Асимптотические формулы для дробных моментов некоторых рядов Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 1 (2013)

УДК 511

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДРОБНЫХ МОМЕНТОВ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ 1

С. А. Гриценко, Л. Н. Куртова (г. Белгород)

Аннотация

Пусть V — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ функция. Получены асимптотические формулы

2Т

для дробных моментов дзета-функции Римана вида / |£(а + И)\2/т(И при

Т

2 + ТпТ ^ а < 1, а также для дробных моментов функций Ь(в) степени 2 2Т

из класса Сельберга / \Ь(а + И)\2/тй1, при 2 + -Ф(ПТ!Т ^ а < 1 в предположении гипотезы Сельберга.

ASYMPTOTICAL FORMULA FOR FRACTIONAL MOMENTS OF SOME DIRICHLET SERIES

S.A. Gritsenko, L.N. Kurtova

Belgorod State University,

Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia

Abstract

Let v € N. Let the function $(T) arbitrarily slow tend to with T ^ +rc>. The asymptotical formulas for fractional moments of the Riemann zeta-

2T

function J |((a + it)\2/vdt for 1/2 + $(T)/lnT ^ a < 1 and for fractional

T

moments of the arithmetical Dirichlet series of second degree from Selberg's 2T

class / \L(a + it)\2/vdt for 1/2 + $(T)/^\KT < a < 1, are obtained.

T

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт 14.A18.21.0357

1 Введение

Пусть к — неотрицательное вещественное число, 2 ^ а < 1, Т ^ 2. Интеграл вида

2Т

4(а,Т|С(а + гі)\2кМ т

будем называть моментом дзета-функции Римана степени 2к.

Определим мультипликативную функцию dk (п) из равенства

<км = П(і - ^)-к = £Щ (*8> і)-

р п—1

Хорошо известно, что при а > 1/2 справедлива асимптотическая формула Ііт 1 I К (а + гі)2кdt * ■ Т ^(П)

ііт . і» (а і it ) dt Г^-1 у

т^ж Т /і ^ п2а

1 п=1

(см., например, [1], [2], [3, глава 7]).

В 1981 году Р.Т. Турганалиев [4] на основе одной идеи С.М. Воронина оценил в этой асимптотической формуле остаточный член и доказал, что при 0 < к < 2, 1 < а < 1 справедливо равенство

2Т

К (а + й)?2 Л = Т Т ЩПІ + 0(Т1-К), (1)

Т п— 1

где к = к(а, к) > 0.

В формуле Турганалиева параметр а > 2 фиксирован, то есть не зависит от основного параметра Т.

Для приложений особый интерес вызывает случай, когда а равно | или хотя бы стремится к 2 справа с ростом Т. В 1985 году И.Ш. Джаббаров [5] доказал, что равенство (1) справедливо при

1 1о§ 1о§ 1о§ Т

2+ 1о§ 1о§ Т ^ а '

Получена асимптотическая формула для I^(а, Т) в частном случае, когда к = т, т Е N. Важно отметить, что параметр к фиксирован (не зависит от Т). Наша формула справедлива при весьма близких к 2 значениях а ив этом смысле представляет собой уточнение цитированных выше теорем.

Теорема 1. . Пусть т — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ функция. Тогда при 2 + ^ а < 1

справедлива асимптотическая формула

2T

^(а і it^dt = T V d±mn) + O (t(а — 1)-1/m2e-0>1*(TЛ •

n^ V 2

T n=1 4 7

В 1989 году А. Сельберг [6] в своем докладе на конференции в Амальфи определил класс Б рядов Дирихле

СО

L(s) = E n>, («<> 1),

ns

n=1

удовлетворяющих следующим условиям:

1) функция (в — 1)тЬ(в) является целой функцией конечного порядка при некотором т ^ 0;

2) коэффициенты Дирихле а(п) удовлетворяют соотношениям

a(1) = 1, a(n) n£

для любого положительного е и всех п ^ 1;

3) при Кв > 1 функция Ь(в) раскладывается в эйлерово произведение:

Ь(в) = ]^[(1 + а(р)р-3 + а(р2)р-23 +--),

р

р пробегает простые числа,

log L(s) = ^ М

ns

n=1

где b(n) = О, если n не равно положительной степени простого числа, причем b(n) ^ ne для некоторого в ^ 1/2;

4) L(s) удовлетворяет функциональному уравнению вида

Л(в) = Л(1 — в),

где

к

Л(в) = пА п Г(Л3в )Ь(8)

3=1

и

\п\ = 1, А > 0, Л3 > 0, Щ > 0.

