ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭРГОДИЧНОСТИ СМО С АБСОЛЮТНЫМ ПРИОРИТЕТОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.676, 519.217

А. В. Мистрюков1, В. Г. Ушаков2

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭРГОДИЧНОСТИ смо с АБСОЛЮТНЫМ ПРИОРИТЕТОМ*

Известные результаты по эргодичности приоритетных систем массового обслуживания получены в предположении, что входящие потоки требований всех приоритетов являются пуассоновскими. В данной работе это требование ослаблено, а именно, найдены достаточные условия эргодичности систем массового обслуживания с двумя классами приоритетов, в которых поток требований высшего приоритета является гиперэкспоненциальным, а низшего — рекуррентным. Изучены системы с различными разновидностями абсолютного приоритета. Для получения искомых условий эргодичности найдены соотношения, связывающие последовательные значения времен ожидания требований каждого приоритета.

Ключевые слова: абсолютный приоритет, эргодичность, метод пробных функций, гиперэкспоненциальный поток, рекурсия Линдли.

1. Введение. Проблема нахождения условий эргодичности традиционна для теории массового обслуживания. Существует обширная литература по эргодической теории случайных процессов (см., например, [1,2]). Среди них особое место занимают марковские процессы. Большая часть условий эргодичности марковских процессов формулируется в терминах свойств переходной функции. Для теории массового обслуживания, однако, нужны условия, выраженные через параметры исследуемой системы (входящие потоки, длительности обслуживания и т.п.), получение которых в качестве следствия из общих результатов (особенно для сложных, в частности, приоритетных, систем) является нетривиальной задачей. При изучении эргодичности приоритетных систем обычно накладывались ограничения либо на время между поступлениями требований в систему, либо на время их обслуживания. А именно, предполагалось, что эти времена имеют экспоненциальное распределение (см., например, [3-8]). Работ, в которых исследуется эргодичность приоритетных систем с дисциплинами абсолютного приоритета, не относящихся к классам М/С/1 и С/М/1, практически нет.

В работе [9] получены достаточные условия эргодичности системы обслуживания с относительным приоритетом, в которой приоритетный входящий поток является гиперэкспоненциальным. В данной статье предложен метод, позволяющий распространить эти результаты на системы с двумя разновидностями абсолютного приоритета: с обслуживанием заново и потерей прерванного неприоритетного требования.

2. Определения и вспомогательные утверждения. Пусть на измеримом пространстве (X, (г(Х)) задана марковская цепь (МЦ) х(п), и € N0 = {0,1, 2,...}, с переходными вероятностями Р(х,А) = Р(Хп+1 € А | Хп = х), х € X, А € ((X).

Определение 1. Инвариантная мера МЦ с переходными вероятностями Р(х,А) — это любая вероятностная мера п на X, удовлетворяющая равенству

п(А) = J п(йх)Р(х, А) для любого А € ((X).

Определение 2. Будем говорить, что марковская цепь эргодична, если она имеет единственную инвариантную меру. В этом случае МЦ будет подчиняться эргодической теореме Биркгофа Хинчина [1].

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: unf08Qrambler.ru

2 Факультет ВМК МГУ, проф., Институт проблем информатики ФИЦ ИУ РАН, ст. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: vgushakovQmail .ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 18-07-00678.

Введем следующие обозначения: Pf (x) = E (f (xn+1) | xn = x) = f f (y)P(x,dy), где f —

X

функция, определенная на X; ta(x) = inf (n : x(n) € A | x(0) = x), A € a(X) — время первого

попадания в множество A из точки x; Ex(ta) = Eta(x).

Сформулируем далее теоремы, дающие достаточные условия эргодичности.

:

существуют A С X, p > 0 и вероятностная мера, v на, X, такие, что:

1) P (ta(x) < то) = 1 для любо го x € Ac;

2) sup Ex(ta) < то;

x€A

3) существует m € N : Pm(x, B) ^ p ■ v(B) для любых B € a(X) и x € A.

Тогда, МЦ имеет единственную инвариантную меру п.

,

:

||Pn(x, ■) — п(-)||ту ^ 0 для любого x € X.

Доказательство теоремы можно найти в [1]. Марковскую цепь, удовлетворяющую условиям теоремы 1, называют Харрисовой.

Теорема 2 (критерий Фостера-Ляпунова). Пусть существует w(x) : X ^ R+ и е > 0, ,:

1) Pw(x) ^ w(x) — е для, любого x € Ac , A С X;

2) sup Pw(x) < то для любо го x € A.

X€A

Тогда sup Ex(ta) < то.

X€A

3. Результаты.

3.1. Описание системы и обозначения. Рассматривается одноканальная система массового обслуживания с неограниченным числом мест для ожидания и двумя потоками требований. Первый поток (приоритетный) — гиперэкспоненциальный, второй — рекуррентный с абсолютно непрерывной функцией распределения интервалов между поступлениями требований. Рассматривается дисциплина абсолютного приоритета.

