = п(1-#)'" = Ед# = Е4(га)Г(’,) (ке^>о-

\ р У 1 п 1 п

р 4 ' п=1 п=1

Вторым основным результатом данной статьи является вывод асимптотической формулы для дробных моментов II/т(&,Т), т Є N функций Ь(в) из класса Сельберга, іь = 2. Эта задача представляет трудность потому, что в отличие от £ (в) точная верхняя оценка дробных моментов для таких функций на критической прямой не известна.

Теорема 2. Пусть т — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к +оо при Т —> +оо функция. Тогда при | < а < 1, в предположении

гипотезы Сельберга (2), справедлива асимптотическая формула

T

2 T ос

\L(a + it)\2/mdt = tJ2 ^ai/™2a ^ + 0

n=l

Введем некоторые обозначения. Пусть N — натуральное число, N < T/ log T в теореме 1 и N < Тев теореме 2. Положим

N

SN(s) = 2_^ dl/m(n)n s, g(s) = С(s) - Sm(s)

n=l

N

S'n(s) = ^2 al/m(n)n-s, g'(s) = L(s) - (S'n(s))m.

n=l

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть f (в) — регулярная в полосе а < И,е в < в и непрерывная в полосе а < И,е в < в функция. Предположим, что f (в) ^ 0 при |1т в| ^ то равномерно по а < И,е в < в. Тогда при а < 7 < в и д > 0 имеем:

р — ос / ОО ^ /3 — а

^(7 + й)|9(й < \1 ^(а + й)|9Аі | ^(в + й)1д(

□ Доказательство см. в [5]. I Лемма 2. Пусть

СЮ Х

К (а) = [ ^(а + it)|2/mw(t)dt, К '(а) = [ |д;(а + it)|2/mw(t)dt,

2 Т

7

т

1,1 < в < 2. Тогда справедливы неравенства:

где и>(і) = / е Т)^п4т. Пусть, далее, а, /3, а выбраны так, что 0, 49 < а < а < | < /3,

13 — а „ , . , „ сг — а г Т2 ((3 — сг) г Т2 (сг — ск)

4т (і3 — оі)

К (а) < {К{а)}^{К{р)}^ +Т5е“^(^> + Т5е

, , /3 —<т , а-а _ Г2 (/3-<т) _ Т2 ((7-е.)

К (<т) {К (а')}/3-“{/\ (іЗ)}'3-а +Т е 4,71 (/3~а) + Т е 4,71 (/3~а)

— ОС

— 'ОС

— 'ОС

□ Докажем первое неравенство. Доказательство второго неравенства проводится аналогично. Положим в лемме 1 /(г) = (г — 1)д(г)е(2:-гт) , где т Е [Т, 2Т]. Пусть к -

одно из чисел а, а, в. Тогда, используя оценку |д(а + й)|2/т ^ 1 + (£ — т)2 + т2, получаем неравенство

СЮ

[ |/(к + й)|2/тсЙ<т2/т [ \д(к + 'й)\2/те-2{*-т)'2/пЧ1 + т*е-^.

Пользуясь неравенствами

Х Х

J |д(а + й)|2/техр(—2(і — т)2/т)И ^ Т2, J |д(в + іі)|2/т ехр(—2(і — т)2/т)И ^ 1,

— Х — Х

получаем,что

Х Х в

[ \д(а + й)\2^т ехр(—2(і — т)2/т)йі | [ \д(а + й)|2^техр(—2(1 — т)2/т)сЙ|,3 ах

— X

— X

— X

У <7 — 01.

\д(/3 + г£)|2//техр(—2(t — т)2 /m)dt^li а +

+ Т4 / _ + т4 / Ла-о^х _

" V 4?п(/5 — Q') / " V 4?n(/5 — Q') /

Интегрирование этого неравенства по т от T до 2T и использование неравенства Гель-

дера завершает доказательство. I

Лемма 3. При 1, 01 < а0 < 2 справедливы неравенства:

K(а0) < TN-(2СТ0-1)/m, К(а0) < TN-(2ст°-1)/m .