В статье [7] для любой функции Ь(в) из Б определена степень Ь(в) следующим образом:

к

йь = 2^ Лз.

3=1

Для примитивных (не представляющихся в виде £1(5)£2(5), Ь1(в) £ Б, £2(5) £ Б) функций из класса Б А. Сельберг высказал в работе [6] ряд гипотез, в частности следующую:

Гипотеза. При х ^ ж справедлива асимптотическая формула

будем называть моментом функции Ь(в) из класса Сельберга 5' степени 2к.

Вторым основным результатом данной статьи является вывод асимптотической формулы для дробных моментов 1'1/т(а,Т), т £ N функций Ь(в) из класса Сельберга, в,ь = 2. Эта задача представляет трудность потому, что в отличие от £ (в) точная верхняя оценка дробных моментов для таких функций на критической прямой не известна.

Теорема 2. . Пусть т — натуральное число, Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ функция. Тогда при 2 + ^ а < 1

в предположении гипотезы Сельберга (2) справедлива асимптотическая формула

Введем некоторые обозначения. Пусть N — натуральное число. При доказательстве теоремы 1 считаем, что N ^ T/ log T. При доказательстве теоремы

(2)

T

2 полагаем N < TeA'/*nT.

N

SN(s) = ^2 d1|m(n)n ^ g(s) = Z (s) - SN(s)-

n=1

N

SN(s) = ^2 a(n)n s, g1 (s) = L(s) - Sm(s).

n=1

Определим интегралы:

СЮ сю

I(а) = / \Бм(а + it)\2w(t)dt, I'(а) = / \Б'М(а + И)\2'ю(1)&,

— С — С

ОС ОС

1 (а) = j |((а + it)\2/mw(t)dt, J'(а)= j \Ь(а + it)\2/mw(t)dt,

— С — С

2 Т

где w(t) = / e—2(t—т)2/mdт.

Т

Функция w(t) обладает следующим свойством: w(t) ^ е—( +Т )/т, если Ь ^ 0, t ^ 3Т, w(t) ^ 1 в остальных случаях.

2 Леммы

Лемма 1. ([8]). Пусть f (в) — регулярная в полосе а < Кв < в и непрерывная в полосе а ^ Кв ^ в функция. Предположим, что f (в) ^ 0 при \Ов\ ^ то равномерно по а ^ Кв ^ в. Тогда при а ^ 7 ^ в и д > 0 имеем:

в — 7 ■у —а

с / с \ в—а / ос \ в—а

У\fь + ^^^ ( у \f(а + ^у!\f(в + ^^

—Ю —Ю —Ю Лемма 2. ([9]). Для любых комплексных чисел ап справедливо равенство

Т

N

а

£

апп

п=1

N

2

dt = (Т + 0(Ы))^2 \ап\

ап

п=1

Лемма 3. . Пусть 0 < а ^ 5, \а — 1\ > 0,01, N ^ т. Тогда справедливы

5

4 >

неравенства:

\д(а + и)\2/т < 1 + (Ь — т)2 + т2,

\д'(а + й)\2/т < 1 + (Ь — т)2 + т2. Доказательство. Из определения д(а + и) имеем

\д(а + й)\2/т < К (а + й)\2/т + ^ (а + й)\2.

Докажем, что К (а + й)\2/т ^ 1 + Ь2.

Если \Ь\ ^ 2п, это очевидно, так как \а — 1\ > 0, 01.

Если \Ь\ > 2п, воспользуемся известной формулой

1 ^1—О— %Ь

с(а + й) = ^2 ~О+^ + —1+7 + 0(х—01о§ х),

пО+г а — 1 + п

п^х

2

где х = П (см., например, [10] с. 72). Оценивая правую часть тривиально, приходим к неравенствам

\с(а + й)\«Щ, \с(а + й)\2/т « 1+ г2.

Сумму Б^ (а + й) оценим тривиально:

N

і о / , -+м ^ ^ в1/т(п)

(а + гі)\

П=1

Поскольку функция d1/m(n) мультипликативна и

— (— + 1) ••• (— + V — 1)

0 < Ах/тР) = ; ^т----------- ^ 1

(р — простое число, V ^ 1), то имеем 0 < d1/m(n) ^ 1. Поэтому

N 1

^(а + а)\2 « ЁПО)2 < N2 < т2.