При гиперэкспоненциальном входящем потоке время между поступлениями требований приоритетной очереди описывается гиперэкспоненциальным распределением с параметрами (cj ,aj), j = 1,..., N. А именно:

( N

ил IEcjaj exp(—ajt), t ^

a(t) = < j=1 (1)

0, t < 0,

N

где Cj > 0, aj > 0, ai = aj, при i = j, i,j = 1,..., N, ^ Cj = 1. Рекуррентный входящий поток,

j=1

задаваемый плотностью распределения 1, эквивалентен следующему: интервалы между поступ-

a

aj cj

между поступлениями приоритетных требований определяется одной из компонент смеси. Номер этой компоненты будем называть фазой приоритетного потока.

Обозначим: s1i), s2t\ ... и t1\t2t\ ... — последовательные времена обслуживания и интервалы

i

B (i) — функция распределения времени обслужи-i s(i) = Es(i), t(i) = Etf; wП2) — время ожидания до начала

n

в систему).

3.2. Условия эргодичности. Как показано в [10], для эргодичности очереди приоритетного потока при дисциплине абсолютного приоритета достаточно, чтобы существовали первые моменты в(1), ¿(1), в(2), ¿(2) и в(1) — ¿(1) < 0.

(2)

Для очереди второго приоритета будем рассматривать двумерную марковскую цепь (гп, —п )• Первый элемент цепи гп — фаза приоритетного потока на момент начал а обслуживания п-го неприоритетного требования. Второй элемент — время его ожидания. Справедливы следующие рекуррентные соотношения:

™П+1 = I (—п2)+т (42), ^п) — 4+1 > о)(^п2) + т (42), ^п) — 0+

+ /СшП2) + Т(«П2)) — 4+1 < 0) • т^п+ъ^,т(в^Ы)), (2)

где Т(вп, гп) — время, прошедшее с момента начала обслуживания п-го неприоритетного требования до момента, когда система освободится от этого требования и требований первого приоритета, пришедших за время его обслуживания; I(А) — индикатор события А, а случайная величина Т*(£п+1,"ш12),Т(в(2),г)) имеет такое же распределение, как и время до первого освобождения си-

(2) г^/ (2) ч ,(2)

стемы после момента времени —п + Т (вп , V) — ¿П+1' если в систему поступает только поток приоритетных требований и в начальный момент система свободна от них. Как показано в [10], если второй момент Е((в(1))2) существует и конечен, то для получения условий эргодичности, достаточно рассмотреть следующее рекуррентное соотношение:

—(2) = (-(2) , Т(в(2) „ ) +(2)

ип+1

= (-(2) + Т (в(2) — 42+1)+. (3)

Положим Т(V) = / Т(в, V)^£(2) (8).

Введем вспомогательную марковскую цепь, связанную с фазой приоритетного потока. Точнее, введем конечную марковскую цепь с матрицей переходных вероятностей, соответствующей изменениям фазы приоритетного потока до и после Т(вп, гп). Обозначим эту матрицу через Р. Пусть в начальный момент промежутка Т фаза имеет распределение, задаваемое вектором г/0, тогда в момент окончания Т фаза имеет распределение г/о • Р-

Р

единственную инвариантную меру Еп, определяемую линейным уравнением Еп Р = Еп.

В работе [9] для получения условий эргодичности при относительном приоритете использовалась оценка сверху Т(г) по фазе приоритетного потока. Покажем, что условия эргодичности можно найти усреднением Т(г) по Е^ (г). Этот результат описан в следующей лемме. Л е м м а 1. Для эргодичности

-п+1 = (-п + Т(вп, гп) — ¿п)+ (4)

достаточно, чтобы Т(г) была ограничена и выполнялось неравенство

IТ(г(г) < ¿(2). (5)

Доказательство. Докажем, что при выполнении условий леммы существует -—о, такое, что среднее время попадания МЦ в множество [0, —о] конечно. Как показано в [10], этого будет достаточно для эргодичности.