□ Сравнивая коэффициенты рядов Дирихле слева и справа в равенстве

О m

( d1/m(n)n-^ = С(s) , Re s > 1, получаем ^2 di/m(ni) ■ ■ ■ di/m(nm) = 1. Отсюда

n=1 ni—nm=n

и из положительности d1/m(n) следует, что

0 < в(n) = 1 - d1/m(n1) ••• d1/m(nm) < 1 •

ni—nm=n

1<ni,...,nm<N

Если n < N, то в(п) = 0. Тогда |g(a0 + it)| ^ 1, и требуемая оценка следует из неравенства Гельдера.

Неравенство для К(а0) доказывается аналогично. I

СО СО

Лемма 4. Пусть J(а) = f |Z(а + it)|2/mw(t)dt, J(a) = f |L(a + it)|2/mw(t)dt.

-О -О

Пусть 1/2 < а < 3/4, m > 1, T > 2, тогда справедливы неравенства:

J( 1/2) < Tm^-1/25 J;(l/2) < T^-Wj'ia).

□ Первое неравенство доказывается в [6, р. 70]. При доказательстве второго неравенства учитываем, что в функциональное уравнение для функции из класса Сельберга степени 2 входит множитель Г(г + ^)/Г(1 — г + ^). I

СО

Лемма 5. Пусть I(а) = / |5^(а + й)|2и>(£)^. Для фиксированного т > 0 суще-

-О

ствует ст > 0, такое, что для всех а, удовлетворяющих неравенству | < а <

справедливы оценки:

I(а) < Т(а — 1/2)-1/т2, I(1/2) < Т(1пТ)1/т2 .

□ Доказательство см. в [6]. I

ОО ___

Лемма 6. Пусть /'(а) = / |5^(<т + it)\2w(t.)dt, N < . Для всех <т, удовлетво-

-О

ряющих неравенству | < а < 1, где Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся

— 'ОС

к при Т ^ функция, в предположении гипотезы Сельберга (2) справедливы оценки:

/'(а) < Те~^^ , /'ф < Те^ЫТ .

□ Доказательство следует из свойств функции и>(£) и оценок сумм

V |а1/^”)|г « Л'1-2" 1пN. Т |а1/",(18)|г « 1пN.

/ >■) 2а / »-)

которые получаем, используя гипотезу Сельберга (2) и условие 0 < ^1/т(п) < 1. I

3. Доказательство теорем Доказательство теоремы 1.

1. Главный член асимптотической формулы для дробных моментов дзета-функции

2Т

Римана получается из асимптотического вычисления интеграла / |£^(а + г£)| ^, а для

т

2Т

оценки остаточного члена достаточно оценить интеграл / |д(а + й)|2/т^£. При т > 2

т

нужно воспользоваться неравенством

Ы2/т — Ы2/т < |^1 + г2|2/т < Ы2/т + |^2|2/т, (3)

справедливом для любых комплексных чисел г1 и г2. При этом мы положим в (3) г1 = ^^(а + г£), г2 = д(а + й) и проинтегрируем получившееся неравенство по £ от Т до 2Т.

22т

2. Заметим, что при £ Е [Т, 2Т ] и>(£) ^ 1, поэтому / |д(а + ) |2/т ^ ^ К (а).

т

Применим лемму 2 с параметрами а = |, /3 = |. В результате, получим неравенство

. . - . , . ~ 5 — 4 о г ~ 4 о— 2

К (а) < {К (1/2)} — {/1 (5/4)}— + 1.

Здесь мы учли, что а — 1/2 > и поэтому ехр ^ — Т ^ 2 ^ ^ <^Т л для любого

A > 0 и достаточно большого T. Если K(1/2) < T, то, так как K(5/4) ^ T, то и

K(а) < T.