1 п

п=1

Получено неравенство

\д(а + и)\2/т « 1 + I2 + т2 « 1 + (г — т)2 + т2.

Неравенство для \д'(а + %Ь)\2/т доказывается аналогично. Необходимо только выбрать т таким, что N1+£ ^ т.

Лемма 4. . Пусть 0,49 ^ а ^ а ^ 7 ^ в, 1,1 ^ в ^ 2. Тогда справедливы неравенства:

в — а , , . , а —а к (в — а) _ _ (а — а)

а! К ( Я)\в —а + ТЬР 4т (в —а) + Т5Р 4т (в —а)

X(а) ^ {К(а)} в—а {К(в)} в—а + Т е 4т (в—а) + Т е 4т (в—а)

в — а , а —а г; Т2 (в —&) _ Т2 (у —а)

К (а) {К (а)} в—а {К (в)} в—а + Те 4т (в—а) + Те 4т (в—а)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем первое неравенство. Доказательство второго неравенства проводится аналогично, необходимо лишь заменить д(г) на д'(г). Положим в лемме 1 Ц (г) = (г — 1)д(г)е(г—гт')2, где т Є [Т, 2Т].

Пусть к — одно из чисел а, а, в. Тогда

те Зт/2 / т/2 Зт/2.

J \f (к + гі)\2/тві = J \ц (к + гг)\2/т ві + | ^ | \ц (к + гі)\2/тві.

— те т/2 \—те те /

Оценим два последних интеграла. При і Є (—ж, т/2) и (3т/2, +ж) в силу леммы 4 имеем:

\Ц(к + И)\2/т ^ (1 + (і — т)4 + т4)е (-- ) е—.

Тогда

т/2 Тт/2

+ ) \1'(к + it)\2/mdt « т4е 4т .

ЮЮ

следовательно,

и (к + Щ2/т АЬ « т2/т I \д(к + й)\2/те—2(—)2/гпАЬ + т 4е—^

Пользуясь неравенствами:

\д(а + it)\2/me—2(t—т)2/mdt « Т2, / \д(в + it)\2/me—2(t—т)2/mdt « 1,

получаем,что

\д(а + й)\2/те—2(—)2/тАЬ « { \д(а + й)\2/те—2(—)2/mdt}^х

/^ / ^/, \0 / а —а , Т (в —а) , Т (а —а)

\д(в + й)\2/те—2^—т) /7ПАЬ]в—а + Т4е—+ Т4е—4т .

—Ю

Осталось проинтегрировать это неравенство по т от Т до 2Т и воспользоваться неравенством Гельдера.

Лемма 5. . При 1, 01 < а0 ^ 2 справедливы неравенства:

К(а0) « TN—(2оо—1)/т,

К'(ао) « TN—(2о0—1)/т.

Доказательство. По определению имеем

(^ dl/m(n)n 3)т = С (в), (Кв> 1).

п=1

Сравнивая коэффициенты рядов Дирихле слева и справа, получаем

^ ^ d1/m(n1) • • • d1/m(nm) 1-

^ ^..Лпг.

п\---пт=п

Отсюда и из положительности d1/m(n) следует, что

0 ^ 1 ^ ^ d1/m(n1) • • • (^1/т ('^'т) ^ 1-

пх---пт=п, 1^п1,...,пт ^N

Если п ^ N, то в('о) = 0. По определению имеем

д(ао + й) = ^ в(п)п 00 и.

n=N+1

Поскольку \д(а0 + и)\ « 1, то

0 сс\

[ + I ) \д(ао + it)\2/mw(t)dt «

— с 3Т /

2Т 0 Ю

« У I У е—2«—т)2/тАЬ + У е—2«—т)2/тАь) Ат « е—т2/(2т).

Т \— с 3Т /

Поэтому, пользуясь неравенством Гельдера, получаем, что

3Т

Ю

к(ао) « \ ^2 в(п)п—00—и\2/тАЬ + е—Т2/(2т) «

0

n=N+1

3Т \ 1/т

Л С©

« I Тт—1 \ ^2 в(п)п—00—и\2АЬ ) + е—Т2/(2т) «

\ о п^+1 )

TN—(2оо—1)/т.

Неравенство для К '(ао) доказывается аналогично.