Рассмотрим последовательность распределений фазы приоритетного потока г/0, г/, г/2,..., г/г,..., где

¿/¿+1 = ¿/¿Р, г ^ 0. (6)

Р

инвариантную меру и гп — Еп по полной вариации. Из этого следует, что

/т(г)^г/п(г) - [ Т(г)^™(г), п - то,

так как по условию Т(и) ограничена как случайная величина относительно V. Тогда по условию (5), существует такое число N , что

N

^ / Т(и)<1щ(и) - N • Ь(2) < 0. (7)

г=1

Рассмотрим вспомогательный процесс й)п, который задается соотношением

и>п+1 = (гИп + Т(вп, V п) - Ьп)+. (8)

Он отличается от (4) только величиной щп. Эта величина распределена так же как Ьп, но не может принимать значения больше заданного порога 1тах, точнее Р(щп < х) = Р(Ьп < х | Ьп < Ьтах). Выберем порог Ьтах таким образом, чтобы Е(щп) > / Т(v)dFinv ( V). Аналогично (7) найдется такое число N, что

N Г

/ Т^щ(V) - N • Е$п) < 0. (9)

г=1 ^

Заметим, что для любого интервала [0, г] среднее время попадания в этот интервал процесса (8) больше или равно среднему времени попадания в этот интервал процесса (4) из любого стартового состояния г > г.

Далее, выберем число г0 = ^ + 1) • 1тах. Тогда в силу (9) для любого г ^ г0 справедливо

N Г „

E(wn+N | гп = г) = г + ^ / Т(v)dui(V) - N • Е(Ьп) < г.

г=1

Отсюда и из теоремы 2 следует утверждение леммы.

Найдем Е^ для дисциплины абсолютного приоритета с потерей и обслуживанием заново прерванного требования. Введем следующие обозначения: Ц^ — длительность периода занятости приоритетной очереди, начавшегося с одного требования, при условии, что фаза на момент его начала равнялась V, а на момент окончания равнялась j■, (Ь) — плотность распределения

N

Пjv; п^и(в) = / (t)dt; пи(в) = ^ (5). Как показано в [11], (в) определяется из

3 = 1

системы линейных уравнений

N

а (в) находятся из уравнения

N

п ^ (в) + аг

3 =г

м -=£($-¿400),

Е сзазН (в) + аг

з=1 г=з

где в(в) — преобразование Лапласа-Стилтьеса времени обслуживания требования приоритетной очереди. Обозначим через рг вероятность того, что за время обслуживания приоритетного требования не поступят приоритетные требования, при условии, что фаза приоритетного потока на момент начала обслуживания неприоритетного требования равнялась г:

= У е-а* •sdB(2)(в).

рг

о

Лемма 2. Для дисциплины абсолютного приоритета с потерей и обслуживанием заново прерванного требования функция ^¿„^ определяется следующим образом:

Ргпь(^) = -^тг)(1) • V = 2, . . . , И, 1) =

N

1 + Е ЬЦ

¿=2

где

Есг^г(0) ■ (1 - Рк)

и

Jvk —

(1 - Р^) ' Е СгПкг(0)

г

в случае дисциплины с пот,ерей прерванного требования;

ь _ Есг7Г^(0) ~ Рк)

(! ' Е^71^0) -Рк

в случае дисциплины с обслуживанием заново прерванного требования.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай дисциплины с потерей требования. Пусть в момент начала промежутка Т распределение фазы приоритетного потока было г70, тогда в момент окончания Т распределение фазы будет:

(Р^ — Ри • (Й))* + ^(1 - Р,) • (¿>о)^^ • ^ СгП^г(0). (10)

Чтобы найти ^¿„^ (V), используем уравнение для инвариантной меры ^¿„^ Р — ^¿„^. В нашем случае оно запишется так:

Рто ) — ри ' Рто (V) + ^,(1 - р,) ■ ^(j)j • Е ^¿^>¿(0).

Отсюда

(е(1 - Р,) ■ Ргпо Ш

Рту (V) = ----— ' V СгТГ„г(0).

1 - *

Е^^) ■ (1 - Рк)

г

Ргп'и (к) (1 - ри) ■ Е СгТГь(О) '

¿

Так как Е-^тг»^) = 1) т0 Р%п'и (1) = -^-• Отсюда следует утверждение леммы для слу-

1 (1 + N Ь*)

¿=2

чая потери прерванного требования. Для случая обслуживания заново прерванного требования уравнение (10) запишется в виде

(Рг7о)^ — Ри ■ (¿о)* + ^^(1 - Р,) • (¿'о),^ • (^(РшТ ■ Р^ ,

где Р^ — ^ c¿пv¿(0) • Ри — вероятность того, что период занятости, начавшийся в результате прихода приоритетного требования, закончится фазой V, и после этого неприоритетное требование обслужилось до конца, а Р^ — ^ ^2сгп,г(0)(1 - Р,) — вероятность того, что период занятости,

з »

Обозначим:

Т _ Ртго (у)

начавшийся в результате прихода приоритетного требования, закончится любой фазой и новое обслуживание неприоритетного требования будет прервано приходом приоритетного требования. Аналогично предыдущему случаю находим

(Е(1 -Рз) • Етии)) Р М - Л± / Ри

г тих") —

1 - Pv 1 - Pint

и получаем

L = Ру(1- Рк) Uk (1 -Vv)-Pk

что дает результат леммы для случая обслуживания заново прерванного требования.