3. Пусть (1/2) > Т. Тогда К (а) <С /i (l/2)(T_1/i (5/4))iVi + 1. Используем оценку из леммы 3: K(5/4) ^ TN-3/(2m). Тогда

А» < Ji(l/2)iV-™(<J-1/2) + 1 < K{l/2)N-™{a~1/2). (4)

Из (3) получаем, что

K(а) — I(а) ^ J(а) ^ K(а) + I(а). (5)

Тогда К(1/2) ^ 7(1/2) +/(1/2). Функцию 7(1/2) оценим, используя лемму 4: 7(1/2) ^ Т™(<7_1/2)/(и). Для </(сг) используем правую часть неравенства (5). Тогда

К(1/2) < Т^(<7-1/2)(/1 (а) + /(а)) + /(1/2) .

Подставляем полученную оценку в (4). результате, получаем, что

А» < ЛГ™(<7-1/2)Т™(<7-1/2)(/\ (а) + /(а)) + -(ст“1/2)/(1/2)

С учетом условий N < Т, а — | > -^г будем иметь <^; е-одф(Т)_

Тогда К (а) < е-0’1ф(т)/(а) + е-0’1ф(т)/(1.2), и требуемая оценка следует из оценок для

/(а) и /(1/2) из леммы 5. I

Доказательство теоремы 2. Проводится по схеме доказательства теоремы 1. Более подробно остановимся на оценке К' (а), если К' (1/2) > Т. Тогда

К'(а) < К'(1/2)М~^(а~^. (6)

Из (3) получаем, что

К'(а) — /'(а) ^ 7'(а) ^ К'(а) + /'(а). (7)

Тогда К'(1/2) ^ 7'(1/2) + /'(1/2). Функцию 7'(1/2) оценим, используя лемму 4. Имеем ^7/(1 /2) .У(сг). Для </'(и) используем правую часть неравенства (7). Тогда

А'(1/2) < Т^а~^(К\а) + /'(а)) + /'(1/2) .

Подставляем полученную оценку в (6), после чего получаем, что

К1 (а) < М-^а-^Т^а-^(К\а) + Г (а)) + ЛГт(<7-5}/'(1/2).

С учетом условий А" < ТеЛ'/^, (т — 1/2 > Ф(Т)/лЛп Т будем иметь

ехр {—2Ф(Т)/?в} 1.

Тогда ____

К1 (а) < 1\(т) + Д/' (1/2) < 1\<т) + /' (1/2) ехр{-Ф(Т)^ЬГ} ,

и требуемая оценка следует из оценок для /'(а) и /' (1/2) из леммы 6.

Замечание. /-функции Гекке, соответствующие комплексным характерам, составляют подкласс класса Сельберга Б степени 2 (см. [17]), для которого утверждение теоремы 2 безусловно.

Литература

1. Турганалиев Р.Т. Асимптотическая формула для средних значений дробной степени дзета-функции Римана // Труды Математического института АН СССР. - 1981. - 158. -С.203-226.

2. Джаббаров И.Ш. Дробные моменты (-функции // Математические заметки. - 1985. -38(4). - C.481-493.

3. Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proc. of the Amalfi conference on Analytic Number Theory. Univ. di. Salerno / 1992. - P.365-387.

4. Corney J.B., Ghosh A. On the Selberg class of Dirichlet series: small degrees // Duke Math. J. - 1993. - 72, 3. - P.673-695.

5. Gabriel R.M. Some results concerning the integrals of moduli of regular functions along certain curves // J. London Math. Soc. - 1927. - 2. - P.112-117.

6. Heath-Brown D.R. Fractional moments of the Riemann Zeta-function // J. London Math. Soc. - 1981. - 24(2). - P.65-78.

7. Гриценко С.А. О нулях специального вида функций, связанных с L-функциями Гекке мнимых квадратичных полей // Изв. РАН. Сер. матем. - 1997. - 61:1. - С.45-68.

ASYMPTOTIC FORMULA FOR FRACTIONAL MOMENTS OF THE RIEMANN ZETA-FUNCTION

S.A. Gritsenko, L.N. Kurtova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. Let v € N and the function $(T) tends sufficiently slowly to when T ^ +ro.

2T

The asymptotic formula for fractional moments of the Riemann Zeta-function / |Z(a + it)|2/vdt at

T

1/2 + $(T)/logT < a < 1 is obtained.

Key words: Riemann’s Zeta-function, fractional moments of the Riemann Zeta-function, asymptotic formula.