Лемма 6. . Пусть 1 ^ а ^ |, т ^ 1, Т ^ 2, тогда справедливы неравенства:

1 (\) « Тт(о—2)1 (а),

1 '(2) « Тт(о—2)1 '(а).

Доказательство. Первое неравенство доказывается в [11].

Докажем второе неравенство. Положим в лемме 1 f (г) = Ь(г)е(х—гт , где т Е [Т, 2Т]; 7 =1/2, а =1 — а, в = а, д = 2/т, тогда имеем

+Ю

[ \Ь(2 + й)е(1/2+и—гт)2\2/тАЬ ^

+Ю 1/2 +Ю 1/2

^ I I \Ь(1 — а + й)е{1—0+и—гт)2 \2/тАЬ | • ( / \Ь(а + й)е(о+а—гт?\2/тАЬ

Используем функциональное уравнения для Ь(в). Так как = 2, то

— г > = -41-ОД,

где \с\ = 1, А > 0. Тогда, используя формулу Стирлинга, имеем

+Ю

[ \Ь(1 — а + и)е(1—0+и—гт)2 \2/тАЬ «

Зте

« [ \Ь(а + гі)\2/т(1 + Щ)2(2°-1)/те—2(—)2/тві «

( З/2 +те\

1 + 1

\—те 3т/2 У

(1 + \і\)2/те—2(і—т)2/тві+

Таким образом,

З т/2

+тт(2°—1)І \Ь(а + гі)\2/те—2(і—т)2/тві «

т/2

+те

« тт(2°—1)[ \Ь(а + гі)\2/те—2(і—т)2/тві.

+те

I \Ъ(1 + гі)\2/те—2(і—т)2/тві «

—те

+те

« тт(<7—2) [ \ь(а + гі)\2/те—2(і—т)2/тві.

Осталось проинтегрировать последнее равенство по Т ^ т ^ 2Т и доказательство леммы завершено.

Лемма 7. ([11]). Для фиксированного т ^ 0 существует ст > 0, такое,

1 + < а ^ 3

2 + 1пТ ^ ° ^ 4'

что для всех а, удовлетворяющих неравенству 2 + іт ^ а ^ 3, справедливы

оценки:

I(а) « Т(а — ,

12 I(2) « Т(1пТ)1/т .

Лемма 8. . Для всех а, удовлетворяющих неравенству 2 + -фТТ ^ а < 1, где Ф(Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к +то при Т ^ +то функция, в предположении гипотезы Сельберга (2) справедливы оценки:

I'(а) « Те—2^, I' ф « ТеуЛпТ 1п Т.

Доказательство. Заметим, что функция 1^(Ь) обладает следующим свойством: w(t) « е—^2+Т2)/т, если Ь ^ 0, Ь ^ 3Т, 1^(Ь) « 1 в остальных случаях.

Кроме того, БN(в) « N « Те^пТ. Тогда

3Т 3Т

I'(а) = J ^(а + й)\2 w(t)dt + 0(1) « ^

о о

Используя равенство из леммы 2, будем иметь:

^(п)^ Нп^2

п=1

АЬ + 0(1).

П20 -г—/ п20

п=1 п=1

Вычислим асимптотически полученную сумму. Применим преобразование Абеля:

N

\н(п)^_п1—2о = / ( ^ Ах1—2о + Щ 1—2о V-

У п1 — 2о = — I (V ^1Х1—2о + N 1—2о У

^ п I п ^ п

п=1 1 \п^х / п=1

Далее будем использовать гипотезу Сельберга (см. формулу (2)). Вычислив интеграл, можем утверждать, что

\а('п)\

= 0N ^—2° 1п щ.

п=1

Так как N ^ Те''^пТ и а — 1 ^ Д=, то

2 V 1п Т 1

I'{а) « Те'ЛпТТ—е—2ф(Т) 1пТ « Те—. I' (1) оцениваем аналогично. Имеем

I'А « ЩУ" « N 1пN « Те^пТЬТ.

К2; ^ п

п=1

3 Доказательство теорем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.

1. При т ^ 2 из очевидного неравенства

\г1 \2/т — \г2\2/т ^ \г1 + ^\2/т ^ ^ \2/т + \г2\2/т, (3)

справедливого для любых комплексных чисел г1 и г2, следует, что

2Т 2Т 2Т

J \((а + гі) \2/тві = ! \Бм(а + гі) \2ві + О \д(а + гі) \2/тві

Т Т Т

(мы положили в (3) г1 = Бгт(а + іі), г2 = д(а + іі) и проинтегрировали получившееся неравенство по і от Т до 2Т).