Условия эргодичности для рассматриваемых дисциплин описываются следующей теоремой.

Теорема 3. Для эргодичности неприоритетной очереди при дисциплине абсолютного приоритета с пот,ерей прерванного требования достаточно, чтобы выполнялось неравенство

(1 - Pinv) (e (itinv | s^ > tinv) + E (П)) + Pinv ■ E (s^ | sП2) < tinv) - t{2) < 0,

при дисциплине абсолютного приоритета с обслуживанием заново прерванного требования до,

(е (tmv | sW > tinv^j + (Е (tbp | > ifep) + E (П)) + E | s® < tbp) ) x

X (1 pinv) + pinv ' E ^n ) 1 Srt ) < tinv^ ) < °

N

где tinv имеет функцию распределения P(tinv < x) = Fnv(i) ■ (1 - exp(-aj,x)), Finv onpede-

i=l

N

лены, в лемме 2, tbp имеет функцию распре деления P(tbp < х) = Fbp (i) ■ (1 - exp(-ai x)),

i=l

(2) (2) Fbp(v) = E Cinvi(s), Pinv = P(Sn < tinv), Pbp = P(Sn < tbp), Щ(s) = ^ nui(s), E (П) =

i v

N

= E Ci ■ (dni (s)/ds) | s=o •

i=l

tv

обозначим случайную величину, имеющую функцию распределения P(tv < х) = 1 - exp(-avх). Случайная величина T(sn, v) имеет вид

T(sn, v)= I (tv < sty ^tv + ^ CA^ + I (tv > sty ■ sn2) •

Это выражение следует из того, что если обслуживание неприоритетного требования было прервано, то пройдет время до поступления приоритетного требования плюс время, равное периоду занятости приоритетной очереди, начавшегося с поступившего требования. Отсюда получаем условное среднее T(sn, v) при условии, что фаза на момент начала обслуживания неприоритетного требования равняется i :

E (T(sn, v) | v = i) = (1 - Pi) (E (ti | s™ >ti) + E (П)) + Pi ■ E (sn2) | s^ < t?) •

Усредняя v no Finvi получаем утверждение теоремы.

Для случая с обслуживанием заново прерванного требования обозначим через Ak следующее событие: приоритетное требование прервет выполнение неприоритетного требования ровно k раз

при условии, что фаза приоритетного потока на момент начала обслуживания неприоритетного

требования распределена по Через t^ обозначим последовательность одинаково распределенных независимых в совокупности случайных величин с распределением как v величины tbp.

Тогда T(sn, v) запишется как

T(sra, v) = I (tu < 42)) ^tv + E +

+ E I(Ak) j: ( + j) + si2) fc+1 j j + I (tv > si2)) ■ si2).

Отсюда

E (T(sn, v) | v = г) = (1 - рг) ■ ^ E (ti | si2) > ti) + Е(П)+

+ ^^ • ( E (П) + E (tmv | ¿2) < tbp)) + E (ibp | si2) < i^) ^ + • E (si2) | s® < t?j .

Усредняя v nQ Finv, получаем утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боровков А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

2. М е у n S., Т w е е d i е R. Markov Chains and Stochastic Stability. Springer Verlag, 1993.

3. Гнеденко Б. В., Даниелян Э.А., Димитров Б. И., Климов Г. П., Матвеев В.Ф. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973.

4. Yue D., Yue W., Zhao G. Analysis of an M/M/c queueing system with impatient customers and synchronous vacations //J. Appl. Math. 2014. N 2. P. 1-11.

5. Avrachenkov K., Morozov E., Steyaert B. Sufficient stability conditions for multi-class constant retrial rate systems // Queueing Syst. 2016. 82. N I. P. 149-171.

6. Ernst P. A., Asmussen S., Hasenbein J. J. Stability and busy periods in a multiclass queue with state-dependent arrival rates // Queueing Syst. 2018. 90. N 4. P. 207-224.

7. Ye H., Yao D. Justifying diffusion approximations for multiclass queueing networks under a moment condition // Ann. Appl. Probab. 2018. 28. N 6. P. 3652-3697.

8. Ye H., Yao D. Ergodicity of a Levy-driven SDE arising from multiclass many-server queues // Ann. Appl. Probab. 2019. 29. N 2. P. 1070-1126.

9. Мистрюков А.В., У hi а к о в В.Г. Условия эргодичности СМО с относительным приоритетом // Вестн. ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2019. № 1. С. 5-14.

10. Мистрюков А.В., Ушаков В.Г. Достаточные условия эргодичности приоритетных систем массового обслуживания // Информатика и ее применения. 2018. 12. № 2. С. 24-26.

11. Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.

Поступила в редакцию 26.06.19 После доработки 01.10.19 Принята к публикации 01.10.19