2. Вычислим асимптотически интеграл

2Т

J \ Бм(а + іі) \2 ві.

Т

Воспользуемся леммой 2. Имеем

2T 2T

J\ Sn (а I it) \ 2 dt = j

TT

n

n=l

N

dt = (T I O(N)) J]

d(/m(n)

n=1

n27

Тогда

2T

f 2 ю d2i/m(n)

\ Sn (а I it) \ 2 dt = Tj] 1/m2l I O(Si)I OS),

n=1 n

T n=1

где

d21/m(n) N d21/m(n)

Si = TV 1/m , S2 = NV -J/mV

^_1^' n2& n2a

n=N n=l

Оценим эти суммы. Так как О К dl/m(n) і 1, то

Ю d2/m(n)

Sl = T V 1/m2 < TN1

(Уі 27

_ . _ ...l—2a

1n

n=N

Так как a - \ > ФТ и N ^ T/ log T, то Sx < T(a - \)-1/m2в-0’1ф(Т\ Аналогичные рассуждения приводят к следующей оценке суммы S2:

N

S2 = NV dl/m)^n') ^ n2—2(7 = TNN1—27 < T(а - 1)—l/m2e—0^(T). n27 T к 2'

n=l

2

Таким образом, имеем

2Т

\ Бм(а + гі) \2 ві = + О (т(а — 2) — 1/т2е—0’1ф(ТА

Т п=1 ' '

2 Т

3. Перейдем к оценке / \д(а + О) \2/тАЬ. Заметим, что при Ь Е [Т, 2Т]

Т

^^(Ь) ^ /Т/2 ехр(—2т2/т)Ат ^ 1, поэтому

2Т

! \ д(а + й) \ 2/тАЬ « К (а). т

Применим лемму 4 с параметрами а = 2, в = |; получим неравенство

, , б—4аг , 5 ,, 4а —2

К (а) « {К (2)} — {К у} — + 1

(мы учли, что а — 1 ^ ^ЛТ! ^ —Т и поэтому ехр(—Т (°т 2)) « Т—А для любого

А > 0 и достаточно большого Т).

Если К (2) ^ Т, то, так как К (4) « Т, то и К (а) « Т.

4. Пусть К(1) > Т. Тогда

К (а) « К (2)(Т-1К (4))1а—3 + 1.

Используем оценку из леммы 5: К(|) « ТЩ—3/(2т). Тогда

К (а) « К (2)Щ—т (о— 2) + 1 « К (2)Д, (4)

где А = N т(а 2).

Из (3) получаем, что

К (а) — I (а) « 1 (а) « К (а) + I (а). (5)

Тогда

К ф «1 ф + / (2>.

Функцию 1 (1) оценим, используя лемму 6. Имеем 1 (2) « Тт(о— 2\1 (а). Для

1 (а) используем правую часть неравенства (5). Тогда

Кф « Тт(0—2)(К(а) + I(а)) + I(1).

Подставляем полученную оценку в (4). Получаем, что

К (а) « ДТ т (о—2 )(К (а) + I (а)) + ДI (2)

С учетом условий N ^ Т, а — 1 ^ ^ЛТ! и равенства для Д будем иметь

дтт(о—1) = щ—т(о—2)тт(о—2)« т—«е—тф(т) «е—о>1ф(Т).

Тогда

К (а) « e—0’1ф(T)I (а) + e—0’1ф(T)I (2).

Используя оценки для I(а) и I(1) из леммы 7, получаем:

К (а) « Т (а — 2)—1/т2 е—о’1ф(Т).

Доказательство теоремы 2.

Проводится по схеме доказательства теоремы 1. Более подробно остановимся на вычислении главного члена асимптотической формулы и оценке К '(а), если

К'(2) > Т.

1. Вычислим асимптотически интеграл

2Т

J \ (а + й) \ 2 АЬ.

Т

Воспользуемся леммой 2. Имеем

2Т ТТ N 2 N

аЩ—- л = (т + 0(щ)) у\^ ' 2

1 П

п=1

J \ БЬ (а + й) \ АЬ = J

ТТ

Е

П20

п=1

Тогда

где

2Т

! \БЪ(а + й) \2 АЬ = Т У + 0(Б1) + 0Б),

Т п=1 п

Б = Т^^ Б = му

n=N

Оценим эти суммы. Так как \а(и) \ « п£, то

n=N

Учтем условия а — 1 ^ фТТ и N ^ Те^1п Т, получаем

Б1 « Т(Те^1пТ)—2V® +2£ « Те—2Ф(Т)+2£^ПТТ—2+2е « Те—1 ^‘пТ. Оценим сумму Б2. Применим преобразование Абеля:

У М^ п^ = —Г (у МпГ) ,х1-2о + N1—20 У Мп)£. .

^ п ] п ^ п

п=1 1 \п^х / п=1

Далее будем использовать гипотезу Сельберга (см. формулу (2)). Вычислив интеграл, можем утверждать, что

п=1

Так как N ^ Т^л^пТ и а — 1 ^ , то

2 1п Т

Б2 « ^-2а 1п N = TNN■N1-2а 1п N « Те^Т-2Ше-2ф(Т) 1п N « Те-1 ^.

Таким образом, имеем:

2Т

\ БМ (а + гі) \2 ві = Т^^П}2 + 0(Те-2^) .

2. Пусть К'(1) > Т.

К'(а) « К'(1)А, (6)

где Д = N т (о 2).

Из (3) получаем, что

К'(а) — I'(а) « 1'(а) « К'(а) + I'(а). (7)

Тогда

К' ф «1 г

Функцию 1'(1) оценим, используя лемму 6. Имеем 1'(2) « Тт(о— 2) 1'(а). Для 1'(а) используем правую часть неравенства (7). Тогда

К'ф « Тт(о— 1 )(К'(а) + I'(а)) + I'ф.

Подставляем полученную оценку в (5). Получаем, что

К'(а) « ДТт(о— 2)(К'(а) + I'(а)) + ДГ(2)

С учетом условий N ^ Teln Т, a — 1 ^ "ТыТ и равенства для А будем иметь

атmm(а-1) = n-mm(а-2)тmm(а-1) « e-mmф(т) « i.

Тогда

K'(a) « I'(a) + АГ(2) « I'(a) + е-ф(Т^I'(2).

Используя оценки для I' (a) и I' (2) из леммы 8, получаем:

K'(a) « Te-1 ^ + е-ф(Т^TeV]nTlnT « Te-2VinT.

Замечание 1. . L-функции Гекке, соответствующие комплексным характерам, составляют подкласс класса Сельберга S степени 2 (см. [12]), для которого утверждение теоремы 2 безусловно.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Ingham A.E. Mean-value theorems in the theory of the Riemann Zeta-function // Proc. London Math. Soc. 1927. V. 27(2). P. 273-300.

[2] Davenport H. Note on mean-value theorems for the Riemann zeta-function //

J. London Math. Soc. 1935. V. 10. P. 136-138.

[3] Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана / Е.К. Титчмарш. M.: Изд. иностран. литер., 1953.

[4] Турганалиев Р.Т. Асимптотическая формула для средних значений дробной степени дзета-функции Римана // Труды Математического института АН СССР. 1981. T. 158. C. 203-226.

[5] Джаббаров И.Ш. Дробные моменты ^-функции // Математические заметки. 1985. T. 38(4). C. 481-493.

[6] Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proc. of the Amalfi conference on Analytic Number Theory. Univ. di. Salerno. 1992. P. 365-387.

[7] Corney J.B., Ghosh A. On the Selberg class of Dirichlet series: small degrees

// Duke Math. J. 1993. V. 72. 3. P. 673-695.

[8] Gabriel R.M. Some results concerning the integrals of moduli or regular functions along certain curves // J. London Math. Soc. 1927. V. 2. P. 112117.

[9] Montgomery H.L., Vaughan R.C. Hilbert’s inequality // J. London Math. Soc. 1974. V. 2(8). P. 73-82.

[10] Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / А.А. Карацуба. М.: Наука, І98З.

[11] Heath-Brown D.R. Fractional moments of the Riemann Zeta-function // J. London Math. Soc. І98І. V. 24(2). P. б5-78.

[12] Гриценко С.А. О нулях специального вида функций, связанных с L-функциями Гекке мнимых квадратичных полей // Изв. РАН. Сер. матем. І997. Т. бІ:І. С. 45-б8.

НИУ «Белгородский государственный университет» Поступило 25.0З.20ІЗ

e-mail: [email protected]; [email protected]